2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：立體幾何解答題（學(xué)生版）

第56講立體幾何解答題

必考題型全歸納

題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體

例1.(2024.全國(guó)?高三專題練習(xí))已知正四棱臺(tái)ABC。-44GA的體積為竺也，其中

3

AB=24再=4.

(1)求側(cè)棱AA與底面ABCD所成的角；

(2)在線段cq上是否存在一點(diǎn)P,使得BPJ.A,。？若存在請(qǐng)確定點(diǎn)尸的位置；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

例2.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))在三棱臺(tái)ABC-麗中，G為AC中點(diǎn)，AC=2DF,

B

⑴求證：3。1平面。石6；

(2)若AS=3C=2,CF1AB,平面EFG與平面ACED所成二面角大小為求三棱錐

E-DFG的體積.

例3.(2024?重慶萬(wàn)州?高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí))如圖，在正四棱臺(tái)

ABCD-AgG"中，AB=24旦，A4,=g,M,N為棱Bg,G2的中點(diǎn)，棱A3上

存在一點(diǎn)E,使得〃平面3MZVD.

4AE

⑴求常

(2)當(dāng)正四棱臺(tái)ABCD-44GA的體積最大時(shí)，求8s與平面BMZVD所成角的正弦值.

變式1.(2024?湖北黃岡?流水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱臺(tái)44G-ABC中,

JT

BB[=3,ZBAC=-.

(1)證明：平面4ACC1，平面A3C；

⑵設(shè)。是3C的中點(diǎn)，求平面4Acq與平面AA0夾角的余弦值.

變式2.(2024?安徽?高三安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，圓錐尸。的高為3,是

底面圓。的直徑，四邊形ABCD是底面圓。的內(nèi)接等腰梯形，且AB=2CD=2,點(diǎn)E是母

線PB上一動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：平面ACEJ_平面尸OD；

(2)若二面角A—EC—3的余弦值為《亶，求三棱錐A-ECD的體積.

130

變式3.(2024.云南.云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，A,3為底面圓

2元

。上兩點(diǎn)，ZAOB=y,￡1為尸8中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段A8上，且=

(1)證明：平面AOPL平面OEF；

(2)若OP=AB,求直線AP與平面所成角的正弦值.

變式4.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?校聯(lián)考三模)如圖，尸為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心,

四邊形ABCD是圓。的內(nèi)接四邊形，3。為底面圓的直徑，M在母線網(wǎng)上，且

AB=BC=BM=2,BD=4,MD=273.

⑴求證：平面4WC_L平面ABCD；

(2)設(shè)點(diǎn)E為線段尸。上動(dòng)點(diǎn)，求直線CE與平面ADM所成角的正弦值的最大值.

變式5.(2024?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，線段9是圓柱的母線，ASC是圓柱

下底面。。的內(nèi)接正三角形，AAt=AB=3.

(1)劣弧BC上是否存在點(diǎn)。，使得。I?！捌矫鍭AB?若存在，求出劣弧8D的長(zhǎng)度；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)求平面CBOt和平面BAAX所成角的正弦值.

題型二：立體幾何存在性問(wèn)題

例4.(2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考)如圖，如圖1,在直角梯形ABCD中，

ZABC=NDAB=90°,ZCAB=30°,BC=2,AD=4.把ADAC沿對(duì)角線AC折起到APAC

的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)尸在平面A3C上的正投影X恰好落在線段AC上，連接

圖1圖2

(1)求證：平面平面BBC；

(2)求直線HE與平面PH3所成角的正弦值；

(3)在棱9上是否存在一點(diǎn)使得M到點(diǎn)P,〃,A,尸四點(diǎn)的距離相等？請(qǐng)說(shuō)明理由.

