2025初中數(shù)學專項復習突破：圓中的新定義問題（含答案及解析）

專題劇中的新定義問題

(■1m

熊例題精講

【例1】.如圖，ZkASC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧。、

弧。區(qū)弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接.若A8=l,則曲線CDEF

的長是.

A變式訓練

【變1-1].對于平面圖形A,如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不

大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”.例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”.如

果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為—.

【變1-2].在平面直角坐標系xOy中，對于點P(a,b)和正實數(shù)k,給出如下定義：當

h2+b＞。時，以點尸為圓心，品!2+6為半徑的圓，稱為點尸的“左倍雅圓”

例如，在圖1中，點尸(1,1)的“1倍雅圓”是以點尸為圓心，2為半徑的圓.

(1)在點尸1(3,1),P2(1,-2)中，存在“1倍雅圓”的點是.該點的“1倍

雅圓”的半徑為

(2)如圖2,點M是y軸正半軸上的一個動點，點N在第一象限內(nèi)，且滿足/MON=

30°,試判斷直線ON與點〃的“2倍雅圓”的位置關系，并證明;

(3)如圖3,已知點A(0,3),8(-1,0),將直線A3繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到

直線I.

①當點C在直線/上運動時，若始終存在點C的“左倍雅圓”，求左的取值范圍；

②點D是直線上一點，點D的弓倍雅圓”的半徑為R,是否存在以點。為圓心,樗鼻

為半徑的圓與直線/有且只有1個交點，若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明

圖3

【例2].我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與

“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖，點A,8,C,。分

別是‘‘蛋圓”與坐標軸的交點，已知點。的坐標為（0,-3）,為半圓的直徑，半圓

圓心M的坐標為（1,0）,半圓半徑為2.開動腦筋想一想，經(jīng)過點。的“蛋圓”切線

的解析式為___________

A變式訓練

【變2-1].已知定點尸（a,b）,且動點Q（x,y）到點尸的距離等于定長r,根據(jù)平面內(nèi)

兩點間距離公式可得（尤-a）2+（y-b）2=戶,這就是到定點尸的距離等于定長廠圓的

方程.已知一次函數(shù)的y=-2x+10的圖象交y軸于點A,交x軸于點8,C是線段A8

上的一個動點，則當以OC為半徑的OC的面積最小時，OC的方程為.

【變2-2].

【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所

成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，/APB是點尸對線段的視角.

④⑤

【應用】

(1)如圖②，在直角坐標系中，己知點A(2,五)，B(2,2?),C(3,?),則

原點。對三角形ABC的視角為;

(2)如圖③，在直角坐標系中，以原點O,半徑為2畫圓以原點。半徑為4畫

圓。2,證明：圓。2上任意一點尸對圓。1的視角是定值；

【拓展應用】

(3)很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標志性建筑拍照，如圖④.現(xiàn)在有一條筆直

的天橋，標志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍

攝.現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標系，此時天橋所在的直線的表達式為x=-

5,正方形建筑的邊長為4,請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標.

n

器J實戰(zhàn)演練

1.如圖，六邊形ABCDE尸是正六邊形，曲線PK1K2K3K4K5K6K7…叫做'正六邊形的漸開線”,

其中函■，可工，KX-…的圓心依次按點A，B,C,D,

E,尸循環(huán)，其弧長分別記為/l,12,13,U,/5,/6,….當AB=1時，/2011等于（

2011幾口2011刀

"1-'~

2.已知線段AB,OM經(jīng)過A、8兩點，若90°WNAMBW120°,則稱點M是線段A3的

“好心”；OM上的點稱作線段的“閃光點”.已知A(2,0),B(6,0).

①點M(4,2)是線段的“好心”；

②若反比例函數(shù)y=K上存在線段48的“好心”，則上(8；

x3

③線段48的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

④若直線y=x+6上存在線段的“閃光點”，則-10W匕W2.

