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文檔簡介
2024學年通化市集安一中高二數(shù)學上學期期中考試卷
滿分150分,時間120分鐘
注意事項:
1.答題前,考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮
擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內容:人教A版必修第二冊第十章,選擇性必修第一冊第二章、第三章3.1.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的.
1.直線y=i0°一氐的傾斜角為()
A.30°B.60°C.120°D,150°
2.某生物實驗室有3種月季花種子,其中開紅色花的種子有200顆,開粉色花的種子有150顆,開橙色
花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆,則這顆種子對應開花的顏色為橙色的概率為()
185152
A.——B.——CD.-
5314,537
22
3.已知橢圓C:土+'=1的短軸長為4,則加=()
mm
A.2B.4C.8D.16
4.若方程a/+"2+岳;一4歹+〃=0表示一個圓,則b的取值范圍為()
B.
r4G2
c.-----,----
33DJ呼。卜[。■明
5.已知直線/與直線x-y+5=0平行,且與橢圓x2+匕=1的交點為則
4
乃+歹2=()
A.—4(西+B.4(%j+x2)
6.若直線歹=左('-3)-1與曲線Cy=,2-Y有兩個不同的公共點,則左的取值范圍是()
3+V2
A.-年B.7-,-7
(,3+V23+
C.D.(-oo,-l)u|-^
‘―二7
2
7.已知圓/:(x+1)+v2=1內切于圓P,圓P內切于圓B:(x-l)"+y2=64,則動圓尸的圓心軌跡
方程為()
222222
xy122
工+匕=1—?——i------1-------Ixy1
A.4945B.8177C.4933D.—+—=1
95
TT~4T44
8.已知圓M:/+6y=0與圓N:(x-cos6)2+(>-sin。)?=1(0<2兀)交于43兩點,則
△48河為圓M的圓心)面積的最大值為()
99
A.V2B.-C.2亞D..
42
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全
部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知直線x+my-m-2=0,l2:4x+y-9=0,貝!]()
A.當加=一4時,\-L12B,存在實數(shù)相,使得/"/4
D.4與直線4x+>+8=0之間的距離為JF7
C.當他=4時,-L12
10.有四個盲盒,每個盲盒內都有3個水晶崽崽,其中三個盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽、藍色水晶
崽崽、粉色水晶崽崽,剩下的那個盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個盲盒,設事件A為“所
選盲盒中有紅色水晶崽崽”,3為“所選盲盒中有藍色水晶崽崽”,C為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”,則
()
A.A與B不互斥B.P(^)+P(5)+P(C)=1
P(BIC)=:
D.A與8相互獨立
II.已知曲線c:/+/—26忖+2M=0,則()
2
A.C關于〉軸對稱B.C關于原點對稱
C.。的周長為等D.直線y=0.2x—0.2與C有2個交點
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.從1,2,3,4,5,7這6個數(shù)中任取2個數(shù),則這2個數(shù)均為質數(shù)的概率為.
13.在V48c中,/(—5,0),C(5,0),\AB\=2\BC\,則點3的軌跡方程為.
14.已知尸為橢圓C上一點,F(xiàn)],乙為。的兩個焦點,/產片笈=30。,忸片|=|片四,則。的離心率
為.
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(1)若直線/經過點(、后」),且與直線底+2y-1=0平行,求直線/的一般式方程;
(2)若直線/經過點(-3,7),且/在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù),求直線/的斜截式方程.
2
16.A,B,。三人參加知識闖關比賽,三人闖關成功與否相互獨立.已知A闖關成功的概率是一,A,
3
B,。三人闖關都成功的概率是工,A,B,C三人闖關都不成功的概率是
612
(1)求8,C兩人各自闖關成功的概率;
(2)求A,B,C三人中恰有兩人闖關成功的概率.
17.已知圓。:/+祈+/+為=34+82"為常數(shù)).
(1)當2=2時,求直線4x-3y-4=0被圓C截得的弦長.
(2)證明:圓C經過兩個定點.
(3)設圓。經過的兩個定點為尸,Q,若加(412-X),S.\PM\=\QM\,求圓C的標準方程.
22___
18.已知橢圓C:二+-^―=1(?>1)的左、右焦點分別為兩點均在C上,且麗?妮=0,
FX,F2,A,B
aa-1
/F、AB=ZBAF2.
