2024學(xué)年通化市某中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年通化市集安一中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷

滿分150分，時(shí)間120分鐘

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第十章，選擇性必修第一冊(cè)第二章、第三章3.1.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.直線y=i0°一氐的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.120°D,150°

2.某生物實(shí)驗(yàn)室有3種月季花種子，其中開紅色花的種子有200顆，開粉色花的種子有150顆，開橙色

花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆，則這顆種子對(duì)應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為（）

185152

A.——B.——CD.-

5314,537

22

3.已知橢圓C:土+'=1的短軸長(zhǎng)為4,則加=（）

mm

A.2B.4C.8D.16

4.若方程a/+"2+岳；一4歹+〃=0表示一個(gè)圓，則b的取值范圍為（）

B.

r4G2

c.-----,----

33DJ呼。卜［?！雒?/p>

5.已知直線/與直線x-y+5=0平行，且與橢圓x2+匕=1的交點(diǎn)為則

4

乃+歹2=（）

A.—4（西+B.4（%j+x2）

6.若直線歹=左（'-3）-1與曲線Cy=，2-Y有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則左的取值范圍是（）

3+V2

A.-年B.7-，-7

(,3+V23+

C.D.(-oo,-l)u|-^

‘―二7

2

7.已知圓/：（x+1）+v2=1內(nèi)切于圓P,圓P內(nèi)切于圓B：(x-l)"+y2=64,則動(dòng)圓尸的圓心軌跡

方程為（）

222222

xy122

工+匕=1—?——i------1-------Ixy1

A.4945B.8177C.4933D.—+—=1

95

TT~4T44

8.已知圓M:/+6y=0與圓N:(x-cos6)2+(>-sin。)？=1(0<2兀)交于43兩點(diǎn)，則

△48河為圓M的圓心）面積的最大值為（）

99

A.V2B.-C.2亞D..

42

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線x+my-m-2=0,l2：4x+y-9=0,貝!]()

A.當(dāng)加=一4時(shí)，\-L12B,存在實(shí)數(shù)相，使得/"/4

D.4與直線4x+>+8=0之間的距離為JF7

C.當(dāng)他=4時(shí)，-L12

10.有四個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒內(nèi)都有3個(gè)水晶崽崽，其中三個(gè)盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽、藍(lán)色水晶

崽崽、粉色水晶崽崽，剩下的那個(gè)盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個(gè)盲盒,設(shè)事件A為“所

選盲盒中有紅色水晶崽崽”，3為“所選盲盒中有藍(lán)色水晶崽崽”，C為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則

()

A.A與B不互斥B.P(^)+P(5)+P(C)=1

P（BIC）=：

D.A與8相互獨(dú)立

II.已知曲線c：/+/—26忖+2M=0,則（）

2

A.C關(guān)于〉軸對(duì)稱B.C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.。的周長(zhǎng)為等D.直線y=0.2x—0.2與C有2個(gè)交點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從1,2,3,4,5,7這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)的概率為.

13.在V48c中，/(—5,0),C(5,0),\AB\=2\BC\,則點(diǎn)3的軌跡方程為.

14.已知尸為橢圓C上一點(diǎn)，F(xiàn)],乙為。的兩個(gè)焦點(diǎn)，/產(chǎn)片笈=30。，忸片|=|片四，則。的離心率

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(1)若直線/經(jīng)過點(diǎn)(、后」)，且與直線底+2y-1=0平行，求直線/的一般式方程；

(2)若直線/經(jīng)過點(diǎn)(-3,7),且/在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線/的斜截式方程.

2

16.A,B,。三人參加知識(shí)闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立.已知A闖關(guān)成功的概率是一，A,

3

B,。三人闖關(guān)都成功的概率是工，A,B,C三人闖關(guān)都不成功的概率是

612

(1)求8,C兩人各自闖關(guān)成功的概率；

(2)求A,B,C三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率.

