2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：函數(shù)的性質(zhì)

第7講函數(shù)的性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

一般地，設(shè)函數(shù)“X）的定義域?yàn)锳,區(qū)間A：

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值占，馬當(dāng)尤時(shí)，都有了（尤）＜/（%），那么就

說(shuō)在區(qū)間。上是增函數(shù).

如果對(duì)于。內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值不，/，當(dāng)為＜%時(shí)，都有〃為）＜/（々），那么

就說(shuō)了。）在區(qū)間D上是減函數(shù).

①屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；

②任意兩個(gè)自變量占，%且無(wú)1＜尤2；

③都有＜/（X2）或/（%2）；

④圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖象從左向右

是下降的.

（2）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

①單調(diào)區(qū)間的定義：如果函數(shù)/（無(wú)）在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)

于（X）在區(qū)間。上具有單調(diào)性，。稱為函數(shù)/（%）的單調(diào)區(qū)間.

②函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).

（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵從“同增異減”，即在對(duì)應(yīng)的取值區(qū)間上，外層函數(shù)是增（減）函

數(shù)，內(nèi)層函數(shù)是增（減）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；外層函數(shù)是增（減）函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)

是減（增）函數(shù)，復(fù)合函數(shù)是減函數(shù).

2、函數(shù)的奇偶性

函數(shù)奇偶性的定義及圖象特點(diǎn)

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)無(wú)，都有關(guān)于y軸對(duì)

偶函數(shù)

/（-X）=/（X）,那么函數(shù)/（X）就叫做偶函數(shù)稱

如果對(duì)于函數(shù)/（X）的定義域內(nèi)任意一個(gè)無(wú)，都有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

奇函數(shù)

/（-%）=-f（x）,那么函數(shù)/（無(wú)）就叫做奇函數(shù)稱

判斷了（-/與/（x）的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：如果/（-x）-f（x）=O或

/也=l(/(x)*O),則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；如果〃一元)+/0)=0或

/(無(wú))

止夕=一1(/(無(wú))#0),則函數(shù)/(尤)為奇函數(shù).

/(無(wú))

注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)

的任意一個(gè)x,-X也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱).

3、函數(shù)的對(duì)稱性

(1)若函數(shù)y=/(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(尤)關(guān)于x=a對(duì)稱.

(2)若函數(shù)y=/(x+a)為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.

(3)若/(%)=f(2a-x),則函數(shù)/(%)關(guān)于尤=。對(duì)稱.

(4)若/'(尤)+/(2。-尤)=2Z?,則函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a,6)對(duì)稱.

4、函數(shù)的周期性

(1)周期函數(shù)：

對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都

有〃x+T)=/(x),那么就稱函數(shù)y=/(尤)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：

如果在周期函數(shù)〃幻的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做

/(%)的最小正周期.

【解題方法總結(jié)】

1、單調(diào)性技巧

(1)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟

①取值：設(shè)不，%是/(X)定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且占＜々；

②變形：作差變形(變形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商變形；

③定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；

④得出結(jié)論.

(2)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行

判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接

寫出它們的單調(diào)區(qū)間.

(3)記住幾條常用的結(jié)論：

①若〃尤)是增函數(shù)，則-/(元)為減函數(shù)；若/(尤)是減函數(shù)，則-/(尤)為增函數(shù)；

②若/(尤)和g。)均為增(或減)函數(shù)，則在/(X)和g(x)的公共定義域上/(x)+g(x)為

增(或減涵數(shù)；

③若/Xx)〉。且/(龍)為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，」一為減函數(shù)；

f(x)

④若f(x)>0且/(無(wú))為減函數(shù)，則函數(shù)66為減函數(shù)，,為增函數(shù).

f(x)

2、奇偶性技巧

(1)函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(2)奇偶函數(shù)的圖象特征.

函數(shù)/(尤)是偶函數(shù)o函數(shù)/(尤)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

函數(shù)了(元)是奇函數(shù)o函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.

(3)若奇函數(shù)y=/(x)在x=0處有意義，則有/(0)=0；

偶函數(shù)y=/(x)必滿足/(尤)=/(|尤I).

(4)偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同.

(5)若函數(shù)/(%)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)/(%)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函

數(shù)的和的形式.記g(x)=g"(x)+/(f)］，■?=g"(x)-,則/(x)=g(x)+/z(x).