(1)若|福1=1通I,求C的方程;
(2)若|而國正直線與y軸交于點P,且彳萬=3而,求四邊形/尸出尸2的周長.
19.已知。為坐標原點,動點尸到X軸的距離為且尸『=x+〃d2,其中乙〃均為常數(shù),動點尸的
3
軌跡稱為(乙〃)曲線.
(1)若[g,〃)曲線為焦點在〉軸上的橢圓,求〃的取值范圍.
(2)設曲線。為卜曲線,斜率為左(左彳0)的直線/過。的右焦點,且與。交于48兩個不同的
點.
(i)若后=2,求以同;
(ii)若點3關于x軸的對稱點為點。,證明:直線40過定點.
2024-2025學年度上學期期中考試
高二數(shù)學試題
注意事項:
1.答題前,考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,用橡皮
擦干凈后,再選涂其他答案標號.回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回.
4.本試卷主要考試內容:人教A版必修第二冊第十章,選擇性必修第一冊第二章、第三章3.1.
一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的.
1.直線y=i0°一屈的傾斜角為()
A.30°B,60°C.120°D,150°
【答案】C
【解析】
【分析】由傾斜角與斜率的關系計算即可得.
【詳解】由左=-G,得傾斜角為120。.
故選:C.
2.某生物實驗室有3種月季花種子,其中開紅色花的種子有200顆,開粉色花的種子有150顆,開橙色
花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆,則這顆種子對應開花的顏色為橙色的概率為()
4
185152
A.—B.—D.
53147
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型概率計算公式求得正確答案.
18018
【詳解】這顆種子對應開花的顏色為橙色的概率為
200+150+18053
故選:A
22
3.已知橢圓C:土+二=1的短軸長為4,則加=()
mm~
A.2B.4C.8D.16
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)短軸長求得〃=4,討論加,加2大小及橢圓定義求參數(shù).
【詳解】由C的短軸長為4,得26=4,即6=2,則62=4,
若加〉〃/〉0no(加<1,則加2=4,顯然矛盾;
若加2〉加〉0=>加〉1,則加=4.
經驗證,當加=4時,橢圓C:土+J=1的短軸長為4,
mm
故選:B
4.若方程a/+"2+人工一4^+a=0表示一個圓,則Z?的取值范圍為()
、
7
【答案】D
【解析】
【分析】將方程化為圓的一般方程,利用。2+£2_4E〉。列式即可求.
5
【詳解】若方程ax?+勿2+Z?x-4y+。=0表示一個圓,則a=6w0,
方程可化為x+y+x—y+1=0,
b
所以1+(—f)2—4>0,解得一&5<b(述,且6不等于0,
I"33
所以一o或0<人<^1.
33
故選:D
5.已知直線/與直線x—.v+5=0平行,且與橢圓必+21=1的交點為/(再,%),3(x2,%),則
4
%+%=()
A.-4(%j+x2)B.4(x(+x2)
C.——+Xj)D.—+%2)
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩點在橢圓上,結合斜率,利用點差法可得解.
【詳解】因為直線/與直線x-y+5=0平行,
所以直線/的斜率為1,即匕二匹=1,
國-x2
因為A,B都在橢圓/+上=1上,
4
22
所以x;+\-=l,xl+--=l,
則4(X:_x;)+y;-y;=0,
即4(再+%2)(%-馬)+(%+%)(乃-%)=0,
所以4(苞+%)+(弘+必)1%=0,
所以M+外=-4(再+%),
6
故選:A.
6.若直線>=左(》-3)-1與曲線C:y=52-有兩個不同的公共點,則左的取值范圍是(
3+V2
A.B.
T-,-7
(3+亞/?3+^2
1D.(一叫-1)U———
’一7
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)曲線的方程可得曲線3;=也二?是以原點為圓心,、回為半徑的圓的x軸的上半部分(含
x軸),求出直線與圓相切時左的值,再結合圖形即可求解.
