2024年重慶市銅梁區(qū)中考數(shù)學(xué)二診試卷附答案解析

2024年重慶市銅梁區(qū)中考數(shù)學(xué)二診試卷

一、選擇題（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、

D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上對應(yīng)題目的正確答案標(biāo)號涂黑。

1

1.（4分）在四個實數(shù)10,-1,&中，最小的數(shù)是（）

1-

A.-B.0C.-1D.V2

3

2.（4分）“生命在于運動”，下列關(guān)于體育運動的圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是（）

3.（4分）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查的是（）

A.對旅客上飛機前的安檢B.檢測某市的空氣質(zhì)量

C.了解一批節(jié)能燈泡的使用壽命D.對五一節(jié)假日期間居民出行方式的調(diào)查

4.（4分）如圖，ZVIBC和△QEF是以點。為位似中心的位似圖形.若。4=A。，則△ABC與△￡）￡廠的

面積比是（）

A.1：1B.1：2C.1：4D.1：9

5.（4分）“全民行動，共同節(jié)約”.我國141億人口如果都響應(yīng)國家號召每人每年節(jié)約1度電，一年可節(jié)

約電1410000000度.將“1410000000”用科學(xué)記數(shù)法表示，正確的是（）

A.14.1X108B.1.41X109

C.0.141X1O10D.1.41X1O10

6.（4分）把黑色圍棋子按如圖所示的規(guī)律擺放.其中第①個圖案有1顆棋子，第②個圖案有4顆棋子，

第③個圖案有7顆棋子，第④個圖案有10顆棋子，…，按此規(guī)律排列下去，第〃個圖案有25顆棋子,

則n的值為（）

①②③④

A.7B.8C.9D.10

7.（4分）甲、乙兩港口相距60千米，一艘輪船從甲港口順流航行至乙港口，又立即從乙港口逆流返回甲

港口，共用去4小時，己知水流速度為2千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方

程（）

8.（4分）如圖，。。的直徑4B=2逐，C、。為上兩點，分別連接AC、BD、CD,延長8。交。。

的切線AE于點E,若tcmC=則DE的長為（）

B.V5-2C.5-2V5

9.（4分）如圖，在菱形ABC。中，作尸￡垂直平分A3,垂足為E,交AC于點R連接。F,若/。。尸=

a,則NCAB等于（）

D

B.45°-aC.30°+1D.60°

10.（4分）已知兩個整式：”什小將這兩個整式進行如下操作：

第1次操作：用這兩個整式的和除以2,將結(jié)果放在這兩個整式之間，可以得到一個新的整式串，記為

整式串1：m,m+,m+n；

第2次操作：在整式串1中，用相鄰兩個整式的和除以2,將結(jié)果放在這兩個整式之間，又得到一個新

的整式串，記為整式串2：m,m+^n,m+Jn,m+^n,m+n,以此類推，可以得到整式串3,整式

串4,……

明明同學(xué)對此展開研究，得到以下3個結(jié)論：

①整式串4共有17個整式；

②整式串9從左往右第2個整式減去整式串10從左往右第2個整式的差為-表"；

p2024?i

2024Z+

③經(jīng)過2024次操作后，整式串的和為（2+1）m+2n.

以上3個結(jié)論正確的有（）

A.3B.2C.1D.0

二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案填在答題卡對應(yīng)的橫線上。

11.（4分）計算：|百一1|+強=.

12.（4分）己知多邊形的每個內(nèi)角都等于135°,求這個多邊形的邊數(shù)是.（用兩種方法解決問題）

13.（4分）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》.若從這四本著作中隨機抽取兩本，

則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是.

14.（4分）如圖，反比例函數(shù)y=［（k40）的圖象與過原點。的直線相交于A、B兩點，過點A作

軸于點C,連接3C,若△BOC的面積為4,則左的值為.

15.（4分）如圖，以為直徑畫半O。，弦BC=2?半徑。2=2,過點。作。。，42,垂足為。，則

圖中陰影部分的面積為.