(6)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除

四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如/(x)+g(x),/(x)-g(x)J(x)xg(x)J(x)+g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇士奇=奇；偶土偶=偶；奇土偶=非奇非偶；

奇乂(+)奇=偶;奇X(+)偶=奇；偶X")偶=偶.

(7)復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(8)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/■(%)=祖(巴士3(*/0)或函數(shù)/(尤)=加("T).

a-1a+1

②函數(shù)f(x)=±(ax-ax).

③函數(shù)〃x)=log”葉？=log“(1+衛(wèi)-)或函數(shù)/(尤)=log”三*=log”(1一-—)

x-mx—mx+mx+m

④函數(shù)/(x)=log。(J-+1+x)或函數(shù)/(x)=log“(J-+1-x).

注意：關(guān)于①式，可以寫成函數(shù)/(%)=機(jī)+*L(xwO)或函數(shù)

a-1

f(x)=m--(/ne7?).

a+1

偶函數(shù):①函數(shù)/(工)=±3+「).

②函數(shù)/(%)=log。(廣+1)-三.

③函數(shù)/(|x|)類型的一切函數(shù).

④常數(shù)函數(shù)

3、周期性技巧

函數(shù)式滿足關(guān)系(xeE)周期

f(x+T)=f(x)T

/(x+r)=-/(%)2T

/(x+T)=工"(尤+7)=_1

2T

/(x)/(x)

f(x+r)=/(x-r)2T

/(x+r)=-/(x-r)47

ff(a+x)=f(a-x)

2(b-a)

\f(b+x)=f(b-x)

\f(.a+無(wú))=f(a~尤)

2a

[/(x)為偶函數(shù)

f(a+x)=-f(a-x)

2(Z?-〃)

]f(t>+x)=-f(b-x)

f(a+x)=-f(a-x)

2a

I/(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=f{a-x)

4(Z?-a)

If(b+x)=-f(b-x)

f于(a+尤)=f(a-x)

4a

[/(x)為奇函數(shù)

f(a+x)=-f(a-x)

4〃

/(x)為偶函數(shù)

4、函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對(duì)稱軸尤=a,x=b(a<b),則函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且

T=2(b-a)；

(2)若函數(shù)y=/(無(wú))的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(6,c)(a<6),則函數(shù)y=/(x)是周

期函數(shù)，且T=2(6-a)；

(3)若函數(shù)y=/(x)有一條對(duì)稱軸x=a和一個(gè)對(duì)稱中心S,0)(4<6),則函數(shù)

y=/(x)是周期函數(shù)，且7=4(6-。).

5、對(duì)稱性技巧

(1)若函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線x=。對(duì)稱，則/'(a+x)=/(a-x).

(2)若函數(shù)丫=/(彳)關(guān)于點(diǎn)(°,6)對(duì)稱，則/(a+x)+y(a-x)=26.

(3)函數(shù)y=/(a+x)與y=/(a_尤)關(guān)于y*由對(duì)稱，函數(shù)y=/(a+x)與y=-/(。一無(wú))

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

必考題型全歸納

題型一：函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

例1.已知函數(shù)/(x)的定義域是R,若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)4，巧，總有

成立,則函數(shù)〃x)一定是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

【答案】C

【解析】對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)均，巧，總有/.)一//)>。成立,

x2-xl

等價(jià)于對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)為<%，總有/&)</(%).

所以函數(shù)/(X)一定是增函數(shù).

故選：C

例2.若定義在R上的函數(shù)7U)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,總有>0成立,則

a-b

必有()

A.兀x)在R上是增函數(shù)B.7(%)在R上是減函數(shù)

C.函數(shù)人x)先增后減D.函數(shù)兀0先減后增

【答案】A

【解析】由“(")■*)>0知1。)蟲與Q-Z?同號(hào)，即當(dāng)a<b時(shí)，1。)勺S),或當(dāng)a>b時(shí)，

a-b

八〃)次份，所以於)在尺上是增函數(shù).

故選：A.

例3.下列函數(shù)中，滿足“〃%+,)=〃力/3”的單調(diào)遞增函數(shù)是

A.7(x)=/B,f(x)=x

C.〃X)=1D.f{x)=y

【答案】D

【解析】由于優(yōu)?/=/',所以指數(shù)函數(shù)/(x)=/滿足/(x+y)=/(x)+〃y),且當(dāng)“>i

時(shí)單調(diào)遞增，0<x<l時(shí)單調(diào)遞減，所以〃X)=3工滿足題意，故選D.