【詳解】由y=72-x2得Y+y2=2(y>0),
所以曲線是以原點為圓心,、巧為半徑的圓的X軸的上半部分(含X軸),
直線y=Mx-3)-1過定點尸(3,-1),
當直線>=左(了一3)—1與圓/+/=2Q?0)相切時,
,|0-0-3A:-l|r-
圓心到直線的距離d='_I——了=72,
J1+左2
解得上=-1或左=’(舍去),
7
當直線歹=左(》+2)+1過點/("0)時,
直線斜率為人皆
7
7
結合圖形可得實數(shù)左的取值范圍是-1,-言叵].
故選:C.
2
7.已知圓/:(x+l『+y2=1內切于圓p圓P內切于圓3:(x-l)+/=64,則動圓尸的圓心軌跡
方程為()
222222
XV1XV1XV122
A.49+45=lB.8f+T7=lC.49+33=lD.土+匕=l
——————95
444444
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)圓的性質和橢圓的定義求得:2c=2,2a=7,再利用。,b,c的關系求解方程即可.
【詳解】圓A的圓心/(—1,0),半徑。=1,圓2的圓心8(1,0),半徑々=8,
設圓尸的半徑為R,
由于圓A內切于圓尸,所以陷|=尺-【尺-1;
由于圓P內切于圓B,所以|必|=々-尺=8-尺;
由于+|尸川=7>[48卜2,
所以點尸的軌跡為以A,B為焦點,長軸長為7的橢圓.
74945
則2a=7,c=1,所以a=—,b2=a2-c2=--\=—;
244
22
工+匕=1
所以動圓尸的圓心的軌跡方程為變變一.
TT
故選:A
8.已知圓M:犬+/一6y=0與圓N:(X-cos0)2+(y-sin0)2=1(0<。<2兀)交于43兩點,則
△ABM(M為圓"■的圓心)面積的最大值為()
r-9r-9
A.y/2B.—C.2V2D.—
【答案】C
【解析】
8
【分析】求出兩圓的半徑,從而可得48<2,因為為銳角,所以要使的面積最大,只
要sin取得最大值即可,此時|48|=2,解出/的面積,即可得解.
【詳解】由題意得:M:X2+(J-3)2=9,所以圓心M(0,3),半徑r=3,
由兩圓相交于45兩點可知:|肱4|=0四|=r=3,
所以的面積S".=||M4|x|Affl|xsinZ^Affl
=—x3x3xsinZ.AMB
2
9
=-sinZAMB,
2
因為N是半徑為1的圓,所以|45區(qū)2,
當|/周=2時,|ACV|=V32-l2=2V2,又pw|=Jcos28+(sin6—3)2=210—6sin6,
1DB
此時由J10—6sin6=2jl,解得sin6?=§,cos(9=±^->故|4B|可以取最大值2;
所以當|4B|=2時,NAMB最大,且是銳角,
根據(jù)函數(shù)>=$由1的單調性可知:當|/同=2時,sin/ZMB最大,
222222
十入力-el,曰力MA+MB-AB3+3-27
在中由余弦定理可得:cosZAMB=-----------------------=--------------=—
2MAxMB2x3x39
4V2
所以sin/Z〃B=
9
所以義晅=2亞,
△ADJVI29
故選:C.
【點睛】關鍵點點睛:利用三角形的面積公式表示面積之后,關鍵點在于利用圓的幾何性質尋找的
最大值,從而確定面積的的最大值.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全
部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.已知直線4:x+my-m-2=0,l2:4x+y-9=Q,則()
9
A.當加=—4時,/1,,2B,存在實數(shù)相,使得/〃右
C.當機=4時,/1_L,2D.4與直線4x+y+8=0之間的距離為JF7
【答案】AD
【解析】
【分析】通過加的取值結合垂直和平行的要求判斷A,B,C;,利用平行線間的距離公式判斷D.
【詳解】對于A,當加=一4時,4:x-4V+2=0,/2:4x+y-9=0,
止匕時1x4+(—4)xl=0,所以故A正確;
對于B,當/]〃/2時,1x1—4加=0且1x(-9)*4x(—加—2),無解,
故不存在實數(shù)如使得4〃/2;故B錯誤;
對于C,當加=4時,k:x+4y-6=0,l2:4x+y-9=0,
止匕時lx4+4xlw0,所以4與4不垂直,故C錯誤;
對于D,因為4x1—4x1=0且4x8w4x(—9),所以乙與直線4x+>+8=0平行,
-
|9—8lI—
距離為---J*,故D正確,
信+干
故選:AD.