上述說法中正確的有()

A.①②③④B.①③④C.①③D.①②

3.我們知道沿直線前進的自行車車輪上的點既隨著自行車做向前的直線運動，又以車軸為

圓心做圓周運動，如果我們仔細觀察這個點的運動軌跡，會發(fā)現(xiàn)這個點在我們眼前劃出

了一道道優(yōu)美的弧線.其實，很早以前人們就對沿直線前進的馬車車輪上的點的軌跡產(chǎn)

生了濃厚的研究興趣，有人認為這個軌跡是一段段周而復始的圓弧，也有人認為這個軌

跡是一段段的拋物線.你認為呢？擺線(Cycloid)：當一個圓沿一條定直線做無滑動的滾

動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線.定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點

稱為擺點：

現(xiàn)做一個小實驗，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側的硬幣繞左側硬幣做無

滑動的滾動，那么：

(1)當右側硬幣上接觸點A的運動軌跡大致是什么形狀？

(2)當右側硬幣轉(zhuǎn)到左側時，硬幣面上的圖案向還是向下？

(3)當右側硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了幾圈？()

A.一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；1圈

B.一條擺線；向上；1圈

C.一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈

D.一條擺線；向下；2圈

4.定義：如果P是圓。所在平面內(nèi)的一點，。是射線。尸上一點，且線段OP、。。的比例

中項等于圓。的半徑，那么我們稱點P與點。為這個圓的一對反演點.已知點M、N為

圓。的一對反演點，且點M、N到圓心O的距離分別為4和9,那么圓O上任意一點到

點M、N的距離之比幽=

AN

5.如圖，在AABC中，D,E分別是△ABC兩邊的中點，如果血(可以是劣弧、優(yōu)弧或半

圓)上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱贏為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中加是

△ABC其中的某一條中內(nèi)弧.若在平面直角坐標系中，已知點E(0,4),0(0,0),H

(4,0),在△尸中，M,N分別是尸O,F”的中點，△尸0H的中內(nèi)弧誦所在圓的圓

心P的縱坐標m的取值范圍是

6.如圖(1),△ABC是正三角形，曲線ZMLBIG…叫做"正三角形ABC的漸開線”，其中

,了了='^忑；…依次連接，它們的圓心依次按A，B,C循環(huán)?則曲線CA1B1C1

叫做正△ABC的1重漸開線，曲線CA1B1C1A2B2C2叫做正△ABC的2重漸開線，…，曲

線CA181CM2…A/aCn叫做正△A8C的w重漸開線.如圖(2),四邊形ABCD是正方形，

曲線CAiBiCiDi…叫做”正方形ABCD的漸開線”，其中X；1,口D，//；…

依次連接，它們的圓心依次按A,B,C,。循環(huán).則曲線D41B1QO1叫做正方形A8C。

的1重漸開線，…，曲線D4BICIDIA2?“4B￡I￡)“叫做正方形ABCD的〃重漸開線.依

次下去，可得正”形的，重漸開線(〃、3).

若AB=1,則正方形的2重漸開線的長為18m若正“邊形的邊長為1,則該正〃邊形的

”重漸開線的長為.

7.一個玻璃球體近似半圓O,A8為直徑.半圓。上點C處有個吊燈EREF//AB,CO±

AB,跖的中點為。，04=4.

(1)如圖①，CM為一條拉線，M在02上，0M=1.6,Z)F=0.8,求CD的長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓。相切，H為切點,M為上一點，為入射光線,

V/為反射光線，/0HM=/OHN=45°,tanNC0//=g，求ON的長度.

4

(3)如圖③，M是線段02上的動點，為入射光線，/H0M=50°,HN為反射光

線交圓。于點N,在〃從。運動到8的過程中，求N點的運動路徑長.

8.我們不妨定義：有兩邊之比為1：?的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”.

(1)下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是；(填序號)

①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含30°角的直角三角形；④含120°角的等腰三

角形.

(2)如圖1,△ABC是。。的內(nèi)接三角形，AC為直徑，。為AB上一點，且80=249,

DE1OA,交線段。4于點R交O。于點E,連接BE交AC于點G.試判斷

和△ABE是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出毀的值；如果不是，請

BE

說明理由；

(3)如圖2,在(2)的條件下，當AF：FG=2：3時，求的余弦值.

圖1圖2

9.對于平面內(nèi)的兩點K、L,作出如下定義：若點。是點心繞點K旋轉(zhuǎn)所得到的點，則稱

點。是點L關于點K的旋轉(zhuǎn)點；若旋轉(zhuǎn)角小于90°,則稱點。是點L關于點K的銳角

旋轉(zhuǎn)點.如圖1,點。是點L關于點K的銳角旋轉(zhuǎn)點.