17.已知圓。：/+祈+/+為=34+82"為常數(shù)).

(1)當(dāng)2=2時(shí)，求直線4x-3y-4=0被圓C截得的弦長(zhǎng).

(2)證明：圓C經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn).

(3)設(shè)圓。經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)為尸，Q,若加(412-X),S.\PM\=\QM\,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

22___

18.已知橢圓C：二+-^―=1(?>1)的左、右焦點(diǎn)分別為兩點(diǎn)均在C上，且麗?妮=0,

FX,F2,A,B

aa-1

/F、AB=ZBAF2.

(1)若|福1=1通I，求C的方程；

(2)若|而國(guó)正直線與y軸交于點(diǎn)P,且彳萬=3而，求四邊形/尸出尸2的周長(zhǎng).

19.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸到X軸的距離為且尸『=x+〃d2,其中乙〃均為常數(shù)，動(dòng)點(diǎn)尸的

3

軌跡稱為（乙〃）曲線.

（1）若［g,〃）曲線為焦點(diǎn)在〉軸上的橢圓，求〃的取值范圍.

（2）設(shè)曲線。為卜曲線，斜率為左（左彳0）的直線/過。的右焦點(diǎn)，且與。交于48兩個(gè)不同的

點(diǎn).

（i）若后=2,求以同；

（ii）若點(diǎn)3關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。，證明：直線40過定點(diǎn).

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中考試

高二數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第十章，選擇性必修第一冊(cè)第二章、第三章3.1.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.直線y=i0°一屈的傾斜角為（）

A.30°B,60°C.120°D,150°

【答案】C

【解析】

【分析】由傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算即可得.

【詳解】由左=-G，得傾斜角為120。.

故選：C.

2.某生物實(shí)驗(yàn)室有3種月季花種子，其中開紅色花的種子有200顆，開粉色花的種子有150顆，開橙色

花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆，則這顆種子對(duì)應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為（）

4

185152

A.—B.—D.

53147

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.

18018

【詳解】這顆種子對(duì)應(yīng)開花的顏色為橙色的概率為

200+150+18053

故選：A

22

3.已知橢圓C:土+二=1的短軸長(zhǎng)為4,則加=（）

mm~

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)短軸長(zhǎng)求得〃=4,討論加，加2大小及橢圓定義求參數(shù).

【詳解】由C的短軸長(zhǎng)為4,得26=4,即6=2,則62=4,

若加〉〃/〉0no（加＜1,則加2=4，顯然矛盾;

若加2〉加〉0=＞加〉1，則加=4.

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)加=4時(shí)，橢圓C:土+J=1的短軸長(zhǎng)為4,

mm

故選：B

4.若方程a/+"2+人工一4^+a=0表示一個(gè)圓，則Z?的取值范圍為（）

、

7

【答案】D

【解析】

【分析】將方程化為圓的一般方程，利用。2+￡2_4E〉。列式即可求.

5

【詳解】若方程ax?+勿2+Z?x-4y+。=0表示一個(gè)圓，則a=6w0,

方程可化為x+y+x—y+1=0,

b

所以1+（—f）2—4>0,解得一&5<b（述，且6不等于0,

I"33

所以一o或0<人<^1.

33

故選：D

5.已知直線/與直線x—.v+5=0平行，且與橢圓必+21=1的交點(diǎn)為/（再,%），3（x2，%），則

4

%+%=（）

A.-4（%j+x2）B.4（x（+x2）

C.——+Xj）D.—+%2）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合斜率，利用點(diǎn)差法可得解.

【詳解】因?yàn)橹本€/與直線x-y+5=0平行，

所以直線/的斜率為1,即匕二匹=1,

國(guó)-x2

因?yàn)锳,B都在橢圓/+上=1上，

4

22

所以x；+\-=l,xl+--=l，

則4（X：_x；）+y；-y；=0,

即4（再+%2）（%-馬）+（%+%）（乃-%）=0,

所以4（苞+%）+（弘+必）1％=0，

所以M+外=-4（再+%）,

6

故選：A.

