2025高考數(shù)學復習必刷題：不等式恒成立

2025高考數(shù)學必刷題

第23講不等式恒成立

知識梳理

1、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題的求解策略：

(1)通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取

值范圍；

(2)利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；

(3)根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少

碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問

題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以下原則進行求解：

(1)VxeD,加血.；

(2)VxeD,機機2/。)作；

(3)BxeD,m</(x)<s>m</(x)max；

(4)BxeD,m>/(x)<=>m>/(x)mn.

3、不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：

一般地，已知函數(shù)V=/(x),xe[a,b],y=g(x),x&[c,d].

⑴若Vx2e[c,t/],有〃項)〈名心)成立,則/(<一；

(2)若,再BX2&[c,d],有/(再)<g(x?)成立，則“耳皿<g(x)nm；

(3)若必?。,可，3X2&[c,d],有〃為)<g(%)成立，則/(工心<8⑺麗；

(4)若VWe|a,6],3x2&\c,d\,有/(不)=g(%)成立，則的值域是g(x)的值域

的子集.

4、法則1若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(1)Hm/(x)=O及l(fā)img(x)=O；

x—>ax->a

(2)在點a的去心鄰域("-￡,〃)u(q,Q+￡)內(nèi)，/(x)與g(x)可導且g'(x)wO;

1

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/'(X)

(3)lim-=/,

…g(%)

f(x)/'(x)

那么lim>4=lim勺4=/.

…g(x)/g⑺

法則2若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：⑴！吧/3=0及%83=°；

(2)3A>0,/(x)和g(x)在(-*/)與(4+°°)上可導，且g'(x)wO；

/'(X)

(3)lim—4=/,

…g(%)

f(x\/'(x)

那么lim—^4=lim)[=I.

%-8g(x)18g(%)

法則3若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件:

(1)lim/(x)=co及l(fā)img(x)=oo；

xfa%—>a

(2)在點a的去心鄰域("￡M)u(a,a+￡)內(nèi),/(x)與g(x)可導且g'(x)W0；

/'(x)

(3)lim-=/,

…g(%)

那么lim邛'=lim=I.

1。g(x)g(x)

注意：利用洛必達法則求未定式的極限是微分學中的重點之一，在解題中應注意:

(1)將上面公式中的x->a,xf+8,x——8,xftf，x.cT洛必達法則也

成立.

(2)洛必達法則可處理g,0.oo,廣，②。，。。，g—g型.

(3)在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足：，?，0-8,「，②。，o°,g—8

型定式，否則濫用洛必達法則會出錯.當不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達法則，

這時稱洛必達法則不適用，應從另外途徑求極限.

(4)若條件符合，洛必達法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

f(x)/'(X)/"(x)

limq=則鼎=如溫，如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達法則.

x—>ag(x)

2

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必考題型全歸納

題型一：直接法

例1.(2024?陜西咸陽?武功縣普集高級中學?？寄M預測)已知函數(shù)〃x)-ae，(aeR).

⑴已知函數(shù)〃x)在(0J(0))處的切線與圓/+/_2%-27-3=0相切，求實數(shù)。的值.

(2)已知x20時，/("4---辦-0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】⑴依題意，圓(x-l)2+3-l)2=5的圓心為(1』)，半徑為遙,

對函數(shù)〃x)求導得/(x)=X-a/,則函數(shù)〃x)的圖象在(0J(O))處的切線斜率為

r(0)=-a,而〃0)=-。，

于是函數(shù)“X)的圖象在(0,〃0))處的切線方程為歹+。=-狽，即ax+y+a=0,

a+1+。|

從而R=#>，解得a—2,

所以實數(shù)。的值為2.

3

(2)設g(x)=/(%)+%2+辦+4=5%2_qe"+0),依題意，當時，g(x)?0恒

成立,

求導得g'(x)=3x-ae"+a,h(x)=3x-ae+<2(x>0),求導得=3-ae"

當a23時，當xNO時，aex>3ex>3，即有“(x)VO,

因此函數(shù)為(x),即g'(x)在［0,+的上單調(diào)遞減，于是當x20時，g,(x)<g,(O)=O,

則函數(shù)g(x)在［0,+動上單調(diào)遞減,從而當xlO時,g(x)<g(O)=O,因此心3,

當0<a<3時，當0<x<ln3時，h'(x］>0,則函數(shù)〃(x),即g'(x)在0,In』］上單調(diào)遞增,

aLa)

于是當0<x<ln3時,g,(x)>g,(O)=O,即函數(shù)g(x)在0,In，上單調(diào)遞增，

aLa)

因此當0<x<ln—時，g(x)>g(O)=O,不合題意，

a

當aW0時，〃(x)>0,函數(shù)〃(Y)，即g'(x)在［0,+動上單調(diào)遞增，

則當x20時，g,(x)>g,(O)=O,即函數(shù)g(x)在［0,+e)上單調(diào)遞增,

3

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于是當x>0時,g(x)>g(O)=O,不合題意，

所以實數(shù)。的取值范圍為艮+8).

