湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試卷

Page15湖南省郴州市資興市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試卷時量：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，在y軸上截距為且傾斜角為的直線方程為（）A． B． C． D．2.以雙曲線的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.3．已知數(shù)列的首項為2，滿意，則（

）A．2 B． C． D．4．已知為遞增的等差數(shù)列，，，若，則（）A.B.C.D.5.已知，，則數(shù)列的通項公式是（

）A． B． C． D．n6.在直三棱柱中，，，分別是，的中點，，則與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.7.已知圓：，為圓心，為圓上隨意一點，定點，線段的垂直平分線與直線相交于點，則當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡方程為（）A. B.C.D.8．設(shè)，分別為橢圓（）的左、右焦點，橢圓上存在一點使得，，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，漏選得2分，錯選得0分）9.下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列-2025，0，4與數(shù)列4，0，-2025是同一個數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項公式為,則110是該數(shù)列的第10項C．在數(shù)列中,第8個數(shù)是D．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為10．?dāng)?shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列B．C．當(dāng)時，D．當(dāng)或4時，取得最大值11．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)（其中A>0，ω>0，|φ|<πA．ω=2B．f(x)的圖象關(guān)于直線x=2πC．f(x)=2cos(2x-π6)D．12．設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，P為其上一動點，當(dāng)P運動到(2,t)時，PF=4，直線l與拋物線相交于A,B兩點，點MA．拋物線的方程為yB．PM+PFC．存在直線l，使得A、B兩點關(guān)于x+y-6=0對稱D．當(dāng)直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與y軸相切三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知關(guān)于直線的對稱點為，則直線的方程是______.14．已知在等差數(shù)列中，是方程的兩個根，則_____.15．已知等差數(shù)列的首項為2，公差為9，在中每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使它們與原數(shù)列的項一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，數(shù)列的通項公式是__________.16．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子繁殖問題時發(fā)覺了數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…，數(shù)列中的每一項被稱為斐波那契數(shù)，用符號表示（），已知，，（）.（1）若，則___________；（2）若，則___________.四、解答題（本大題6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（10分）已知圓過直線與的交點，圓心為點.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：始終平分圓的周長，求的最小值.18.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的寵愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一種主流經(jīng)濟形式．某直播平臺對平臺內(nèi)800個直播商家進行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)覺所售商品多為小吃、衣帽、果蔬、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖．(1)該直播平臺為了更好地服務(wù)買賣雙方，準(zhǔn)備隨機抽取40個直播商家進行問詢溝通．假如依據(jù)分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？(2)在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的40個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計（單位：元），并將平均日利潤超過300元的商家稱為“優(yōu)秀商家”，所得頻率直方圖如圖所示．（i）請依據(jù)頻率直方圖計算抽取的商家中“優(yōu)秀商家”個數(shù)，并以此估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)；（ii）若從抽取的“優(yōu)秀商家”中隨機邀請兩個商家共享閱歷，求邀請到的商家來自不同平均日利潤組別的概率19.（12分）已知數(shù)列的前n項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，試問：數(shù)列是否有最大項？若有，指出第幾項最大；若沒有，請說明理由.20.（12分）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a;b,c，且2（1）求A；（2）若csinC=4a+bsinA-sin21.（12分）如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，.（1）當(dāng)時，證明：平面平面ABCD；（2）若二面角的大小為30°，求的值.22.（12分）已知雙曲線C1：，拋物線C2：（），F(xiàn)為C2的焦點，過F垂直于x軸的直線l被拋物線C2截得的弦長等于雙曲線C1的實軸長．（1）求拋物線C2的方程；（2）過焦點F作相互垂直的兩條直線，與拋物線C2分別相交于點A、B和C、D，點P、Q分別為AB、CD的中點，求△FPQ面積的最小值． 數(shù)學(xué)試題答案 時量：120分鐘 滿分：150分 一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）xOyy軸上截距為1且傾斜角為

