2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-基本不等式最值與恒成立問題-專項訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-基本不等式最值與恒成立問題-專項訓(xùn)練

目錄

X解題知識必備??

X壓軸題型講練2

...................................................................................................................2

類型一基本不等式“1”的妙用求最值...........................................................2

類型二基本不等式的恒成立問題................................................................3

類型三對勾函數(shù)求最值........................................................................4

類型四條件等式求最值........................................................................5

類型五基本不等式求積的最大值................................................................6

類型六基本不等式求和的最小值................................................................6

類型七二次與二次(或一次)的商式的最值......................................................7

類型八基本不等式最值問題的應(yīng)用..............................................................8

??壓軸能力測評”

??解題知識必備”

1.基本不等式：標(biāo)W號

(1)基本不等式成立的條件：〃>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)〃=斜時取等號.

2.幾個重要的不等式

b_a'+Z?)

(1)a2+b2^2ab(a,<￡R)；(2)〃+622(〃，(同號);2J2(^?Z?￡R)；

a2+b2僅+6)

(4)^-J2(?,Z?eR).

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

a~\~b

設(shè)a>0,b>Q,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為了，幾何平均數(shù)為標(biāo)，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的

算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題

已知x>0,y>0,則

(1)如果積盯是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,%+y有最小值是八版(簡記：積定和最小)

正、、

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)n=y時,孫有最大值是4.(簡記：和定積最大)

一個技巧

運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如〃2+。222帥逆用就是abW…廠

a+b僅

丁iNy[ab(a,6>0)逆用就是仍W卜(°,b>0)等.還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立

的條件等.

兩個亦形

層+按伍+6)

(1)22V2伙。，b￡R,當(dāng)且僅當(dāng)4=Z7時取等號)；

/tz2+/?2a+b2

⑵一'2^-2-1(〃>0,Z?>0,當(dāng)且僅當(dāng)〃=Z7時取等號).

'a+J

這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們.

三個注意

(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利

用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.

(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中

“正”“定”“等”的條件.

(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.

X壓軸題型講練2

類型一基本不等式“1”的妙用求最值

g??

“1”的代換

若題中不存在滿足基本不等式的條件，則需要根據(jù)條件對式子進(jìn)行恒等變形，靈活運用“1”的代換.在解題

過程中，常常將不等式乘“1”、除以“1”或?qū)⒉坏仁街械哪硞€常數(shù)用等于“1”的式子代替._____________

例1.(24-25高一上?湖北武漢?階段練習(xí))下列選項中正確的是()

4

A.若?！?,則〃+—的最小值為4

a

B.若"<0,則?+2的最大值為—2

ba

C.若xcR,則J,2+2+j2+2的最小值為2

1i3112

D.^x>—,y>~,且-+-^=2°，則一+一的最大值為7

232x-l3y-1xy

【變式訓(xùn)練1］（24-25高三上?重慶渝中?階段練習(xí)）已知a,6eR+,4a+b=l,則的最大值是

【變式訓(xùn)練2】（24-25高一上?河南?階段練習(xí)）己知a＞0,b＞0.

7

（1）若/+匕=2,證明。?十"之；

4

⑵若〃+人=2,不等式士+124（加＞0）恒成立，求用的取值范圍；

Q+2b

⑶若c＞0,求癡+2而-2a的最大值.

4。+b+2c

1?

【變式訓(xùn)練3】（24-25高一上?陜西西安?階段練習(xí)）問題：正數(shù)4,b滿足“+匕=1,求上+：的最小值.其

ab

中一種解法是：工+/=（1+^（。+刀=1+2+學(xué)+223+20,當(dāng)且僅當(dāng)2=羊，且0+8=1時，即4=及_1

ab\abJabab

且b=2-后時取等號.學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題：

⑴若正實數(shù)x,y滿足孫=3x+y,求x+y的最小值；

22

⑵若正實數(shù)a,b,x,＞滿足且°＞人，試比較后一廿和（x-＞）2的大小，并說明理由；

ab

⑶利用（2）的結(jié)論，求代數(shù)式M=疝E-V^工的最小值，并求出使得Af取得最小值時機(jī)的值.