例2.(2024?山東?山東省實驗中學校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=e、-a,g(x)=ln(x+a

其中a￡R.

⑴討論方程/(#=%實數(shù)解的個數(shù)；

(2)當時，不等式/(x"g(%)恒成立，求。的取值范圍.

【解析】(1)由/(%)=x可得，e;a=x，

令s(x)=e'-x-aH(x)=eX-l,令j/=0,可得x=0,

當％￡(_QO,0)W(X)<0,函數(shù)S(X)單調(diào)遞減,

當X￡(0,+oo)w(x)>0,函數(shù)S(x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)S(x)在X=0時取得最小值1-Q,

所以當a<1時，方程/(x)=x無實數(shù)解，

當。=1時，方程/(x)=x有一個實數(shù)解，

當a〉l時，l-a<0,故s(x)min<°，

而s(-Q)=e'>0,s(a)=e"-2a,

設〃(a)=e"-2aM〉1,貝〃'(〃)=e"—2〉0,

故〃(a)在(1,+oo)上為增函數(shù)，故〃(。)>必1)=?-2〉0,

故s(%)有兩個零點即方程/(%)=x有兩個實數(shù)解.

(2)由題意可知,

不等式/(%)2g(%)可化為，ex-?>ln(x+6z),x>-?,

即當時，e，-ln(x+a)-a20恒成立，

所以—a<1,即a〉—1,

令/z(x)=e，-ln(x+Q)-Q,〃(x)=e，------,

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則“(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增，而"(1)=e-占，

當〃(1”0即。士一1+工時，/7'(》"0,/?(“在［1,+8)上單調(diào)遞增,

e

故〃(x)mm=〃⑴=e_ln(l+a)_q,

e-ln(l+?)-?>0

由題設可得，1,

a>——

e

設v(q)=e-ln(l+a)-Q,則該函數(shù)在1上為減函數(shù)，

而v(e-l)=0,i^--<a<e-1.

e

當力(l)<0即一1<°<一1+工時，因為+=—>0,

e回+1+Q

故〃(x)在(1,+8)上有且只有一個零點％,

當1cx<x()時，/?f(x)<0,而尤>x()時,為'(x)>0,

故人(x)在(1,%)上為減函數(shù)，在(%,+00)上為增函數(shù),

故”(x)mm=e&Tn(Xo+a)-aWO,

而e'°=—，故/=—In(x0+a),故e"+x?！猘20

%0+a

因為Xo>l,故j+尤0>l+e>a,故T<a<T+，符合，

e

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為

例3.(2024?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/'(力="一半,xe(0小

cosxI2

(1)當a=l時,討論〃x)的單調(diào)性；

(2)若/(x)+simc<0,求。的取值范圍.

【解析】⑴因為1，所以〃丑-黑”陷，

cosxcos2x-2cosx(-sinx卜inxcos2x+2sin2x

則/'3=1----------------4-------------二］一3

COSXCOSX

COS3X-COS2X-2(1-COS2X)_cos3x+cos2x-2

COS3Xcos3X

由于所以％=COSX￡(0,1),

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所以COS3X+COS2%—2=F+/_2=/+2/_2=^^-l)+2(z+l)(/-l)=(r+2/+2)(，一1),

因為%2+2/+2=(/+1)+1>0,/—1<0,cos3x=t3>0>

所以/'(x)=cos3x：j；x-2<0在10功上恒成立，

所以/(x)在[[上單調(diào)遞減.

(2)法一:

構(gòu)建g(x)=f(x)+sinx-ax——+sinx[<x<,

貝!Jgr(x]=a-^+S^X+cosxfo<x<—,

cosxI2)

若g(x)=/(x)+sinx<0,且g(0)=/(0)+sin0=0,

貝i」g'(O)=a—1+1=?！?,解得aVO,

當Q=0時，因為sinx--^^=sinx|1---

COSXIcosx)

又xJo，V],所以0<sinx<l,0<cosx<l,貝!J—\—>1,

I2)cosx

所以/(x)+sinx=sinx也*<0,滿足題意；

COSX

TT

當4<0時，由于0<%<]，顯然分<0,

所以f(x)+sinx=ax--嗎士+sinx<sinx--嗎”<。,滿足題意；

cosXcosX

綜上所述：若/(x)+s加<0,等價于4?0,

所以。的取值范圍為(-8,0].