考點(diǎn)：幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

變式1.函數(shù)”力=色-3犬+2|的單調(diào)遞增區(qū)間是()

3

A.叵+刃B.1,j和［2,+oo)

「3D.1應(yīng)5)和［2,+e)

C.和-,2

【答案】B

X?-3尤+2,xVl

【解析】y=y—3x+2］=<―尤?+3了_2,1<尤<2

x?—3尤+2,x22

和［2,+力).

故選：B.

變式2.(江蘇省泰州市海陵區(qū)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

9Y

f(X)—--------,XE(0,+00).

X+1

⑴判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，并利用定義證明;

(2)若/(2加一1)>/。—根)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【解析】(1)F(x)在(0,+8)上遞減,理由如下:

任取再,％2￡(°，+8)，且再<尤2,則

〃尤2)-〃再)=一弋+杏

x2+lxl+l

_2X](x2+1)-2%(尤i+1)

(尤2+1)(尤1+1)

2(X|一尤之)

(x2+1)(%+1)

因?yàn)樾?尤2e(°，+°°)，且西＜%，

所以X1-%<0,(%+1)(再+1)>0,

所以/(3)-/(再)＜。，即/(%)＜/(占),

所以f(x)在(0,+co)上遞減；

(2)由(1)可知/(x)在(0,+℃)上遞減,

所以由/(2加—一機(jī))，得

2m-1>0

12

<l-m>0,解得—<m<一,

23

2m-1<1-m

所以實(shí)數(shù)用的取值范圍為

變式3.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)。＞0,awl,證明：函數(shù)夕(x)=上二是尤的增函

X

數(shù)(x>0).

【解析】證明：當(dāng)務(wù)＞占＞0,在伯努利不等式定理3中取1+左=。力，r=—,0＜r＜l,

Xj

則有(1+x)'Wl+rc,即<1+11_(優(yōu)2_1),

即姒

所以當(dāng)了＞。時(shí)，e(x)是x的增函數(shù).

變式4.(2024.上海靜安.高三?？计谥?已知函數(shù)/(》)=二一二(°＞0),

且"0)=0.

a2

(1)求4的值，并指出函數(shù)/(勸的奇偶性；

(2)在(1)的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)/(x)在(-叫+s)上是增函數(shù).

【解析】(I)因?yàn)?(0)=,一。=0,又。>0,所以。=1,

a

所以/(X)=2',

2

此時(shí)/(-x)=1-2工=--(x),所以f(x)為奇函數(shù)；

2

(2)任取玉<工2，則/(%)_/(/)=2為_9_2巧

2司一11

二(一電)+―；——=(2X'X電一司),

2/22再+電-2^)/(1+2^為+—“2)=2'(1+2--百-+-吃--)’(1—2

因?yàn)閄]<%,所以2也f>1,所以1-2*5<0,2'，(1+亍，)>0

所以/(占)一，(％)<。即F(占)<F(%)，

所以函數(shù)f(x)在(-8,+8)上是增函數(shù).

【解題總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性的判斷方法

①定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值一變形一判斷符號(hào)一下結(jié)論”進(jìn)行

判斷.

②圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.

③直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接

寫出它們的單調(diào)區(qū)間.

題型二：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷

例4.函數(shù)y=J#+3x的單調(diào)遞減區(qū)間為()

3

——,+oo

2

C.[0,+<z>)D.(-8,-3]

【答案】D

【解析】由題意，^X2+3X>0,解得XV-3或X20,

所以函數(shù)y=J7+3x的定義域?yàn)?一8,_引.[0,+co),

3

令/=f+3x，貝!|/=%2+3%開口向上，對(duì)稱軸為工二一大，

所以"f+3]在(―，-3]上單調(diào)遞減，在。+8)上單調(diào)遞增,

而y=〃在。+8)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)y=H豆的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,-3].

故選：D.

