2024學(xué)年無錫市某中學(xué)高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷及答案解析

無錫市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中試卷

高一數(shù)學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

1設(shè)集合"'={123,4},則()

A.{1,2}B.{2}

C.{1,2,3,4}D.{3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】由補(bǔ)集的定義求解.

【詳解】集合幺={1,2},8={1,2,3,4},則6sz={3,4}.

故選：D

2.函數(shù)/(x)=H1+而三的定義域?yàn)?)

A.(-2,4]B.(-4,-2]C.[-2,4)D.[-4,-2]

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出定義域.

【詳解】由題意得足+：蟲,解得—2〈x<4,

故定義域?yàn)閇-2,4).

故選：C

x2x<0

3.已知函數(shù)/(x)=<1，g(x)=-/(x),則函數(shù)g(x)的圖像是()

——x>0

【解析】

【分析】由g（x）=-/（x）可知g（x）圖像與/（X）的圖像關(guān)于X軸對稱，由/（X）的圖像即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)間（x）=-/（x），所以g（x）圖像與/（X）的圖像關(guān)于X軸對稱,

由/（X）解析式，作出/（X）的圖像如圖

從而可得g（x）圖像為D選項(xiàng).

故選：D.

-x+3a,x>0

4.已知函數(shù)/（》）=<21八在定義域R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（）

x-tzx+l,x<0

11

A.-B.-C.1D.2

32

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)與分段函數(shù)的單調(diào)性定義計(jì)算即可得.

a八

【詳解】由題意可得《2，解得OWQW—,

—O+3QVO—tzx0+1

故選項(xiàng)中A正確，B、C、D錯誤.

故選：A.

21

5.已知2m=9〃=6，則一+—二（）

mn

A.log618B.log65C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】把指數(shù)式化為對數(shù)式后，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由2"'=9"=6，可得機(jī)=log26,w=log96,

2121

所以一+—=j--+---=21og62+log69=log64+log69=log636=2.

mnlog2olog9o

故選：D.

6.“”=1”是“幕函數(shù)/(%)=(〃2-3〃+3卜2"-3在(0,+功上是減函數(shù),,的一個()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)?(x)=(〃2—3〃+3)/-3是基函數(shù)，

所以〃2一3〃+3=1即3〃+2=0解得”=1或〃=2,

當(dāng)77=1時，/(X)=X-1=!在(0,+。)上是減函數(shù)，

當(dāng)〃=2時，/(%)=》在(0,+。)上是增函數(shù)，

所以“n=1”是鼎函數(shù)/(x)=(?2-3〃+3)必"-3在(0,+⑹上是減函數(shù)，，的充要條件，

故選:C.

7.地震里氏震級是地震強(qiáng)度大小的一種度量.地震釋放的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的

關(guān)系為lgE=4.8+1.5M已知兩次地震的里氏震級分別為8.0級和7.5級，若它們釋放的能量分別為&和

E2,則善=()

E]

A.IQ105B.1.05C.10°75D.0.75

【答案】C

【解析】

【分析】先把數(shù)據(jù)代入已知解析式，再利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.

【詳解】lg￡=4.8+1.5M,

IgE,=4.8+1.5x8=16.8,1典=4.8+1.5x7,5=16.05,

=10168,，2=10〃05,

..A=1O0-75,

E?

故選：C

8.若關(guān)于x的方程4'+人2㈤-標(biāo)+1=0,有一個正實(shí)數(shù)根和一個負(fù)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()

A.(-1,+1)B.1,V3—C.1,A/3+1jD.+1,+°0)

【答案】A

【解析】

【分析】令2*=/,得到r+2或一/+i=o有兩個根。/，其中。=2為〉1,方2=2*e(0』)，令

h(t)=t2+2at-a1+\,得到不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

vX+1222

【詳解】令2"=，，4+a-2—a+l=0=>t+2at—a+1=0J

設(shè)關(guān)于X的方程4、+Q?2、+J/+1=o有一個正實(shí)數(shù)根占和一個負(fù)實(shí)數(shù)根%,

故廣+2威一/+1=0有兩個根;名，其中。=2為〉1,L=2*e(O,l),

令//1)=r+23一/+1,則匕A(0)=~a2+1>0

'')U(l)=1+2a-a2+1<0

解得-1<a<1-V3>

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-1,-G+l).