16.（4分）如圖，在矩形ABC。中，CD=9,點、E為BC邊上一點、,且EC=4BE,連接。E,過點E作

DE的垂線交AB于點F,若AF=EF,則線段AF的長為.

f3x+4>2%+3a-3

17.（4分）若關(guān)于尤的不等式組（竽_1>x有解且最多有4個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程為-

三=1有非負(fù)數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)。的和為_________.

y-1

18.（4分）一個四位正整數(shù)M,將M的千位數(shù)字和百位數(shù)字分別作為兩位數(shù)s的十位數(shù)字和個位數(shù)字，

將M的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別作為兩位數(shù)t的十位數(shù)字和個位數(shù)字，規(guī)定F（M）=s+t,當(dāng)F（W

能被6整除時，M被稱為“順心數(shù)”.例如：M=1224,則s=12,f=24,F（M）=12+24=36,因為

36能被6整除，所以1224是“順心數(shù)”.最小的“順心數(shù)”為；若“順心數(shù)"M=1000a+102b+10c

-5（其中1W°W9,3WbW7,1WCW9,a,b,c均為整數(shù)），且加的各個數(shù)位數(shù)字之和等于它千位數(shù)

字的4倍，則M的最大值為.

三、解答題：（本大題1個小題，每小題8分，共8分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步

驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在對應(yīng)的位置上。

m2-9m

19.（8分）（1）x（3尤+5）+（%-2）（x-3）；（2）—----------十（1--------）?

m2+6m+9m+3

四、解答題：（本大題7個小題，每小題10分，共70分）解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理

步驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。

20.（10分）如圖，在菱形ABC。中，對角線AC、2D相交于點O.

（1）尺規(guī)作圖：在C8的延長線上截取BE=8C,連接AE,再過點8作AE的垂線交AE于點/（保留

作圖痕跡，不寫作法）；

（2）求證：四邊形為矩形.（補全證明過程）

證明：

?.?四邊形ABCO是菱形

J.AO^OC,AC±BD

：.ZBOC=ZBOA=90°

,AO^OC

.,.OB為△ACE的中位線

ZEAO=ZBOC=90°

BFLAE

NEAO=ZBOA^NBR4=90°

四邊形AOBF為矩形.（）

進一步研究上述問題發(fā)現(xiàn)，當(dāng)8c和。滿足位置關(guān)系：時，四邊形AO8F為正方形.

21.（10分）為了提高學(xué)生課外閱讀量，某中學(xué)開展了一系列課外閱讀活動，組織七，八兩個年級全體學(xué)

生進行課外閱讀知識競賽，學(xué)校從七，八兩個年級中各隨機抽取。名同學(xué)的競賽成績，并對他們的競賽

成績進行收集、整理、分析，過程如下：（調(diào)查數(shù)據(jù)用尤表示，共分為四個等級：A等：90^x^100,B

等80Wx<90,C等：70Wx<80,D等:60Wx<70,其中A等級為優(yōu)秀，單位：分）

收集數(shù)據(jù)：

七年級抽取的C等學(xué)生人數(shù)是A等學(xué)生人數(shù)的3倍；

八年級抽取的8等學(xué)生成績?yōu)椋?1,82,83,85,86,88,88,88,89

抽取七，八年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率如表所示：

七年級八年級

平均數(shù)8585

中位數(shù)86b

眾數(shù)8688

優(yōu)秀率C%25%

蜩數(shù)

O

98

8

7AD

6/

5C

4

4B

3%

245

1

BCD等級

七年級抽取數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖八年級抽取數(shù)據(jù)的扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）以上數(shù)據(jù)中：a=,b=補全條形統(tǒng)計圖;

（2）你認(rèn)為該校七，八年級中哪個年級學(xué)生競賽成績更好？說明理由（說明一條理由即可）;

(3)若該校七年級有780人，八年級有1240人，估計兩個年級學(xué)生的競賽成績被評為優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)是

多少？

22.(10分)重慶動物園“四喜丸子”火爆全網(wǎng)，為迎接即將到來的端午節(jié)旅游熱，重慶一玩具加工廠計

劃安排甲車間加工熊貓玩偶1000個.甲車間工作一周后還未加工完，于是從乙車間借調(diào)了一些工人，

增加工人后每天加工玩偶的個數(shù)比增加前多40個，又加工了3天才完成了任務(wù).