例5.(陜西省寶雞市金臺(tái)區(qū)2024學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)函數(shù)y=log2(2x-/)的

單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(0,1)D.[0,1)

【答案】A

【解析】由2x-d>o,得0<x<2,

令r=2無(wú)一尤2,則y=log2f,

”2…2在(0,1)上遞增,在(1,2)上遞減,

因?yàn)閥=bg2t在定義域內(nèi)為增函數(shù)，

所以，=log2(2x-Y)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2),

故選：A

例6.(陜西省榆林市2024學(xué)年高三下學(xué)期階段性測(cè)試)函數(shù)y=lg(2cos尤-6)的單調(diào)遞

增區(qū)間為()

B.（2%乃+GZ）

A.(2k7i+兀,2kjr+2^-)(Z:GZ)

C.(2攵萬(wàn)一?，2%)](keZ)D.12%%,2%）+煮）（左GZ）

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，2cosx->/3>0,解得，2析一2cx<2k萬(wàn)+=,左GZ

又函數(shù)y=/g%在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，

且函數(shù)y=2cosx-g在(2版■-看,2%萬(wàn)：左eZ內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

y=/g(2cosx-道)的單調(diào)增區(qū)間為(2丘一eZ

選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)ABD錯(cuò)誤.

故選：C.

【解題總結(jié)】

討論復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)

的單調(diào)性.一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)

合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：

1、若M=g(x),y=/(")在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，貝1Jy=/Ig(x)］

為增函數(shù)；

2、若"=g(x),y=/(〃)在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則

y=/［g(尤)］為減函數(shù)?列表如下：

U=g(x)>=/(?)y=/Tg(x)]

增增增

增減減

減增減

減減增

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞

減.

題型三：利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值

例7.(河南省2024屆高三下學(xué)期仿真模擬考試數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)為定義在R上的

單調(diào)函數(shù)，且/(〃x)-2*-2x)=10,則/⑺在［-2,2］上的值域?yàn)?

"7-

【答案】--40

【解析】因?yàn)?(x)為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，

所以存在唯一的teR,使得〃。=1。，

貝iJ/(x)—2，-2x=r,=即/(r)=2'+3r=10,

因?yàn)楹瘮?shù)y=2'+3r為增函數(shù)，且22+3x2=10,所以/=2,

f(x)=2x+2x+2.

易知/(元)在［—2,2］上為增函數(shù)，且2)=-：，"2)=10,

「7-

則/(X)在［-2,2］上的值域?yàn)?-.10.

"7"

故答案為：-了1?！?/p>

x

例8.(上海市靜安區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(彳)=黃n石(。＞0)為偶函數(shù),

則函數(shù)“X）的值域?yàn)?

【答案】（0；

【解析】函數(shù)〃尤）=〃一（。>0）是偶函數(shù),

2+1

"（T）=f（x）n黃口

，〃尤）=第，易得〃力>0,

設(shè)f=(ey?>o),

貝產(chǎn)不T二1%,

IH—

t

當(dāng)且僅當(dāng)f=l即f=l時(shí)，等號(hào)成立，

t

所以0<f4，

2

所以函數(shù)/（x）的值域?yàn)椋?。，?

故答案為：.

例9.（河南省部分學(xué)校大聯(lián)考2024學(xué)年高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)

〃x）=a'+3x+l（a>0且awl）,若曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,〃。））處的切線與直線

x+2y-1=0垂直，則“X）在上的最大值為.

【答案】7+4

e

【解析】由題意得/'（x）=dlna+3,所以/'（O）=lna+3,

因?yàn)榍芯€與直線x+2y—1=0垂直，而x+2y—1=0的斜率為-5,

所以切線斜率為2,即ln4+3=2,解得a=e-,

所以/(x)=eT+3x+l,且以(力=一^”+3,

顯然/(x)是增函數(shù)，

當(dāng)xe[-l,2]時(shí)，/'(x)N/'(—1)=3—e>0,

所以/(x)在［-1,2］上單調(diào)遞增,故/(尤)1mx="2)=7+3.

e

故答案為：7+—

e

變式5.(新疆烏魯木齊市第八中學(xué)2024屆高三上學(xué)期第一次月考)若函數(shù)/(力=生千

x十1

在區(qū)間［0』上的最大值為3,則實(shí)數(shù)加=.

【答案】3

【解析】；函數(shù)/("=生?=2+二，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，

當(dāng)機(jī)〉2時(shí)，〃司=2上/在［0』上單調(diào)遞減，最大值為〃0)=7”=3；

X+1

當(dāng)機(jī)<2時(shí)，/("=§詈在［0』上單調(diào)遞增，最大值為/(1)=言=3,

即〃7=4,顯然〃2=4不合題意，

故實(shí)數(shù)加=3.