故選：A

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.

9.設(shè)正實(shí)數(shù)X/滿足2x+y=l,貝ij()

111

A.孫的最大值是一B.—H"—的最小值為4

82xj

C.4—+了2最小值為32x1

D.—+「最小值為2

y2x

【答案】ABC

【解析】

【分析】直接利用基本不等式即可求解A,利用乘“1”法即可求解B,利用完全平方式的性質(zhì)即可求解C,

將“1”代換，即可由基本不等式求解D.

【詳解】對于A,2x+y=1>2yj2xy,解得中〈,，

8

2x+y=111

當(dāng)且僅當(dāng)',即x=：,歹=不時等號成立，故A正確;

[2x=y42

一11z1l、/c

對于B,丁+―=(丁+一)(2x+y)=2+S+——N2+2jl=4,

2xy2xy2xy

y-2x11

----II

當(dāng)且僅當(dāng)<2xj即x=—/=—時等號成立，故B正確;

42

[2x+y=l

對于C,4x?+了2=(2x+y)2-4町=1一4町2；,當(dāng)且僅當(dāng)x=；y=,時等號成立，C正確;

2

工丁2x12x2x+y.2xy、，_l2xy.

對于D,—+—=—+-----=1+—+^—>1+2———=3,

ylxy2xy2x\y2x

J-1]

當(dāng)且僅當(dāng)《2xj即》=一/=—時等號成立，故D錯誤.

42

[2x+y=l

故選：ABC.

10.下列四個結(jié)論中，正確的結(jié)論是（）

A.y=Jl+x.Jl-x與y=Jl一〃表示同一個函數(shù)

B.定義在R上的偶函數(shù)/（%）滿足：f（3）=0,且對任意再，9￡[°，+。）（西。、2），都有

/(%)一/(%)<0,則（2x—l）/（x）>0的解集是，3,g，（3,+”）

x2-Xx

C.設(shè)函數(shù)/（x）=/+1,則對VX],/eR,f<」（占）；〉（》2）恒成立

D.已知2<。<3,—2<b<—1,則@的取值范圍是（一3,—1）

b

【答案】ACD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，求出兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則相同，為同一函數(shù)；B選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和

單調(diào)性得到xe(-3,3)時，/(x)>0,當(dāng)xe(-co,-3)U(3,+co)時，/(x)<0,從而解不等式,求出解

集；C選項(xiàng)，作差法比較大??；D選項(xiàng)，求出(利用同號可乘性得到1<-@<3,求出@的取

2bbb

值范圍是(一3,—1).

I---,---fl+x>0

【詳解】A選項(xiàng)，y=+Jl-x中,令八，解得T<xWl,

-l-x>0

y=J172中,令1—72之0，解得—1W/W1,

故兩函數(shù)定義域相同,又y=Jl+x-A/1—x=J1一函，

故兩函數(shù)對應(yīng)法則相同，所以兩函數(shù)為同一函數(shù)，A正確；

B選項(xiàng)，由題意得/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，

偶函數(shù)/(x)滿足/(3)=0,則〃—3)=0,且/(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)xe(-3,3)時,/(x)>0,當(dāng)相(一00,-3川(3,+00)時，f(x)<0,

(2x-l)/(x)>0,若/(x)>0,則2%一1>0且》《(一3,3),得到

若〃x)<0,則2x—l<0且-3)U(3,+oo),解得xe,

綜上，不等式解集為xe(—co,—3)u［g,3；B錯誤;

C選項(xiàng)，/(x)=x2+1,對VxpXzCR,

Xl+Z、/(Xl)+/(%)

xx+x2I+]_西+々+2

222

L,

424

當(dāng)且僅當(dāng)可=々時，等號成立,

心匕/?)+/(%)恒成立,c正確;