10.有四個盲盒,每個盲盒內都有3個水晶崽崽,其中三個盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽、藍色水晶
崽崽、粉色水晶崽崽,剩下的那個盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個盲盒,設事件A為“所
選盲盒中有紅色水晶崽崽”,3為“所選盲盒中有藍色水晶崽崽”,C為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”,則
)
A.A與8不互斥B.P(Z)+P(8)+P(C)=1
C.P(BIC)=:
D.A與B相互獨立
【答案】ACD
【解析】
【分析】由互斥事件,獨立事件,以及各個事件的概率關系逐一判斷即可;
【詳解】對于A,A和8可以同時發(fā)生,故A正確;
10
對于B,因為P(/)=;,P(8)=;,P(C)=;,
所以P(/)+P(3)+P(C)Wl,故B錯誤;
對于C,P(BcC)=—x—=—,故C正確;
對于D,因為尸(48)=;,所以P(/)P(5)=P(45),故D正確;
故選:ACD.
11.已知曲線C:—+j;2—2+2M=0,則()
A.。關于丁軸對稱B.C關于原點對稱
C.C的周長為也D.直線y=o.2x—0.2與。有2個交點
3
【答案】ABC
【解析】
【分析】設點(%,九)在曲線。上,分別代入點(-%,%)與(—/,—%),可判斷AB選項;。分別確定
曲線在各象限時的圖形及其對應的曲線,可判斷C選項與D選項.
設點(%,%))在曲線。上,即*+/一2百|%|+2|比|=0,
A選項:代入點(一%,%),可知+4-2百卜x(J+2瓦卜片+y:-26卜0|+2卜0|=0,
即點(-/,%)在曲線C上恒成立,所以曲線C關于〉軸對稱,A選項正確;
B選項:代入點(一x(),,得(-/)+(-%)—2百卜x(J+2卜%|=k+y;—26卜0|+2M|=0,
即點(-5,-%))在曲線C上恒成立,所以曲線。關于原點對稱,B選項正確;
C選項:當x=0時,了=0,當y=0時,工=0或工=±2右,即C過(0,0),卜26,0),(273,0)a
點,
當x〉0,y〉0時方程為Y+J?—2氐+2y=0,即(X—G『+(y+l)2=4,表示以點(百1)為
11
圓心,2為半徑的圓在第一象限的部分;
當x>0,y<0時方程為2瓜一2y=0,即(x—百『+(y—1)2=4,表示以點(G』)為圓
心,2為半徑的圓在第四象限的部分;
當x<0,V〉0時方程為x2+v2+2瓜+2y=0,即(x+百『+(y+11=4,表示以點卜聲,—1)為
圓心,2為半徑的圓在第二象限的部分;
當x<0,y<0時方程為/+/+2瓜—2y=0,即(x+G『+(y—1/=4,表示以點卜6,1)為
圓心,2為半徑的圓在第三象限的部分;
曲線在第一象限部分的方程為x-+y2-2氐+2j=0設圓心為M-1),與x軸的兩個交點為
0(0,0),2(2道,0),則N(WB=g,
2兀4兀
所以第一象限內圖形所表示弧長為2x——二——,
33
4兀16兀
又曲線。關于>軸及原點對稱,所以曲線c的周長為4x——=——,c選項正確;
33
D選項:直線歹=0.2x-0.2,過點(1,0),在曲線C右半部分的內部,
所以與曲線。右半部分有2個交點,且直線不過坐標原點,
又直線y=0.2x—0.2當6時,尸/二1,
5
即過點_6一,_],在曲線C左半部分的內部,
所以直線與曲線C左半部分有2個交點,
綜上所述直線與曲線C有4個交點,D選項錯誤;
故選:ABC.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.從1,2,3,4,5,7這6個數(shù)中任取2個數(shù),則這2個數(shù)均為質數(shù)的概率為.
2
【答案】-##0.4
5
【解析】
【分析】利用列舉法求解,先列出從6個數(shù)任取2個數(shù)的所有情況,再列出這2個數(shù)為質數(shù)的情況,然
后利用古典概型的概率公式求解即可.