故答案為：3

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值.常用到下面的結(jié)

論：

1、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間①，切上是增函數(shù)，在區(qū)間屹，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)

y=f(尤)(xea,c)在x=8處有最大值/(6).

2、如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,句上是減函數(shù)，在區(qū)間g,c)上是增函數(shù)，則函數(shù)

y=/(x)(xea,c)在x=b處有最小值f(b).

3、若函數(shù)y=/(x)在［a,句上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)y=在團(tuán)，切上一定有最

大、最小值.

4、若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,6］上是單調(diào)遞增函數(shù)，則y=/(x)的最大值是/'(6),最

小值是f(a).

5、若函數(shù)y=/(尤)在區(qū)間［a,句上是單調(diào)遞減函數(shù)，則y=f(x)的最大值是y(a),最

小值是f(b).

題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍

(3a—l)x+4a(x<1)

例10.已知函數(shù)〃尤)=a,lA，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)為，巧且工產(chǎn)赴，都有

[/（%）—/（尤?）]（芯—W）<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.卜”B.[0,[CIT]

【答案】C

【解析】對(duì)任意的實(shí)數(shù)占力尤2,都有[/a）-/u）]a-%）<o,即"*一"馬）<o成立,

xi—x2

可得函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)連線的斜率小于0,說(shuō)明函數(shù)是減函數(shù)；

’3"1<0

可得：<4>0,

3a-l+4a>a

解得“W,

1_63）

故選：C

例11.（吉林省松原市2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考）若函數(shù)"無(wú)）=log”（尤3一收）

">0且存1）在區(qū)間（-；可內(nèi)單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是（）

A.卜）B?加C.]：,+.D.

【答案】B

【解析】函數(shù)/。）=皿/-辦）（a>0,a"）在區(qū)間（-1,0）內(nèi)有意義，

貝!]（——）^+—4?..0,a..>

2

設(shè)/=工3-依,貝IjJ=logflt,t'^3x-a

（1）當(dāng)a>1時(shí)，y=logflt是增函數(shù)，

要使函數(shù)/（x）=log“（d-ax）（a>0,aw1）在區(qū)間（-g,0）內(nèi)單調(diào)遞增,

需使t^^-ax在區(qū)間（-g,0）內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞增，

則需使對(duì)任意xe（-：0）恒成立，即”43/對(duì)任意了€（-；,0）恒成立；

131

因?yàn)獒軃（—-,0）時(shí)，0<3公〈—所以°<0與。>—矛盾，此時(shí)不成立.

244

（2）當(dāng)0<。<1時(shí)，y=log/是減函數(shù),

要使函數(shù)〃X）=/og。（三一◎卜。>0,a21）在區(qū)間（_；,0）內(nèi)單調(diào)遞增，

需使f=x3-ax在區(qū)間,0）內(nèi)內(nèi)單調(diào)遞減，

則需使，=3f-a40對(duì)任意xe（-：,0）恒成立，

即a23/對(duì)任意xe（-;,0）恒成立，

13

因?yàn)楣ぁ辏ā?0）時(shí),0<3%2<—,

24

3

所以〃…―，

4

3

又avl,所以二,,

4

3

綜上，〃的取值范圍是

4

故選：B

例12.（四川省廣安市2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

-x2-ax-9,x<l

/（%）=a在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

—,%>1

、%

A.[-5,0）B.（-8,-2）

C.[-5,-2]D.（f0）

【答案】C

【解析】由題意，xeR,

—%2—QX—9,X?1

在〃%)=,〃'中，函數(shù)單調(diào)遞增,

一,X〉1

X

——

2x(-1)-

a<0,解得:-5<a<-2,

-l-a-9<—

1

故選：C.

變式6.（江西省臨川第一中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù)

=log.（V-辦+3）在[0』上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(0,1)B.(1,4)

C.(0,1)31,4)D.［2,4)

【答案】D

【解析】函數(shù)〃x)=log”(x2-奴+3)在［0,1］上是減函數(shù)，

22

當(dāng)0<。<1時(shí)，x2-ax+3=(x-—)2+3-->3-—>0，

244

而函數(shù)"=V一辦+3在區(qū)間［0,1］上不單調(diào)，因此0<”1,不符合題意，

當(dāng)。>1時(shí)，函數(shù)y=log“"在(0,+s)上單調(diào)遞增，于是得函數(shù)"=爐-6+3在區(qū)間［0』上

單調(diào)遞減，

因此建1,并且產(chǎn)一人1+3>0,解得24”4,

2

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［2,4).