故/

22

D選項(xiàng)，已知—2<b<—1,所以-1<?<一!，-<-7<l,

b22b

又2vav3,故一x2<—<1x3,即1<—<3,

2bb

na

所以—3<—<—1,—的取值范圍是（—3,-1）,D正確.

bb

故選：ACD

11.己知集合V={x|x=%2一〃2,機(jī),,則（）

A.26eMB.32EM

C.Wx=4k-l,keZ,xeMD.\/x.y,xy

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)條件得》=機(jī)2-〃2=（加+冷（機(jī)一冷，從而有無為奇數(shù)或4的倍數(shù)，即可判斷選項(xiàng)A和B

的正誤；根據(jù)4左-1=（2k）2-（2左-I1,可判斷選項(xiàng)C的正誤；由條件知為奇數(shù)或4的倍數(shù)，分

X/中至少有一個為4的倍數(shù)和x/都為奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合條件，即可求解.

【詳解】由X=加2—〃2=（m+”）（加一7?）,

則掰+〃，加-〃同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，所以尤為奇數(shù)或4的倍數(shù)，故A錯誤；B正確；

對于選項(xiàng)C,因?yàn)?k-1=（2左）2-（2左-球，故C正確；

對于選項(xiàng)D,由則X/為奇數(shù)或4的倍數(shù)，

當(dāng)X/中至少有一個為4的倍數(shù)時，則孫為4的倍數(shù)，所以孫eM,

當(dāng)羽。都為奇數(shù)時，則可令x=2左+1,y=2月+1溫,成eZ,

所以9=（2左+1）（2A:2+1）=2（2kxk2+kx+k^+\,kx,k2eZ,所以中，

故Vx/e",中eV,故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于》=機(jī)2一〃2=（7〃+小（機(jī)一〃），從而得出尤為奇數(shù)或4的倍數(shù)，即

可求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共20分.

4

12.計(jì)算：8?+2024°+Ine=------

【答案】9

【解析】

【分析】利用指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算法則得到答案.

、-2

【詳解】81+2024°+Ine4=(23)3+1+4=4+1+4=9-

故答案為：9

13.已知函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，/(x)=?-3x+l,則當(dāng)x>0時，/(x)=

【答案］-x3+3尤+1

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】若x>0,則一x<0,

當(dāng)x<0時，/(x)=x3-3x+l,所以/(-x)=-/+3x+l,

又因函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，所以=

所以當(dāng)x>0時，/(x)=-x3+3x+l,

故答案為：-無3+3X+1

14.我們知道，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)y=/(x)為奇函

數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可將其推廣為：函數(shù)J=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的充要條件是函數(shù)

3151

y=/(x+a)—6為奇函數(shù).據(jù)此，對于函數(shù)g(x)=/一彳一+二工一三，其圖象的對稱中心是

248

231「2022、12023、

+g2024J+'"+gUo24J+gU024J

2024

6069

2

【解析】

【分析】根據(jù)條件分析得到-g(x+a)+b=g(r+a)-b,由此列出關(guān)于a,6的方程并求解出a,6的值,

則對稱中心坐標(biāo)可知；根據(jù)條件可得g(l-x)+g(x)=3,然后根據(jù)函數(shù)值的對稱特點(diǎn)求解出原式的值.

【詳解】設(shè)g(x)的對稱中心為(。/)，則y=g(x+a)-3為奇函數(shù),

所以一g(x+a)+b=g(-x+a)-b,

3215/

即一(x+a)H—(X+Q)-------(X+Q)H----F6=(-x+a)--(-X+?IH---1-x+a

248)2、41)8

化簡可得(6a—3)/+2/_3/+爭一2b=0,

1

6a-3=0Cl———

2

所以，解得《

2a3-3a2+—a---2Z)=0,3

24b=—

2

所以g(x)圖象的對稱中心為Kg

因?yàn)間(x)圖象的對稱中心為［l，］］，所以_g〔x+51+5=8(—%+萬］一,,

所以81_》+3］+8］》+3］=3,所以g(l—x)+g(x)=3,

所以

”T+H』+心］=.T+(叫=3

(2024J(2024J{2024)(2024J(2024J(2024J(2024J(2024J

所以原式=3xl011+g［*1］=3033+g，］=3033+［=^,

6069

故答案為:

:32

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對稱性的常用結(jié)論如下：

(1)若函數(shù)/(x)滿足/(a+x)=/(a-x)或/(2a-x)=/(x)或/(2a+x)=/(-x),則/(x)的一

條對稱軸為x=a；

(2)若函數(shù)/(x)滿足/(a+x)+/(a-x)=26或/(2a—x)+/(x)=26或/(2a+x)+f(-x)=2b,

則/(x)的一個對稱中心為(a⑼.

四、解答題：本題共5小題，共77分.

15.設(shè)集合0=1<,N={x[0Vx<3},B=^x\m<x<2m+l,機(jī)eR}.

(1)m=2,求NUB；

(2)若4n3=8,求m的取值范圍.

【答案】(1)^05={%|0<^<5}

(2)(-oo,-l)o[0,l]

【解析】

【分析】(1)求出5={x|2VxW5},根據(jù)并集概念求出答案；

(2)根據(jù)交集結(jié)果得到分8=0和8W0兩種情況，得到不等式，求出答案.

【小問1詳解】

當(dāng)機(jī)=2時，8={x[2Wx<5},

因?yàn)镹={x|0VxW3},所以N={x[0Vx<5}.

【小問2詳解】

由題意得,

①若8=0,則加>2m+1,解得加<一1；

②若,

m<2m+1

需滿足〈掰20,解得00加01,

2m+1<3

綜合①②得：加的取值范圍是(一

16.(1)函數(shù)y=f(x)是一次函數(shù)，且/[/(x)]=9x+8,求/(x)的解析式;

(2)已知函數(shù)/(切=/彳的定義域?yàn)?-2,2),且判斷/(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)

X十4\J1/

性的定義進(jìn)行證明.

【答案】⑴〃x)=3x+2或〃x)=—3x—4；⑵函數(shù)/(x)在區(qū)間(一2,2)上單調(diào)遞增，證明見解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)〃x)=ax+6,得到/[/(x)]=a(ax+b)+b,從而對照系數(shù)，得到方程組，求出a,6,

得到解析式;

2x

(2)根據(jù)/求出a=2,得到/(x)=,定義法求解函數(shù)單調(diào)性步驟，取點(diǎn)，作差，變形

x-+4

判號，下結(jié)論.

【詳解】⑴設(shè)/(x)=ax+6,則/[/(x)]=/(ax+b)=a(ax+b)+b,

2a=3a=-3

a=9C，解得《

ax+ab+b=9x+8>,77b=2'或

ab+b=8b=—4

：.f(x)=3x+2或/(x)=-3x-4；

42x

(2)~17,故。=2，故/(x)=2上4

XIT-

函數(shù)/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增，理由如下:

Vx19x2G(-2,2),且再<々，

(x；+4)—Z(X；+4)=2(超一%)(再々一4)

網(wǎng)也

有/⑺-/(%)=2-2=2

、x；+4x2+4,(x；+4)(x；+4)(x：+4)代+4)'

由于-2VxiVx2V2,???X2—Xi>。/兇―4<0,??.f(xj)-f(x2)<0,

即/(再)</(》2)，

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(-2,2)上單調(diào)遞增.

17.已知函數(shù)/("=,一同，g(x)=-x2+2x+l.

斗

5

J__L_L4..

l__L_J

丁I?。嚎赲2.

FT-1

i—r-i

-5卜生二%2

.L.rl

：'r2

1

匚⑷r—i—i—r-i

-5

(1)VxeR,用機(jī)(x)表示/(x)，g(x)中的最小者，記作機(jī)(x)=min{/(x),g(x)},當(dāng)=1時,

分別用圖象法和解析法表示函數(shù)加(力，并寫出加(％)的單調(diào)遞增區(qū)間;

⑵設(shè)%⑴=尸⑴_g(x),xe[-l,l],求〃(x)的最小值°(a).