12
【詳解】由1,2,3,4,5,7這6個數(shù)中任取2個數(shù)構成的樣本空間為:
Q={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,7),(2,3),(2,4),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,7)),
所以樣本空間Q共15個樣本點,
記2個數(shù)均為質數(shù)為事件A,
則Z={(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(5,7)),事件A共包含6個樣本點,
/、n(A\62
所以這2個數(shù)均為質數(shù)為事件A的概率為尸(4)=47K
12)155
…12
故答案為:一.
5
13.在V4BC中,/(—5,0),C(5,0),\AB\=2\BC\,則點8的軌跡方程為.
,,50
【答案】x+v-----x+25=0
-3
【解析】
【分析】設點B(x,y),分別表示|/可與忸化簡即可.
【詳解】設點5(x,y),
則M8|=J(X+5)2+『,\BC\=/x-5)2+y2,
貝1^(%+5)2+/=2/x-5)2+y2,
、050
化簡可得x2+y2——x+25=0,
?3
50
故答案為:x9+y0-----x+25=0.
3
14.已知尸為橢圓C上一點,片,鳥為C的兩個焦點,NP43=30。,|尸耳|=|不目,則C的離心率
為.
[答案]3±1與
2
【解析】
【分析】利用等腰三角形的性質及特殊角的三角函數(shù)值結合橢圓的定義與性質計算即可
【詳解】如圖,取線段的中點連接大反,
13
因為|尸耳1=1與工I,N兩巴=30。,
所以/片W=75。,且片
\PM\,、-
所以cosZF^PM=^j-----;=cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=
iS|PM|=(V6-亞|尸用=4左,
c_2c閨閭I0用_4k
所以c的離心率為\PF{\+\PF2\~IPFJ+IP^I-4k+2(胃-二「
=2=.=0(0-1-網(wǎng)=1-G)=百+1—/
2+V6-V2V2+V3-1(V2-1V-3—2V22
6+1-亞
故答案為:
2
四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(1)若直線/經過點(、行,1),且與直線后+2y-1=0平行,求直線/的一般式方程;
(2)若直線/經過點(-3,7),且/在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù),求直線/的斜截式方程.
7
【答案】(1)-x/5x+2y—7=0(2)y=—或y=x+10
【解析】
【分析】(1)由題意設直線方程為:氐+2y+C=0,代入(逐」)即可求;
(2)分直線截距為0和不為0兩種情況討論即可求.
【詳解】(1)設所求直線方程為:45x+2y+C=0,
因為直線/經過點(逐,1卜
14
所以6XJ?+2xl+C=0,解得C=—7,
所以直線/的一般式方程為JL;+2y-7=0;
7
(2)當直線/的截距為0時,直線/方程為:y=——x,
-3
當直線/的截距不為0時,由題意可設直線/方程為:x-y=a,
因為直線/經過點(-3,7),
所以—3—7=。,所以。=—10,
所以直線/方程為:x-v=-10,即y=x+10,
7
綜上所述:直線/方程為y=—或y=x+10.
一2
16.A,B,C三人參加知識闖關比賽,三人闖關成功與否相互獨立.已知A闖關成功的概率是一,A,
3
B,。三人闖關都成功的概率是,,A,B,。三人闖關都不成功的概率是‘■.
612
(1)求B,C兩人各自闖關成功的概率;
(2)求A,B,C三人中恰有兩人闖關成功的概率.
【答案】(1)B,。兩人各自闖關成功的概率都是(2)—
212
【解析】
【分析】(1)記4團。三人各自闖關成功分別為事件。,瓦尸,三人各自獨立闖關,由題意結合獨立事
件的概率公式可列出方程組,從而解得2,C兩人各自闖關成功的概率;
(2)三人中恰有兩人闖關成功為事件方£/+£)西+。£如,利用獨立事件和互斥事件的概率公式計算
即可.
【小問1詳解】
記4瓦。三人各自闖關成功分別為事件,瓦尸,
三人闖關成功與否得相互獨立,且滿足《P(0P(E)P仍)=:
15
解得P(E)=g尸仍)=j
所以3,C兩人各自闖關成功的概率都是工.
2
【小問2詳解】
設A,8,。三人中恰有兩人闖關成功為事件”,
1112112115
則P(H)=P(DEF+DEF+DEF]=-X—X―I——X—X—x—x
3223232212
所以三人中恰有兩人闖關成功的概率為
17.已知圓UJ+Xx+j?+為=34+8/1(X為常數(shù)).