(1)已知點A(4,0),在點0(0,4),。2(2,W^)，Q3(-2,273)-Q4(272>

-2&)中，是點A關于點。的銳角旋轉(zhuǎn)點的是.

(2)已知點8(5,0),點C在直線y=2r+6上，若點C是點B關于點。的銳角旋轉(zhuǎn)點，

求實數(shù)。的取值范圍.

(3)點。是x軸上的動點，DCt,0),EG-3,。)，點尸(如n)是以。為圓心，3

為半徑的圓上一個動點，且滿足若直線y=2尤+6上存在點尸關于點E的銳角旋轉(zhuǎn)

點，請直接寫出f的取值范圍.

圖1圖2備用圖

10.在平面直角坐標系尤Oy中，正方形ABC。的頂點分別為A(0,1),B(-1,0),C(0,

-1),D(1,0).對于圖形給出如下定義：尸為圖形M上任意一點，。為正方形

ABC。邊上任意一點，如果P,。兩點間

的距離有最大值，那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”，記作d(M).

已知點E(3,0).

①直接寫出d(點E)的值；

②過點E畫直線y=kx-3%與y軸交于點F,當d(線段EF)取最小值時，求k的取值

范圍；

③設T是直線y=-尤+3上的一點，以T為圓心，加長為半徑作OT.若d(G)T)滿足d

備用圖

11.【概念認識】

與矩形一邊相切（切點不是頂點）且經(jīng)過矩形的兩個頂點的圓叫做矩形的第I類圓；與

矩形兩邊相切（切點都不是頂點）且經(jīng)過矩形的一個頂點的圓叫做矩形的第n類圓.

【初步理解】

（1）如圖①?③，四邊形A8CD是矩形，。。1和。。2都與邊相切，。。2與邊A2

相切，。。1和。。3都經(jīng)過點2,。。3經(jīng)過點。，3個圓都經(jīng)過點C.在這3個圓中，是

矩形ABC。的第I類圓的是,是矩形ABC。的第H類圓的是.

【計算求解】

（2）已知一個矩形的相鄰兩邊的長分別為4和6,直接寫出它的第I類圓和第n類圓的

半徑長.

【深入研究】

（3）如圖④，已知矩形ABCD,用直尺和圓規(guī)作圖.（保留作圖痕跡，并寫出必要的文

字說明）

①作它的1個第I類圓；

①②③④

12.在平面直角坐標系尤0y中，O。的半徑為1,已知點A,過點A作直線MN.對于點A

和直線MN,給出如下定義：若將直線MN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，直線與。。有兩個

交點時，則稱是O。的“雙關聯(lián)直線”，與。。有一個交點尸時，則稱是。。的

“單關聯(lián)直線”，AP是O。的“單關聯(lián)線段”.

(1)如圖1,4(0,4),當與y軸重合時，設與OO交于C,。兩點.則MN

是。。的“關聯(lián)直線”(填“雙”或“單”3c的值為；

--------AD

(2)如圖2,點A為直線y=-3x+4上一動點，AP是。。的“單關聯(lián)線段”.

①求OA的最小值；

②直接寫出△APO面積的最小值.

圖1圖2

13.在平面直角坐標系xOy中，。。的半徑為1,A為任意一點，5為。0上任意一點.給

出如下定義：記A,5兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在。0上時，/?=0）,最

大值為4,那么把號■的值稱為點A與O。的“關聯(lián)距離”，記作d（A,OO）.

（1）如圖，點。，E,尸的橫、縱坐標都是整數(shù).

①dCD,。。）=；

②若點M在線段跖上，求OO）的取值范圍；

（2）若點N在直線y=?x+W§上，直接寫出d（N,OO）的取值范圍；

（3）正方形的邊長為加，若點P在該正方形的邊上運動時，滿足d（P,Q0）的最小值

為1,最大值為近3,直接寫出機的最小值和最大值.

14.如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，點A與點B的坐標分別是(1,0),(7,0).

(1)對于坐標平面內(nèi)的一點尸，給出如下定義：如果NAPB=45°,那么稱點尸為線段

A3的“完美點”.

①設A、B、P三點所在圓的圓心為C,則點C的坐標是,OC的半徑是；

②y軸正半軸上是否有線段的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標；如果沒

有，請說明理由；

(2)若點尸在y軸負半軸上運動，則當/APB的度數(shù)最大時，點尸的坐標為

yjk

7-

6-

5-

4-

3-

2-

1-

一4

-3-

15.定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線相切的圓稱為這個三

角形的切圓，相切的邊稱為這個圓的切邊.