【答案】(1)答案見解析

/+2。+3,?！丁?,

Q2_2Q_3.

(2)9(a)=<-------------,-3<a<1,

2

u—2a—1,a21.

【解析】

【分析】(1)。=1時，/(x)=|x-l|,先求出兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象寫出

解析式;

Q+1|+4―j3,工4一1,1],根據(jù)對稱軸，分一4―1,.a+1十

(2)得至次(切=2X--------1<-----<1和

22

近21三種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到最小值，得到答案.

2

【小問1詳解】

a=］時，/(x)=|x-l|,

當(dāng)x>l時，-x2+2x+l=x-b解得x=2,負(fù)值舍去,

當(dāng)x<l時，—x?+2x+1=1—x，解得x=0或x=3(舍去),

畫出掰(x)=min{/(x),g(x)}的圖象，如圖所示,

—x2+2x+1,x<0

解析法表示，加(x)=<|x-l|,0<x<2,

—x2+2x+1,x>2

由圖象可得，單調(diào)遞增區(qū)間為(-。⑼和(1,2)；

【小問2詳解】

Q+1I〃2―2a_3

/z(x)=|x_6?|+_2x_1—2%2_2(Q+1)X+〃2_1=21x-?+2

~T~

①當(dāng)?shù)?—1,即aW—3時，此時最小值為〃（—1）=/+2。+3,

②當(dāng)T<gl<l,即—3<。<1時，此時最小值為〃。+1a~-2a—3

2

③當(dāng)冷’21，即。之1時，此時最小值為=2。-1，

a-+2a+3,aW—3,

G—2a—3.

綜上所述:9（。）=<--------------,-3<a<1,

2

Q?-2a—1,

18.如圖，某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形4BCD和

構(gòu)成的十字形地域.四個小矩形ZM0。、MNFE、BCPN、與小正方形瓶NPQ面積

之和為400m2,且.AM=ME=3NB.計(jì)劃在正方形跖VPQ上建一座花壇，造價為1000元/n?；在四

個矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為400元/n?；在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草

坪，造價為200元/n?.設(shè)2。長為了（單位：m）.

（1）用x表示NW的長度，并寫出x的取值范圍;

（2）用x表示花壇與地坪的造價之和；

（3）設(shè)總造價為C（x）元，當(dāng)/。長為何值時，總造價最低？并求出最低總造價.

400-x2

【答案】（1）AM=,0<x<20

4x

（2）j^=600^+160000

（3）當(dāng)幺。=46m時，總造價最小為240000元

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合矩形ZM0D的面積分析求解.

(2)根據(jù)題圖列出式子即可表示出總造價.

(3)由(2)問的結(jié)果再根據(jù)基本不等式求解即可.

【小問1詳解】

由題意：矩形的面積為g(400-x2),

O

2

EIu3400—%

因止匕AM=---------,

8x

因?yàn)镹M>0,所以0<x<20.

【小問2詳解】

7=1OOOx2+400x(400-x2)=600x2+160000.

【小問3詳解】

/2、2

由題意可得：j=1OOOx2+400x(400-x2)+200x—x—x-x400-X

9642、x,

=1。。［空+瞥］+14。。。。，(。<“<2。)

I4x)

由基本不等式y(tǒng)>100x2X宏等+140000=240000,

當(dāng)且僅當(dāng)空=型毀，即x=4指時，等號成立，

4x

所以當(dāng)x=4石時，總造價歹最小，最小值為240000元.

19.已知函數(shù)/(x)=《J+加是奇函數(shù).(e是自然對數(shù)的底)

e+1

(1)求實(shí)數(shù)加的值；

(2)若x>0時，關(guān)于龍的不等式/(2x)W2夕'(x)恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍；

(3)設(shè)g(x)=「〃、,對任意a,b,ce(0用，若以a,b,C為長度的線段可以構(gòu)成三角形時，均有以

4-/(x)

g(a),g(b),g(c)為長度的線段也能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)/的最大值.

【答案】(1)-4

(2)k>\

(3)21n2

【解析】

【分析