例5.(2024?上海長(zhǎng)寧?上海市延安中學(xué)?？既?己知ABC和VAZm所在的平面互相垂

直，AD±AE,AB=2,AC=4,/R4c=120。，。是線段BC的中點(diǎn)，AD=B

(1)求證：AD±BE；

(2)設(shè)AE=2,在線段AE上是否存在點(diǎn)尸(異于點(diǎn)A),使得二面角A-族-C的大小為

45°.

例6.(2024?湖南邵陽(yáng)?邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，在ABC中，?B90?,尸為

43邊上一動(dòng)點(diǎn)，PDHBC交AC千點(diǎn)、D,現(xiàn)將PO4沿尸。翻折至

(1)證明：平面CBA'_L平面尸BA；

(2)若PB=CB=2PD=4,且A/LAP,線段AC上是否存在一點(diǎn)E(不包括端點(diǎn))，使得

銳二面角E-Q-C的余弦值為宜區(qū),若存在求出逃的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

14EC

變式6.(2024.福建廈門(mén).統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊

形.如圖，四邊形A3CD為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為O,AB=拒,BO=8C=2,將△ABD沿

80折到aA2D的位置，形成三棱錐A—BCD.

D

(1)求8到平面AOC的距離；

⑵當(dāng)AC=1時(shí)，在棱AD上是否存在點(diǎn)P,使得直線&V與平面POC所成角的正弦值為

f

1Ap

4?若存在，求黑的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4AD

變式7.（2024?湖北襄陽(yáng)?襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）斜三棱柱ABC-4旦C的各棱長(zhǎng)都為

4,^A,AB=60，點(diǎn)A在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)0.

B\

（1）在棱8片（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)。使AOL4G?若存在，求出3。的長(zhǎng)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由;

⑵求點(diǎn)4到平面BCQBi的距離.

變式8.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面E4。，△

山。為等邊三角形，AD//BC,AD=CD=2BC=2,平面P8C交平面必。直線/,E、

分別為棱PD,PB的中點(diǎn).

⑴求證：BC//1；

⑵求平面AE尸與平面B4D所成銳二面角的余弦值;

（3）在棱PC上是否存在點(diǎn)G,使得。G〃平面AEF?若存在，求花的值，若不存在，說(shuō)

明理由.

變式9.（2024.湖北襄陽(yáng).襄陽(yáng)四中?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐中，若已知P4_L3C,

「3LAC,點(diǎn)尸在底面ABC的射影為點(diǎn)H,貝U

B

（1）證明：PCLAB

Q）設(shè)PH=HA=HB=HC=2,則在線段PC上是否存在一點(diǎn)M,使得2M與平面E4B所成

4CM

角的余弦值為,，若存在，設(shè)器=彳，求出2的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式10.（2024?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐E-A8CD中，底面A3CD為矩形,

AD=2AB=2,E4￡＞為等腰直角三角形，平面E4D_L平面ABCD,G為BC中點(diǎn).

BGC

⑴在線段4。上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q到平面的的距離為出若存在，求出丑的

值；若不存在，說(shuō)明理由;

(2)求二面角EC-B的正弦值.

變式11.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC是邊長(zhǎng)為2的

正三角形，BC=4,AB=245,分別為PC,尸8的中點(diǎn)，平面A跖與底面ABC的交

線為/.

E；”、

/\F

(1)證明：///平面尸BC

(2)若三棱錐P-ABC的體積為逑，試問(wèn)在直線/上是否存在點(diǎn)Q,使得直線尸。與平面

3

AE廠所成角為a,異面直線P。,跖所成角為夕，且滿足1+尸=方？若存在，求出線段

A。的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式12.(2024.安徽淮北.統(tǒng)考二模)如圖所示，四棱錐P-ABCD中，底面ASCD為菱

5

形，ZABC=60,PC1BD,PA=AB=—PB.

