適用于新教材2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第五章三角函數(shù)解三角形課時規(guī)范練24正弦定理和余弦定理北師大版

課時規(guī)范練24基礎(chǔ)鞏固組1.(2024·山東濟南高三月考)在△ABC中,已知BC=6,A=30°,B=120°,則△ABC的面積等于()A.9 B.18 C.93 D.183答案:C解析:依據(jù)正弦定理,得BCsinA=ACsinB,所以AC=BC×sinBsinA=63.因為C=180°-B-A=30°,所以S△ABC=12.(2024·湖北宜昌高三期中)在△ABC中,若b=2,A=120°,△ABC的面積S=3,則△ABC的外接圓的半徑為()A.3 B.2 C.23 D.3答案:B解析:由S=12bcsinA=csin120°=32c=3,解得c=2,由余弦定理,得a=b2+c2-2bccosA=4+4-8cos120°=23.令△3.(2024·湖南岳陽高三月考)在△ABC中,若acosA-ccosC=0,則△ABC是()三角形.A.等腰 B.直角C.等邊 D.等腰或直角答案:D解析:因為acosA-ccosC=0,由正弦定理,得sinAcosA-sinCcosC=0,即12sin2A-12sin2C=0,即sin2A=sin2C,所以2A=2C或2A=π-2C,即A=C或A+C=π2.所以△ABC為等腰三角形或直角三角形4.(2024·河南鄭州高三月考)在△ABC中,B=120°,AB=2,角A的角平分線AD的長為3,則AC= ()A.2 B.3 C.6 D.3答案:C解析:設(shè)∠BAC=2α,則0°<2α<60°,0°<α<30°.在△ABD中,∠BAD=α,由正弦定理,得ADsinB=ABsin∠ADB,即3sin120°=2sin(60°-α),所以sin(60°-α)=22,-30°<-α<0°,30°<60°-α<60°,所以60°-α=45°,α=15°,∠BAC=2α=30°,則5.(多選)(2024·山東青島高三期末)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列條件能推斷△ABC是鈍角三角形的有()A.acosA=bcosBB.AB·BC=C.aD.bcosC+ccosB=b答案:BC解析:對于A,由acosA=bcosB及正弦定理,可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π,所以A=B或A+B=π2,所以△ABC是等腰三角形或直角三角形,故A不能推斷;對于B,由AB·BC=-accosB=2a,得cosB<0,則B為鈍角,故B能推斷;對于C,由正弦定理,得a-bc+b=ca+b,得b2+c2-a2=-bc,則cosA=-12,A=2π3,故C能推斷;對于D,由bcosC+ccosB=b及正弦定理化邊為角,可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sinA=sinB6.(多選)(2024·浙江杭州高三模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,asinB=3bcosA,a=3.若點D在邊BC上,且BD=2DC,O是△ABC的外心,則下列推斷正確的是()A.A=πB.△ABC的外接圓半徑R為3C.OD=1D.AD=2答案:BC解析:對于A,在△ABC中,0<A,B,C<π,因為asinB=3bcosA,所以sinAsinB=3sinBcosA.又sinB>0,所以tanA=3,A=π3,故A錯誤;對于B,又a=3,所以asinA=2R=332=23,故R=3,故選項B正確;對于C,取BC的中點M,如圖所示,在Rt△BOM中,BM=12BC=32,OM=OB2-BM2=(3)27.(2024·全國乙,文15)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為3,B=60°,a2+c2=3ac,則b=.

答案:22解析:由題意可知△ABC的面積S=12acsin60°=3,整理得ac=4結(jié)合已知得a2+c2=3ac=12.因為B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=22.8.(2024·山東濰坊高三月考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2sinB-sinC≥2sinAcosC,則角A的取值范圍為.

答案:0解析:由2sinB-sinC≥2sinAcosC,可得2sin(A+C)-sinC≥2sinAcosC,整理得2cosAsinC-sinC≥0,因為sinC>0,所以cosA≥12,又A∈(0,π),所以A∈09.(2024·遼寧沈陽高三期中)如圖所示,四邊形ABCD是由等腰直角三角形BCD以及直角三角形ABD拼接而成,其中∠ADB=∠BCD=90°,tan2∠ABD=43,若BC=2,則點A與點C的距離為答案:10解析:因為tan2∠ABD=2tan∠解得tan∠ABD=12或tan∠ABD=-2(舍去),由sin∠ABDcos∠ABD=12,sin2∠ABD+cos2∠ABD=1,解得cos∠ABD=255,因為△BCD是等腰直角三角形,∠綜合提升組10.(2024·廣東惠州高三月考)設(shè)△ABC的面積為S,若4cos2A-1=cos2B+2cos2C,則SAB·ACA.32 B.33 C.15答案:C解析:因為4cos2A-1=cos2B+2cos2C,所以4(1-2sin2A)-1=1-2sin2B+2(1-2sin2C),整理得4sin2A=sin2B+2sin2C,即4a2=b2+2c2,a2=14b2+12c2.于是cosA=b2+c2-a22bc=34b2+111.(2024·重慶一中高三月考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且3a2=(c+b)(c-b),則tanA·tanB的取值范圍是.

答案:0解析:由題意得3a2=(c+b)(c-b),依據(jù)余弦定理,得bcosC+a=0,所以由正弦定理,得sinBcosC+sinA=0,即sinBcosC+sin(C+B)=0,化簡得tanC=-2tanB,又0<B<π,所以tan2B>0,又tanA·tanB=-tan(B+C)·tanB=-tanB+tan=-tanB+=11所以0<tanA·tanB<12創(chuàng)新應(yīng)用組12.(2024·全國甲,理16)已知△ABC中,點D在邊BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)ACAB取得最小值時,BD=答案:3-1解析:(方法1)令BD=t,則