3的直線方程為（A）4A．xy10x2y2

B．xy10

C．xy10

D．xy10

16 9

1的右頂點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （ B ）A.y216x

y216x

y28x

y28x已知數(shù)列a，滿意a

an1則a （ C）nA．2 B．3

n1

an1

2024C．13

D．12已知an為遞增的等差數(shù)列，a3a415，a2a58若an21則n（ D ）A.9 B.10 C.11 D.12知11，nnn1nnN數(shù)列an通公是n （ D）n1n12n1

n2

D．nnABCBCA90的中點，BCCACC1則與所成角的余弦值是 （A）3030151303015A. B. C. D.10 2 15 10已知圓Mx22y24M為圓心，PA,0PA的垂直平分線lPM相交于點QPQ（D）x2 y2

x2 y2

2 y2

2 y2A. 1(x4 12

B. 4 12

3

x 3【詳解】因為線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點Q，所以有AP，由x22y24M(,0)，該圓的半徑為2，P

QPQM

2

QAQM

2，所以點Q的軌跡是以A,M為焦點的雙曲線，所以2 2 2

2 y22c4,2a2c2,a1

ca

3，所以點Q軌跡方程為x 13x2 y2a2b2

1（ab0P使得

，

3ab，則該橢圓的離心率為 （ B ）2 32

234二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，漏選得2分，錯選得0分）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是 （BCD）A．?dāng)?shù)列-2025，0，4與數(shù)列4，0，-2025是同一個數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為ann(n1),則110是該數(shù)列的第10項2C．在數(shù)列1,2,3,2,5,中,第8個數(shù)是22nD．?dāng)?shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為a2n1nn n 數(shù)列a的前n項和為S，已知Sn2，則下列說法正確的是n n A．n遞數(shù)列 B．1014C．當(dāng)n4時，an0 D．當(dāng)n3或4時，Sn取得最大值11．已知函數(shù)?(?)=?sin(??+?)（其中?>0，?>0，|?|<?）的部分圖2象如圖所示，則 （AC ）A．?=2 B．?(?)的圖象關(guān)于直線?=2?3C．?(?2cos(2?? D．?(?)在5??上的值域為2,1]6 6 312．設(shè)拋物線?2=2??(?>0)的焦點為?，?為其上一動點，當(dāng)?運動到(2,?)時，??=4，直線?與拋物線相交于?,?兩點點?4,1下列結(jié)論正確的是 （ BD）A．拋物線的方程為?2=4?B．??+??的最小值為6，使得?+??6=0D．當(dāng)直線?過焦點?時，以??為直徑的圓與?軸相切【詳解】y2=2px(p>0)，故PF=2+p=4，p=4，故y2=8x，A錯誤；2PPEE故B正確；

+PF

=PM

+PE

≥6，當(dāng)PEM共線時等號成立，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，設(shè)AB中點Dx0,y0則y12=8x1，y22=8x2，相減得到y(tǒng)1+y2y1?y2=8x1?x2，即2y0?kAB=8，故y0=4，故x0=2，點2,4在拋物線上，不成立，故不存在，C錯誤；12如圖所示：G為AF中點故DG= OF+AQ=1AC=1AF，故AF為直徑的圓與y軸相122 2切，故D正確；故選：BD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20）已知4關(guān)于直線l的對稱點為B3,6，則直線l的方程是 答案：2xy70.知等數(shù)列n3,0方程x23x50兩根則5678 .答案：6已等數(shù)列an首為2公為9在an每鄰項間入個，它與數(shù)的一構(gòu)一新等數(shù)列n數(shù)列n通公式 .

9n1.4 4意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在探討兔子繁殖問題時發(fā)覺了數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…，F(xiàn)(n)表示（nN*，已知F)1，F(xiàn)()1，F(xiàn)(nF(nF(n2（n3）.（1）若F2(5)F2(6)F(n)，則n；（2）若F(2024)m，則FF(2)F(2024).答案：①11； ②m1.【分析】（1）利用已知和F(n)F(n1)F(n2)的性質(zhì)計算可得答案；（2）利用已知和F(n)F(n1)F(n2)的性質(zhì)計算可得答案.11（1）F2F26528289an11；11（2）FF(2)F(2024)[F(3)F(2)][F(4)F(3)][F(2024)F(2024)]F(2024)F(2)m1.四、解答題（本大題6小題，共70）17.（10分）已知圓C過直線x2y50與xy40的交點，圓心為點C1,2.求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；l2axby10a,b0始終平分圓C12的最小值.a b【解析】（1）由x+2y5=0，解得：x=3，所以圓C過點3,1， 2分x+y4=0332122