2

⑴證明：上4，面458；

⑵線段尸￡＞上是否存在點(diǎn)E,使平面ACE與平面R鉆夾角的余弦值為叵？若存在，指

13

出點(diǎn)E位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型三：立體幾何折疊問(wèn)題

例7.（2024?河南?洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在圖1中，ABC為等腰直角三

角形，?B90?,AB=2日ACD為等邊三角形，。為AC邊的中點(diǎn)，E在2C邊上，且

EC=2BE,沿AC將ACD進(jìn)行折疊，使點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸的位置，如圖2,連接FO,

FB,FE,使得FB=4.

圖1圖2

⑴證明：FOmABC.

（2）求二面角E-E4-C的余弦值.

例8.（2024?廣東深圳??？级＃┤鐖D1所示，等邊ASC的邊長(zhǎng)為2a,CD是AB邊上的

高，E,尸分別是AC,8c邊的中點(diǎn).現(xiàn)將ABC沿8折疊，如圖2所示.

(2)折疊后若4?="，求二面角A-BD-E的余弦值.

例9.(2024?四川南充.高三闔中中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖甲所示的正方形AA'AA中，

44,=12,AB=44=3,=8|G=4,對(duì)角線AA,分別交BB{,CQ于點(diǎn)P,。，將正方形

A4AA沿期，CQ折疊使得AA,與A4重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱ABC-4AG.

甲乙

⑴若點(diǎn)M在棱AC上，且證明：〃平面APQ；

(2)求二面角\-PQ-A的余弦值.

變式13.(2024?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知如圖甲所示，直角三角形

SA8中，NABS=90。，AB=BS=6,C,D分別為SB,SA的中點(diǎn)，現(xiàn)在將SCD沿著CD

進(jìn)行翻折，使得翻折后S點(diǎn)在底面ABC。的投影H在線段8c上，且SC與平面A8CQ所

(1)證明：DM//平面SBC；

(2)求平面ADS與平面SBC所成銳二面角的余弦值.

變式14.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖1,在直角梯形8CDE中，BC//DE,

BC1CD,A為OE的中點(diǎn)，且DE=2BC=4,BE=2霹,將JIBE沿48折起，使得點(diǎn)

E到達(dá)P處(尸與。不重合)，記尸。的中點(diǎn)為M,如圖2.

(1)在折疊過(guò)程中，尸8是否始終與平面ACM平行？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積最大時(shí)，求CQ與平面ACM所成角的正弦值.

變式15.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四邊形ABCD中,

AB±AD,AD//BC,AD=6,BC=2AB=4,E,E分別在BC,AD上，EF//AB,現(xiàn)將四

邊形ABC。沿所折起，使BE_LEC.

⑴若3E=3,在折疊后的線段AD上是否存在一點(diǎn)P,使得CP〃平面AB￡F?若存在，求

Ap

出器的值；若不存在，說(shuō)明理由.

(2)求三棱錐A-CD尸的體積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)尸到平面ACD的距離.

變式16.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四邊形MABC中，ABC是等腰直角三角形,

ZAC8=9(F,,M4C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，以AC為折痕，將AM4c向一方折疊到

△ZMC的位置，使。點(diǎn)在平面ABC內(nèi)的射影在上，再將4c向另一方折疊到

E4c的位置，使平面E4c_L平面A3C,形成幾何體ZMBCE.

(1)若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，求證：叱〃平面￡AC；

(2)求平面AC。與平面BCE所成角的正弦值.

變式17.(2024?四川瀘州?瀘縣五中?？既?如圖1,在梯形ABCD中，AB//CD,且

AB=2CD=4,ABC是等腰直角三角形，其中BC為斜邊.若把,ACD沿AC邊折疊到

△ACP的位置，使平面R4CL平面ABC,如圖2.

圖1圖2

(1)證明：AB±PA；

(2)若E為棱BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)8到平面E4E的距離.

變式18.(2024?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)沙一中?？家荒?如圖1,四邊形ABC。為直角梯形,

AD//BC,ADJ.AB,ZBCD=6O°,AB=26,BC=3,E為線段CD上一點(diǎn)，滿足

BC=CE,尸為助的中點(diǎn)，現(xiàn)將梯形沿3E折疊(如圖2),使平面3CEJL平面ABED.