類型二基本不等式的恒成立問題

U.

將恒成立問題分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，分離后，利用基本不等式求最值.

10

例2.（24-25高一上?江西南昌?階段練習(xí)）設(shè)正數(shù)。，6滿足一+7=1,若不等式a+Z^-Y+4x+18-機(jī)對

ab

任意實數(shù)X恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）

A.m>3B.m<3

C.m<6D.m>6

【變式訓(xùn)練1】（24-25高一上?廣東汕頭?階段練習(xí)）對任意的正實數(shù)x,y,4+舟V女向7恒成立，則上

的最小值為.

22

【變式訓(xùn)練2］（19-20高二上?江西新余?期末）設(shè)正實數(shù)x,y滿足無>；2,>>2,不等式—9x+一v^0〃恒

3y-23x-2

成立，則m的最大值為.

【變式訓(xùn)練3］（21-22高一上?河南?階段練習(xí)）（1）若x>l,求5x+J二的最小值；

5x-5

（2）若龍〉La〉］#-+28〃+4〉—一5%--J一恒成立，求朋的取值范圍.

44〃-55x-5

類型三對勾函數(shù)求最值

g

當(dāng)%>0時，ax+—>2jax-=14ab（當(dāng)且僅當(dāng)。％=—，即%=］介時取等號）.

x\x%Va

當(dāng)％<。時，axH—=—［（—67%）+（—）］V—2J（-ax）（—）=-2^/ctb（當(dāng)且僅當(dāng)一ax——,即1=——時

xXVxx\a

取等號）.

例3.（24-25高一上?黑龍江大慶?階段練習(xí)）下列說法正確的有（）

A.函數(shù)y=J.+2+的最小值為2

4

B.已知％>1,則y=2x+——；一1的最小值為4拒+1

x-1

C.若正數(shù)滿足%+2y=3孫，則2%+y的最小值為3

13Q

D.設(shè)x>0,y>0,尤+2>=2,貝—+—^的最小值為搭

2x+yx+3y5

【變式訓(xùn)練1］（23-24高一上?江蘇無錫?階段練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）

A.函數(shù)y=x+L的最小值是2

X

B.如果x>0,y>0,尤+3y+孫=9,那么W的最大值為3

2

C.函數(shù)/（元）=:〒Y+25的最小值為5:

&+42

D.如果a〉0,b>0且----1---=1那么a+〃的最小值為2

a+11+bf

【變式訓(xùn)練2】（23-24高?上?浙江?期中）已知正實數(shù)。、力滿足〃+必皿+〃，則下列結(jié)論中正確的是

（）

A.若機(jī)=1,〃=0,貝!Ja/?216B.若m=1,n=0,貝!］々+〃之16

C.若機(jī)=0,幾=1,則）+“+3216D.若機(jī)=—1,〃=1,貝!J〃+b<16

ab

【變式訓(xùn)練3】（24-25高一上?江蘇常州?階段練習(xí)）已知a>0,則0>2"是"元>果￡”的__________條

Va+2

件.（請在“充分且不必要"、"必要且不充分"、"充要"、"既不充分又不必要”中選擇一個填寫）

類型四條件等式求最值

osad

要利用條件等式對已知表達(dá)式變形，利用基本不等式后要注意到取等條件的成立與否.

33

例4.（23-24高一下?湖北?期中）已知。>0,b>0,_&tz+b+2ab=4f則a+b的取值范圍是（）

A.g,2B.（孤目C.［班,2］D.（g,2

【變式訓(xùn)練1］（23-24高一上?河北邯鄲?期中）若a>b,且。匕=2,則名二正如義的最小值為（）

a-b

A.2A/5-2B.2A/6-4C.2君-4D.2瓜-2

21

【變式訓(xùn)練2】（2024高二下?浙江紹興?學(xué)業(yè)考試）已知正數(shù)a,b,c滿足c<l,a+b=4,則益+反（?）

的最小值為.