(1)求甲車間增加工人人數(shù)前每天加工熊貓玩偶的個數(shù)；

(2)由于該玩偶深受消費者喜歡，工廠決定擴大生產(chǎn)，安排甲，乙車間共同加工生產(chǎn)該熊貓玩偶3000

個，在加工完成一半后，改進了加工技術(shù)，兩個車間每天均比改進技術(shù)前多加工25%,結(jié)果比原計劃提

前2天完成任務(wù)，求改進技術(shù)前兩車間每天加工玩偶的個數(shù).

23.(10分)如圖，平行四邊形ABC。中，AD=6,CD=4,NAOC=30°,動點P從點A出發(fā)沿折線A

fgfC運動，到達(dá)點C停止運動.在運動過程中，過點尸作于點設(shè)點尸的運動路程為x,

BP+PH^yi.

(1)請直接寫出力關(guān)于無的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出yi的圖象與%=-+根的圖象有1個公共點時機的取值范圍.

八y

111--1--T11r--r--?1r--1

101--T--111?r--r--r--r--i

9------------------1---4

8J11U--J

7---；---；---

6.一千十+十+~卜+彳++可

5---T--n---------------1-------1--------r--r--r--r--r--i

4--------------1---<---

34-.4.-J11?u__4

2—1--7--1::!r--1J%--；

止mT+.ma+Y

~012345678910llx

24.（10分）五一國際勞動節(jié)前，某校組織學(xué)生進行勞動體驗活動.如圖，學(xué)生到達(dá)活動基地大門A處后

分組沿兩條線路進行體驗，最后前往休息區(qū)2處集合.根據(jù)基地平面圖得知，B處在A處的正北方，插

秧體驗區(qū)。在A處的正西方，磨豆花體驗區(qū)E在。處的正北方300米處，也在8處的南偏西60°方向

200米處.采摘體驗區(qū)C在A處的東北方向，也在B處的南偏東75°方向.（參考數(shù)據(jù):魚~1.41，V3-1.73,

V6農(nóng)2.45)

（1）求休息區(qū)2與基地大門A之間的距離;

（2）已知第一組學(xué)生沿線路①A-D-E-B體驗，在D處的活動時間為25分鐘，在E處的活動時間

為20分鐘，第二組學(xué)生沿線路②A-C-B體驗，在C處的活動時間為40分鐘，若兩組學(xué)生步行的平

均速度均為60米/分，請通過計算說明哪一組學(xué)生先到達(dá)休息區(qū)8處.（計算結(jié)果精確到1分鐘）

N

北

西一東

南

25.(10分)已知拋物線y=a/一/+3與x軸交于點A(-4,0)和點8,與y軸交于點C.

(1)求a的值和點8的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點尸為直線AC上方拋物線上的一點，過點尸作尸?！▂軸交AC于點。，再過點尸作P8

J_AC于點H,求△PQH周長的最大值以及此時點P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,平移該拋物線，平移后的拋物線y經(jīng)過點C且與x軸交于D,E(3,0)兩點，連接C8,

CE.點廠是拋物線y'上一點，連接EE,若NFEC=/BCE,直接寫出所有符合條件的點尸的坐標(biāo)，

并寫出求解點p坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

y

圖1圖2

26.(10分)已知△ABC中A8=BC,點。和點E是平面內(nèi)兩點，連接8。，DEBE,ZBED=9Q°.

(1)如圖1,若BD=BA,/ABC=2/D,BE=2,求AC的長度；

(2)如圖2,連接和CD,點/為AO中點，點G為CD中點，連接EE和8G,若EF=BG,求證：

ZBAC=NDBE；

1V3

(3)若/ABC=60°,AB=2,當(dāng)鼻4。+萬8。+CD取得最小值，且AE取得最大值時，直接寫出^

的面積.

2024年重慶市銅梁區(qū)中考數(shù)學(xué)二診試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、

D的四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上對應(yīng)題目的正確答案標(biāo)號涂黑。

1

1.（4分）在四個實數(shù)？0,-1,加中，最小的數(shù)是（）

1L

A.-B.0C.-1D.V2

3

11

解：???-1<0<寺V、②.?.在實數(shù)于0、-1、/中，最小的實數(shù)是-1.故選：C.