(1)如圖1,△ABC中，AB=CB,/A=30°,點。在AC邊上，以0c為半徑的O。

恰好經(jīng)過點2,求證：。。是△ABC的切圓.

(2)如圖2,△ABC中，AB=AC=5,BC=6,是△ABC的切圓，且另外兩條邊都

是。。的切邊，求。。的半徑.

(3)如圖3,ZkABC中，以AB為直徑的。。恰好是AABC的切圓，AC是。。的切邊,

。。與BC交于點R取弧8尸的中點。，連接交BC于點E,過點E作即，48于

點H,若CP=8,BF=10,求AC和EH的長.

圖3

16.在平面直角坐標系xOy中，對于直線/：y=kx+b,給出如下定義：若直線/與某個圓相

交，則兩個交點之間的距離稱為直線/關于該圓的“圓截距”.

(1)如圖1,的半徑為1,當攵=1,b=l時，直接寫出直線/關于OO的“圓截距”；

(2)點M的坐標為(1,0),

①如圖2,若的半徑為1,當6=1時，直線/關于的“圓截距”小于生娓，求

5

上的取值范圍；

②如圖3,若OM的半徑為2,當左的取值在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，直線/關于的“圓

截距”的最小值2,直接寫出b的值.

17.對于OC與OC上一點A,若平面內(nèi)的點P滿足:射線AP與OC交于點Q,且PA^2QA,

則稱點尸為點A關于OC的''倍距點”.已知平面直角坐標系尤Oy中，點A的坐標是（-

Vs，0）.

（1）如圖1,點。為坐標原點，。。的半徑是點P是點A關于O。的“倍距點”.

①若點尸在x軸正半軸上，直接寫出點尸的坐標是；

②若點P在第一象限，且/研0=30°,求點P的坐標；

（2）設點TG,0）,以點T為圓心，窗長為半徑作一次函數(shù)y=5x+4的圖象

3

分別與X軸、y軸交于。、E,若一次函數(shù)>=返-%+4的圖象上存在唯一一點尸，使點尸

3

是點A關于OT的“倍距點”，求t的值.

（圖1）（備用圖）

18.類比學習:

我們已經(jīng)知道，頂點在圓上，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，如圖1,ZAPB

就是圓周角，弧是NAP2所夾的弧.

類似的，我們可以把頂點在圓外，且角的兩邊都和圓相交的角叫做圓外角，如圖2,Z

APB就是圓外角，弧A8和弧是所夾的弧，

新知探索：

圖（2）中，弧A8和弧CD度數(shù)分別為80°和30°,ZAPB=0,

歸納總結：

（1）圓周角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半；

（2）圓外角的度數(shù)等于.

新知應用：

直線y=-x+m與直線y=="x+2相交于y軸上的點C,與x軸分別交于點A、B.經(jīng)

3

過A、B、C三點作?！?點尸是第一象限內(nèi)OE外的一動點，且點P與圓心E在直線AC

的同一側，直線附、PC分別交0E于點M、N,

設/APC=9.

①求A點坐標；②求OE的直徑；

③連接MN,求線段的長度（可用含。的三角函數(shù)式表示）.

19.（1）【基礎鞏固】如圖1,AABC內(nèi)接于O。，若/C=60°,弦AB=2迎，則半徑r

（2）【問題探究】如圖2,四邊形ABC。內(nèi)接于。0,若NAOC=60°,AD=DC,息B

為弧AC上一動點（不與點A,點C重合）.

求證：AB+BC=BD；

（3）【解決問題】如圖3,一塊空地由三條直路（線段AQ、AB、8C）和一條道路劣弧而

圍成，已知千米，ZDMC=60°,而的半徑為1千米，市政府準備將這

塊空地規(guī)劃為一個公園，主入口在點M處，另外三個入口分別在點C、D、P處,其中

點尸在而上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線段DM、MC、CP、PD,是否存在

一種規(guī)劃方案，使得四條慢跑道總長度（即四邊形DMCP的周長）最大？若存在，求其

最大值；若不存在，說明理由.