(1)求證：平面ACE_L平面3CE；

(2)能否在線段上找到一點(diǎn)尸(端點(diǎn)除外)使得直線AC與平面PCb所成角的正弦值

為如？若存在，試確定點(diǎn)尸的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

題型四：立體幾何作圖問(wèn)題

例10.(2024.云南昆明?高三校考階段練習(xí))已知正四棱錐P-ABCD中，O為底面ABC。

的中心，如圖所示.

(1)作出過(guò)點(diǎn)。與平面出。平行的截面，在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，寫(xiě)

出簡(jiǎn)要作圖過(guò)程及理由；

⑵設(shè)的中點(diǎn)為G,PA=AB,求AG與平面所成角的正弦值.

例11.(2024.貴州?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，已知平行六面體ABCO-44CR的底面

7T3

ABCD是菱形，CD=CCX=ACi=2,ZDCB^-,且cosNGC￡)=cosNC]C3="

(1)試在平面ABC。內(nèi)過(guò)點(diǎn)c作直線/,使得直線/〃平面G2。，說(shuō)明作圖方法，并證明:

直線/〃用2；

(2)求平面8G。與平面ABQ所成銳二面角的余弦值.

例12.（2024.全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，已知平行六面體ABCD-ABCR的底面ABC。

jr3

是菱形，CD=CC1=AC1=2,/。。8=；且＜：05/00)=85/608="

（1）試在平面ABC。內(nèi)過(guò)點(diǎn)C作直線/,使得直線///平面C8O,說(shuō)明作圖方法，并證明:

直線〃/瓦2;

（2）求點(diǎn)C到平面48。的距離.

變式19.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖多面體ABCDE尸中，面￡鉆，面ABC。，_FAB

3

為等邊三角形，四邊形A3CD為正方形，EF//BC,且所=]g=3，H,G分別為

CE,C。的中點(diǎn).

（1）求二面角C-F”-G的余弦值；

AP

（2）作平面MG與平面ABC。的交線，記該交線與直線AB交點(diǎn)為P,寫(xiě)出二b的值（不

需要說(shuō)明理由，保留作圖痕跡).

變式20.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱

形，ZZMB=y.ACi=且尸平面ABC。，尸。=代，點(diǎn)尸,G分別是線段尸

上的中點(diǎn)，E在叢上.且B4=3PE.

(I)求證：BD//平面EFG；

(II)求直線A8與平面￡FG的成角的正弦值；

(III)請(qǐng)畫(huà)出平面跳G與四棱錐的表面的交線，并寫(xiě)出作圖的步驟.

變式21.(2024.安徽六安.安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))如圖，已知多面體EABC0E的底

面ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形，應(yīng)1，底面ABCD,FD//EA,且尸。=!胡=1.

2

（1）記線段2C的中點(diǎn)為K,在平面ABCD內(nèi)過(guò)點(diǎn)K作一條直線與平面ECT平行，要求保留

作圖痕跡，但不要求證明；

（2）求直線￡B與平面ECP所成角的正弦值.

變式22.（2024?廣西?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，三棱柱ABC-A用￡中，側(cè)面2瓦￡（7為菱

形.

（1）（如圖1）若點(diǎn)尸為JRC內(nèi)任一點(diǎn)，作出C/與面ACB1的交點(diǎn)M（作出圖象并寫(xiě)出簡(jiǎn)

單的作圖過(guò)程，不需證明）；

⑵（如圖2）若面，面=,求二面角

A-A四一G的余弦值.

變式23.（2024?四川成都?成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，P在平

面上滿足CP=C4,將△ACP沿AC翻折，使點(diǎn)P到達(dá)P'的位置，若平面P3CL平面

ABC,^.BCIP'A.

(1)作平面。，使得AP'ua,且說(shuō)明作圖方法并證明;

⑵點(diǎn)M滿足MC=2PM,求二面角尸—AB—M的余弦值.