法二：

國％.sinxsinxcos2x-sinxsinxfcos2x-1)sin3x

因為sinx-----二--------2------二-------2------二----廠

cosXcosXcosXCOSX

因為所以0<sinx<l,0<cosx<l,

故sinx-金竽<0在卜馬上恒成立，

COSXk

所以當。=0時，/(x)+sinx=sinx—■嗎上<0,滿足題意；

cosX

7T

當時，由于0<x<],顯然辦<0,

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所以/(x)+sinx=tzx-----+sinx<sinx----7―<0,滿足題意；

cosXcosX

?,3

當Q>0時，因為/(x)+sinx=dfx-SmX+sinx=ax-SmX,

COSXCOSX

/\sin3xf_兀、m，/\3sin2xcos2x+2sin4x

令Ag(x)=QX----—0<^<-h則g'(x)=Q-----------，--------，

cos八2；COS3X

?*刈"八'3sin20cos20+2sin40八

汪意至Ugr(0)=a------------------------------=Q〉0,

若V0<xg,g,(x)>0,則g(x)在23上單調(diào)遞增，

注意到g(o)=o,所以g(x)>g(o)=o,即〃x)+sinx>0,不滿足題意；

，1

若mO<Xo<5，g(x0)<°>貝Jg'(O)g'(Xo)<O,

所以在(0,1上最靠近x=0處必存在零點使得g'(xJ=0,

此時g'(x)在(0,占)上有g(shù),(x)>0,所以g(x)在(0,Xj)上單調(diào)遞增,

則在(0,占)上有g(shù)(x)>g(0)=0,Bp/(x)+sinx>0,不滿足題意；

綜上：a<0.

變式1.(2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/(x)=mlnx,g(尤)=4.

⑴若曲線y=〃x)在(1,0)處的切線與曲線y=g(x)相交于不同的兩點/(4乂)，B(x2,y2),

曲線y=g(無)在/,2點處的切線交于點〃(4，幾)，求西+了2-%的值；

⑵當曲線y=〃x)在(1,0)處的切線與曲線y=g(x)相切時，若Vxe(l,+s),

/(x)+eg(x)>(a+l)e-aex恒成立，求a的取值范圍.

【解析】(1)因為/''("=三，所以/下)=機，

所以曲線〉=/(》)在(1,0)處的切線方程為y=，"x-i).

X2-1

由已知得加(尤i-l)=e*T,m(x2-l)=e,不妨設1<玉<%,

又曲線夕=g(x)在點/處的切線方程為y=(尤-xj+eV,

1

在點B處的切線方程為y=/I(x-x2)+e^-,

兩式相減得(e"-ee)(x+l)-芯e'T+&e*2T=0,

7

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X2-1

將加（再一1）二9一1,m^x2-1）=e,

代入得（mF_m工2）（%+1）_再,［加（$-1）］+X2?［加（工2-1）］二0，

化簡得加（再一12）（%+2-七一工2）=0，

顯然機w0,所以/（占一3）W0,所以玉+%2-X=2,又〃@0，九），所以石+%-毛=2.

（2）當直線＞=機（》-1）與曲線y=g（x）相切時，設切點為Pag（。），

則切線方程為V-eT=e'T（xT）,將點（1,0）代入，解得1=2,此時加=e,/（x）=elnx,

根據(jù)題意得，Vxe(l,+oo),/(x)+eg(x)>(a+l)e-aex,

即eA-1+\nx+ax-a-\>Q恒成立.

令F(x)=e—+a(x-l)+lnx-l僅Sfl),則，F(xiàn)r(x)=e1-1+a+—,令力(x)=_F〈x),則

〃(x)=e，T_q,

易知”(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，所以//'(X)21(1)=0,

所以尸'(X)在［1,+8)上單調(diào)遞增，所以P(x)NF，(l)=a+2.

若-2,則尸'(x)*+220,即尸(x)在［1,+動上單調(diào)遞增，

則F（x）2尸⑴=0,所以〃x）+eg（x）＞（tz+l）e-aex在（1,+co）上恒成立，符合題意;

若4<一2,則尸'(1)=4+2<0.

yr(l+ln(-a))=/皿陜+a+——\~-=——\~->0,

乂II〃l+ln(-a)l+ln(-a)，

所以存在/e(l,l+ln(-a)),使得/'(%)=0,

當xe(l,x0)時，F(xiàn)(x)<0,尸(x)單調(diào)遞減,即尸(無)〈尸⑴=0,

所以此時存在xe。,％）,使得/（x）+eg（x）＜（a+l）e-aer,不符合題意.