20.A,8是OC上的兩個點，點尸在OC的內(nèi)部.若NAPB為直角，則稱NAPB為AB關于

OC的內(nèi)直角，特別地，當圓心C在/AP8邊(含頂點)上時，稱/AP3為AB關于OC

的最佳內(nèi)直角.如圖1,NAM2是A2關于OC的內(nèi)直角，是AB關于OC的最佳

內(nèi)直角.在平面直角坐標系xOy中.

(1)如圖2,。。的半徑為5,A(0,-5),B(4,3)是。。上兩點.

①已知Pi(1,0),P2(0,3),23(-2,1),在ZAP2B,NAP38中，是A8

關于O。的內(nèi)直角的是；

②若在直線y=2x+b上存在一點P,使得/APB是A8關于。。的內(nèi)直角，求6的取值范

圍.

(2)點E是以T(f,0)為圓心，4為半徑的圓上一個動點，OT與x軸交于點0(點。

在點T的右邊).現(xiàn)有點M(l,0),N(0,n),對于線段MN上每一點X,都存在點T,

使/OHE是。E關于。7的最佳內(nèi)直角，請直接寫出”的最大值，以及〃取得最大值時/

的取值范圍.

圖1備用圖1

0

備用圖2

劇中的新定義問題

(■1m

熊例題精講

【例1】.如圖，ZkASC是正三角形，曲線CDEF…叫做“正三角形的漸開線”，其中弧。、

弧。區(qū)弧EF的圓心依次按A、B、C…循環(huán)，它們依次相連接.若A8=l,則曲線CDEF

的長是4TC.

解：:△ABC是正三角形，

AZCAD=ZDBE=ZECF=12Q°,

又「ABn,

；.AC=1,BD=2,CE=3,

：.CD弧的長度=120X兀X1=2上;

1803

?E弧的長度=120X兀義2=空;

1803

所弧的長度=12°X兀X3=2m

180

所以曲線CDEF的長為22L+里L+2n=4n.

33

故答案為：4ir.

A變式訓練

【變1T].對于平面圖形A,如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不

大于這個圓的半徑，則稱圓形A被這個圓“覆蓋”.例如圖中的三角形被一個圓“覆蓋”.如

果邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為RN1.

解：...正六邊形的邊長等于它的外接圓半徑，

邊長為1的正六邊形被一個半徑長為R的圓“覆蓋”，那么R的取值范圍為：R2L

故答案為：R2L

【變1-2].在平面直角坐標系xOy中，對于點PQ,b)和正實數(shù)k,給出如下定義：當

版2+匕>。時，以點尸為圓心，心2+6為半徑的圓，稱為點尸的“七倍雅圓”

例如，在圖1中，點P(l,1)的“1倍雅圓”是以點P為圓心，2為半徑的圓.

(1)在點Pi(3,1),P2(1,-2)中，存在“1倍雅圓”的點是Pi.該點的“1

倍雅圓”的半徑為10.

(2)如圖2,點M是y軸正半軸上的一個動點，點N在第一象限內(nèi)，且滿足NMON=

30°,試判斷直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關系，并證明；

(3)如圖3,已知點A(0,3),2(-1,0),將直線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到

直線I.

①當點C在直線/上運動時，若始終存在點C的“4倍雅圓”，求左的取值范圍；

②點D是直線AB上一點，點D的'q倍雅圓”的半徑為R,是否存在以點。為圓心,秒^

為半徑的圓與直線/有且只有1個交點，若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明

解：(1)對于Pi(3,1),圓的半徑為g2+6=1X32+1=10>0,故符合題意;

對于尸2(1,-2),圓的半徑為履2+6=1x12-2=-1<0,故不符合題意；

故答案為P,10；

(2)如圖1,過點M作于點Q,

圖1

則點M(0,m)(m>0),則圓的半徑r=2X0+m=m

則RtAM。。中，NMOQ=/MON=30°,

直線ON與點M的“2倍雅圓”的位置關系為相交;

(3)①過點8作BE,直線/于點E,過點E作x軸的垂線交x軸于點G,交過點A與x

軸的平行線于點F,

將直線繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°得到直線/,則NE42=45°,故EA=EB,

