2024年浙教九年級上冊《比例線段》練習(xí)卷（三）

浙教新版九年級上冊《4.1比例線段》2024年同步練習(xí)卷（3）

一、選擇題：本題共4小題，每小題3分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知線段a=2,b=8,c是線段a,6的比例中項，則線段c的長為（）

A.4或一4B.4C.2D.8

2.已知P是線段的黃金分割點，且AP>PB,AB=10,則/尸長約為（）

A.0.618B.6.18C.3.82D.0.382

3.已知線段及上一點P,當(dāng)點尸滿足下列哪一種關(guān)系時，點P為的黃金分割點：

①心二人口政；②4P=1Ag；③一西AB；④絲=⑤竽=遍一1.

22PB2AP2

其中正確的是（）

A.①②③B.①②③④C.②③④⑤D.①②③④⑤

4.美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比越接近0.618時，越給人一種美感.小穎媽媽身高165c〃z,下

半身長X與身高/的比值是0.60,為盡可能達(dá)到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）

A.8cmB.7cmC.6cmD.5cm

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

5.如果a：b=12：8,且b是a和c的比例中項，那么6：c等于

467

6.若點C是線段川的黃金分割點，則布等于

7.如圖，扇子的圓心角為獷，余下扇形的圓心角為x與y的比通常按黃金比來設(shè)

計，這樣的扇子外形比較美觀，若黃金比取0.6,則y的值為

8.如圖,線段43=1,P是的黃金分割點，且PA〉PB,&表示以尸/為邊長的正方

形面積,S2表示以為長、網(wǎng)為寬的矩形面積，則&—$2=

9.如圖,直線沙=3c+3與x軸交于點/,與y軸交于點6.過3點作直線BP與

軸正半軸交于點尸，取線段。/、OB、OP,當(dāng)其中一條線段的長是其他兩條線段長

度的比例中項時，則尸點的坐標(biāo)為

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三、解答題：本題共5小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

10.（本小題8分）

已知線段是N3,CD的比例中項，AB=4cm,CD=9cm,求九W的長.

11.（本小題8分）

如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張邊長為2的正方形紙片/BCD,先折出8C的中點￡,再折出線段NE,

然后通過折疊使即落在線段￡/上，折出點2的新位置R因而EF=ER類似的，在上折出點M使

4M=AF,則M是的黃金分割點嗎？若是請你證明，若不是請說明理由.

12.（本小題8分）

已知頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形（底邊與腰的比值為黃金分割比）.如圖，△AB。，ABDC,

△OE。都是黃金三角形，已知43=1,求。E的長度.

13.（本小題8分）

若一個矩形的短邊與長邊的比值為Y『（黃金分割數(shù)），我們把這樣的矩形叫做黃金矩形.

（1）操作：請你在如圖所示的黃金矩形4800（48〉4D）中，以短邊為一邊作正方形NEED；

（2）探究：在（1）中的四邊形匹CP是不是黃金矩形？若是，請予以證明；若不是，請說明理由；

（3）歸納：通過上述操作及探究，請概括出具有一般性的結(jié)論（不需要證明）.

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DC

14.（本小題8分）

【新知理解】

如圖①，點C在線段A8上，若則稱點C是線段A5的圓周率點.

（1）若AC=3，則AB=；

（2）若點。也是圖①中線段的圓周率點（不同于點C）,則NCBD；（填“=”或“戶”）

【解決問題】

如圖②，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)

軸向右無滑動地滾動1周，該點到達(dá)點。的位置.若點M、N是線段0C的圓周率點，求的長.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：?.?線段c是線段。和6的比例中項，a=2，b=8,

：.c2==16?

解得：c=±4,

又?.?線段是正數(shù)，

c=4.

故選：B.

根據(jù)線段比例中項的概念得出①c=c：b,再根據(jù)a=2,b=8,求出c的值，注意把負(fù)值舍去.

本題考查了比例線段，寫比例式的時候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解.

2.【答案】B

【解析】解：由于P為線段=10的黃金分割點，

且/尸是較長線段；

./E__1

則AP=------AB?0.618AB=0.618x10=6.18.