綜上可得，。的取值范圍為卜2,+8）.

題型二：端點恒成立

例4.（2024?四川綿陽?四川省綿陽南山中學校考模擬預測）設函數(shù)

C兀,g(x)=/(x)+1sinx-

/(x)=siwc-xcosx0<x<一ax3.

2

8

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(1)求)(X)在x=5處的切線方程;

(2)若任意xe［0,+⑹，不等式g(x)W0恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

7171

【解析】(1)5時，/；又/'(x)=xsinx-；cosx,貝!1左二/'

|1T門口712—兀？

切線方程為：J--=-，即y=-xH---------

24

(2)g(%)=sinx-xcosx-ax3

則s'(%)-x(sinx-3ax),又令/z(x)=sinx-3ax,=cosx-3a,

①當3aV-l,即時，，(x)N0恒成立，.?.〃(x)在區(qū)間［0,+旬上單調(diào)遞增，

.?./z(x)N〃(O)=O,.?.g'(x)W0,.?.g(x)在區(qū)間［0,+司上單調(diào)遞增，

.\g(x)>g(O)=O(不合題意);

②當3。21即a時，h'(x)<0,/?(x)在區(qū)間［0,+")上單調(diào)遞減，

.-.A(x)</z(O)=O,.?.g'(x)40,，g(x)在區(qū)間［0,+一)上單調(diào)遞減,

.-.g(x)<g(O)=O(符合題意)；

③當一l<3a<l,即一§<a<g時，由/?'(0)=1—3a>0,力'(兀)=-1—3a<0,

/.3x0G(0,71),使〃(%o)=O,且％￡(0,%)時,h\x)>0,7z(x)>/z(0)=0,g'(x)>0,

???g(x)在％￡(0,/)上單調(diào)遞增，，g(%)>g(O)=O(不符合題意)；

綜上，”的取值范圍是。2g;

例5.(2024?北京海淀?中央民族大學附屬中學?？寄M預測)已知函數(shù)/(x)=xInx1②-1).

⑴當a=0時，求函數(shù)在點處的切線方程；

(2)若函數(shù)y=7'(x)在尤=1處取得極值，求實數(shù)”的值；

(3)若不等式/(%)W0對xe［1,+8)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當。=0時，f(x)=x］nx,定義域為(0,m)，/(1)=0,

/(x)=lnx+x'=l+lnx,f'(X)=1,

X

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所以函數(shù)“X)在點(lj(l))處的切線方程為k0=》-1,即x-y-l=0.

(2)f\x)=Inx+x?--lax=1+Inx-lax,

x

設/'(x)-g(x)=1+Inx—2ax,則g\x)=--2a,

JX

依題意得g")=0,即。=L,

2

111-y

當。=—時，g'(x)=----1-------，當0<%<1時，g'(x)〉0,當%>1時，g'(x)<0,

2xx

所以/'(x)=g(x)在X=1處取得極大值，符合題意.

綜上所述：

2

(3)當x=l時，/(I)=0,?GR,

當x〉l時，ff(x)=l+lnx-2ax,

令h(x)=f\x)=l+lnx-2ax,x>l,

則方(x)='_2a

XX

①當aWO時，”(幻>0在(1,+8)上恒成立，故〃O)=/'(x)在(1,。)上為增函數(shù)，

所以f\x)>/XI)=1-2。>0,故/(%)在以內(nèi))上為增函數(shù),

故/(x)>〃l)=0,不合題意.

②當a>0時，令〃(x)=0,得x=,，

2a

(i)若241,即時，在時，“(x)<0,〃(x)在(1,+s)上為減函數(shù)，

2a2

〃(x)〈加1)=1-2。40,即/'(x)<0,/(x)在(1,y)上為減函數(shù)，/(%)</(1)=0,符合題意;

(ii)若—>1,BP0<a<一時，

2a2

當工￡(1,工)時，h\x)>0,〃(x)在(1,上)上為增函數(shù)，=l—>0,

2a2a

/(X)在(1，1)上為增函數(shù)，/(x)>/(l)=0,不合題意.

綜上所述：若不等式/(x)wo對xe[l,+8)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是。2；.

