2025版新教材高中數(shù)學第六章概率1隨機事件的條件概率1.2乘法公式與事件的獨立性1.3全概率公式課時作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊

1．2乘法公式與事務(wù)的獨立性1．3全概率公式必備學問基礎(chǔ)練學問點一事務(wù)的相互獨立性的推斷1.下列事務(wù)A，B是相互獨立事務(wù)的是()A．一枚硬幣擲兩次，事務(wù)A為“第一次為正面”，事務(wù)B為“其次次為反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸兩球，事務(wù)A為“第一次摸到白球”，事務(wù)B為“其次次摸到白球”C．擲一枚骰子，事務(wù)A為“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，事務(wù)B為“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．事務(wù)A為“人能活到20歲”，事務(wù)B為“人能活到50歲”2．一個袋子中有4個小球，其中2個白球，2個紅球，探討下列A，B事務(wù)的相互獨立性與互斥性．(1)A：取一個球為紅球，B：取出的紅球放回后，再從中取一球為白球；(2)從袋中取2個球，A：取出的兩球為一個白球一個紅球；B：取出的兩球中至少有一個白球．學問點二事務(wù)相互獨立性的應(yīng)用3.甲、乙同時參與某次法語考試，甲、乙考試合格的概率分別為0.6，0.7，兩人考試是否合格相互獨立，則甲、乙兩人都不合格的概率為()A．0.42B．0.28C．0.18D．0.124．從甲袋內(nèi)摸出1個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋內(nèi)摸出1個紅球的概率是eq\f(1,2)，現(xiàn)從兩袋內(nèi)各摸出1個球，則eq\f(2,3)表示的是()A．2個球不都是紅球的概率B．2個球都是紅球的概率C．至少有1個紅球的概率D．2個球中恰好有1個紅球的概率5．如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9，0.8，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為________．學問點三全概率公式6.甲騎自行車從A地到B地，途中要經(jīng)過3個十字路口．已知甲在每個十字路口遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，且在每個路口是否遇到紅燈相互獨立，那么甲在前兩個十字路口都沒有遇到紅燈，直到第3個路口才遇到紅燈的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(4,9)C．eq\f(4,27)D．eq\f(1,27)7．甲、乙兩人進行“三局兩勝”制的乒乓球賽，已知每局甲取勝的概率為0.6，乙取勝的概率為0.4，那么最終甲勝乙的概率為()A．0.36B．0.216C．0.432D．0.6488．甲、乙兩人組成“星隊”參與猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率是eq\f(3,4)，乙每輪猜對的概率是eq\f(2,3)；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參與兩輪活動，求“星隊”至少猜對3個成語的概率．關(guān)鍵實力綜合練一、選擇題1．分別拋擲2枚質(zhì)地勻稱的硬幣，設(shè)“第1枚為正面”為事務(wù)A，“第2枚為正面”為事務(wù)B，“2枚結(jié)果相同”為事務(wù)C，有下列三個命題：①事務(wù)A與事務(wù)B相互獨立；②事務(wù)B與事務(wù)C相互獨立；③事務(wù)C與事務(wù)A相互獨立．其中正確的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．32．甲、乙、丙三人參與一次考試，他們合格的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(2,5)，那么三人中恰有兩人合格的概率是()A．eq\f(2,5)B．eq\f(7,15)C．eq\f(11,30)D．eq\f(1,6)3．某射手射擊一次命中的概率為0.8，連續(xù)兩次射擊均命中的概率為0.6，已知該射手第一次命中，則他其次次也命中的概率是()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(7,10)4．一個盒中裝有大小相同的2個黑球，2個白球，從中任取一球，若是白球則取出來，若是黑球則放回盒中，直到把白球全部取出，則在此過程中恰有兩次取到黑球的概率為()A.eq\f(37,216)B．eq\f(37,72)C．eq\f(2,9)D．eq\f(2,27)5．體育課上定點投籃項目測試規(guī)則：每位同學有3次投籃機會，一旦投中，則停止投籃，視為合格，否則始終投直到機會用完為止．每次投中與否相互獨立，某同學一次投籃投中的概率為p，若該同學本次測試合格的概率為0.784，則p＝()A．0.4B．0.6C．0.1D．0.26．[探究題]在荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動時，均從一片荷葉跳到另一片荷葉上)，如圖所示，而且按逆時針方向跳的概率是按順時針方向跳的概率的兩倍．假設(shè)現(xiàn)在青蛙在A葉上，則跳三次之后停在A葉上的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,9)D．eq\f(8,27)二、填空題7．某家公司用三臺機器A1，A2，A3生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，生產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,6)，且其產(chǎn)品的不良率分別占其產(chǎn)量的2.0%，1.2%，1.0%，任取此公司的一件產(chǎn)品為不良品的概率是________，若已知此產(chǎn)品為不良品，則其由A1生產(chǎn)的概率是________．