2.（4分）“生命在于運動”，下列關(guān)于體育運動的圖標(biāo)中是軸對稱圖形的是（）

EBX/V

解：A,C、D選項中的圖標(biāo)都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能

夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

8選項中的圖標(biāo)能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對稱圖形；

故選：B.

3.（4分）下列調(diào)查中，最適合采用全面調(diào)查的是（）

A.對旅客上飛機前的安檢

B.檢測某市的空氣質(zhì)量

C.了解一批節(jié)能燈泡的使用壽命

D.對五一節(jié)假日期間居民出行方式的調(diào)查

解：A、對旅客上飛機前的安檢，最適合采用全面調(diào)查，故A符合題意；

8、檢測某市的空氣質(zhì)量，最適合采用抽樣調(diào)查，故B不符合題意；

C、了解一批節(jié)能燈泡的使用壽命，最適合采用抽樣調(diào)查，故C不符合題意；

。、對五一節(jié)假日期間居民出行方式的調(diào)查，最適合采用抽樣調(diào)查，故。不符合題意；

故選：A.

4.（4分）如圖，△A8C和△DEF是以點。為位似中心的位似圖形.若O4=A。，則△ABC與的

面積比是（

c

A.1：1B.1：2C.1：4D.1：9

解：9：OA=AD,

.OA1

??=~,

OD2

,/AABC與叢DEF是以點。為位似中心的位似圖形，

AABC與ADEF的面積比為1：4,

故選：C.

5.（4分）“全民行動，共同節(jié)約”.我國14.1億人口如果都響應(yīng)國家號召每人每年節(jié)約1度電，一年可節(jié)

約電1410000000度.將“1410000000”用科學(xué)記數(shù)法表示，正確的是（）

A.14.1X108B.1.41X109

C.0.141X1O10D.1.41X1O10

解：1410000000=1.41X109,

故選：B.

6.（4分）把黑色圍棋子按如圖所示的規(guī)律擺放.其中第①個圖案有1顆棋子，第②個圖案有4顆棋子，

第③個圖案有7顆棋子，第④個圖案有10顆棋子，…，按此規(guī)律排列下去，第〃個圖案有25顆棋子,

則n的值為（）

①②③④

A.7B.8C.9D.10

解：第①個圖案有1顆棋子，

第②個圖案有4顆棋子，

第③個圖案有7顆棋子，

第④個圖案有10顆棋子，

按此規(guī)律：第n個圖案棋子個數(shù)是（3”-2）,

第⑨個圖案的顆數(shù)為：3X9-2=25,

故選：c.

7.（4分）甲、乙兩港口相距60千米，一艘輪船從甲港口順流航行至乙港口，又立即從乙港口逆流返回甲

港口，共用去4小時，已知水流速度為2千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為x千米/時，則可列方

程（）

解：順流時間為：---小時，逆流時間為：----小時，

x+2x-2

…6060

由題忌得：---+----=4,

x+2x-2

故選：A.

8.（4分）如圖，的直徑48=2遮，C、。為上兩點，分別連接AC、BD、CD,延長5。交

的切線AE于點E,若tcmC=則DE的長為（）

B.V5-2C.5-2V5

解：連接A。，如圖,

,：AB為直徑，

AZADB=90°,

:/C=NB,

.1

tanB=tanC=于

在RtZXABO中，

_AD_1

?taDnn==2，

設(shè)A.D=x,BD=2xf

：.AB=Jx2+(2x)2=V5x,

即底=2遙，

解得x=2,

：.BD=4,

TAE為。。的切線，

：.AB±AE,

：.ZBAE=90°,

在RtAABE中，

?tanB=詬=2'

AE=^AB—V5,

22

：.BE=y/AE+AB=J(遮=+(2遍尸=5,

：.DE=BE-BD=5-4=1.