【變式訓(xùn)練3］（23-24高一上?浙江杭州?期中）已知實數(shù)X、，滿足x（x+y）=2+2/,則7/-丁的最小值

為.

類型五基本不等式求積的最大值

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

例5.（24-25高一上?山西大同?階段練習(xí)）已知機(jī)>0,〃>0,且加+〃2=1+加〃，則下列不等式恒成立的

是（）

]1?/3

A.m2+H2>2B.-H—>2C.m<----D.m3+n3<2

mn3

【變式訓(xùn)練1】（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測）已知實數(shù)羽>滿足爐+4/一2孫=1,則（）

A.x+2y<1B.x+2y>-2

C.x2+4/<2D.x2+4y2>1

【變式訓(xùn)練2】（23-24高一上?安徽安慶?階段練習(xí)）已知，>0/>0,成+2（々+?=14,則下列正確的是（）

a3

A.而的最大值為11-6忘B.^^+無花的最小值為近

C.（a+l）b最大值為8D.2a+b的最大值為6

【變式訓(xùn)練3]（24-25高一上?陜西寶雞?階段練習(xí)）已知正實數(shù)。,瓦。,。+6=3,則疝的最大值為

華nr+與3c+一3—的最小值為

babc+1

類型六基本不等式求和的最小值

V.

利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是

所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

ha

例6.（24-25高三上?黑龍江齊齊哈爾?階段練習(xí)）已知a>0,b>0,c>0,且a+3》—cN0,則一+1一的

a6b+c

最小值為（）

【變式訓(xùn)練1】（2024?山東淄博?二模）記max{x,y,z}表示x,y,z中最大的數(shù).己知羽、均為正實數(shù)，則

maxR；x2+4y2,的最小值為（）

1

A.-B.1C.2D.4

2

【變式訓(xùn)練2】（24-25高一上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）若4、Z、L、Z。25均為正實數(shù)，則

%+三+旦+—++-+4的最小值為

X]石工2%次2%3,%2024X%2…%2025

【變式訓(xùn)練3]（23-24高一上?山東?期中）已知6克糖水中含有?？颂牵╞>a>。）,再添加加克糖（機(jī)>。）

（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.

（1）請將這一事實表示為一個不等式，并加以證明；

⑵已知=,小明同學(xué)判斷添加加克糖前后的兩杯糖水中的含糖濃度值之差的絕對值肯定小于:，

判斷是否正確，并說明理由.（含糖濃度）

類型七二次與二次（或一次）的商式的最值

1.配湊法是指根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出

定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項之和為定值.

2.裂項法是指對分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離，分離為整式與“真分式”的和，再根據(jù)

分式分母的情況對整式進(jìn)行拆項，為應(yīng)用基本不等式求最值創(chuàng)造條件，進(jìn)而求出最值.

3.分離常數(shù)法對于分子和分母都是二次式的分式，可將分子按照分母的形式進(jìn)行配湊，通過分拆轉(zhuǎn)化為一

個常數(shù)和一個分式，再將分式的分子化為常數(shù)，然后利用基本不等式求最值.

例7.（20-21高二上?江蘇淮安?期中）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有.

A.如果0<x<l,那么x（4-3x）取得最大值時x的值為：

B.如果x>0,y>0,x+3y+xy=9,那么x+3y的最小值為6

C.函數(shù)〃元）=j,4的最小值為2

D.如果a>0,b>0,J!L,1,+—!—=1,那么a+2Z>的最小值為2

2a+bb+l

3k3+3k

【變式訓(xùn)練l】（23-24高一上?上海浦東新?期中）已知實數(shù)左>0,則（3丁+]“[4.2+3）的最大值為

【變式訓(xùn)練2]（21-22高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）若x,yeR+,（x-y）2=（xy）3,則工+工的最小值

xy

為.