"：ZFEA+ZFAE=90°,NGEB+/FEA=9Q°,

:.NFAE=NGEB,

VZAFE=ZEGB=90°,EA=EB,

：.AAFE^AEGB(44S),

：.EF=BG,EG=FA,BP3-y=-1-x,y=-x,

解得：x=-2,y=2,故點￡(-2,2)；

設直線/的表達式為y=fcc+6,貝4b=3，解得,3節(jié),

12=-2k+bR-Q

故直線/的表達式為產(chǎn)?3,

設點c（X,工x+3）,

2

:始終存在點C的“左倍雅圓”時，則圓的半徑7=小+工.計3>0恒成立,

；/>0且AVO成立，即左>0且4=(?1)2-4X3左<0,

2

②存在，理由：

如圖2,過點。作。“U于點”，

由點A、B的坐標同理可得，直線A8的表達式為y=3x+3,

設點D（x,3x+3）,

由點A、。的坐標得（x-0）2+（3x+3-3）2=百5kl，則HD=^~.

貝IjR=A/+b=3/+3x+3=3（x+2）2,貝ijJ型R=V^|X+2],

假設存在以點。為圓心，、2R為半徑的圓與直線/有且只有1個交點,

解得：x=-1,

故點。的坐標為：（-1,0）.

【例2].我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與

“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線.如圖，點A,B,C,D分

別是“蛋圓”與坐標軸的交點，已知點。的坐標為（0,-3）,為半圓的直徑，半圓

圓心M的坐標為（1,0）,半圓半徑為2.開動腦筋想一想，經(jīng)過點。的“蛋圓”切線

的解析式為___________

解：因為經(jīng)過點。的“蛋圓”切線過。（0,-3）點，所以設它的解析式為y=fcv-3,

為半圓的直徑，半圓圓心M的坐標為（1,0）,半圓半徑為2,

AA（-1,0）,B（3,0）,

.拋物線過點A、B,

設拋物線的解析式為y=a(x+1)(尤-3),

又；拋物線過點D(0,-3),

-3),即。=1,

-2尤-3.

又'.,拋物線y—x2-lx-3與直線y—kx-3相切，

.?.X2-2x-3=fcc-3,即％2-(2+左)x=0只有一個解，

/.△=(2+左)2-4X0=0,

：.k=-2即經(jīng)過點。的“蛋圓”切線的解析式為＞=-2x-3.

A變式訓練

【變2-1].已知定點尸(a,b),且動點Q(x,y)到點尸的距離等于定長r,根據(jù)平面內(nèi)

兩點間距離公式可得(x-fl)2+(y-b)2=/,這就是到定點尸的距離等于定長廠圓的

方程.已知一次函數(shù)的y=-2無+10的圖象交y軸于點A,交尤軸于點2,C是線段A8

上的一個動點，則當以OC為半徑的OC的面積最小時，GC的方程為(尤-4)2+(y

-2)2=(2A/S)2.

解：?.,一次函數(shù)的y=-2x+10的圖象交y軸于點A,交x軸于點8,

AA(0,10),B(5,0),

AOA=10,OB=5,

AB=VOA2-K)B2=V102+52=5炳,

,/以oc為半徑的oc的面積最小，

OCLAB,

'：S^ABO=—AB-OC=^OA'OB,

22

...oc=緲。殳=.10/=2V5，

AB5辰

設CG,-2r+10),

則0c2=a+(-2/+10)2=(275)2,

解得：九=/2=4,

：.C(4,2),

...以OC為半徑的0c的oc的方程為（尤-4）2+（J-2）2=（2而）2,

故答案為：（尤-4）2+（y-2）2=（2泥）2.

【變2-2].

【定義】從一個已知圖形的外一點引兩條射線分別經(jīng)過該已知圖形的兩點，則這兩條射線所

成的最大角稱為該點對已知圖形的視角，如圖①，NAPB是點尸對線段的視角.

④⑤

【應用】

（1）如圖②，在直角坐標系中，已知點A（2,我），B（2,273）,C（3,?。?則

原點O對三角形ABC的視角為30。；

（2）如圖③，在直角坐標系中，以原點O,半徑為2畫圓以原點。半徑為4畫

圓。2,證明：圓。2上任意一點尸對圓。1的視角是定值；

【拓展應用】

（3）很多攝影愛好者喜歡在天橋上對城市的標志性建筑拍照，如圖④.現(xiàn)在有一條筆直

的天橋，標志性建筑外延呈正方形，攝影師想在天橋上找到對建筑視角為45°的位置拍

攝.現(xiàn)以建筑的中心為原點建立如圖⑤的坐標系，此時天橋所在的直線的表達式為尤=-

5,正方形建筑的邊長為4,請直接寫出直線上滿足條件的位置坐標.