故選：D.

o

9.（4分）如圖，在菱形ABCD中，作FE垂直平分AB,垂足為E,交AC于點孔連接。R若NCDF=

a,則NCAB等于（）

解：連接BD、BF,

:四邊形ABC。是菱形，

；.4C垂直平分8。，ZCAD=ZCAB,

:FE垂直平分42,

C.AF^BF,

：.ZFBA=ZCAB,

：.ZCAD+ZCAB+ZFBA=3ZCAB,

:ZCAD+ZCAB+ZFBA+ZCBF=ZDAB+ZABC=180°,

/.3ZCAB+a=180°,

AZCAB=60°-1,

故選：D.

10.（4分）已知兩個整式：m,m+n,將這兩個整式進行如下操作:

第1次操作：用這兩個整式的和除以2,將結(jié)果放在這兩個整式之間，可以得到一個新的整式串，記為

整式串1：m,m+m+n；

第2次操作：在整式串1中，用相鄰兩個整式的和除以2,將結(jié)果放在這兩個整式之間，又得到一個新

的整式串，記為整式串2：m,m+^n,m+^n,m+\,m+n,以此類推，可以得到整式串3,整式

41Z4,

串4,

明明同學(xué)對此展開研究，得到以下3個結(jié)論:

①整式串4共有17個整式;

②整式串9從左往右第2個整式減去整式串10從左往右第2個整式的差為-擊小

2024

?+1

③經(jīng)過2024次操作后，整式串的和為（22°24+1）二萬■n.

以上3個結(jié)論正確的有（）

A.3B.2C.1D.0

解：對于①:

整式串1：m,m+n,m+n,有21+2-1=3（個）；

整式串2：m,m+n,m+H,771+彳九,m+n；

42

m+i=m+4n,

22

m+ln=m+^n,

42

共有22+2-1=5（個）；

67

34-nm+-n+n

整式串3：m,m+Qn,m+幾,m+QTI,m+on,m+n,m+

oo88

共有23+2-1=9（個）

由此得到整式串4,有24+2-1=17（個）整式，

故①正確.

對于②：

根據(jù)規(guī)律,得到整式串9從左往右第2個整式是爪+勺n,整式串10從左往右第2個整式是加+-4^.

22

它們的差為（血+舞）-+=熱一擊=表兒

故②錯誤.

對于③：

根據(jù)題意，整式串1：m,m+2機+〃的和為（21+l）?n4——工—n,

對于整式串2：m,

,1,1

m+-rn=m+）九,

42

,1,2

m+不九=m+17荏,

22

,3,3

九=

m+74m+2-^-n,

m+n的和為Q2+l）mH----工—n,

123456

------

整式串3：888888m+pH,m+n的和為（2^+l）m+

23+l

-2-n'

^>2024^

由此得到，經(jīng)過2024次操作后，整式串的和為（22。24+1）逆+22+,人

故③正確.

故選：B.

二、填空題（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案填在答題卡對應(yīng)的橫線上。

11.（4分）計算：|71-1|+強=b+1.

解：|V3—1|+V8

=73-1+2

=V3+1,

故答案為：V3+1.

12.（4分）已知多邊形的每個內(nèi)角都等于135°,求這個多邊形的邊數(shù)是8.（用兩種方法解決問題）

解：解法一：設(shè)這個多邊形是〃邊形，由題意，得

（n-2）X180°=135°n,

解得w=8.

解法二：

由正多邊的性質(zhì)，得

每個外角等于=180°-135°=45°

外角和除以一個外角，得

360°+45°=8.

故答案為：8.

13.（4分）中國古代的“四書”是指《論語》《孟子》《大學(xué)》《中庸》.若從這四本著作中隨機抽取兩本，

1

則抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是一.

-6-

解：畫樹狀圖如下，

論語孟子大學(xué)中庸

孟子大學(xué)中庸論語大學(xué)中庸論語孟子中庸論語孟子大學(xué)

共有12種等可能得結(jié)果，其中抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的情況有2種，

抽取的兩本恰好是《論語》和《大學(xué)》的概率是巳=±

126

1

故答案為：--

6

14.（4分）如圖，反比例函數(shù)y=W0）的圖象與過原點。的直線相交于A、B兩點,過點A作AC_Ly

軸于點C,連接8C,若△BOC的面積為4,則4的值為-8.