故選：D

變式7.(天津市復(fù)興中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

〃力=》2+2日—5在［-2,4］上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為().

A.B.k>2

C.kWY或k22D.k<Y或k>2

【答案】C

【解析】函數(shù)/(x)=犬+2質(zhì)-5的對(duì)稱軸為x=—k,

因?yàn)楹瘮?shù)〃力=犬+2區(qū)-5在［-2,4］上具有單調(diào)性，

所以一女24或一左4一2,即左WT或左22.

故選：C

【解題總結(jié)】

若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)。的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參

數(shù)〃的不等式，利用下面的結(jié)論求解.

1、若。>/(x)在［加，川上恒成立oa>/(x)在［加，川上的最大值.

2、若a</(尤)在［山，川上恒成立。。</(尤)在［加，上的最小值.

題型五：基本初等函數(shù)的單調(diào)性

例13.(2024?天津河西?天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/(x+2)是R上的偶

函數(shù)，對(duì)任意4，x,e[2,+w）,且x戶/都有"再）一"吃）

>0成立.若。=川嗎18）,

jq-x2

(InlOA

b=/In，c=fe2，則。，b,c的大小關(guān)系是（)

\7

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x+2）是R上的偶函數(shù),

所以函數(shù)y=的對(duì)稱軸為x=2,

又因?yàn)閷?duì)任意4，無(wú)，目2,心），且現(xiàn)WX,都有了（?）_/（%）>0成立.

Xj-x2

所以函數(shù)y=/（x）在（2,+◎上單調(diào)遞增,

e2LL

2

而3=log327>log318>log39=2,In-j==Ine-In<2=2-In<2<2,

InlO_

e'=eln^=VlO>3>

/e2

所以e2>log318>2>ln-^=,

所以c>。，

因?yàn)楹瘮?shù)y=/（x）的對(duì)稱軸為x=2,

所以?-74-In—(==/^2+1DA/2j,

而a=/(log318)=/(log39x2)=/(2+log32),

因?yàn)镮n應(yīng)<log32,

2

所以2<4-ln歹e<318<3

所以Z?<a,

所以

故選：A.

例14.(多選題)(甘肅省慶陽(yáng)市寧縣第一中學(xué)2024學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知

函數(shù)“X)在區(qū)間［-5,5］上是偶函數(shù)，在區(qū)間［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，且/⑶<〃1),則

()

A./(-1)</(-3)B./(0)>/(-1)

C./(-D</(1)D./(-3)>/(5)

【答案】BD

【解析】函數(shù)“X)在區(qū)間［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，又3>1,>/(3)</(1),

故此函數(shù)在區(qū)間［0,5］上是減函數(shù).

由已知條件及偶函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù))(可在區(qū)間［-5,0］上是增函數(shù).

對(duì)于A,-3<-1,故/(-3)</(-1),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,0>-1,故/(。)>〃一1),故B正確；

對(duì)于C,f(-l)=f(l),故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,/(-3)=/(3)>/(5),故D正確.

故選:BD.

例15.(2024屆北京市朝陽(yáng)區(qū)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又

在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

32

A.y=xB._y=-x+1C.y=log2xD.y=2同

【答案】D

【解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一判斷可得答案.函數(shù)y=V是奇函

數(shù)，不符合；

函數(shù)y=-Y+l是偶函數(shù)，但是在(0,+S)上單調(diào)遞減，不符合；

函數(shù)y=log?x不是偶函數(shù)，不符合；

函數(shù)y=2111既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，符合.

故選：D

【解題總結(jié)】

1、比較函數(shù)值大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解

決.

2、求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：①求函數(shù)定義域；②求簡(jiǎn)單函數(shù)單調(diào)區(qū)間；③

求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間（同增異減）.

3、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，通常要把參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)圖像或單調(diào)性定

義，確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較，利用區(qū)間端點(diǎn)間關(guān)系求參數(shù).同時(shí)注意函數(shù)

定義域的限制，遇到分段函數(shù)注意分點(diǎn)左右端點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系.