6.若直線>=左（》-3）-1與曲線C：y=52-有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),則左的取值范圍是（

3+V2

A.B.

T-，-7

(3+亞/?3+^2

1D.(一叫-1)U———

’一7

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線3；=也二？是以原點(diǎn)為圓心，、回為半徑的圓的x軸的上半部分（含

x軸），求出直線與圓相切時(shí)左的值，再結(jié)合圖形即可求解.

【詳解】由y=72-x2得Y+y2=2(y>0),

所以曲線是以原點(diǎn)為圓心，、巧為半徑的圓的X軸的上半部分（含X軸），

直線y=Mx-3)-1過定點(diǎn)尸(3,-1),

當(dāng)直線>=左（了一3）—1與圓/+/=2Q?0）相切時(shí),

,|0-0-3A：-l|r-

圓心到直線的距離d='_I——了=72,

J1+左2

解得上=-1或左=’（舍去），

7

當(dāng)直線歹=左（》+2）+1過點(diǎn)/（"0）時(shí),

直線斜率為人皆

7

7

結(jié)合圖形可得實(shí)數(shù)左的取值范圍是-1,-言叵].

故選：C.

2

7.已知圓/：（x+l『+y2=1內(nèi)切于圓p圓P內(nèi)切于圓3：（x-l）+/=64,則動(dòng)圓尸的圓心軌跡

方程為（）

222222

XV1XV1XV122

A.49+45=lB.8f+T7=lC.49+33=lD.土+匕=l

——————95

444444

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)和橢圓的定義求得：2c=2,2a=7,再利用。，b,c的關(guān)系求解方程即可.

【詳解】圓A的圓心/（—1,0）,半徑。=1,圓2的圓心8（1,0）,半徑々=8,

設(shè)圓尸的半徑為R,

由于圓A內(nèi)切于圓尸，所以陷|=尺-【尺-1；

由于圓P內(nèi)切于圓B,所以|必|=々-尺=8-尺；

由于+|尸川=7＞[48卜2,

所以點(diǎn)尸的軌跡為以A,B為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為7的橢圓.

74945

則2a=7,c=1,所以a=—,b2=a2-c2=--\=—；

244

22

工+匕=1

所以動(dòng)圓尸的圓心的軌跡方程為變變一.

TT

故選：A

8.已知圓M:犬+/一6y=0與圓N:（X-cos0）2+（y-sin0）2=1（0＜。＜2兀）交于43兩點(diǎn)，則

△ABM（M為圓"■的圓心）面積的最大值為（）

r-9r-9

A.y/2B.—C.2V2D.—

【答案】C

【解析】

8

【分析】求出兩圓的半徑，從而可得48<2,因?yàn)闉殇J角，所以要使的面積最大，只

要sin取得最大值即可，此時(shí)|48|=2,解出/的面積，即可得解.

【詳解】由題意得：M:X2+(J-3)2=9,所以圓心M(0,3),半徑r=3,

由兩圓相交于45兩點(diǎn)可知：|肱4|=0四|=r=3,

所以的面積S".=||M4|x|Affl|xsinZ^Affl

=—x3x3xsinZ.AMB

2

9

=-sinZAMB,

2

因?yàn)镹是半徑為1的圓，所以|45區(qū)2,

當(dāng)|/周=2時(shí)，|ACV|=V32-l2=2V2，又pw|=Jcos28+(sin6—3)2=210—6sin6，

1DB

此時(shí)由J10—6sin6=2jl，解得sin6?=§,cos(9=±^->故|4B|可以取最大值2；

所以當(dāng)|4B|=2時(shí)，NAMB最大,且是銳角，

根據(jù)函數(shù)>=$由1的單調(diào)性可知：當(dāng)|/同=2時(shí)，sin/ZMB最大，

222222

十入力-el，曰力MA+MB-AB3+3-27

在中由余弦定理可得：cosZAMB=-----------------------=--------------=—

2MAxMB2x3x39

4V2

所以sin/Z〃B=

9

所以義晅=2亞，

△ADJVI29

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角形的面積公式表示面積之后，關(guān)鍵點(diǎn)在于利用圓的幾何性質(zhì)尋找的