解：???反比例函數(shù)y=^（/c70）的圖象與過原點。的直線相交于A、8兩點,

...點A、8關(guān)于原點對稱,

：.OA=OB,

==

S/^AOCS/\BOCJ

?：S^AOC=義因且反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，

，一的值為-8.

故答案為：-8.

15.（4分）如圖，以A8為直徑畫半。。弦8。=2百，半徑03=2,過點。作CD_LA8,垂足為。，則

圖中陰影部分的面積為2n-攣.

L----

,：AB為直徑，

AZACB=90°，

\'CD±AB,

：.Bd=BD，AB,

%.(2問2

?,BD—AB-4—3,

???CD=y/BC2-BD2=V3,

**?S陰影=S半圓-S/\BDC=—~^BD,CD=2TC—,x3xV3=2TC——.

故答案為：2TT-竽.

16.（4分）如圖，在矩形ABCZ）中，CQ=9,點E為BC邊上一點，MEC=4BE,連接DE,過點E作

OE的垂線交AB于點F,若AF=EF,則線段AF的長為5

解：如圖，連接。R

???四邊形A8CD是矩形,

\AB=CD=9,AD^BC,

：AF=EF,DF=DF,

*.RtAADF^RtAE￡>F(HL),

\AD=DE,

；EC=4BE,

,?設(shè)CE=4x,

\BC=5x,

*.AD=DE=5x,

\CD=9=<DE2-CE2=V25x2-4x2=3x,

\x=3,

??BE=3,AD=BC=DE=15,

:EF1=BE2+BF-,

,.A產(chǎn)=9+(9-AF)2,

\AF=5,

f3x+4>2x+3a-3

17.（4分）若關(guān)于x的不等式組x+a有解且最多有4個整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程「-

---L^Xy—1

=1有非負(fù)數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)。的和為10.

y-i

（3x+4>2x+3①

解：竽_1>X②，

解不等式①，得尤2-1,

解不等式②，得尤<4-2,

?.?原不等式組的解集為--2,

有解且最多有4個整數(shù)解，

??a-2W3,

a—3y_7

解分式方程——--=n1,得y=

y-iy-iz

：y=l是原分式方程的增根，

CL—2.

???——>0,

2

綜上，且〃W4,

???滿足條件的整數(shù)。為2或3或，

2+3+5=10,

故答案為：10.

18.(4分)一個四位正整數(shù)將"的千位數(shù)字和百位數(shù)字分別作為兩位數(shù)s的十位數(shù)字和個位數(shù)字，

將M的十位數(shù)字和個位數(shù)字分別作為兩位數(shù)t的十位數(shù)字和個位數(shù)字，規(guī)定F(M)=s+t,當(dāng)F(M)

能被6整除時，M被稱為“順心數(shù)”.例如：M=1224,則s=12,t=24,F(M)=12+24=36,因為

36能被6整除，所以1224是“順心數(shù)”.最小的“順心數(shù)”為1014；若“順心數(shù)"1000a+102b+10c

-5(其中l(wèi)WaW9,3W6W7,1WCW9,a,b,c均為整數(shù))，且M的各個數(shù)位數(shù)字之和等于它千位數(shù)

字的4倍，則M的最大值為6729.