【變式訓(xùn)練3】（2023?安徽?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)加，〃滿足2毋+2"+6加〃=27,則的取值范圍

為.

類型八基本不等式最值問題的應(yīng)用

在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，要注意以下四點：

（1）先理解題意，設(shè)變量時一般把要求最值的量定為變量；（2）建立相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為代

數(shù)式的最值問題；（3）確定變量的范圍，利用基本不等式求出代數(shù)式的最值；（4）寫出正確答案，回答實際問

題.

例8.（24-25高一上?安徽蚌埠?階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有"勾股容方"問題："今有勾五步，股十二步.問：

勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法:

如圖1,用對角線將長和寬分別為。和。的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方

形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形，該矩形長

為a+b,寬為內(nèi)接正方形的邊長d.由劉徽構(gòu)造的圖形可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3,設(shè)。為斜邊BC

的中點，作直角三角形A5c的內(nèi)接正方形對角線AE，過點A作AF13C于點F,則下列推理正確的是（）

圖I圖2圖3

A.由圖1和圖2面積相等得B.由AENAF可得」吐貴2,歸亙

a+bV4V2

廳+廿、2

C.由ADNAE可得丫~D.由ADNAF可得/+/上口+萬

ab

【變式訓(xùn)練1】（23-24高一上?江蘇連云港?階段練習(xí)）如圖所示，四邊形A8OC為梯形，其中AB=a,CE>=b,

。為對角線的交點.有4條線段（GH、KL、EF、MN）夾在兩底之間.GH表示平行于兩底且于他們等距離的

線段（即梯形的中位線），KL表示平行于兩底且使梯形4BLK與梯形KLOC相似的線段，EF表示平行與兩

底且過點。的線段，MN表示平行于兩底且將梯形A8ZJC分為面積相等的兩個梯形的線段.下列說法中正確

的有（）

B.3a,b&^,a^b,使得KL>GH

C.MN=

D.\/a,beR,a^b,EF<GH.

【變式訓(xùn)練2］（23-24高一上?湖北黃岡?期中）小明同學(xué)喜歡玩折紙游戲，經(jīng)常對折紙中的一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)

行探究.已知一矩形紙片488（其中AB>A0的周長為200cm.他把ABC沿AC向ADC折疊，AB折過

去后交。C于點P.他在思索一個問題：如果改變A8的長度（周長保持不變），-ADP的面積是否存在最大值?

請幫他確定的面積是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相應(yīng)的AB的長度；若不存在，試

說明理由？

【變式訓(xùn)練3】（22-23高一上?福建漳州?期中）已知某工廠要設(shè)計一個部件（如圖陰影部分所示），要求從圓

形鐵片上進(jìn)行裁剪，部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構(gòu)成，設(shè)矩形的兩邊長分別為CO=x,A￡>=y

（單位：cm）,部件的面積是屈cn?.

⑴求，關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出定義域；

（2）為節(jié)省材料，請問x取何值時，所用到的圓形鐵片面積最小，最小值為多少？

X壓軸能力測評??

1.（24-25高一上?湖南?階段練習(xí)）已知a>0,b〉0,且。+26=2,則下列說法正確的是（）

A.ab>—B.L"

2a2b

2

c./+〃的最小值為:D.+<2bW2

2

尤24v

2.（23-24高一上?甘肅蘭州?期末）對任意實數(shù)尤不等式而刁+/N1恒成立,則實數(shù)

。的最大值（）

A.2B.4C.-D.2a

2

3.（24-25高一上?浙江嘉興?階段練習(xí)）下列說法正確的有（）

A.>=兇的最小值為2

X

4

B.已知x>l,貝i]y=2x+——7T的最小值為4忘+1

x—1

C.函數(shù)y=I的最小值為2

VX2+4

D.若正數(shù)%。滿足％+2y=3盯，則2x+y的最小值為3

4.（2011高一?全國?競賽）定義:（i）minx表示力的最小值；（ii）[%]表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)b,

。為正數(shù),)

A.0D.4

5.（23-24高一上?安徽?階段練習(xí)）已知〃>0,b>0,且3。+。=2,則（)

A.的最大值為!