y=15 ，5以的準(zhǔn)程為x2y225 5分（2）由題意得：直線l：2axby10a,b0經(jīng)過圓的圓心C1,2，2將其代入，2a1，因為a0,b0， 6分22b4a b12122a2b242b2b4a b

64 ，a a a b a b當(dāng)且僅當(dāng)2b4a，即aa b2所以12的最小值為6+42a b

21,b22

2時，等號成立，

10分18.近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的寵愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一種主流經(jīng)濟形80040個直播商家進行問詢溝通．假如依據(jù)分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？40個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計300“”請依據(jù)頻率直方圖計算抽取的商家中“優(yōu)秀商家”“優(yōu)秀商家”的個數(shù)；若從抽取的“優(yōu)秀商家”詳（抽小類家401002515105516家， 2分100抽取玩具類商家4010100

4家； 4分（2）由圖可得(0.001x0.0030.0050.009)501x0.002， 6分i該播臺秀家”數(shù)為800(0.0020.00)50120家； 7分（ii）由已知得：抽取的“優(yōu)秀商家”中來自300-350元平均日利潤組的有4家，來白350-400元平均日利潤組的有2家．設(shè)邀請到的商家來自不同平均日利潤組別的事務(wù)為A

PA4286156219.（12分）

n

的前n項和為Sn

n23n.2

12分求數(shù)列n令

9n110 10

，試問：數(shù)列n有，請說明理由.（）當(dāng)n2anSnS1

n23n2

(n1)23(n2

n1，所以ann1(n2)，又當(dāng)n1時，a1S12也滿意上式，n所以an1n； 5分n 9n (2)由（1）知10 n1，當(dāng)n2時，b當(dāng)n2時，bn1n10

bnb，所以bn1

9(n

9(n10n

1，得n9，當(dāng)n9時，9(n1，即bb ；10n

n n1當(dāng)n9時，9(n1，即bb ；10n當(dāng)n99(n1，即b

n n1b ；10n

n n以列n增減有大且大為第8，9. 12分20.（12分）在△???中，內(nèi)角???所對的邊分別為???（1）求?；

=3sin?+?+1?+?23?+?2（2）若?sin?=4?+?sin??sin?,△???的面積為33，求△???的周長.4（因為n2

=3sinB+C+1B+C23B+C22sin2

=3sinπ?A+12cos2A=3sinA+1π?A23 2 3π?A2所以2cos2A?1=3sinA，所以cosA=3sinA2 3 3所以tanA= 3，因為A∈0,π，所以A=π 6分3csinC=4absinA?sinBc2=4aba，即c2=4a2?b2，又由余弦定理可得a2=b2+c2?2bccosA，即a2=b2+c2?bc，即a2?b2=c2?bc，所以c2=4c2?bcb=3c，所4以c2=4a2?3c2，解得a=13c4 4S△ABC=1bcsinA=33，所以S△ABC=1bc×3=33，即bc=3，2 4 2 2 4所以bc=3c2=3，所以c=2，所以b=3，a=134 2 2所以C△ABC=a+b+c=13+3+2=13+7

12分2 2 221.（12分）如圖，在四棱臺ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，DD1平面ABCD，，.當(dāng)1ABCABCD；2 1BC30°的值.1設(shè)四棱臺CD111P，BDACO，因為四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)為BD的中點，因為AB//AB，AB1AB，所以B為PB的中點，11 11 2 1連接，所以.因為平面ABCD，所以平面ABCD，因為平面，所以平面平面ABCD. 5（2）D為坐標(biāo)原點，DA，DC所在直線分x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1，則DD1A1B1，(0,1)，所以D(0,0,0)，A(1