2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：空間向量 與立體幾何

空間向量與立體幾何

一、選擇題

1.若空間中有三點(diǎn)A（2,0,4）,5（2,4,0）,C（l,4,4）,則點(diǎn)尸（0,0,0）到平面ABC的距離為

（）

A.&B.28C.夜0.272

2.若｛a1,c｝是空間中的一組基底，則下列可與向量a+c，a-2c構(gòu)成基底的向量是（）

A.aB.a+2bC.4/+2CD.6

3.如圖，在正方體ABEF-DCE尸中，M,N分別為AC,3歹的中點(diǎn)，則平面

與平面MNB的夾角的余弦值為（）

「20

C.-------

3。?半

4.已知｛a,"c｝為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）

A.a-2b,a-2c,b-cB.a+2b-c,a+c,b-c

C.2a,c,b+cD.a-c,b,2a-b-2c

5.鱉席是指四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐.如圖，在鱉席p—ABC中，以,平面

ABC-AB=BC=PA=2,D,E分別是棱A&PC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段DE的中點(diǎn),

則點(diǎn)口到直線AC的距離是（）

P/

c

AB立C.—D.叵

-i484

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD是正方形，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)R滿足

CF=2FB.若PA=a,PB=b,PC=c,貝=()

P

C.—a——b+—cD.—a——b——c

236236266266

二、多項(xiàng)選擇題

7.如圖，長方體ABC。-A4Gq中，CQ=C]D]=29G用=1，點(diǎn)尸為線段瓦。上一

點(diǎn)，則qp-of的值可以為()

c-lD.2

8.如圖,四棱柱ABCD-中,M為CD］的中點(diǎn)，。為C4上靠近點(diǎn)A的五等分點(diǎn)，則

B.2AM=AB+2AD+相

133

C.AQ=-AB+-AD+-AAl^-5AQ=AB+AD+4AAl

三、填空題

9.在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面a的一般方程為Ar+gy+Cz+D=O(A,B,

C,DGR,A2+B2+C2^0),點(diǎn)P(Xo，%,Zo)到平面c的距離

djAxQ+ByQ+Cz0+D\則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心。到側(cè)面

222

VA+JB+C

的距離等于.

10.直線/的方向向量為〃=(1』,-Q,且/過點(diǎn)則點(diǎn)P(0,L-1)到直線/的距離

為.

11.在空間直角坐標(biāo)系中已知4(121),5(1,0,2),C(—l,l,4),CD為三角形ABC邊A3

上的高，則|CD卜.

四、解答題

12.如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形且。6=例=八似=1,PB=2MD,

平面ABC。，PB//DM,點(diǎn)N為PC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：存在點(diǎn)N,使得AM//BN.

(2)求二面角A-MP-C的正弦值.

13.已知兩個(gè)非零向量q,人，在空間任取一點(diǎn)。，作OA=d,OB=b，則/A03叫做向

量a,6的夾角，記作〈/6〉.定義a與的“向量積”為：。乂人是一個(gè)向量，它與向量

a,6都垂直,它的模,'.=同小卜由<48>.如圖，在四棱錐p-ABCD中，底面

A5CD為矩形，？￡>_|_底面48。。?！?04=4,后為4。上一點(diǎn)，|4。*5目=8后.

(1)求的長；

(2)若E為AQ的中點(diǎn)，求平面PEB與平面EBA所成角的余弦值;

⑶若“為尸8上一點(diǎn)，且滿足ADx5P=，求團(tuán).

參考答案

1.答案：D

解析：AB=（0,4,^）,AC=（-l,4,0）,B4=（2,0,4）,

設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為〃=（%,y,z）,

,\n-AB=Q[4y-4z=0人/日

由《.得z〈，令y=1得z=l，x=4,

n-AC=0[-x+4y=0

所以〃=（4,1,1）,

PAn2x4+4xl

則點(diǎn)P(0,0,0)到平面ABC的距離為=2\/2.