B.丁+7的最大值是2

3ab

1Q

C.的最小值是18D.+〃+6的最小值是2后—2

ab

6.（23-24高一下?安徽安慶?開學(xué)考試）已知實數(shù)。，b,。滿足/+/72+。2=1,則必+稅+2版的最大值為

7.（24-25高一上?廣西南寧?階段練習(xí)）學(xué)習(xí)了不等式的內(nèi)容后，老師布置了這樣一道題:

12

已知。>0,/?>0,且4+〃=1,求)=—+7的最小值.

ab

李雷和韓梅梅兩位同學(xué)都〃巧妙地用了々+匕=1〃，但結(jié)果并不相同.

1212121I~T

李雷的解法：由于。+匕=1,所以y=—+7+1—1=—+—+〃+/?—l=ad\-b+--l,而〃+—221a?—=2,

abababaya

5+222%2=2四.那么”2+2五-1=1+20，則最小值為1+2&.

b\b

韓梅梅的解法：由于〃+人=1,所以y=工+|*=（工+3］（〃+人）=3+2+爭，而

ab\ab）ab

3+?+網(wǎng)之3+2三互=3+2?,則最小值為3+2及.

ab\ab

⑴你認(rèn)為哪位同學(xué)的解法正確，哪位同學(xué)的解法有錯誤？（錯誤的需說明理由）

（2）為鞏固學(xué)習(xí)效果，老師布置了另外兩道題，請你解決:

⑴設(shè)。，b,c都是正數(shù)，求證：-+^+—>a+^+c；

abc

48

(ii)已知a>0,b>0,且。6+2a+6=4,求M=2a+/?H-----1-----的最小值.

a+1b+2

8.（20-21高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）兩縣城A和8相距20km,現(xiàn)計劃在縣城外以AB為直徑的半圓弧A8

（不含A8兩點）上選擇一點C建造垃圾處理站，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，垃圾處理

廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城

B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為K,對城市A和城市3的總影響度為城市A和城市2的影響度之和，記

C點到城市A的距離為心建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為V,統(tǒng)計調(diào)查表明：當(dāng)垃圾處

理廠建在A8的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

（1）將，表示成x的函數(shù)；

（2）判斷弧A8上是否存在一點，使得建在此處的垃圾處理廠對城市A和城8的總信影響度最??？若存在,

求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由.

2025高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-基本不等式最值與恒成立問題-專項訓(xùn)練(解析版)

目錄

”解題知識必備”

??壓軸題型講練2

...................................................................................................................2

類型一基本不等式“1”的妙用求最值...........................................................2

類型二基本不等式的恒成立問題................................................................3

類型三對勾函數(shù)求最值........................................................................4

類型四條件等式求最值........................................................................5

類型五基本不等式求積的最大值................................................................6

類型六基本不等式求和的最小值................................................................6

類型七二次與二次(或一次)的商式的最值......................................................7

類型八基本不等式最值問題的應(yīng)用..............................................................8

”壓軸能力測評”

??解題知識必備”

1.基本不等式：屈W號

(1)基本不等式成立的條件：a>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

2.幾個重要的不等式

ba

(l)a2+/>2^2iz/?(a,6GR)；(2)a+b22(a,6同號)；(3)a6W(2)2(o,bGR)；

a2+b2(a+6)

(4)^~bGR).

3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)

a+6_

設(shè)a>0,>>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為H，幾何平均數(shù)為由，基本不等式可敘述為兩個正數(shù)的

算術(shù)平均數(shù)大于或等于它的幾何平均數(shù).