最大值，從而確定面積的的最大值.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知直線4：x+my-m-2=0,l2：4x+y-9=Q,則（）

9

A.當(dāng)加=—4時(shí)，/1，，2B,存在實(shí)數(shù)相，使得/〃右

C.當(dāng)機(jī)=4時(shí)，/1_L，2D.4與直線4x+y+8=0之間的距離為JF7

【答案】AD

【解析】

【分析】通過加的取值結(jié)合垂直和平行的要求判斷A,B,C；,利用平行線間的距離公式判斷D.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)加=一4時(shí)，4：x-4V+2=0,/2：4x+y-9=0,

止匕時(shí)1x4+（—4）xl=0,所以故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)/]〃/2時(shí)，1x1—4加=0且1x（-9）*4x（—加—2）,無解，

故不存在實(shí)數(shù)如使得4〃/2；故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)加=4時(shí)，k：x+4y-6=0,l2：4x+y-9=0,

止匕時(shí)lx4+4xlw0,所以4與4不垂直，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)?x1—4x1=0且4x8w4x（—9）,所以乙與直線4x+>+8=0平行,

-

|9—8lI—

距離為---J*,故D正確,

信+干

故選：AD.

10.有四個(gè)盲盒，每個(gè)盲盒內(nèi)都有3個(gè)水晶崽崽，其中三個(gè)盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽、藍(lán)色水晶

崽崽、粉色水晶崽崽，剩下的那個(gè)盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個(gè)盲盒,設(shè)事件A為“所

選盲盒中有紅色水晶崽崽”，3為“所選盲盒中有藍(lán)色水晶崽崽”，C為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則

)

A.A與8不互斥B.P（Z）+P（8）+P（C）=1

C.P（BIC）=：

D.A與B相互獨(dú)立

【答案】ACD

【解析】

【分析】由互斥事件，獨(dú)立事件，以及各個(gè)事件的概率關(guān)系逐一判斷即可;

【詳解】對(duì)于A,A和8可以同時(shí)發(fā)生，故A正確;

10

對(duì)于B,因?yàn)镻（/）=；,P（8）=；,P（C）=；,

所以P（/）+P（3）+P（C）Wl,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,P（BcC）=—x—=—,故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)槭?8）=；,所以P（/）P（5）=P（45）,故D正確；

故選：ACD.

11.已知曲線C:—+j；2—2+2M=0,則（）

A.。關(guān)于丁軸對(duì)稱B.C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.C的周長(zhǎng)為也D.直線y=o.2x—0.2與。有2個(gè)交點(diǎn)

3

【答案】ABC

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)（%,九）在曲線。上，分別代入點(diǎn)（-%,%）與（—/,—%），可判斷AB選項(xiàng)；。分別確定

曲線在各象限時(shí)的圖形及其對(duì)應(yīng)的曲線，可判斷C選項(xiàng)與D選項(xiàng).

設(shè)點(diǎn)（%，%））在曲線。上，即*+/一2百|(zhì)%|+2|比|=0,

A選項(xiàng)：代入點(diǎn)（一%,%）,可知+4-2百卜x（J+2瓦卜片+y：-26卜0|+2卜0|=0,

即點(diǎn)（-/，％）在曲線C上恒成立，所以曲線C關(guān)于〉軸對(duì)稱，A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)：代入點(diǎn)（一x（）,,得（-/）+（-%）—2百卜x（J+2卜%|=k+y；—26卜0|+2M|=0,