變式24.(2024?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知四棱錐

尸-ABCD的底面ABCO是平行四邊形，側(cè)棱平面ABCD,點(diǎn)M在棱￡＞尸上，且

￡＞A/=2MP,點(diǎn)N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)(不為端點(diǎn)).(如圖所示)

⑴若N是棱PC中點(diǎn)，

(i)畫(huà)出△尸3￡＞的重心G(保留作圖痕跡)，指出點(diǎn)G與線段AV的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(ii)求證：尸3〃平面AM/V；

(2)若四邊形ABCD是正方形，且AP=AD=3,當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線R4與平面AMN所

成角的正弦值取最大值.

題型五：立體幾何建系繁瑣問(wèn)題

例13.(2024.福建福州.福建省福州格致中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱臺(tái)ABCQ-

TTTT

中，底面ABCD是菱形，ZABC=-,ZBiBD=-,ZB.BA=AB^BC,

36

AB=2AiBl=2,BlB=3

(1)求證：直線ACJ_平面8DS；

(2)求直線48/與平面ACQ所成角的正弦值.

例14.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，在直三棱柱4BC-A由G中，側(cè)面BCG比為正方形,

M,N分別為8C，AG的中點(diǎn)，AC1B.M.

⑴證明：ACV〃平面4即A；

(2)若BC=2,三棱錐月MN的體積為2,求二面角A-甲W-N的余弦值.

例15.（2024?江西撫州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體ABCDE中，

AB=BC,AB1BC,己知平面ABC1平面AC。，平面平面BCE,DE〃平面

ABC,AD±DE.

⑴證明：DE2平面ACD；

⑵若AC=2CD=2,設(shè)Mr為棱BE上的點(diǎn)，且滿足=求當(dāng)幾何體ABCDE的體

積取最大值時(shí)，A"與8所成角的余弦值.

變式25.（2024?黑龍江佳木斯?高一建三江分局第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知三棱柱

A3C-4與￡的底面是正三角形，側(cè)面B3CC是矩形，M,N分別為BC,與G的中點(diǎn)，尸為

AM上一點(diǎn)，過(guò)31G和尸的平面交A3于E,交AC于F.

（1）證明：平面AAMN±EB￡F；

（2）設(shè)。為△AB1G的中心，若AO〃平面E8[C]F,且AO=AB,求直線耳￡與平面

4AMN所成角的正弦值.

變式26.（2024?黑龍江哈爾濱?哈九中?？既＃┤鐖D，已知三棱柱48。-4月6的底面是

正三角形，側(cè)面8片C。是矩形，M,N分別為BC,的中點(diǎn)，尸為4〃上一點(diǎn)，過(guò)

BG和尸的平面交A5于交AC于尸.

（1）證明：AA.HMN,且平面平面EBCIF；

rr

（2）設(shè)。為△&圈G的中心，若AO=AB=12,AO//平面EBCP，且NMPN=§,求四

棱錐B-EBCZ的體積.

變式27.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體

4BCD-A呂G4中，每一個(gè)面均為邊長(zhǎng)為2的菱形，平面A3瓦底面A5CD,

/ZMS=60。，M,N分別是AA，8月的中點(diǎn)，P是8眼的中點(diǎn).

(2)若側(cè)棱AA與底面ABC。所成的角為60°,求平面。尸片與平面所成銳二面角的余

弦值.

變式28.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知四棱錐尸-中，上4,平面ABCD,

AD//BC,BC1AB,AB=AD=^BC,BD=6，PD=#.

(1)求直線PC與平面PBD所成角的正弦值；

(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)使得CM,平面P6D?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)"的位置；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式29.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))如圖，三棱柱ABC-A瓦G的底面為等邊三角形,

4\=AC,點(diǎn)。，E1分別為AC,CG的中點(diǎn)，ZCED=30°,AB=6BD=娓.