例6.(2024?湖南?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)/'(x)=ln(l+x),g(x)=^,/(x)與g'(x)分別

是〃x)與g(x)的導函數(shù).

⑴證明:當a=1時,方程/(x)=g(x)在(-1,0)上有且僅有一個實數(shù)根；

10

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⑵若對任意的x€(0,+⑹，不等式/(x)>g(x)恒成立，求實數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)〃x)=ln(l+x),/(x)=占，

當。=1時,g(x)=[,g'⑴=號，

令〃(x)=/(x)-g(M=±一9+爐T，

1~A-CI11人?JG

x

令=e"+/-1,則“(％)=e+2x9

顯然〃(X)在(TO)上是單調(diào)遞增函數(shù)，且〃[￡|=1-1<0,〃(0)=1>0,

"(x)在上有唯一零點看,

J=Lxe(-l,x0)時,〃(x)<O,"(x)單調(diào)遞減，

xe(xo,O)吐”(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增,

又〃⑼=0,〃0

Ve434

.逅21

=e3+——1>e-1——>0

3J33

〃(x)=0在上有唯一的根,

，人(X)=f'(x)-g'(x)在(-1,0)上有唯一零點,

即f(x)=g'(x)在(-1,0)上有且僅有一個實數(shù)根.

(2)?."(x)-g(x)=ln(l+x)-W=[[e*ln(l+x)-辦],

eQ

令G(x)=exln(l+x)-?x,xG[0,+8),則G(0)=0,

/(x)〉g(x)等價于:G(x)>0,x￡(0,+s),

G(x)=exln(l+x)+----Q,GQ)=1-Q,

令77(x)=eXln(l+x)+------a,

則〃G)=

ii

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2i

令小)=皿1+可+k-臼*[0,+⑹，

貝心》占一高.高=篇”

故T(x)在[0,+司上單調(diào)遞增,T(x)"(0)=l,"(x)21>0,

故”(%)即6’(%)在(0,+")上單調(diào)遞增。(1)〉1-〃,

當〃V1時,G(%)>0,

???G(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

??.G(x)>G(0)=0；

當?！?時,G(0)=1—。<0，取xx=e-1+Ina>0,

貝(jln(l+%j)=In(e+Ina)>lne=1,~~〉°

、

e"1=e^.e-l+lna>e^Ina=a-,

G'(%)=e*1ln(l+%；)——Q>Q(I+°—〃=q

3X2e(0,尤J，使得G'(x2)=0,

xe(0,x2)時,G'(x)<0,G(無)單調(diào)遞減，

此時G(x)<G(0)=0,不符合題意.

綜上可知:。的取值范圍為(—」］.

變式2.(2024?四川成都?石室中學校考模擬預測)已知函數(shù)/卜)=:”/+無，函數(shù)

g(x)=e"-2x+sinx.

⑴求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵記/(x)=g(x)-/'(X),對任意的XN0,/(x)20恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)g(x)=e“-2x+sinx,函數(shù)定義域為R,

貝1Jg<x)=e"-2+cosx且g<0)=0,

令夕(x)=g'(x),0'(x)=Qx-sinx,xe(0,-FW),(p'(x^-ex-sinx>1-sinx>0,"(x)在(0,+司上

12

2025高考數(shù)學必刷題

單調(diào)遞增，

所以°(x)=g'(x)>g'(0)=0,所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+。)，

XG(-OO,0),g'(x)=ex-2+cosx<cosx-1<0,所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0).

(2)f(x)=^ax3+x,/,(x)=ax2+1,

貝ljF(x)=g(x)—f(x)=ex-2x+sinx-ax2-1,且T7(0)=0,

尸⑴=ex+cosx-2ax-2,xe［0,+司，

令G(x)=F(x),(x)=ex-sinx-2a,

令H(x)=G，(x),x>0時/T(x)=e"-cosx>1-cosx>0,

所以G［x)在［0,+司上單調(diào)遞增，

①若。弓，G,(x)>G,(O)=l-2tz>O,

所以尸(x)在［0,+司上單調(diào)遞增，所以尸(x)2尸'(0)=0,

所以尸(無)2尸(0)=0恒成立.

②若“>；,G，(0)=1-2°<0,G〈ln(2a+2))=2-sin(2a+2)>0,

所以存在x°e(0,ln(2a+2)),使G'(x0)=0,

故存在工?(。③)，使得G，(x)<0,

此時G(x)單調(diào)遞減，即尸'(無)在(0,x°)上單調(diào)遞減，

所以尸'(x)<r(o)=o,故/(x)在(0,x。)上單調(diào)遞減，

所以此時尸(x)4尸(0)=0,不合題意.