8．在一次象棋對抗賽中，甲勝乙的概率為0.4，乙勝丙的概率為0.5，丙勝甲的概率為0.6，競賽依次如下：第一局，甲對乙；其次局，第一局勝者對丙；第三局，其次局勝者對第一局敗者；第四局，第三局勝者對其次局敗者，則乙連勝四局的概率為________．9．[易錯題]甲、乙兩人進行跳繩競賽，規(guī)定：若甲贏一局，則競賽結(jié)束，甲勝出：若乙贏兩局，則競賽結(jié)束，乙勝出．已知每一局甲，乙兩人獲勝的概率分別為eq\f(2,5)，eq\f(3,5)，則甲勝出的概率為________．三、解答題10．事務(wù)A，B，C相互獨立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(eq\x\to(B)C)＝eq\f(1,8)，P(ABeq\x\to(C))＝eq\f(1,8)，求P(B)和P(eq\x\to(A)B).學科素養(yǎng)升級練1．[多選題]設(shè)同時拋擲兩個質(zhì)地勻稱的四面分別標有1，2，3，4的正四面體一次，記事務(wù)A＝{第一個四面體向下的一面為偶數(shù)}，事務(wù)B＝{其次個四面體向下的一面為奇數(shù)}，C＝{兩個四面體向下的一面同時為奇數(shù)或者同時為偶數(shù)}，則下列說法正確的是()A．P(A)＝P(B)＝P(C)B．P(AB)＝P(AC)＝P(BC)C．P(ABC)＝eq\f(1,8)D．P(A)P(B)P(C)＝eq\f(1,8)2．甲袋中有5個白球，7個紅球；乙袋中有4個白球，2個紅球，從兩個袋子中任取一袋，然后從所取到的袋子中任取一球，則取到白球的概率是________．3．[學科素養(yǎng)——邏輯推理]在一場消遣晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)求3號歌手得到觀眾甲、乙、丙中兩票的概率．1．2乘法公式與事務(wù)的獨立性1．3全概率公式必備學問基礎(chǔ)練1．解析：把一枚硬幣擲兩次，對于每次而言是相互獨立的，其結(jié)果不受先后影響，故選項A中的兩個事務(wù)是相互獨立事務(wù)；選項B中是不放回地摸球，明顯事務(wù)A與事務(wù)B不相互獨立；對于選項C，其結(jié)果具有唯一性，A，B為對立事務(wù)；選項D是條件概率，事務(wù)B受事務(wù)A的影響．答案：A2．解析：(1)∵取出的紅球放回，故事務(wù)A與B的發(fā)生互不影響，∴A與B相互獨立．(2)設(shè)2個白球為a，b，兩個紅球為1，2，則從袋中取2個球的全部取法為{a，b}，{a，1}，{a，2}，{b，1}，{b，2}，{1，2}，則P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(2,3)，∴P(AB)≠P(A)·P(B).∴事務(wù)A，B不是相互獨立事務(wù)，又∵事務(wù)A，B能同時發(fā)生，∴A，B不是互斥事務(wù)．3．解析：由于甲、乙考試合格的概率分別為0.6，0.7，則甲、乙考試不合格的概率分別為0.4，0.3，由于兩人考試是否合格相互獨立，所以甲、乙兩人都不合格的概率為0.4×0.3＝0.12.答案：D4．解析：至少有1個紅球的概率是eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))＋eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案：C5．解析：依據(jù)題意，記K，A1，A2正常工作分別為事務(wù)A，B，C，則P(A)＝0.9，P(B)＝P(C)＝0.8.A1，A2至少有一個正常工作的概率為1－P(eq\x\to(B))P(eq\x\to(C))＝1－0.2×0.2＝0.96.則系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96＝0.864.答案：0.8646．解析：由題意知甲在前兩個十字路口都沒有遇到紅燈，直到第3個路口才遇到紅燈的概率P＝(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).故選C.答案：C7．解析：甲勝乙包含甲勝前兩局或甲勝第一、三局或甲勝其次、三局三種狀況，所以甲獲勝的概率P＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＋0.4×0.6×0.6＝0.648，故選D.答案：D8．解析：記事務(wù)A：“甲第一輪猜對”，事務(wù)B：“乙第一輪猜對”，事務(wù)C：“甲其次輪猜對”，事務(wù)D：“乙其次輪猜對”，事務(wù)E：“‘星隊’至少猜對3個成語”．由題意知，E＝(ABCD)∪(eq\x\to(A)BCD)∪(Aeq\x\to(B)CD)∪(ABeq\x\to(C)D)∪(ABCeq\x\to(D)).由事務(wù)的獨立性與互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(eq\x\to(A)BCD)＋P(Aeq\x\to(B)CD)＋P(ABeq\x\to(C)D)＋P(ABCeq\x\to(D))＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(eq\x\to(A))P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(eq\x\to(B))P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(eq\x\to(C))P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(eq\x\to(D))＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋2×(eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3))＝eq\f(2,3).所以“星隊”至少猜對3個成語的概率為eq\f(2,3).關(guān)鍵實力綜合練1．