解：:M是一個正四位數(shù)，為了使M最小，

...千位數(shù)最小為1,百位數(shù)最小為0,即s=10,

為了使M最小，F(xiàn)(M)=s+t能被6整除，且f為兩位數(shù)，

/.當(dāng)t的十位數(shù)為1,個位數(shù)取0時，

F(M)=5+/=10+10=20,不能被6整除，

當(dāng)r的十位數(shù)為1,個位數(shù)取1時，

F(M)=s+f=10+ll=21,不能被6整除，

當(dāng)r的十位數(shù)為1,個位數(shù)取2時，

F(M)=5+/=10+12=22,不能被6整除，

當(dāng)/的十位數(shù)為1,個位數(shù)取3時，

F(M)=5+/=10+13=23,不能被6整除，

當(dāng)/的十位數(shù)為1,個位數(shù)取4時,

F(M)=s+f=10+14=24,能被6整除，

最小的“順心數(shù)”為1014；

VM=1000?+102&+10c-5(其中1W.W9,3WbW7,1WCW9,a,b,c均為整數(shù))，

???由題意可知，M的千位數(shù)字是a,百位數(shù)字是6,十位數(shù)字是c,個位數(shù)字是(26-5),

'：M的各個數(shù)位數(shù)字之和等于它千位數(shù)字的4倍，

.'.a+b+c+2b-5—4a,BP3b—3a+5-c,

是“順心數(shù)是

Z.l0a+b+Wc+2b-5是6的倍數(shù)，

即36+10a+10c-5是6的倍數(shù)，

：3b=3a+5-c,

.,.3Z?+10a+10c-5=3a+5-c+10a+10c-5=13a+9c,

\T3a+9c是6的倍數(shù)，且1WCW9,a,c均為整數(shù)，

必須是6,c可以是2,4,6,8,

：3b=3a+5-c,

為了使M最大，方要越大越好，那么c越小越好，

??c=2,

.,.當(dāng)a=6,c=2時，

36=3a+5-c=3X6+5-2=21,

：.b=l,滿足3W6W7,

此時a=6,6=7,c=2,

M=1000a+102Z?+10c-5=1000X6+102X7+10X2-5=6729,

67+29=96,96是6的倍數(shù)，

所以6729是“順心數(shù)”，

故M的最大值是6729.

故答案為：1014,6729.

三、解答題：(本大題1個小題，每小題8分，共8分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步

驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在對應(yīng)的位置上。

19.(8分)(1)x(3x+5)+(x-2)(尤-3)；

m2-9m

(2)■+(11).

m2+6m+9m+3

解：(1)x(3x+5)+(x-2)(x-3)

=3X2+5X+X2-5x+6

=4X2+6；

m2-9m

(2)~+(1一)

m2+6m+9m+3

_(m+3)(m—3).m+3—m

一(m+3)2'租+3

_m—3m+3

-m+33

m—3

=-3--

四、解答題：(本大題7個小題，每小題10分，共70分)解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理

步驟，畫出必要的圖形，請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上。

20.(10分)如圖，在菱形A8CD中，對角線AC、8。相交于點。.

(1)尺規(guī)作圖：在的延長線上截取3E=BC,連接AE,再過點B作AE的垂線交4E于點尸(保留

作圖痕跡，不寫作法)；

(2)求證：四邊形AO8尸為矩形.(補全證明過程)

證明：

..?四邊形ABC。是菱形

：.AO=OC,AC±BD

：.ZBOC=ZBOA=90°

VBE=BC,AO=OC

OB為△ACE的中位線

BF//AC

：.ZEAO^ZBOC^90°

'：BF±AE

ZAFB=90°

：./EAO=ZBOA^ZBFA^9Q°

四邊形A02尸為矩形.(有三個角是90°的四邊形是矩形)

進一步研究上述問題發(fā)現(xiàn)，當(dāng)8c和C。滿足位置關(guān)系：BCLCD時，四邊形A08E為正方形.

：.AO=OC,AC±BD,

：.ZBOC=ZB0A^9Q°,

,:BE=BC,AO=OC,

.?.08為AACE的中位線，

J.BF//AC,

；.NEAO=NBOC=90°,

,：BF1AE,

：.ZAFB=9Q°,

ZEAO^ZB0A=ZBFA=90°,

四邊形AOBF為矩形（有三個角是90°的四邊形是矩形）.

進一步研究上述問題發(fā)現(xiàn)，當(dāng)8C和。滿足位置關(guān)系：BCLC。時，四邊形A02F為正方形.

故答案為：BE=BC,BF//AC,ZAFB=90°,有三個角是90°的四邊形是矩形，BC±CD.