綜上，a<—.

2

實數(shù)。的取值范圍為，叫;.

變式3.(2024?寧夏銀川?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)〃x)=學.

⑴討論〃x)在［0,可上的單調(diào)性；

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2025高考數(shù)學必刷題

⑵若對于任意xe，若函數(shù)/(x)V區(qū)恒成立，求實數(shù)人的取值范圍.

【解析】(1)

川(x)〉0,則0<x<；；r(x)<0,則:

JTjr

所以在0,-單調(diào)遞增，在~,71單調(diào)遞減.

(2)令g(x)=?^-Ax,有g(shù)(0)=0

當上V0時，x>0,e'>0,sinx>0,g(x)>0,不滿足;

當4>0時，/(尤)尸黃口后,

令/z(x)=g'(x)=c°s；sinx_L

所以"(x)=二|浮<0在1身恒成立,

則g'(x)在單調(diào)遞減，

g'(o)=i-k,卜三一“<°，

①當1-左V0,即左21時，g,(x)<g,(0)<0,

所以g(x)在單調(diào)遞減,

所以g(x)Vg(O)=O,滿足題意;

②當1一左>0,即0<上<1時,

因為g'(x)在畤單調(diào)遞減，g<0)=->0,g'-k<0

e-

[4]，使得g'(x0)=0,

所以存在唯一％G

所以g(x)在(o,x0)單調(diào)遞增,

所以g(x0)>g(O)=O,不滿足，舍去.

綜上：上21.

變式4.(2024?四川瀘州?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=(x-1)/+辦+2.

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2025高考數(shù)學必刷題

⑴若單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)若xNO,/(x)>sinx+cosx,求a的取值范圍.

【解析】(1)由/(x)=(x-l)e'+ax+2,得/(x)=xe*+a,

由于〃x)單調(diào)遞增,則f(x)20即a2—疣工恒成立，

令g(x)=fe",則g，(x)=-(x+l)e",

可知x<-l時，g'(x)>0,則g(x)在(3,-1)上單調(diào)遞增；

尤>-1時，g'(x)<0,則g(x)在(-1,母)上單調(diào)遞減，

故尤=-1時，g(x)取得極大值即最大值g(-l)=L

e

故awL所以a的取值范圍是，,+s].

eLeJ

(2)由題意x20時，/(x)Nsinx+cosx恒成立，即(x—l)e“+tzx-sinx-cosx+2>0；

令/z(x)=(x-l)e"+ax-sinx-cosx+2,原不等式即為〃(x)20恒成立，

可得MO)=0,〃'(x)=xe"+a-cosx+sinx,"(0)=a-1,

令〃(x)=A\x)=xex+a-cosx+sinx,貝〃'(x)=(x+l)ex+sinx+cosx,

又設心)=(x+l)e",則/(%)=(%+2)e”,

貝iJxNO,/(x)>0,可知(X)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

若工￡0,1-J,有(x+l)e”>0,sinx+cosx>0,則/(x)>0；

若1^+8)，有(x+l)e”+>e,

貝U/(%)=(x+l)ex+sinx+cosx>0,

所以，x>0,u\x)>0,則〃(x)即人(x)單調(diào)遞增，

(i)當a—GO即〃21時，Ar(x)>^(0)>0,則〃(%)單調(diào)遞增,

所以，〃(02〃(0)=0恒成立，貝符合題意.

(ii)當〃一1<0即a<1時，〃'(0)<0,

〃'(2—〃)=(2—a)e2~a+a-cos(2一a)+sin(2-a)>2-a+a-cos(2一a)+sin(2一a)〉0,

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2025高考數(shù)學必刷題

存在％e(O,2-a),使得〃每)=0,

當?！从?lt;/時，h\x)<0,則。x)在(0,%)單調(diào)遞減,

所以〃(x)<a(o)=o,與題意不符，

綜上所述，。的取值范圍是[1,+8).

題型三：端點不成立

例7.(2024?重慶?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/"(尤)=alnx-x(a片0).

⑴討論函數(shù)/(x)的極值；

(2)當x>0時，不等式h-2/&)*皿/(苫)]+1恒成立，求。的取值范圍.

eA

【解析】(1)由題意可得：AM的定義域為(0,+。)，且/(x)=@-l=巴三，

xx

①當a<0時，則x>0,a-x<0,可得/'<x)<0,

所以/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞減，無極值；

②當。>0時，令/'(無)>0,解得0<x<a；令/'(x)<0,解得x>。；

則/(x)在(0,。)上單調(diào)遞增，在(。,+動上單調(diào)遞減，

所以/(x)有極大值/(a)=alna-a,無小極值；

綜上所述：當a<0時，/(x)無極值；

當。>0時，/⑸有極大值/⑷=alna-a,無極小值.