題型六：函數(shù)的奇偶性的判斷與證明

例16.利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：

—%2+2x+1,x>0

⑴/(x)=

x2+2x~l,x<0

x2+x,x<0,

⑵/(%)=<

x2-x,x>0

⑶尸

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)y=x2-2|x|—1.

【解析】（1）函數(shù)/⑴的定義域?yàn)椋▂,o）（。,+8）,

—尤2+2x+1,x>0

對(duì)于函數(shù)/（》）=

x2+2x-l,x<0

當(dāng)x>0,/（x）=-/+2x+l,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向下，對(duì)稱軸為x=l,

當(dāng)x<0,/（x）=/+2無(wú)-1,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為％=-1,

—尤2+2x+1,尤>0

畫出函數(shù)/（x）=c八的圖象，如圖所示，

x~2+2x-l,x<0

函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)/（X）為奇函數(shù);

（2）函數(shù)/（幻的定義域?yàn)椋?8,。>（。,+8）,

2

,一“、x+xx<0

對(duì)于函數(shù)/（%）={2八，

x-x,x>0

當(dāng)尤<0J（尤）=/+%,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為X=-；,

當(dāng)x>0,/（尤）=f-x,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為尤=1,

畫出函數(shù)/（x）=12'八的圖象，如圖所示，

x-x,x>0

函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故/（x）為偶函數(shù);

（3）先作出y=（g）'的圖象，保留》=（；）'圖象中后0的部分,

再作出y=（；廠的圖象中x>0部分關(guān)于y軸的對(duì)稱部分，

即得y=（；/的圖象，如圖實(shí)線部分.

由圖知y=（1）kl的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).

（4）將函數(shù)y=log2X的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再將X軸下方的部分沿?zé)o軸翻折上

去，

即可得到函數(shù)y=|iog2（x+i）|的圖象，如圖，

由圖知y=Mg?（x+l）|的圖象既不關(guān)于y軸對(duì)稱，也不關(guān)于x軸對(duì)稱,

（5）函數(shù)y=f（x）=%2-2國(guó)-1=［。

11，+2尤-l,x<0

當(dāng)X20J（X）=Y-2X-1,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為x=l,

當(dāng)了<0"。）=爐+2苫-1,為二次函數(shù)，是一條拋物線，開口向上，對(duì)稱軸為x=-1,

龍2—2%—1x>0

2'~的圖象，如圖，

（%+2%-1,x<0

由圖知>=/-2兇-1的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱，所以該函數(shù)為偶函數(shù).

例17.（2024?北京?高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+"）上單調(diào)遞增的

是（）

A.y=cosxB.y=e忖C.y=lg尤D.y=-

X

【答案】B

【解析】對(duì)于A,函數(shù)y=cosx的定義域?yàn)镽,且滿足cos（-x）=cosx,所以其為偶函數(shù)，

在(0,兀)上單調(diào)遞減，在(兀,2兀)上單調(diào)遞減，故A不符合題意;

ex,x>0

對(duì)于B,設(shè)y=/(x)=/，函數(shù)〃尤)=/=<八的定義域?yàn)?/p>

(一),x<0

e

且滿足〃r)=/(x),所以函數(shù)〃x)=e國(guó)為偶函數(shù)，

當(dāng)xe(0,+⑼時(shí)，“尤)=e*為單調(diào)遞增函數(shù)，故B符合題意；

對(duì)于C,函數(shù)y=lgx的定義域?yàn)?0,+co),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以函數(shù)>=lg尤為非奇非偶函數(shù)，故C不符合題意；

對(duì)于D,設(shè)y=/(x)=L,函數(shù)=■的定義域?yàn)?-8,0)(0,+co),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

XX

且滿足“一句=-"￡),所以函數(shù)/。)=工為奇函數(shù)，

又函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故D不符合題意.

故選：B.

例18.(多選題)(黑龍江省哈爾濱市第五中學(xué)校2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試

題)設(shè)函數(shù)〃x),g(x)的定義域都為R,且“X)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論

正確的是()

A./(x)-g(x)是偶函數(shù)B.|/(x)|.g(x)是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)D.是偶函數(shù)

【答案】CD

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃x),g(x)的定義域都為R，

所以各選項(xiàng)中函數(shù)的定義域也為R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

因?yàn)榱刷耸瞧婧瘮?shù)，g(x)是偶函數(shù),

所以/(r)=-/(x),g(f)=g(x)，

對(duì)于A,因?yàn)?(-x).g(-x)=_/(x)g(x),

所以函數(shù)］(x>g(x)是奇函數(shù),故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)閨/(-x?g(-x)=M(x?g(x)=，(x?g(x),

所以函數(shù)火到屈力是偶函數(shù),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)?

