重慶市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題含解析

Page26高2024級高三數(shù)學(xué)上期第二次月考試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可化簡集合A，B，后由集合交集定義可得答案.【詳解】因為，則A，因為，，則，所以.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.5 B. C.13 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)相等，建立的方程組，直接求出，從而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，所以，解得或，所以.故選：B.3.已知p：，q：，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】令,結(jié)合該函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性判斷不等式是否成立.【詳解】令，，且，故為奇函數(shù)，時，遞增，則也遞增，又為奇函數(shù)，則在上遞增，，若，則，則，即即；，若，則等價于，即，由在上遞增，則，即，故p是q的充要條件，故選：C.4.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求，再化簡即得解.【詳解】解：由得，所以，所以.故選：B5.已知單位向量滿足，其中，則在上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計算公式求值即可.【詳解】因為單位向量滿足，所以，由投影向量計算公式可知在上的投影向量是，即故，而，故.故選：D6.已知數(shù)列的前項和為，首項，且滿足，則的值為（）A.4093 B.4094 C.4095 D.4096【答案】A【解析】【詳解】由遞推公式確定通項公式，再求即可.【解答】，故，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，則故選：A7.已知函數(shù)，圖像上每一點的橫坐標縮短到原來的，得到的圖像，的部分圖像如圖所示，若，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的定義可得，從而可得，進而得出，即，求出.【詳解】根據(jù)，可得，故，所以，故的周期為24，所以，，故選：A．8.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，判斷的大小，由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到.【詳解】由不等式可得，即；，設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，所以，即.所以.故選：C二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知非零向量，下列命題正確的是（）A.若，則B.與向量共線的單位向量是C.“”是“與的夾角是銳角”的充分不必要條件D.若是平面的一組基底，則也能作為該平面的一組基底【答案】AD【解析】【分析】利用向量共線定理判斷A；求出與向量共線的單位向量判斷B；舉例說明判斷C；利用平面的一個基底的意義判斷D.【詳解】對于A，非零向量，由，得存在非零實數(shù)，使得，則，即，A正確；對于B，與共線的單位向量是，B錯誤；對于C，當(dāng)與同向共線時，滿足，而與的夾角為0，不是銳角，C錯誤；對于D，是平面的一組基底，則不共線，假設(shè)向量共線，則存在實數(shù)，使得，即，顯然不同時為0，于是共線，與不共線矛盾，即假設(shè)是錯的，因此向量不共線，D正確.故選：AD10.設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先判斷出，利用不等式性質(zhì)及基本不等式一一驗證：對于A：利用作差法比較；對于B：利用基本不等式判斷；對于C：利用作差法比較；對于D：利用基本不等式判斷.【詳解】因為，所以∵，∴，對于A：，因為，所以，即，故A錯誤；對于B：由基本不等式,所以，故B正確；對于C：，因為所以，所以，故C錯誤；對于D：由基本不等式，，而，所以.故選：BD【點睛】（1）要證明一個命題為真命題，需要嚴格的證明；要判斷一個命題為假命題，舉一個反例就可以了.（2）利用基本不等式的條件：一正二定三相等.11.設(shè)函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增；B.若且則；C.若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為；D.存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)為奇函數(shù).【答案】AD【解析】【分析】由，選項A：利用正弦函數(shù)性質(zhì)判斷；選項B：利用正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷；選項C：利用正弦函數(shù)的圖象判斷；選項D：【詳解】，選項A：，得，因為，有，所以在上單調(diào)遞增；故A正確；選項B：可知，故B錯誤；選項C：已知，若有且僅有2個不同的解，如圖所示：可得，解得，故C錯誤；選項D：，可知當(dāng)時，滿足為奇函數(shù)，故D正確；故選：AD.12.如圖，在棱長為2的正方體中，E是線段的中點，點M，N滿足，其中，則（）A.存在，使得B.的最小值為C.當(dāng)時，直線與平面所成角的正弦值為D.當(dāng)時，過E，M，N三點的平面截正方體得到的截面多邊形面積為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法對ABC選項進行分析，通過畫正方體的截面判斷D選項的正確性，從而確定正確答案.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，,所以即，即，，，由于，所以，所以不存在，使得，A選項錯誤.，,所以當(dāng)即時，取得最小值，B選項正確.當(dāng)時，,，設(shè)平面的法向量為，則，取，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以C選項正確.當(dāng)時，是的中點，是上靠近的三等分點，設(shè)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知三點共線.連接并延長，交于，則，過作，交于，連接并延長，交于，則，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，再根據(jù)正方體的性質(zhì)可知四邊形是矩形，所以E，M，N三點的平面截正方體得到的截面多邊形為矩形，，所以截面多邊形的面積為，D選項正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：作截面的三種方法:①直接法:截面的定點在幾何體的棱上；②平行線法:截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；③延長交線得交點:截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知一個圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，分析得出，由圓錐的側(cè)面積計算出、的值，可求得圓錐的高，再利用圓錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，則圓錐的底面圓周長為，可得，圓錐的側(cè)面積為，解得，，所以，圓錐的高為，因此，該圓錐的體積為.故答案為：.14.已知，則________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，由誘導(dǎo)公式及倍角公式得，求解即可.