(2)因為土-2/(x)2sin[/(x)]+l,貝Ue小)-2/(x)-sin[/(尤)]-120,

構(gòu)建g(x)=e》-2x-sinx-1,貝(jgz(x)=ex-2-cosx,

①當xVO時，則1,—cosxVl,則g'(x)=e、—2—cosx<0,等號不能同時取到,

所以g(x)在(-8,0]上單調(diào)遞減；

②當x>0時，構(gòu)建°(x)=g'(x),則？'(x)=e"+sinx,

因為e*>1,sinx>-L貝ij夕'(x)=e"+sinx>0,

所以°(x)在(0,+司上單調(diào)遞增，

且夕(0)=-2<0,e(l)=e-2-cosl>e-2-cos；=e-2———>0,

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2025高考數(shù)學必刷題

故°(x)在(0,+“)內(nèi)存在唯一零點與e(O,l),

當0<尤<x()時，則9(x)<0；當X>/時，則o(x)>0；

即當0<x</時，貝|g'(x)<0；當x>/時，則g'(x)>0；

所以g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(％,+QO)上單調(diào)遞增；

綜上所述：g(x)在(-00,/)上單調(diào)遞減，在(％,+(?)上單調(diào)遞增,

貝Ug(x)上g(x°)=e?-2/-$吊/一1,且g(Xo)<g(O)=O,

g(x)的圖象大致為：

對于函數(shù)/(x),由(1)可知：

①當.<0時，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

且當X趨近于0時，/(X)趨近于+00,當X趨近于+00時，/(x)趨近于-8,

即"X)的值域為R,則g(/(無)”0不恒成立，不合題意；

②當°>0時，“X)在(0,。)上單調(diào)遞增，在(。,+<?)上單調(diào)遞減，

則/(x)v/(a)=alna-a,且當X趨近于0時，/⑴趨近于當X趨近于+oo時，/(x)趨近

于一oo,

即f(x)的值域(-8,alna-a],

若g(〃x)”0恒成立，則“X)40恒成立,

即a\na-a<0,解得0<a<e；

綜上所述：〃的取值范圍(0,e].

例8.(2024?江蘇南京?高二南京市中華中學校考期末)已知函數(shù)

/(x)=lnx+lnQ+(Q-l)x+2(〃>0).

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2025高考數(shù)學必刷題

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

(2)若不等式ei>/(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】(1)/⑴的定義域為(0,+8),f\x)^-+a-\,

X

當。并時，r(x)>o,在電舟)上為增函數(shù)；

當0<a<1時，由/'(x)>0,得由/'(x)<0,得x>-!-,

1—a1-a

所以在(0,J)上為減函數(shù)，在(」,+8)上為增函數(shù).

1-a\—a

綜上所述：當。21時，/(X)在(0,舟)上為增函數(shù)；當0<a<l時，/(X)在?！?上為減函

1-a

數(shù)，在(;L,+00)上為增函數(shù).

\-a

(2)ex~2>/(x)oex_2>lnx+ln〃+(〃-l)x+2oex~2+x-2>\n(ax)+ax

u>Inex_2+ex~2>ln(〃x)+ax,

設g(x)=lnx+x,則原不等式恒成立等價于8(廣2)2g(Qx)在(0,+oo)上恒成立，

g((x)=-+l>0,g(x)在(0,+co)上為增函數(shù)，

X

則g(e*2)>g(“x)在(0,+oo)上恒成立,等價于ex-22"在(0,+00)上恒成立,

等價于。WJ在(0,舟)上恒成立

X

^x-2_x-2_x-2_x-2/?i\

A.7/、e/r?\7,/、ex—ee(x—1)

令h(x)=——(x〉0),h\x)=----------=——

XXX

令h\x)<0,得0cx<1,令hr(x)>0,得X〉1,

所以Mx)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+q)上為增函數(shù)，

所以/幻血一如人］，故0<。/.

ee

例9.(2024?江西?校聯(lián)考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=手-x+1.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對于任意的xe(0,+oo),〃x)+,+xVae"恒成立，求實數(shù)。的最小值.