HV16+1+1

故選:D.

2.答案：B

解析：由｛a,。,c｝是空間中的一組基底，故a，，c兩兩不共線，

對A:有a=；[2(a+c)+(a-2c)],故A錯(cuò)誤；

對B:設(shè)〃+25=加(〃+c)+〃(a-2c),貝!J有a+2b=(m+〃)a+(zn-2〃)c,

該方程無解，故〃+2方可與a+c,。-2c構(gòu)成基底，故B正確；

對C:有a+2c=g[4(a+c)-(a-23)],故C錯(cuò)誤；

對D:有c=g[(a+c)—(a—2c)],故D錯(cuò)誤.

故選:B.

3.答案：B

解析：設(shè)正方體的棱長為1,以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA,BE,5c所在直線分別為x軸、y

軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系3-孫z,如圖所示，

B(0,0,0).

設(shè)平面AMN的法向量為4=(x,y,z),

n?AM=0,

由于AM=,AN=i

則‘

114n}?AN=0,

11

——x+一z=0,

即|22

11八

——x+—y=0,

I22，

令x=l,解得y=l,z=l,于是〃i=(1,1,1),

同理可求得平面的一個(gè)法向量為%=(LT，T)，所以

/、%-11

小胡甲用丁一屋

設(shè)平面MW4與平面MNB的夾角為，，則85。=卜05〈4,〃2〉|=；.故所求兩平面夾角的

余弦值為L故選B.

3

4.答案：C

解析：b—c=5(a—2c)—](a—2b),A錯(cuò)誤.a+2b—c=a+c+2僅一c),B錯(cuò)誤.易得

2a,c,b+Z三個(gè)向量不共面,C正確.2a—人―2c=2(a—c)—仇D錯(cuò)誤.

5.答案：B

解析：

zp，

因?yàn)锳B=5C，且△ABC是直角三角形，

所以AB_L5C.以3為原點(diǎn)，

分別以8C，冊的方向?yàn)榈?，y軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系3-孫z.

因?yàn)锳B=5C=K4=2，

所以A(0,2,0),C(2,0,0),D(O,1,O)?￡(1,1,1)，

則AC=（2,—2,0），AB=g,-.故點(diǎn)R到直線AC的距離

故點(diǎn)口到直線AC的距離是逅.

4

6.答案：C

解析：由題意知FE=PE—PB=LPD—(PC+CT)

2

=-(PB+BD)-PC--CB=-(BD+PB)-PC--(PB-PC)

2323

=-(BA+BC)--PC--PB

236

=1(PA-PB+PC-PB)-1PC-|PB

171

=-PA——PB+-PC

266

故選C.

7.答案：BD

解析：以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以G。、。1用、GC所在直線為X、y、z軸建立如下

圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則G(0,0,0)、A(2,0,0)、C(0,0,2)>4(0,1,0),

設(shè)4P=ZBC=X(0,-L,2)=(0,—Z2X),其中0W4W1,

則qp=G4+旦。=(o,i,o)+(o,-2,22)=(0,1-2,22),

DF=DIG+GP=(-2,0,0)+(0,1-2,22)=(-2,1-A,22),

222

所以，CIP-D1P=(l-2)+42=52-22+l=5^2-1j+|,

因?yàn)?W4W1,則—工<2—所以，<—,

555L5J25

所以，GP2P=5(2—+|GI，4,

故選：BD.

8.答案：BD

解析

AM=AB+BC+CM=AB+AD+^CD+CQ)

=AB+AD-1AB+1M=>+AD4M，

即2AM=AB+2AD+A4[,故A錯(cuò)誤、B正確;

AQ=AAi+AiQ=A\+^\C=AAi+A0+Dg+cQ

=AAl+^AD+AB-AAl^=^AB+^AD+^AAl

即54。=45+?1￡)+4刈，故C錯(cuò)誤,D正確.

