2025版新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)26球的表面積和體積新人教A版必修第二冊(cè)

課時(shí)作業(yè)26球的表面積和體積基礎(chǔ)強(qiáng)化1.若球的最大截面圓面積擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則球體積擴(kuò)大為原來(lái)的()A．8倍B．4倍C．2eq\r(2)倍D．2倍2．將棱長(zhǎng)為2的正方體削成一個(gè)體積最大的球，則這個(gè)球的體積為()A．eq\f(16π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(32π,3)D．4π3．假如三個(gè)球的半徑之比是1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的()A．eq\f(5,9)B．eq\f(9,5)C．2倍D．3倍4．圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的表面積與圓柱的側(cè)面積的比為()A．1∶1B．1∶2C．2∶1D．2∶35．一正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則該正四棱柱的外接球的表面積為()A．6πB．12πC．8eq\r(6)πD．24π6．(多選)正四棱錐P-ABCD的底面積為3，外接球的表面積為8π，則正四棱錐P-ABCD的體積為()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(\r(2),2)C．2eq\r(2)D．eq\r(2)7．若一個(gè)球的表面積與其體積在數(shù)值上相等，則此球的半徑為________．8．湖面上漂著一個(gè)小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個(gè)直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球的體積是________cm3.9．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．10．若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為eq\f(\r(6),2)，側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(6)的正六棱柱的全部頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，求該球的體積和表面積．實(shí)力提升11.已知正三棱柱ABC-A1B1C1全部棱長(zhǎng)都為6，則此三棱柱外接球的表面積為()A．48πB．64πC．84πD．144π12．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A．πB．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2)D．eq\f(π,4)13．假如一個(gè)球的外切圓錐的高是這個(gè)球的半徑的3倍，則圓錐的側(cè)面積和球的表面積之比為()A．4∶3B．3∶1C．3∶2D．9∶414．(多選)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的長(zhǎng)、寬、高分別為3，b，c(3>b>c)，體積為6，外接球的表面積為14π，則下列說(shuō)法正確的是()A．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3，2，1B．沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1的最短路徑長(zhǎng)度為2eq\r(5)C．與這個(gè)長(zhǎng)方體表面積相等的正方體的棱長(zhǎng)為2D．設(shè)與這個(gè)長(zhǎng)方體體積相等的正四面體的棱長(zhǎng)為m，則m3＝36eq\r(2)[答題區(qū)]題號(hào)12345611121314答案15.在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________．16．已知一個(gè)球的外切圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、R，求出該球的表面積．課時(shí)作業(yè)26球的表面積和體積1．解析：若球的最大截面圓面積擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則球的半徑擴(kuò)大為原來(lái)的eq\r(2)倍，則球體積擴(kuò)大為原來(lái)的2eq\r(2)倍．故選C.答案：C2．解析：依據(jù)題意知，此球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，所以球的直徑等于正方體的棱長(zhǎng)，故r＝1，所以V＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4π,3).故選B.答案：B3．解析：設(shè)小球半徑為1，則大球的表面積S大＝36π，S小＋S中＝20π，eq\f(36π,20π)＝eq\f(9,5).故選B.答案：B4．解析：設(shè)球的半徑為r，依題意圓柱的底面半徑也是r，高是2r，圓柱的側(cè)面積＝2πr·2r＝4πr2，球的表面積為4πr2，其比例為1∶1，故選A.答案：A5．解析：設(shè)正四棱柱的外接球半徑為R，因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為2，高為4，所以(2R)2＝22＋22＋42＝24，得R2＝6，所以該正四棱柱的外接球的表面積為4πR2＝24π，故選D.答案：D6．解析：因?yàn)檎睦忮FP-ABCD的底面積為3，所以底面邊長(zhǎng)為eq\r(3)，因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為8π，所以球的半徑r＝eq\r(2).