即點(diǎn)（-5,-%））在曲線C上恒成立，所以曲線。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)正確；

C選項(xiàng)：當(dāng)x=0時(shí)，了=0,當(dāng)y=0時(shí)，工=0或工=±2右，即C過（0,0）,卜26,0）,（273,0）a

點(diǎn)，

當(dāng)x〉0,y〉0時(shí)方程為Y+J?—2氐+2y=0，即（X—G『+（y+l）2=4,表示以點(diǎn)（百1）為

11

圓心，2為半徑的圓在第一象限的部分；

當(dāng)x>0,y<0時(shí)方程為2瓜一2y=0,即（x—百『+（y—1）2=4,表示以點(diǎn)（G』）為圓

心，2為半徑的圓在第四象限的部分；

當(dāng)x<0,V〉0時(shí)方程為x2+v2+2瓜+2y=0,即（x+百『+（y+11=4,表示以點(diǎn)卜聲,—1）為

圓心，2為半徑的圓在第二象限的部分；

當(dāng)x<0,y<0時(shí)方程為/+/+2瓜—2y=0,即（x+G『+（y—1/=4,表示以點(diǎn)卜6,1）為

圓心，2為半徑的圓在第三象限的部分；

曲線在第一象限部分的方程為x-+y2-2氐+2j=0設(shè)圓心為M-1）,與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為

0（0,0）,2（2道,0）,則N（WB=g,

2兀4兀

所以第一象限內(nèi)圖形所表示弧長(zhǎng)為2x——二——，

33

4兀16兀

又曲線。關(guān)于>軸及原點(diǎn)對(duì)稱，所以曲線c的周長(zhǎng)為4x——=——，c選項(xiàng)正確；

33

D選項(xiàng)：直線歹=0.2x-0.2,過點(diǎn)（1,0）,在曲線C右半部分的內(nèi)部，

所以與曲線。右半部分有2個(gè)交點(diǎn)，且直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，

又直線y=0.2x—0.2當(dāng)6時(shí)，尸/二1,

5

即過點(diǎn)_6一,_],在曲線C左半部分的內(nèi)部，

所以直線與曲線C左半部分有2個(gè)交點(diǎn)，

綜上所述直線與曲線C有4個(gè)交點(diǎn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.從1,2,3,4,5,7這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)的概率為.

2

【答案】-##0.4

5

【解析】

【分析】利用列舉法求解，先列出從6個(gè)數(shù)任取2個(gè)數(shù)的所有情況，再列出這2個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)的情況，然

后利用古典概型的概率公式求解即可.

12

【詳解】由1,2,3,4,5,7這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)構(gòu)成的樣本空間為：

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,7)),

所以樣本空間Q共15個(gè)樣本點(diǎn)，

記2個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)為事件A,

則Z={(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)),事件A共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，

/、n(A\62

所以這2個(gè)數(shù)均為質(zhì)數(shù)為事件A的概率為尸(4)=47K

12)155

…12

故答案為：一.

5

13.在V4BC中，/(—5,0),C(5,0),\AB\=2\BC\,則點(diǎn)8的軌跡方程為.

,,50

【答案】x+v-----x+25=0

-3

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)B(x,y),分別表示|/可與忸化簡(jiǎn)即可.

【詳解】設(shè)點(diǎn)5(x,y),

則M8|=J(X+5)2+『,\BC\=/x-5)2+y2，

貝1^(%+5)2+/=2/x-5)2+y2，

、050

化簡(jiǎn)可得x2+y2——x+25=0,

?3

50

故答案為：x9+y0-----x+25=0.

3

14.已知尸為橢圓C上一點(diǎn)，片，鳥為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，NP43=30。，|尸耳|=|不目，則C的離心率

為.