21.（10分）為了提高學(xué)生課外閱讀量，某中學(xué)開展了一系列課外閱讀活動，組織七，八兩個年級全體學(xué)

生進行課外閱讀知識競賽，學(xué)校從七，八兩個年級中各隨機抽取a名同學(xué)的競賽成績，并對他們的競賽

成績進行收集、整理、分析，過程如下：（調(diào)查數(shù)據(jù)用x表示，共分為四個等級：A等：90WxW100,B

等80Wx<90,C等：70Wx<80,。等：60W無<70,其中A等級為優(yōu)秀，單位：分）

收集數(shù)據(jù)：

七年級抽取的C等學(xué)生人數(shù)是A等學(xué)生人數(shù)的3倍；

八年級抽取的B等學(xué)生成績?yōu)椋?1,82,83,85,86,88,88,88,89

抽取七，八年級學(xué)生競賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、優(yōu)秀率如表所示：

七年級八年級

平均數(shù)8585

中位數(shù)86b

眾數(shù)8688

優(yōu)秀率C%25%

頻數(shù)

七年級抽取數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖八年級抽取數(shù)據(jù)的扇形統(tǒng)計圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)以上數(shù)據(jù)中：a=20,b=85,5,c=10,補全條形統(tǒng)計圖；

(2)你認(rèn)為該校七，八年級中哪個年級學(xué)生競賽成績更好？說明理由(說明一條理由即可)；

(3)若該校七年級有780人，八年級有1240人，估計兩個年級學(xué)生的競賽成績被評為優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)是

多少？

解：(1)由題意得，a=9+45%=20.

由八年級抽取數(shù)據(jù)的扇形統(tǒng)計圖知，A等級的人數(shù)為20X券=5(人)，

將八年級的競賽成績按照從大大小的順序排列，排在第10和H的是82,89,

：.b=82+89=85.5.

由題意得，七年級抽取的A等學(xué)生人數(shù)是c人，則七年級抽取的C等學(xué)生人數(shù)是3c人,

**.c+8+3c+4=20,

解得c=10.

故答案為:20；85.5；10.

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示.

頻數(shù)

七年級抽取數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖

(2)我認(rèn)為七年級學(xué)生知識競賽成績更好.

理由：七年級學(xué)生知識競賽成績的中位數(shù)為86,大于八年級學(xué)生知識競賽成績的中位數(shù)85.5,

所以七年級學(xué)生知識競賽成績更好.

1

(3)780X10%=78,1240x4=310,

共計優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)是78+310=388(人)，

估計兩個年級學(xué)生的競賽成績被評為優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)約388人.

22.(10分)重慶動物園“四喜丸子”火爆全網(wǎng)，為迎接即將到來的端午節(jié)旅游熱，重慶一玩具加工廠計

劃安排甲車間加工熊貓玩偶1000個.甲車間工作一周后還未加工完，于是從乙車間借調(diào)了一些工人，

增加工人后每天加工玩偶的個數(shù)比增加前多40個，又加工了3天才完成了任務(wù).

(1)求甲車間增加工人人數(shù)前每天加工熊貓玩偶的個數(shù)；

(2)由于該玩偶深受消費者喜歡，工廠決定擴大生產(chǎn)，安排甲，乙車間共同加工生產(chǎn)該熊貓玩偶3000

個，在加工完成一半后，改進了加工技術(shù)，兩個車間每天均比改進技術(shù)前多加工25%,結(jié)果比原計劃提

前2天完成任務(wù)，求改進技術(shù)前兩車間每天加工玩偶的個數(shù).

解：(1)設(shè)甲車間增加工人前每天加工熊貓玩偶為x個，則增加工人人數(shù)后每天加工熊貓玩偶為(x+40)

個，

由題意得：7x+3(x+40)=1000,

解得：尤=88,

答：增加工人人數(shù)前每天加工熊貓玩偶為88個；

(2)設(shè)改進技術(shù)前兩車間每天加工玩偶為y個，則改進技術(shù)后每天加工玩偶為(1+25%)y個，

11

_,30007x30007x3000

由題忌得：一(+~~)=2,

yy(l+25%)y

解得：y=150,

經(jīng)檢驗，y=150是原方程的解，且符合題意；

答：改進技術(shù)前兩車間每天加工玩偶為150個.

23.(10分)如圖，平行四邊形ABCD中，AD=6,CD=A,ZADC=3Q°,動點P從點A出發(fā)沿折線A

f^fC運動，到達(dá)點C停止運動.在運動過程中，過點尸作于點設(shè)點尸的運動路程為x,

BP+PH記為yi.

(1)請直接寫出yi關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量x的取值范圍；

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出yi的圖象與%=久+機的圖象有1個公共點時m的取值范圍.