解：（1）延長54交尤軸于點。，過點C作CELx軸于點E,

?.?點A(2,M),B(2,273),C(3,M),

：.AB//y^A,CE=V3-0E=3,

?*.AB±x軸，

???BD=2a，0D=2,

：,tanNBOD=^r=V3，tanNCOE=^~二零，

UUUEo

：.ZBOD=60°,ZCOE=30°,

???ZBOC=ZBOD-NCOE=30°,

即原點。對三角形ABC的視角為30°過答案為：30°(2)證明：如圖，過圓02上任

一點尸作圓01的兩條切線交圓01于4B,連接。4,OB,0P,則有04,出，OBL

???NOB4=30°,

同理可求得：N0尸3=30°,

1?NA尸5=60°,

即圓。2上任意一點P對圓01的視角是60°,

?,?圓。2上任意一點P對圓01的視角是定值.

(3)當在直線A3與直線CO之間時，視角是NAP。，此時以E(-4,0)為圓心，EA

半徑畫圓，交直線于尸3,尸6,

VZDP3B>ZDP3A=45°,ZAP6OZ￡>P6C=45°,

不符合視角的定義，尸3,P6舍去.

同理，當在直線A8上方時，視角是/BPD,

此時以A(-2,2)為圓心，A8半徑畫圓，交直線于p,P5,尸5不滿足；

過點尸1作交ZM延長線于點則APi=4,PiM=5-2=3,

斕小口/4叫=77，

：.p(-5,2+小)當在直線CD下方時，視角是/APC,

此時以。(-2,-2)為圓心，Z5C半徑畫圓，交直線于P2,P4,P4不滿足；

同理得：F>2(-5,-2-V7);

綜上所述，直線上滿足條件的位置坐標P](-5,2+近)或P?G5,-2-V7)-

1.如圖，六邊形A8CDEE是正六邊形，曲線尸KiK2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，

其中引，KZIL,…的圓心依次按點A，B,C,D,

E,方循環(huán)，其弧長分別記為/l,h,13,/4,/5,/6,….當A8=l時，/2011等于()

A2011幾口2011K「2011兀62011兀

2346

解：…=三

1803

60幾X2_2九

,-180~3~

f60兀X3—3兀

~180~3~

〃60兀X44兀

1803

按照這種規(guī)律可以得到：

.,_20U7T

?」2011=--------------.

3

故選：B.

2.已知線段AB,OM經(jīng)過A、8兩點，若90°WNAMBW12O。，則稱點M是線段AB的

“好心”；0M上的點稱作線段AB的“閃光點”.已知A(2,0),B(6,0).

①點M(4,2)是線段AB的“好心”；

②若反比例函數(shù)y=K上存在線段AB的“好心”，則國返WLW8；

x3

③線段的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；

④若直線y=x+6上存在線段AB的“閃光點”，則-10W6W2.

上述說法中正確的有()

A.①②③④B.①③④C.①③D.①②

解：①如圖1,

：.AM=BM,AC=CM=BC=2,ZACM=90°,

.?.圓M經(jīng)過4、2兩點，且NAMB=90°,

.?.點M(4,2)是線段A3的“好心”,

故①正確；

②若反比例函數(shù)y=K上存在線段的“好心”，

x

z)點/在x軸上方時，當NAM2=90°時，如圖1,此時點M(4,2),即M在反比例

函數(shù)》=上圖象上，

X

.??％=2X4=8；

當NAMB=120°時，如圖2,過點〃作MC_LA8于C,

Ay

6-

5-

4-

3-

/-M

???A5^

-2-\O123456-r

一1-

—21圖2

9：AM=MB,

：.ZBAM^30°,

\'AC=2,

V33

：.M（4,

3

在反比例函數(shù)y=K圖象上，

X

:.k=4乂囚工=對工,

33

...J2Z1_W%W8；

3

z7）點M在x軸的下方時，同理可得-8WZ-蟲1_,

3

故②不正確;

③線段AB的閃光點組成的圖形如圖3所示：

所以線段的“閃光點”組成的圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形;

故③正確；

④當直線＞=/6與上述兩個大圓相切時屬于臨界狀態(tài)，在兩條切線范圍內(nèi)存在“閃光點”,

設直線y=&+b與圓M相切于點尸，則MP與之垂直，且線段是直徑，

VB(6,0),M(4,2),

：.P(2,4),

代入y=x+b得，2+b=4,

:.b=2；

設直線y=fcv+6與圓M'相切于點"，則〃與之垂直，且線段4H是直徑，

VA(2,0),M'(4,-2),

：.P(6,-4),

代入y=x+，得,6+b'=-4,

:.b'=-10；

綜上可知，b的取值范圍是-10W/?W2,

故④正確；

所以上述說法中正確的有①③④.