4.利用基本不等式求最值問題

已知x>0,y>Q,則

(1)如果積犯是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,尤+y有最小值是2⑷.(簡記：積定和最小)

(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,xy有最大值是4.(簡記：和定積最大)

一個技巧

a~+b~

運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如層+評22a6逆用就是abW2-…

a-\-b僅+

丁"N4ab(a,6>0)逆用就是abW1丁72(。，b>o)等.還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立

的條件等.

兩個與形

〃2+62伍+人)

(1)22\-2~「2ab(a,Z?￡R,當(dāng)且僅當(dāng)〃=b時取等號)；

/。2士b?a+b2

(2)7-2-2-2血^三］［(。>0,6>0,當(dāng)且僅當(dāng)<3=6時取等號).

這兩個不等式鏈用處很大，注意掌握它們.

三個注意

(1)使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利

用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可.

(2)在運用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中

“正”“定”“等”的條件.

(3)連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴(yán)格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致.

??壓軸題型講練”

類型一基本不等式“1”的妙用求最值

“1”的代換

若題中不存在滿足基本不等式的條件，則需要根據(jù)條件對式子進(jìn)行恒等變形，靈活運用“1”的代換.在解題

過程中，常常將不等式乘“1”、除以“1”或?qū)⒉坏仁街械哪硞€常數(shù)用等于“1”的式子代替.

例L(24-25高一上?湖北武漢?階段練習(xí))下列選項中正確的是()

4

A.若。>0,則4H—的最小值為4

a

B.若"<0,則［+2的最大值為一2

ba

C.若xcR,則，<+2+J2+2的最小值為2

113112

D.若且丁1+丁］=20,則一+一的最大值為7

232x-l3y-lxy

【答案】ABD

【分析】A選項，直接使用基本不等式即可；B選項，變形后使用基本不等式；C選項，使用基本不等式，

但不滿足等號成立的條件，C錯誤；D選項，設(shè)=不'=/>°，則L=；皂，,=工，s+￡=20,

2x-l3y-lx3+syt+1

從而得到-+-=8-6f-^-+^-l利用基本不等式"1"的妙用求出?一+—二的最小值，從而得到'+2的

Xy13+st+lj3+st+1Xy

最大值.

4

【詳解】A選項，若。>0,則。>0,—>0,

a

由基本不等式得a+i>214=4,

a\a

4

當(dāng)且僅當(dāng)〃=—,即〃=2時，等號成立，故A正確；

a

ah

B選項，若ab<0,則7<0,—<0,

ba

故，+”-

ba

nh

當(dāng)且僅當(dāng)-：=-9,即a=-6時，等號成立，B正確;

ba

C選項，由基本不等式得+2+=—=22=2.

+2lhi

當(dāng)且僅當(dāng)=時，等號成立，

，尤2+2

但獷石=7^無解，故最小值取不到，C錯誤；

yjx+2

D選項，設(shè)-=5>0,--=>0,則-=~~7，s+，=20,

2x-l3）7-1x3+syZ+l

則雪2=二+里=2（3+s）-6.6（,+1）-

xy3+st+13+st+1（3+st+1）

bi、i3+st+11

因為s+%=20,所以=

2424

…II_（IIY3+5i+l）_1r+l3+s

八中直7十萬廠房7+^^+五）一田24（3+5）+24（+1）

、1cI1+13+51

>——+2-------------------------=-

12、24（3+s）24?+1）6

r+13+s

當(dāng)且僅當(dāng)24（3+S）即s=9j=ll時，等號成立,

24(z+l)

^1-=8-6|^―+—|<8-6xl=7,

+D正確.

xy13+st+lj6

故選：ABD

【點睛】利用基本不等式求解最值問題，方法靈活，式子不能直接使用基本不等式時，常常需要變形，比

如湊項法，"1"的妙用，消元法，多次使用基本不等式等

【變式訓(xùn)練1】（24-25高三上?重慶渝中?階段練習(xí)）已知a,6eR+,4a+b=l,則々的最大值是______.