連接AC，BD交于點(diǎn)O(圖略).①當(dāng)球心在線段PO上時(shí)，計(jì)算得PO＝r＋eq\r(r2－OA2)＝eq\r(2)＋eq\r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以正四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(1,3)×3×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)；②當(dāng)球心在線段PO的延長(zhǎng)線上時(shí)，計(jì)算得PO＝r－eq\r(r2－OA2)＝eq\r(2)－eq\r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以正四棱錐P-ABCD的體積為eq\f(1,3)×3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).答案：AB7．解析：設(shè)此球的半徑為R，則4πR2＝eq\f(4,3)πR3，解得R＝3.答案：38．解析：設(shè)球的半徑為rcm，則(r－1)2＋32＝r2，解得r＝5.所以球的體積為eq\f(4,3)π×r3＝eq\f(4,3)π×125＝eq\f(500π,3)(cm3).答案：eq\f(500π,3)9．解析：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3).10．解析：如圖，在底面正六邊形ABCDEF中，連接BE，AD交于點(diǎn)O，連接BE1，則BE＝2OE＝2DE，所以BE＝eq\r(6)，在Rt△BEE1中，BE1＝eq\r(BE2＋E1E2)＝2eq\r(3)，所以2R＝2eq\r(3)，則R＝eq\r(3)，所以球的體積V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π，球的表面積S球＝4πR2＝12π.11．解析：如圖，D為棱BC的中點(diǎn)，G為正△ABC的中心，O為外接球的球心，依據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知OG∥AA1，OG＝eq\f(1,2)AA1＝3，外接球半徑R＝OC，∵正△ABC的邊長(zhǎng)為6，則CG＝2eq\r(3)，∴R2＝OC2＝OG2＋CG2＝21，外接球的表面積S＝4πR2＝84π，故選C.答案：C12．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).∴圓柱的體積為V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故選B.答案：B13．解析：作圓錐的軸截面，如圖，設(shè)球半徑為R，則圓錐的高h(yuǎn)＝3R，圓錐底面半徑r＝eq\r(3)R，則l＝eq\r(h2＋r2)＝2eq\r(3)R，所以eq\f(S圓錐側(cè),S球)＝eq\f(πrl,4πR2)＝eq\f(π×\r(3)R·2\r(3)R,4πR2)＝eq\f(3,2).故選C.答案：C14．解析：對(duì)于A，因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為14π，設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球的半徑為R，則4πR2＝14π，所以R＝eq\f(\r(14),2)，所以32＋b2＋c2＝(2R)2＝14①，因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為6，所以3bc＝6②，又3>b>c，由①②解得b＝2，c＝1，故A正確；對(duì)于B，沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1，可將長(zhǎng)方體的兩個(gè)相鄰的面綻開成矩形，最短路徑是這個(gè)矩形的對(duì)角線，這樣的矩形共有3種，對(duì)角線長(zhǎng)度為eq\r(（2＋3）2＋12)＝eq\r(26)或eq\r(（1＋3）2＋22)＝2eq\r(5)或eq\r(（1＋2）2＋32)＝3eq\r(2)，因?yàn)?eq\r(2)＝eq\r(18)<2eq\r(5)＝eq\r(20)<eq\r(26)，故沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1的最短路徑長(zhǎng)度為3eq\r(2)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，長(zhǎng)方體的表面積為2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，設(shè)與其表面積相等的正方體的棱長(zhǎng)為k，則6k2＝22，解得k＝eq\f(\r(33),3)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，棱長(zhǎng)為m的正四面體的高為eq\r(m2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)m,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6)m,3)，則正四面體的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×m×eq\f(\r(3)m,2)×eq\f(\r(6)m,3)＝6，則m3＝36eq\r(2)，故D正確．故選AD.答案：AD15．解析：當(dāng)球的半徑最大時(shí)，球的體積最大．當(dāng)球和三個(gè)側(cè)面都相切時(shí)，在直三棱柱內(nèi)，因?yàn)锳B⊥BC，AB＝6，BC＝8，所以AC＝10，底面的內(nèi)切圓的半徑即為此時(shí)球的半徑r＝eq\f(6＋8－10,2)＝2，直徑為4大于側(cè)棱長(zhǎng)．所以球的最大直徑為3