故選：B.

3.我們知道沿直線前進的自行車車輪上的點既隨著自行車做向前的直線運動，又以車軸為

圓心做圓周運動，如果我們仔細觀察這個點的運動軌跡，會發(fā)現(xiàn)這個點在我們眼前劃出

了一道道優(yōu)美的弧線.其實，很早以前人們就對沿直線前進的馬車車輪上的點的軌跡產(chǎn)

生了濃厚的研究興趣，有人認為這個軌跡是一段段周而復始的圓弧，也有人認為這個軌

跡是一段段的拋物線.你認為呢？擺線(Cycloid)：當一個圓沿一條定直線做無滑動的滾

動時，動圓圓周上一個定點的軌跡叫做擺線.定直線稱為基線，動圓稱為母圓，該定點

稱為擺點：

現(xiàn)做一個小實驗，取兩枚相同的硬幣并排排列，如果我們讓右側的硬幣繞左側硬幣做無

滑動的滾動，那么：

(1)當右側硬幣上接觸點A的運動軌跡大致是什么形狀？

(2)當右側硬幣轉(zhuǎn)到左側時，硬幣面上的圖案向還是向下？

(3)當右側硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了幾圈？()

B.一條擺線；向上；1圈

C.一條圍繞于硬幣的封閉曲線；向上；2圈

D.一條擺線；向下；2圈

解：(1)根據(jù)題意中的表述，可知其運動軌跡是一條圍繞于硬幣的封閉曲線；

(2)當右側硬幣轉(zhuǎn)到左側時，硬幣自身轉(zhuǎn)動了1圈，故硬幣面上的圖案向上；

(3)分析可得：當右側硬幣轉(zhuǎn)回原地時，硬幣自身轉(zhuǎn)動2圈.

故選：C.

4.定義：如果P是圓。所在平面內(nèi)的一點，。是射線。尸上一點，且線段OP、。。的比例

中項等于圓。的半徑，那么我們稱點P與點。為這個圓的一對反演點.已知點〃、N為

圓。的一對反演點，且點〃、N到圓心。的距離分別為4和9,那么圓0上任意一點到

點、M、N的距離之比細=—.

AN一

解：由題意。。的半徑J=4X9=36,

Vr>0,

r—6,

當點A在N。的延長線上時，AM=6+4=10,AN=6+9=15,

.AM=22=_2

"AN"153'

當點A"是ON與OO的交點時，A"M=2,A"N=3,

.A"M2

,?A”N

當點A'是OO上異與A,A"兩點時，易證△OA'MsAONA',

.A7M_QAy_6_2

"A7NON?百，

綜上所述，

AN3

故答案為：2

3

5.如圖，在△ABC中，D,E分別是△ABC兩邊的中點，如果DE(可以是劣弧、優(yōu)弧或半

圓)上的所有點都在△ABC的內(nèi)部或邊上，則稱宙為△ABC的中內(nèi)弧，例如，圖中立是

△ABC其中的某一條中內(nèi)弧.若在平面直角坐標系中，已知點尸(0,4),O(0,0),H

(4,0),在中，M,N分別是尸0,M的中點，的中內(nèi)弧誦所在圓的圓

心P的縱坐標m的取值范圍是〃W1或〃z22.

解：如圖，連接MN,

由垂徑定理可知，圓心尸一定在線段MN的垂直平分線上，

作MN的垂直平分線QP,

'：M,N分別是尸O,尸H的中點，且尸(0,4),O(0,0),H(4,0),

：.M(0,2),N(2,2),Q(1,2),

若圓心在線段MN上方時，

設P(l,m)由三角形中內(nèi)弧定義可知，圓心尸在線段上方射線QP上均可，

當圓心在線段MN下方時，

"：OF=OH,ZFOH=90°

：.ZFH