a+b

【答案】I

II/1

【分析】先求出上+;的最小值，再將4化為口，即可求得答案.

aba+b一十7

ab

【詳解】因為〃,b￡R+,4a+〃=l,

,,11（11.z\,b4。、廠,[b4a八

故—I—=—I—\（4a+b）=5H----1--->5+2J—?——=9,

ab^<2b7ab\ab

h

當(dāng)且僅當(dāng)^=:，結(jié)合4a+b=l,即。11時等號成立，

ab63

ab=1

所以二工一口一6,即衛(wèi)的最大值是:，

—+ya+b9

ab

故答案為：—

【變式訓(xùn)練2]（24-25高一上?河南?階段練習(xí)）已知a>0,b>0.

7

（l）^1a2+b—2f證明。

4

（2）若。+6=2,不等式」不+?24（加>0）恒成立，求加的取值范圍;

⑶若c>0,求，石+2癡-2”的最大值.

4a+b+2c

【答案】（1）證明見解析

(2)[4,+oo)

【分析】（1）減少變量化為4+k/片—斗+二丁即可證明;

I2）44

(2)構(gòu)造得9(a+2)+句=1,再利用乘"1"法即可得到答案;

(3)利用族Va+2,2疝W2〃+￡即可得到答案.

42

【詳解】(1)由/+/=2得，b=2-aL,

所以1+62=6+(2一/)2=/一31+4=[2一￡|+Z>Z,

31

當(dāng)且僅當(dāng)/=:/=:時，取得等號.

22

(2)由Q+〃=2得，(。+2)+/?=4,

即，[(〃+2)+切=1,

4

4m14m1.m(a+2)4b

所以石+廠產(chǎn)+2)+力4+m+-----+----

〃+2b4ba+2

4+T+2J"(??)=l+^-m+Vm,當(dāng)且僅當(dāng)V^(Q+2)=2A時等號成立,

由題意可知，1+，根

4

整理得加+4，菊-12>0,

解得22或W-6(舍去)，所以加24,

故實數(shù)根的取值范圍為[4,+GO).

(3)因為々>0,〃>。,c>0,以VabW—|2aH—]=。H—,

2(2)4

2y[ac<2a+~,

2

故?K+2G2a<"3+即j-2。=a+"」，

4q+b+2c4a+b+2c4a+b+2c4

當(dāng)且僅當(dāng)4a=6=c時，取得等號，故疝+2疝-2a的最大值為9.

4〃+Z?+2c4

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用乘"1"法得至也+!能+標(biāo)24,最后解出即可.

4

19

【變式訓(xùn)練3】(24-25高一上?陜西西安?階段練習(xí))問題：正數(shù)〃，匕滿足a+b=l,求一+7的最小值.其

ab

中一種解法是：工+￡=(1+1](4+6)=1+2+與+223+20,當(dāng)且僅當(dāng)2=孕，且〃+人=]時，即〃=&_1

ab\abJabab

且b=2-后時取等號.學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問題:

⑴若正實數(shù)x,y滿足冷=3x+y,求1+y的最小值；

22

(2)若正實數(shù)a,b,x,y滿足且a>b,試比較片一/和。一?的大小，并說明理由；

ab

⑶利用(2)的結(jié)論，求代數(shù)式/=后口-而受的最小值，并求出使得M取得最小值時機(jī)的值.

【答案】⑴4+26

⑵/一^<(x-y)2,理由見解析.

13

【分析】(1)把沖=3x+y轉(zhuǎn)化為一+―=1,利用題設(shè)給出的方法求和的最小值.

xy

(2)借助"1"的代換，禾U用-b2

和(x-y)2的大小.

(3)取x=J3加-5,y=y/m-2,構(gòu)造--3/=1,利用(2)的結(jié)論，可求M的最小值，再分析"="成

立的條件，可得加的值.

13

【詳解】(1)由q=3x+y(x>0,y>0)可得：一+—=1(x>0,y>0),

xy

口二期

/\T13、.y