【解析】⑴由〃x)=*x+l定義域為xe(O,+⑹

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2025高考數(shù)學必刷題

▽--x-\wc-y

又"'__1=1_lux_12

x2

令〃(x)=l-Inx--,顯然〃(x)在(0,+功單調(diào)遞減，且〃(1)=0；

???當、￡(0,1)時，A(x)>0=>/r(x)>0；

當x￡(l,+oo)時，〃(x)<0n/r(x)<0.

則/(%)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+8)單調(diào)遞減

(2)法一：：任意的xe(O,+(?),〃x)+L+xVae”恒成立，

；?+x+inxV"e'-X?-1恒成立，即aN￡±里±1恒成立

xe

人/、x+lux+1，/、-(x+l)(x+lnx)

令g(x)=r^，則niI戈(尤)=(工工一]

人cXC

令〃(x)=x+lnx,則〃(%)在(0,+動上單調(diào)遞增，

?//jflVl-UO,A(l)=l>0.

,存在X。egl],使得丸(%)一天+岫=0

當xe(O,x())時,A(x)<0,g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當xe(%,+oo)時，/?(%)>0,g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

由/+lnx0=0,可得/=-lnx0,

??ijg(力鋁滬=1,

Aoc

「x+lux+1

又丑一

：.a>lf故。的最小值是1.

法二:

Y+Iny-I-1

???-Y+x+In無V"e，-/一i恒成立，即。wx”：+1恒成立

xe

x+Inx+1x+lux+1x+lux+1

令g(x)=】

xeeclnxe—Xenx+x

不妨令"x+lnx(x>0),顯然￡=x+lnx在(0,+動單調(diào)遞增nzwR.

，。2“二在，￡氏恒成立.

e

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2025高考數(shù)學必刷題

令/?(7)=與二1(/)=」

ee

.?.當fe(fO)時，”(。>0；

當te(0,+8)時，h'(t)<0即2)在(-8,0)單調(diào)遞增

g)在(0,+。)單調(diào)遞減

：.a>\,故。的最小值是1.

變式5.(2024?四川綿陽?四川省綿陽南山中學?？寄M預測)已知函數(shù)"x)="x-ln無，aeR.

(1)若。=■,求函數(shù)/(x)的最小值及取得最小值時的x值；

e

(2)若函數(shù)<xe'-(a+1)Inx對xe(0,+s)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】(1)當。=工時，/(x)--x-lnx,定義域為(0,+e),

Qe

所以廣(同=［一!=］，令/(》)=0得彳=0,

exex

所以，當x￡(O,e)時，/\x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當x￡(e,+8)時，/r(x)>0,/(%)單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)/(%)在％=e處取得最小值，/(%)*=/⑻=0.

(2)因為函數(shù)/⑺Wxe"-(a+l)lnx對％￡(0,+8)恒成立

所以xe"-“x+lnx)20對x￡(0,+oo)恒成立，

令〃(％)=xe%-tz(x+lnx),x>0,則h\x)=(x+l)ex-tz(l+—)=(x+l)(ex--),

①當”=0時，h\x)=(x+1)^>0,力(x)在(0,+的上單調(diào)遞增，

所以，由〃(x)=xe"可得〃(工)>0,即滿足xe"-a(x+lnx)「0對x?0,+8)恒成立;

②當〃<0時，則-a>0,h\x)>0,〃(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，

因為當x趨近于0+時，〃(%)趨近于負無窮，不成立，故不滿足題意；

③當Q>0時，令〃'。)=0得4=雙"

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2025高考數(shù)學必刷題

令k(x)=e=g左'(x)=e，+/>0恒成立，故人(力在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因為當x趨近于正無窮時，左卜)趨近于正無窮，當x趨近于0時，Mx)趨近于負無窮，

Xo

所以瑞e(0,+oo),使得〃(％)=0,a=x0e,

所以，當xe(O,Xo)時，h\x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

當xe(%,+00)時，h'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增,

所以，只需/小熱=〃(%)=/6'。-<7伉+出工0)=/6"。(l-Xo-lnx?！?即可；

所以，l-Xo-ltiXo2O,l>x0+lnx0,因為尤。二訛f，所以In%=lna-尤。,

所以Inxo+x。=lnaVl=lne,解得0<aVe,所以，ae(0,e],

綜上所解，實數(shù)。的取值范圍為[0,e].

變式6.(2024?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=ei-alnx,其中aeR.

⑴當。=1時，討論“X)的單調(diào)性；

⑵當xe[O,可時，2/(x+l)-cosx，l恒成立，求實數(shù)0的取值范圍.

【解析】(1)當。=1時，y(x)=ei-lnx,函數(shù)AM的定義域為(0,內(nèi))，

求導得/'(x)=ei