［答案］3±1與

2

【解析】

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值結(jié)合橢圓的定義與性質(zhì)計(jì)算即可

【詳解】如圖，取線段的中點(diǎn)連接大反，

13

因?yàn)閨尸耳1=1與工I，N兩巴=30。,

所以/片W=75。，且片

\PM\,、-

所以cosZF^PM=^j-----；=cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=

iS|PM|=(V6-亞|尸用=4左，

c_2c閨閭I0用_4k

所以c的離心率為\PF{\+\PF2\~IPFJ+IP^I-4k+2(胃-二「

=2=.=0(0-1-網(wǎng)=1-G)=百+1—/

2+V6-V2V2+V3-1(V2-1V-3—2V22

6+1-亞

故答案為:

2

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(1)若直線/經(jīng)過點(diǎn)(、行,1),且與直線后+2y-1=0平行，求直線/的一般式方程；

(2)若直線/經(jīng)過點(diǎn)(-3,7),且/在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線/的斜截式方程.

7

【答案】(1)-x/5x+2y—7=0(2)y=—或y=x+10

【解析】

【分析】(1)由題意設(shè)直線方程為：氐+2y+C=0,代入(逐」)即可求；

(2)分直線截距為0和不為0兩種情況討論即可求.

【詳解】(1)設(shè)所求直線方程為：45x+2y+C=0,

因?yàn)橹本€/經(jīng)過點(diǎn)(逐,1卜

14

所以6XJ?+2xl+C=0,解得C=—7,

所以直線/的一般式方程為JL;+2y-7=0；

7

（2）當(dāng)直線/的截距為0時(shí)，直線/方程為：y=——x,

-3

當(dāng)直線/的截距不為0時(shí)，由題意可設(shè)直線/方程為：x-y=a,

因?yàn)橹本€/經(jīng)過點(diǎn)（-3,7）,

所以—3—7=。，所以。=—10,

所以直線/方程為：x-v=-10,即y=x+10,

7

綜上所述：直線/方程為y=—或y=x+10.

一2

16.A,B,C三人參加知識(shí)闖關(guān)比賽，三人闖關(guān)成功與否相互獨(dú)立.已知A闖關(guān)成功的概率是一，A,

3

B,。三人闖關(guān)都成功的概率是,，A,B,。三人闖關(guān)都不成功的概率是‘■.

612

（1）求B,C兩人各自闖關(guān)成功的概率；

（2）求A,B,C三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率.

【答案】（1）B,。兩人各自闖關(guān)成功的概率都是（2）—

212

【解析】

【分析】（1）記4團(tuán)。三人各自闖關(guān)成功分別為事件。，瓦尸，三人各自獨(dú)立闖關(guān)，由題意結(jié)合獨(dú)立事

件的概率公式可列出方程組，從而解得2,C兩人各自闖關(guān)成功的概率;

（2）三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件方￡/+￡）西+?！耆?，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式計(jì)算

即可.

【小問1詳解】

記4瓦。三人各自闖關(guān)成功分別為事件，瓦尸，

三人闖關(guān)成功與否得相互獨(dú)立，且滿足《P（0P（E）P仍）=:

15

解得P(E)=g尸仍)=j

所以3,C兩人各自闖關(guān)成功的概率都是工.

2

【小問2詳解】

設(shè)A,8,。三人中恰有兩人闖關(guān)成功為事件”,

1112112115

則P（H）=P（DEF+DEF+DEF]=-X—X―I——X—X—x—x

3223232212

所以三人中恰有兩人闖關(guān)成功的概率為

17.已知圓UJ+Xx+j?+為=34+8/1（X為常數(shù)）.

(1)當(dāng)4=2時(shí)，求直線4x-3y-4=0被圓C截得的弦長(zhǎng).

(2)證明：圓。經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn).