所以函數(shù)“X>|g（x）|是奇函數(shù),故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)閨〃-*"（-刈=卜〃》"（耳=,（%"（刈，

所以函數(shù)［〃x）-g㈤是偶函數(shù)，故D正確.

故選：CD.

變式8.（北京市海淀區(qū)2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間

（0,1）上單調(diào)遞增的是（）

2

A.y=lgxB.y=-C.y=2|x|D.y=tanx

x

【答案】D

【解析】對(duì)于A,>=坨尤的定義域?yàn)椋?,+8）,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函

數(shù)，故A錯(cuò)誤，

2

對(duì)于B,/（%）=—的定義域?yàn)椋?e,0）U（0,—）,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又

X

/（-x）=-x-1=^（x）,所以為奇函數(shù)，但在（0,1）單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,/（X）=2閔的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又〃一司=2出2叼⑺,故"X）為偶

函數(shù)，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,/（x）=tanx,由正切函數(shù)的性質(zhì)可知〃x）=tanx為奇函數(shù)，且在（0,1）單調(diào)遞增，

故D正確，

故選：D

【解題總結(jié)】

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合時(shí)，注意函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，以及奇偶函數(shù)圖像的

對(duì)稱性.

題型七：已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

例19.（四川省成都市蓉城聯(lián)盟2024學(xué)年高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知函數(shù)

f（0=佇+4b卜in2尤是偶函數(shù)，貝！|°=.

【答案】-1

【解析】f（%）=彼+）sin2x定義域?yàn)镽,

由f(-x)=/(x)得：(e-x+ae')sin(-2x)=(e*+ae^x卜in2x,

因?yàn)閟in(—2x)=—sin2x,所以-(6-*+4&')=6'+小-*,故q=-l.

故答案為：-1

例20.(江西省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期一輪復(fù)習(xí)驗(yàn)收考試)若函數(shù)

/(x)=log2(⑹+1)-辦是偶函數(shù)，則log。2=.

【答案】1

【解析】為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽,

???對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有/(x)=f(-x),

即log?(16"+l^-ar=log2(16-*+1)+奴，

%v

2ax-log2(16'+1^-log,^16-+l^=log216=4x,

由題意得上式對(duì)任意的實(shí)數(shù)了恒成立，

.?.20=4,解得。=2,所以bg02=l

故答案為：1

例21.(湖南省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期5月聯(lián)數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

+ax+2,若/(x+1)是偶函數(shù)，貝ija=.

【答案】-4

【解析】因?yàn)?(x+1)是偶函數(shù)，

所以/(—x+l)=/(x+l),

2(—x+1)~+a(—尤+1)+2=2(尤+1)~+a(尤+1)+2,

即8x=—2ax,

解得a=T.

故答案為：—4.

變式9.若函數(shù)/(x)=2e2￡+ae2+1為偶函數(shù)，則“=.

【答案】2

【解析】???函數(shù)/(x)=2e2x+ae3+l為偶函數(shù)

/(x)=2e2'+ae~2x+1=/(-%)=le2x+ae2x+1

即(2-aQ=(2-a)e-2.

又e2x>0,e-2x>0,e2v豐(x^O)/.2-a=Q

故答案為：a=0

【解題總結(jié)】

利用函數(shù)的奇偶性的定義轉(zhuǎn)化為了(-*)=±/(X),建立方程，使問題得到解決，但是

在解決選擇題、填空題時(shí)還顯得比較麻煩，為了使解題更快，可采用特殊值法求解.

題型八：已知函數(shù)的奇偶性求表達(dá)式、求值

例22.(2024年高三數(shù)學(xué)押題卷五)已知函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù).若

/(x)-g(x)=xsinx,則j

2023兀2023?！赴?/p>

A.-----B.C.0D.—1

22

【答案】c

【解析】由函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，/(x)-g(x)=xsinx,

故/(-x)—g(-X)=-xsin(-x),即一/(x)-g(x)=xsin(x),

將該式和/(x)-g(x)=xsinx相減可得/(x)=0,

2023兀

則/