【詳解】設(shè)，則，，所以.故答案為：15.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，即可求解.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)的定義域為且，又，∴偶函數(shù).當(dāng)時，令，∵，∴在上是增函數(shù)，易知函數(shù)在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù).又為偶函數(shù)，∴，∴由，得，解得，故答案為：.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)根據(jù)的解析式得到函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解答的關(guān)鍵，著重考查化歸與轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力，屬于中檔試題．16.在等腰梯形中，，，為的中點.將沿折起，使點到達點的位置，則三棱錐外接球的表面積為_________；當(dāng)時，三棱錐外接球的球心到平面的距離為_________.【答案】①.②.【解析】【分析】由題可得三棱錐外接球的球心為O，利用球的表面積公式即求，然后利用等積法可求O到平面的距離.【詳解】∵等腰梯形中，，，為的中點，∴為等邊三角形，，∴三棱錐外接球的球心為O，半徑為1，∴；連與交于，則OC⊥MD，OC⊥MB，，所以為二面角的平面角，又，又，∴二面角為，∴到平面的距離為，在中，，，設(shè)球心O到平面的距離h，由，得，∴，解得，所以三棱錐外接球的球心到平面的距離為.故答案為：；.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．（1）求的通項公式；（2）記為數(shù)列前項乘積，若，求的最大值．【答案】17.或18.【解析】【分析】（1）利用，和成等比數(shù)列結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列知識，從而求出首項和公差，從而求解.（2）根據(jù)（1）中結(jié)果并結(jié)合題意進行分情況討論，從而求解.【小問1詳解】設(shè)的公差為，由，得：；由成等比數(shù)列，得：，即：，整理得：.由，解得：或.所以：的通項公式為或.【小問2詳解】因為，所以：，得：當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而，又因為：，所以：的最大值為.故的最大值為.18（1）求函數(shù)的中心對稱點；（2）先將函數(shù)的圖象上的點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，再把所得的圖象向右平移個單位，得到函數(shù)，解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將的表達式展開,化簡可得,令,可求得函數(shù)的中心對稱點;（2）先求得的表達式,再由,可得,求解即可.【詳解】（1）令,則,故函數(shù)的中心對稱點為.（2）,的圖象上的點的橫坐標縮小到原來的，縱坐標保持不變，得到,所得的圖象向右平移個單位，得到,即.則,則,即.所以不等式的解集為.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了三角函數(shù)的對稱中心,考查了三角函數(shù)的平移變換,考查了不等式的解法,屬于中檔題.19.如圖，為正三角形，平面平面，點分別為的中點，點在線段上，且．（1）證明：直線與直線相交；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，取中點，連接，即可證明共面，且其長度不相等，即可證明；（2）解法1：由條件可得為平面與平面的夾角，結(jié)合余弦定理，代入計算，即可得到結(jié)果；解法2：根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】證明：取中點，連接，則，因為平面平面，所以，所以，則四邊形為平行四邊形，所以．因為點在線段上，且，所以是的中點，又因為點是的中點，所以，所以，即共面，且長度不等，所以直線與直線相交．【小問2詳解】解法1：由（1）知，平面即為平面．因為平面，且平面，所以，因為為正三角形，點是的中點，所以，又平面平面，所以平面．又，所以平面，所以（或其補角）為平面與平面的夾角．不妨設(shè)，則，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．解法2：因為平面，所以，因為為正三角形，所以，所以平面，又，所以平面．以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設(shè)，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則即?。O(shè)平面的一個法向量為，則即?。O(shè)平面與平面的夾角為，則．所以，平面與平面夾角的余弦值為．20.2023年9月8日，第19屆亞運會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與．（1）組委會從全省火炬手中隨機抽取了100名火炬手進行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計20801000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關(guān)聯(lián)；（2）在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？【答案】（1）全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解.【小問1詳解】解：零假設(shè)為：：全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)），根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認定為成立，全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關(guān)聯(lián)）．【小問2詳解】解：設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，則，所以這位火炬手是男性的概率約為．21.在中，角的對邊分別為且，（1）求；（2）求邊上中線長的取值范圍．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化，分析運算即可；（2）利用余弦定理和基本不等式可得，再根據(jù)，結(jié)合向量的相關(guān)運算求解.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，整理得，且，則，可得，即，且，則，由正弦定理，其中為的外接圓半徑，可得，又因為，所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，即設(shè)邊上的中點為D，因為，則，即，所以邊上中線長的取值范圍為.22.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若為函數(shù)的兩個不等于1的極值點，設(shè)，記直線的斜率為，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再求出，即可求出切點坐標，從而求出切線方程；（2）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上有兩個不等于的正根，即可得到韋達定理，不妨設(shè)，所以，根據(jù)兩點斜率公式得到，即證，根據(jù)對數(shù)平均不等式可得，只需證明，令，依題意即證，，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得證；【小問1詳