2

故選：B.

根據(jù)黃金分割點的定義，知/尸是較長線段；則4P=代入數(shù)據(jù)即可得出4P的長.

2

本題考查黃金分割點的概念.應(yīng)該識記黃金分割的公式：較短的線段=原線段的3一遍,較長的線段=原線

2

段的通一1.

2

3.【答案】B

【解析】解：當(dāng)4P2=AB.PB或4P=遍一1AB或P8=3—播AB或理=g一1時，可判斷點P

22PB2

為的黃金分割點.

故選8.

根據(jù)黃金分割的定義分別進(jìn)行判斷.

本題考查了黃金分割：把線段分成兩條線段NC和慶7（4?！?。），且使NC是和3c的比例中項（

即AC=AC-.BC）,叫做把線段黃金分割，點C叫做線段N2的黃金分割點，其中

AC=西TyLB?0.618AB，并且線段48的黃金分割點有兩個.

2

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4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)已知條件得下半身長是165x0.60=99cm,

99+y

設(shè)需要穿的高跟鞋是"冽，則根據(jù)黃金分割的定義得：寂［j=0-618,

解得：y仁8cm.

故選：A.

先求得下半身的實際高度，再根據(jù)黃金分割的定義求解.

本題考查了黃金分割的應(yīng)用.關(guān)鍵是明確黃金分割所涉及的線段的比.

5.【答案】3：2

【解析】解：*/a：b=12：8,且b是。和c的比例中項，

.,.設(shè)Q=12N,b=8/，貝U

62=ac，

即（8力y=12力?c,

解得：。=學(xué)力,

o

16

b：c=8x：--X=3：2.

o

故答案為：3：2.

直接利用已知用同一未知數(shù)表示出各數(shù)，進(jìn)而得出答案.

此題主要考查了比例線段，正確表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵.

6.【答案】.T或3-西

22

【解析】解：根據(jù)題意知，4C可能是較長線段，也可能是較短線段，

當(dāng)4C是較長線段時，些=0二1；

AB2

ACAB-ACV5-1_3-V5

當(dāng)/c是較短線段時,

故本題答案為：漁二1或匕皿

22

把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分

割，他們的比值產(chǎn):1）叫做黃金比.

理解黃金分割點的概念，熟悉黃金比的值.這里主要應(yīng)注意/C可能是較長線段，也可能是較短線段.

7.【答案】225

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【解析】解：由扇子的圓心角為爐，余下扇形的圓心角為,，黃金比為0.6，

根據(jù)題意得：x：y=0.6=3：5,

又...力+g=360,

5

則力=360XG=225,

8

故答案為：225.

由題意得到x與y的比值應(yīng)為黃金比，根據(jù)黃金比為0.6,得到x與y比值為0.6,即為3：5,再根據(jù)扇子

的圓心角與余下的圓心角剛好構(gòu)成周角，即x與y之和為360,即可求解.

此題考查了黃金分割，以及比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出x與y的關(guān)系式.

8.【答案】0

【解析】解：是線段N8的黃金分割點，且PA>PB,

PA2=PB?AB，

又&表示以尸/為邊長的正方形的面積，S2表示以為長、網(wǎng)為寬的矩形面積，

2

,-.S^PA,S2=PB-AB,

：.Si=&，

Si-S2=0

故答案為0.

根據(jù)黃金分割的定義得到PA2=PB.AB，再利用正方形和矩形的面積公式有Si=PA2,S2=PB-AB,

那么&=$2，即Si—星=0.

本題考查了黃金分割的定義：一個點把一條線段分成較長線段和較短線段，并且較長線段是較短線段和整

個線段的比例中項，那么就說這個點把這條線段黃金分割，這個點叫這條線段的黃金分割點.