(3)設(shè)圓。經(jīng)過的兩個(gè)定點(diǎn)為尸，Q,若2),S.\PM\=\QM\,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【答案】(1)2同

(2)證明見解析(3)(x+3)2+(y+3)2=100

【解析】

【分析】(1)當(dāng)4=2時(shí)利用配方求出圓。的圓心、半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心C到直線

4X一3>-4=0的距離再由2，72—可得答案;

(2)由犬+/—34+2(x+7—8)=0令x+7-8=0與/+/-34=0聯(lián)立解方程組可得答案；

(3)(方法一)設(shè)尸。的中點(diǎn)為N,由|0Af|=|W|得G?島°=一1求出2可得答案.(方法二)由

|9〃|=|0必利用兩點(diǎn)間的距離公式求出2可得答案.

【小問1詳解】

當(dāng)2=2時(shí)，圓C:(x+l)2+(y+l)2=52,

此時(shí)，圓C的圓心為C(-LT),半徑R=J五=2屈.

1-4+3-41

則圓心C到直線4x-3〉-4=0的距離d=?------------1=1,

5

所以直線4x-3y-4=0被圓。截得的弦長(zhǎng)

16

為2占2—屋=2752-1=2回；

【小問2詳解】

由x~+Ax+_y2+Ay=34+82，得x~+y2—34+A(x+y—8)=0，

令x+y—8=0,因?yàn)閄為常數(shù)

x+y—8=0

所以得/+/—34=o,由＜

X2+V2-34=0

x=3x=5

解得彳u或<

b=5"3

所以圓。經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，且這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,5),(5,3)；

【小問3詳解】

(方法一)設(shè)P0的中點(diǎn)為N,

不妨設(shè)尸(3,5),。(5,3),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,4).

因?yàn)閼鬗=|oM，所以4加，0°,

加山._4-(12-2)5-3_.

所以-kpQ---~—-—一1，

4-23-5

解得2=6,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y+3)2=100.

(方法二)不妨設(shè)尸(3,5),。(5,3),因?yàn)殁?/p>

所以7(^-5)2+(12-2-3)2=7U-3)2+(12-2-5)2，

解得2=6,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+3+3)2=100.

18.已知橢圓C:二+>1)的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,4,3兩點(diǎn)均在C上，且麗.妮=0,

aa-1

/F、AB=ZBAF2.

(1)若I而1=1通I，求C的方程；

(2)若|通國(guó)正直線與/軸交于點(diǎn)P,且Q=3而，求四邊形/尸由尸2的周長(zhǎng).

17

【答案】(1)—+/=1；(2)迪.

2.3

【解析】

【分析】1)根據(jù)給定條件，結(jié)合等腰直角三角形性質(zhì)求出/即可.

(2)令|否|=八|而|=/，根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義及余弦定理求出。，進(jìn)而求出四邊形周長(zhǎng).

【小問1詳解】

由橢圓定義知，|福|+|直|=2a,c2=a2-(a2-l)=l,

由福?麗=0,得麗，麗，

若|函|=|通則△片/片為等腰直角三角形，a2+a2=(2c)2,解得/=2，

2

所以C的方程為土+/=1.

2?

【小問2詳解】

若|麗國(guó)麗不妨設(shè)|正|=/,|而|=%,貝！||公=2°-￡,且。丸，

|A81=2m,|AP|=3m.

由/耳48=/胡用，點(diǎn)P在〉軸上，且麗，麗，

得NF\AB=NBAF?=三,且|兩|=|垣

、歷J2

由余弦定理得t2+(3m)2-2?—t?3m=(2Q-t)2+(3m)2-2?—(2tz-t)^m,

整理得6收(q冽=4Q(Q—。，而a。，，則加=

同理得|砒|+1初六而+4m2-瓜2m+J(2a-爐+4〃/-也Qa一。?2m=2a,

I4RI4?

即J(2a—t)2——a(2a—Z)+—a2=2a—Jt2——at+—a2,整理得2Z2—4cit+a?=0，

2

令此方程二根為t^t2，則％+%2=2a,幫2=5，即有I4片|=txt2,

貝/麗F+|夜「=@+q)2_2v2=3a2=(2c)2,解得q=^l,

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