⑴求點(diǎn)4到平面BDE的距離;

(2)求二面角A.-BE-D的余弦值.

變式30.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知兩個(gè)四棱錐與鳥(niǎo)-A8C￡＞的公共底面

是邊長(zhǎng)為4的正方形，頂點(diǎn)4，G在底面的同側(cè)，棱錐的高6a=￡Q=2,Ox,?分別

為AB,CO的中點(diǎn)，與￡A交于點(diǎn)￡,月C與￡8交于點(diǎn)?

⑴求證：點(diǎn)E為線段2A的中點(diǎn);

(2)求這兩個(gè)棱錐的公共部分的體積.

變式31.(2024?全國(guó)?高一專題練習(xí))《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)

十書(shū)》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時(shí)世界上

最簡(jiǎn)練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中

將由四個(gè)直角三角形組成的四面體稱為“鱉席”，已知在三棱錐尸-ABC中，24,平面

ABC.

(1)從三棱錐尸-ABC中選擇合適的兩條棱填空：1,則三棱錐

尸-AFC為“鱉腌”；

(2)如圖，已知垂足為。，AE1PC,垂足為E,ZABC=90°.

(i)證明：平面APE_L平面PAC；

(ii)設(shè)平面ADE與平面ABC交線為/,若PA=2百，AC=2,求二面角E-/-C的大小.

變式32.(2024?浙江金華?高一浙江金華第一中學(xué)?？计谀?如圖，四面體ABC。中,

ABC等邊二角形，AB±AD,AB=AD=2.

(1)記AC中點(diǎn)為若面ABC1面求證：3M上面AOC；

5兀

(2)當(dāng)二面角D-AB-C的大小為二時(shí)，求直線與平面8。所成角的正弦值.

變式33.(2024?河北衡水?高二?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知四面體ASCD,AD=CD,

ZADB=ZCDB=nO°,且平面ABDJ_平面BCD.

(1)求證：BD1AC；

(2)求直線CA與平面MD所成角的大小.

題型六：兩角相等(構(gòu)造全等)的立體幾何問(wèn)題

例16.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在三棱錐A-BCD中，ABC是等邊三角形,

NBAD=NBCD=90,點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，連接8P,DP

(1)證明：平面ACD_1_平面BDP；

⑶若BD=&,cosZBPD=-^~,求三棱錐A-BCD的體積.

例17.(2024?高二?？紗卧獪y(cè)試)如圖，在三棱錐A-3CD中是等邊三角形,

/BAD=ZBCD=90。,點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn)，連接BP.DP.

C

(1)證明:平面ACD_L平面BDP;

(2)若BD=&，且二面角A—BD—C為120°，求直線AD與平面BCD所成角的正弦值.

例18.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為邊長(zhǎng)是2的

正方形，E,G分別是CD,AF的中點(diǎn)，AF=4,ZFAE=ZBAE,且二面角廠一旦￡一3

的大小為90。.

(1)求證：AELBG；

⑵求二面角3-AF-E的余弦值.

變式34.(2024全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為

2的菱形，NDAE=NBAE=45°,ZDAB=60°.

(1)證明：平面平面ABE；

(2)當(dāng)直線DE與平面ABE所成的角為30。時(shí)，求平面DCE與平面ABE所成銳二面角的余

弦值.

變式35.(2024?廣東陽(yáng)江?高二統(tǒng)考期中)如圖，在四面體A2C。中，ABC是正三角形,

ACD是直角三角形，ZABD=ZCBD,AB=BD.

⑴求證：平面ACDJL平面ABC；

⑵若DE=mDB，二面角。一鉆-C的余弦值為g，求加.

變式36.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，在四面體ABCD中，已知

ZABD=NCBD=60°,AB=BC=2,

(1)求證：XC1BD-,

(2)若平面平面C3D,且8。=1,求二面角C-的余弦值.