9【答案】([0),(9,0),(焉,0)

【解析】解：?.?直線？/=31+3與x軸交于點/,與>軸交于點3,

.?.點/的坐標(biāo)是(一1,0),點8的坐標(biāo)是(0,3),

\OA\=1,OB=3,

?.?點尸在x軸正半軸上，

設(shè)點P的坐標(biāo)是(x,0),

?.?當(dāng)線段OA線段的長是其他兩條線段長度的比例中項時，

：,OA2=OB-OP>

1=3-x,

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解得/=

o

點P的坐標(biāo)是4,0),

o

當(dāng)線段05線段的長是其他兩條線段長度的比例中項時，

：,OB2^OA-OP>

：.9=Lx，

解得a;=9,

二點P的坐標(biāo)是(9,0),

當(dāng)線段。尸線段的長是其他兩條線段長度的比例中項時，

：,OP2^OB-OA<

二.=3X1，

解得x=\/3，

二點尸的坐標(biāo)是(通,0),

綜上所述，點尸的坐標(biāo)是0),(9,0),(血,0).

故答案為：(9,0),(Ao).

根據(jù)|題意得出0川=1,OB=3,再根據(jù)點尸在X軸正半軸上，設(shè)出點尸的坐標(biāo)是(00),再分三種情況

討論當(dāng)線段3線段的長是其他兩條線段長度的比例中項時，當(dāng)線段線段的長是其他兩條線段長度的比

例中項時，當(dāng)線段O尸線段的長是其他兩條線段長度的比例中項時，分別求出x的值，即可得出答案.

此題考查了比例線段和一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出點P的坐標(biāo)，再根據(jù)比例中項

進(jìn)行求解，注意分三種情況討論.

10.【答案】解：?.?線段是CD的比例中項，

:.AB-.MN=MN：CD,

.?.MN?=ABCD，

：,MN=VAB-CD>

?/AB=CD=9cm>

MN=A/36=6(cm).

【解析】根據(jù)比例中項的概念得到“N2=4BCO,即可求得線段MN的值.

本題考查了比例中項的概念，根據(jù)兩條線段的比例中項的平方是兩條線段的乘積，列出方程是解決問題的

關(guān)鍵.

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11.【答案】證明：?.?正方形的邊長為2,E為3c的中點,

:.BE=l

：,AE=y/AB2+BE2=V5，

?：EF=BE=1，

：,AF=AE-EF=\/5-11

AM=AF=y/5—1，

：.AM：AB=(^5-1)：2,

.?.點M是線段N2的黃金分割點.

【解析】設(shè)正方形/BCD的邊長為2,根據(jù)勾股定理求出/￡的長，再根據(jù)￡為3c的中點和翻折不變性,

求出的長，二者相比即可得到黃金比.

本題考查了黃金分割的應(yīng)用，知道黃金比并能求出黃金比是解題的關(guān)鍵，把一條線段分成兩部分，使其中

較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，他們的比值(、RT)叫做黃

金比.

12.【答案】解：?.?△ABC,ABDC,△。石。都是黃金三角形,

.-.AC^AB=1,AD=BD=BC,DE=CD,BC=色—J。=卡T,CD=^^

222

【解析】由黃金三角形的定義得出力O=_BO=BC,DE=CD,月。="二l二1

22

CD=^~1BC=3~^>即可求解.

22

本題考查了黃金三角形，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】解：⑴如圖.

(2)探究：四邊形瓦兀下是矩形，而且是黃金矩形.

?.?四邊形4EFD是正方形，

:"AEF=90°

NBEF=90°，

?.?四邊形N3C。是矩形,

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ZB=ZC=90°

:.NBEF=NB=NC=90°,

二四邊形EBC戶是矩形.

【方法1】設(shè)co=a,4Z?=b,則9=匹匚

a2

CFa-ba22(^5+1)通一1

'---=----=---1d=--------11=----------11=------

"EFbbx/5-142

二.矩形匹CF是黃金矩形.

【方法2］設(shè)。。=出則4。=述2-%，CF=CD-DF=a

3—西

CF_2&_3—濾_通-1

"^F~述—1—75-1―—2~

——z-----a

二矩形MC尸是黃金矩形.

(3)歸納：在黃金矩形內(nèi)以短邊為邊作一個正方形后，所得到的另外一個四邊形是矩形，而且是黃金矩形.

【解析】(1)只需在矩形的長上截取4E=4D,DF=AD,連接斯即可；