解析：P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝P(AC)＝P(BC)＝eq\f(1,4)，因為P(AB)＝eq\f(1,4)＝P(A)P(B)，所以A，B相互獨立；因為P(AC)＝eq\f(1,4)＝P(A)P(C)，所以A，C相互獨立；因為P(BC)＝eq\f(1,4)＝P(B)P(C)，所以B，C相互獨立．故選D.答案：D2．解析：三人中恰有兩人合格包括三種狀況，這三種狀況是互斥的，∴三人中恰有兩人合格的概率P＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(7,15)，故選B.答案：B3．解析：設(shè)該射手第一次命中，其次次也命中的概率為P，∵該射手射擊一次命中的概率為0.8，連續(xù)兩次均命中的概率是0.6，∴0.8P＝0.6，解得P＝eq\f(3,4).故選A.答案：A4．解析：要滿意題意，共有三種取法：(白黑黑白)，(黑白黑白)(黑黑白白)，其中(白黑黑白)的概率為eq\f(2,4)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,27)，(黑黑白白)的概率為eq\f(2,4)×eq\f(2,4)×eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,24)，(黑白黑白)的概率為eq\f(2,4)×eq\f(2,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18)，綜上，所求概率P＝eq\f(2,27)＋eq\f(1,24)＋eq\f(1,18)＝eq\f(37,216)，故選A.答案：A5．解析：由題意可得p＋p(1－p)＋p(1－p)2＝0.784，即p(2－p＋1－2p＋p2)＝p(p2－3p＋3)＝0.784，解得p＝0.4，故選A.答案：A6．解析：若按順時針方向跳的概率為P，則按逆時針方向跳的概率為2P，可得P＋2P＝3P＝1，解得P＝eq\f(1,3)，即按順時針方向跳的概率為eq\f(1,3)，按逆時針方向跳的概率為eq\f(2,3)，若青蛙在A葉上，跳3次之后停在A葉上，則需滿意3次逆時針或者3次順時針．①若按逆時針方向，則對應(yīng)的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；②若按順時針方向，則對應(yīng)的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27)，則所求概率為eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3)，故選A.答案：A7．解析：由題意知，事務(wù)“任取此公司的一件產(chǎn)品為不良品”的概率P1＝eq\f(1,2)×2.0%＋eq\f(1,3)×1.2%＋eq\f(1,6)×1.0%＝eq\f(47,3000)，事務(wù)“已知此產(chǎn)品為不良品，則其由A1生產(chǎn)”的概率P2＝eq\f(\f(1,2)×2.0%,\f(47,3000))＝eq\f(30,47).答案：eq\f(47,3000)eq\f(30,47)8．解析：乙連勝四局，即乙先勝甲，然后勝丙，接著再勝甲，最終再勝丙，所以所求概率P＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.答案：0.099．解析：甲勝出的狀況有2種，一種是甲第一局獲勝，另外一種是甲第一局輸了，其次局獲勝．設(shè)事務(wù)Ai為“甲在第i局獲勝”(i＝1，2)，事務(wù)B為“甲勝出”，則P(B)＝P(A1)＋P(A1A2).依題意可得P(A1)＝P(A2)＝eq\f(2,5)，因為兩場競賽相互獨立，所以P(A1A2)＝P(A1)×P(A2)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25)，從而P(B)＝eq\f(2,5)＋eq\f(6,25)＝eq\f(16,25).答案：eq\f(16,25)10．解析：由題意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）P（B）＝\f(1,6)，,P（\x\to(B)）P（C）＝\f(1,8)，,P（A）P（B）P（\x\to(C)）＝\f(1,8)，))又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（\x\to(B)）＋P（B）＝1，,P（\x\to(C)）＋P（C）＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B）＝\f(1,2)，,P（C）＝\f(1,4)，))所以P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).學科素養(yǎng)升級練1．解析：依題意P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,2)，故AD正確；P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，P(AC)＝eq\f(1,4)，P(BC)＝eq\f(1,4)，故B正確；事務(wù)A，B，C不行能同時發(fā)生，所以P(ABC)＝0，故C錯誤．故選ABD.答案：ABD2．解析：設(shè)事務(wù)A為“取出甲袋”，事務(wù)B為“取出白球”，分兩種狀況進行探討．若取出的是甲袋，則P1＝P(A)·P(B|A)，依題意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(B|A)＝eq\f(5,12)，所以P1＝eq\f(1,2)×eq\f(5,12)＝eq\f(5,24)；若取出的是乙袋，則P2＝P(eq\x\to(A))·P(B|eq\x\to(A))，依題意可得P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以P2＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).綜上所述，取到白球的概率P＝P1＋P2＝eq\f(13,24).答案：eq\f(13,24)3．解析：(1)設(shè)A表示事務(wù)“觀眾甲選中3號歌手”，