題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系

例19.(2024.河北.高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-FGHE,平

面ABCD與平面3CEF所成角為彳0<6<

⑴若AB=3C,求直線AH與平面BCEF所成角的余弦值(用cos。表示)；

(2)將矩形BCEF沿BF旋轉(zhuǎn)6度角得到矩形BFPQ,設(shè)平面A3C。與平面BFPQ所成角為

，請(qǐng)證明：coscir=COS26,.

例20.（2024.全國(guó).唐山市第H^一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在四棱錐S-ABCD中，BC1CD,

ABCD,SA=SD=1,AB=2BC=2CD=2f平面&W_L平面ABC。.

（2）若E是棱SB上一點(diǎn)，且二面角S-AD-E的余弦值為求點(diǎn)的大小.

乙、R

例21.（2024.安徽.高三校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中,

AB//CD,AP±PD,AB±BC,PA=PD=DC=BC=1,AB=2,E是尸8的中點(diǎn).

⑴求CE的長(zhǎng);

⑵設(shè)二面角尸-AD-3平面角的補(bǔ)角大小為。，若。,求平面BW和平面P8C夾

角余弦值的最小值.

變式37.(2024全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐P-MCD的底面為正方形，底面

ABCD,M是線段尸。的中點(diǎn)，設(shè)平面PAD與平面P3C的交線為/.

⑴證明/〃平面BCM

(2)已知PD=")=1,。為/上的點(diǎn)，若尸B與平面QCD所成角的正弦值為是逅，求線段

3

QC的長(zhǎng).

(3)在(2)的條件下，求二面角。-CQ-M的正弦值.

變式38.(2024?江西撫州?高二臨川一中?？计谥?如圖，直線平面a,直線平

行四邊形ABCD,四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)尸在平面a上，AB=y/l,AD=6

AD±DB,ACoBD^O,OP//AQ,AQ^2,M,N分別是AQ與C￡?的中點(diǎn).

(1)求證：MV//平面QBC；

（2）求二面角M-C8-。的余弦值.

變式39.（2024.陜西安康.陜西省安康中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐S-ABCZ）中，底

面ABC。為正方形，側(cè)面&W為等邊三角形，AB=2,SC=20.

P\

\--yD

⑴證明：平面&⑦，平面ABCD；

（2）側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)P（P不在端點(diǎn)處），使得直線8尸與平面SAC所成角的正弦值

等于巨？若存在，求出點(diǎn)尸的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7

變式40.（2024?吉林長(zhǎng)春?高二校考期末）如圖，四棱錐S—ABCD中，底面ABCD為矩

形，底面"CD,AD=應(yīng),OC=SD=2.點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，ZABM^60°.

（1）證明：/是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；

（2）求二面角S-AM-8的余弦值.

變式41.（2024?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）三棱柱A8C-4月G

的底面ABC是等邊三角形，3C的中點(diǎn)為。，A。，底面ABC，&A與底面ABC所成的角

為?，點(diǎn)Z）在棱AA上，JIAD=,AB=2.

（1）求證：OD_L平面84GC；

（2）求二面角3-2C-A的平面角的余弦值.

變式42.（2024?黑龍江齊齊哈爾?高三齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，三棱錐

P/8C所有棱長(zhǎng)都等，P。，平面ABC,垂足為。.點(diǎn)與，G分別在平面B4C,平面抬8

內(nèi)，線段B旦，CG都經(jīng)過(guò)線段P。的中點(diǎn)D

⑴證明：BC〃平面ABC；

(2)求直線AP與平面ABG所成角的正弦值.

變式43.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，已知四棱錐P-ABCE中，24,平面ABCE,

平面平面P3C,且鉆=1,BC=2,8E=20,點(diǎn)A在平面PCE內(nèi)的射影恰為

PCE的重心G.

(1)證明：BC1AB；

(2)求直線CG與平面P3C所成角的正弦值.

變式44.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))如圖，平面a〃平面用，菱形ABCDu平面a,

AC-2,E為平面夕內(nèi)一動(dòng)點(diǎn).