(1)當4=2時,求直線4x-3y-4=0被圓C截得的弦長.
(2)證明:圓。經過兩個定點.
(3)設圓。經過的兩個定點為尸,Q,若2),S.\PM\=\QM\,求圓C的標準方程.
【答案】(1)2同
(2)證明見解析(3)(x+3)2+(y+3)2=100
【解析】
【分析】(1)當4=2時利用配方求出圓。的圓心、半徑,由點到直線的距離公式求出圓心C到直線
4X一3>-4=0的距離再由2,72—可得答案;
(2)由犬+/—34+2(x+7—8)=0令x+7-8=0與/+/-34=0聯(lián)立解方程組可得答案;
(3)(方法一)設尸。的中點為N,由|0Af|=|W|得G?島°=一1求出2可得答案.(方法二)由
|9〃|=|0必利用兩點間的距離公式求出2可得答案.
【小問1詳解】
當2=2時,圓C:(x+l)2+(y+l)2=52,
此時,圓C的圓心為C(-LT),半徑R=J五=2屈.
1-4+3-41
則圓心C到直線4x-3〉-4=0的距離d=?------------1=1,
5
所以直線4x-3y-4=0被圓。截得的弦長
16
為2占2—屋=2752-1=2回;
【小問2詳解】
由x~+Ax+_y2+Ay=34+82,得x~+y2—34+A(x+y—8)=0,
令x+y—8=0,因為X為常數(shù)
x+y—8=0
所以得/+/—34=o,由<
X2+V2-34=0
x=3x=5
解得彳u或<
b=5"3
所以圓。經過兩個定點,且這兩個定點的坐標為(3,5),(5,3);
【小問3詳解】
(方法一)設P0的中點為N,
不妨設尸(3,5),。(5,3),則點N的坐標為(4,4).
因為戶M=|oM,所以4加,0°,
加山._4-(12-2)5-3_.
所以-kpQ---~—-—一1,
4-23-5
解得2=6,
所以圓C的標準方程為(x+3)2+(y+3)2=100.
(方法二)不妨設尸(3,5),。(5,3),因為怛
所以7(^-5)2+(12-2-3)2=7U-3)2+(12-2-5)2,
解得2=6,
所以圓C的標準方程為(x+3)2+3+3)2=100.
18.已知橢圓C:二+>1)的左、右焦點分別為片,F(xiàn)2,4,3兩點均在C上,且麗.妮=0,
aa-1
/F、AB=ZBAF2.
(1)若I而1=1通I,求C的方程;
(2)若|通國正直線與/軸交于點P,且Q=3而,求四邊形/尸由尸2的周長.
17
【答案】(1)—+/=1;(2)迪.
2.3
【解析】
【分析】1)根據(jù)給定條件,結合等腰直角三角形性質求出/即可.
(2)令|否|=八|而|=/,根據(jù)給定條件,利用橢圓的定義及余弦定理求出。,進而求出四邊形周長.
【小問1詳解】
由橢圓定義知,|福|+|直|=2a,c2=a2-(a2-l)=l,
由福?麗=0,得麗,麗,
若|函|=|通則△片/片為等腰直角三角形,a2+a2=(2c)2,解得/=2,
2
所以C的方程為土+/=1.
2?
【小問2詳解】
若|麗國麗不妨設|正|=/,|而|=%,貝!||公=2°-£,且。丸,
|A81=2m,|AP|=3m.
由/耳48=/胡用,點P在〉軸上,且麗,麗,
得NF\AB=NBAF?=三,且|兩|=|垣
、歷J2
由余弦定理得t2+(3m)2-2?—t?3m=(2Q-t)2+(3m)2-2?—(2tz-t)^m,
整理得6收(q冽=4Q(Q—。,而a。,,則加=
同理得|砒|+1初六而+4m2-瓜2m+J(2a-爐+4〃/-也Qa一。?2m=2a,
I4RI4?
即J(2a—t)2——a(2a—Z)+—a2=2a—Jt2——at+—a2,整理得2Z2—4cit+a?=0,
2
令此方程二根為t^t2,則%+%2=2a,幫2=5,即有I4片|=txt2,
貝/麗F+|夜「=@+q)2_2v2=3a2=(2c)2,解得q=^l,
--
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