故選:BD.

生42y/5

9.答案：=-

解析：如圖，以底面中心。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。町2,則0(0,0,。),

A(l,l,0),B(-l,l,0),「(。，。⑵成平面以臺(tái)的方程為加+為+0+^二。^,B,C,

A+B+D=Q,

DGR,A2+B2+C2^0),分別將A,B,尸的坐標(biāo)代入，得<-A+3+D=0,解得

2C+D=0,

A=o,B=-D,C=-1D,所以一四一gr>z+r>=0,即2y+z—2=0,所以

/、2

APn

解析：AP=(l,0,-2),點(diǎn)P到直線/的距離為AP-=V2-

7

故答案為:血.

11.答案：3

解析：AC=(-2,-1,3),AB=(0-2,1),則1AC卜舊,

ACAB5片

\AD\-

所以|CD|=yl\ACf-\ADf=V14-5=3,

故答案為：3

12.答案：(1)證明見解析

⑵巫

5

解析：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛3CD是菱形，所以AD//BC,

又ADU平面P3C,BCu平面P3C,所以AD〃平面P3C.

又PBIIDM,。河仁平面PBC,PBu平面P3C,所以。腹〃平面P3C.

又ADiDM=D,AD,DMu平面ADM,

所以平面AD暇〃平面PBC.

又AMu平面AMD,所以40〃平面P3C,

所以平面MA3N與PC必有交點(diǎn)，且該交點(diǎn)為N,使AMHBN.

(2)以。為原點(diǎn)，DC,DM所在直線分別為y,z軸，過點(diǎn)。在平面ABCD內(nèi)作垂直

于DC的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)樗倪呅蜛3CD是菱形，DB=AB,所以NZMB=60。，

XAB=DM=\,PB=2,PB,平面A3CD,

所以C(O,1,O)，fif—,-,oLA|—,--,0I，M(0,0,l),pf—,-,2

\22J\222J2\J

設(shè)平面AMP的法向量為/w=(x,y,z).

m.AM=0,

則有《

m-MP=0,

(%,y,z)-,1=0,

即1I,

(/百11

(x,y,z)--—,1=n0,

、I')

取z=—1,則雁=(0,2,—1).

設(shè)平面MPC的法向量為“=(a,b,c),

n.MP=0,

則有

n-MC=0,

一/61

(a,b,c),——,1=0,

(22J取a=-G則〃=(-國,1).

(a,b,c)-(0,l,—1)=0,

-\^x0+lx2-lxl1

貝Icos(m,n)=-----

\m\\n\石x65

所以二面角A-MP-C的正弦值為HI與

13.答案：(1)2；

(2)1;

3

(3)10.

解析：(1)因?yàn)榈酌鍭BC。為矩形，

所以AD〃BC,5cl.DC，

因?yàn)镻DJ_底面ABCD,BCu底面ABCD,

所以PDLBC，

又PD

所以BC_L平面PDC,

又PCu平面PDC,

所以尸C，

因?yàn)锳￡>〃BC，

所以為直線A。與P3所成的角,

即<AD,BP>=NPBC，

設(shè)AB=x（x>0），

貝uPC=V%2+42=Jf+16,PB=7X2+42+42=&+32-

在RtAPBC中sinZPBC=—=,

PB6+32

又|ADX叫二85

所以4，/+32、『+16=8店,

6+32

解得了=2或x=-2（舍去），

所以AB=2；

（2）法一：在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)。作W5E交5E的延長線于點(diǎn)E連接尸況

因?yàn)镻D,底面ABCD,BFu底面ABCD,

所以PDLBF，

又DF!_BF,DFPD=D,DF,PDu平面PDF,

所以防_L平面PDF，

又PEu平面PDF,

所以族_1?尸，

所以/PED為二面角P-EB-O的平面角，

因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，

所以DR=2sin厄PF="+訴?=372，

所以cos，PFD=-^1-=—,

PF