(1)若平面夕間的距離為3,設(shè)直線AE,CE與平面a所成的角分別為凡9,

\+小=2,求動(dòng)點(diǎn)E在平面。內(nèi)的射影廠的一個(gè)軌跡方程；

tan0tancp

(2)若點(diǎn)E在平面a內(nèi)的射影為A,證明：直線CE與平面3DE所成的角與NB4D的大小無(wú)

關(guān).

題型八：空間中的點(diǎn)不好求

例22.(2024.全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知三棱錐A8C。，。在面ABC上的投影為O,。恰

好為△ABC的外心.AC=AB=4,BC=2.

⑴證明：BCXAZ)；

(2汨為AD上靠近A的四等分點(diǎn)，若三棱錐A-8C。的體積為1,求二面角E-CO-8的余

弦值.

例23.(2024.河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐尸-ABCD中，AB=BC=—

2

AD=CD=AC=2/,E,尸分別為AC,CO的中點(diǎn)，點(diǎn)G在PF上，且G為三角形

PCD的重心.

⑴證明：GE〃平面P3C；

(2)若R4=PC,PALCD,四棱錐尸-ABC。的體積為3百，求直線GE與平面PCD所成

角的正弦值.

例24.(2024?湖北武漢?華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè))如圖，平行六面體

4BCD-A耳G4中，點(diǎn)尸在對(duì)角線2,上，A。BD=O,平面ACP〃平面AG。.

7T

(2)若四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZBAD=ZBAAl^ZDAAl^-,9=3,求二面角

P-AB-C大小的余弦值.

變式45.（2024?江西?校聯(lián)考二模）正四棱錐P-ABCD中，PA=AB=2,E為PB中點(diǎn),

AF=AAP,CG=juCP,平面EFGc平面ABCD=/,平面EFGiAD=K.

（1）證明：當(dāng)平面EFG_L平面PB￡＞時(shí)，平面PBD

（2）當(dāng)％=〃=：時(shí)，T為P-ABCD表面上一動(dòng)點(diǎn)（包括頂點(diǎn)），是否存在正數(shù)加，使得有且

僅有5個(gè)點(diǎn)T滿足2陽(yáng)TP「+月2+|7s「+因「+理『=加，若存在，求加的值，若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式46.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-EFGH中，點(diǎn)M

是正方體的中心，將四棱錐BCGP繞直線CG逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)￡（0＜a＜兀）后，得到四棱錐

M'-B'CGF'.

（2）是否存在a,使得直線MP，平面MBC?若存在，求出。的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

變式47.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABC。中，AB=BD=1,四邊形瓦組廠為正方

2兀

形，滿足/ABB=《-,連接AE,AF,CE,CF.

（2）求直線AE與平面所成角的正弦值.

題型九：創(chuàng)新定義

例25.（2024.重慶沙坪壩.高三重慶一中校考階段練習(xí)）魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（圖a）為研

究球體的體積公式，創(chuàng)造了一個(gè)獨(dú)特的立體圖形“牟合方蓋”，它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)

成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一圓柱的側(cè)面上.如圖，將兩個(gè)底面半徑為1的圓柱分別從縱橫

兩個(gè)方向嵌入棱長(zhǎng)為2的正方體時(shí)（如圖b）,兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖c）即

得一個(gè)“牟合方蓋”，圖d是該“牟合方蓋”的直觀圖（圖中標(biāo)出的各點(diǎn)A,B,C,D,

P,。均在原正方體的表面上）.

（1）由“牟合方蓋”產(chǎn)生的過(guò)程可知，圖d中的曲線為一個(gè)橢圓，求此橢圓的離心率;

(2)如圖c,點(diǎn)M在橢圓弧PB上，且三棱錐A-。0c的體積為g,求二面角P-AM-C的

正弦值.

例26.(2024?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校?？家荒?蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖

1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個(gè)相等的三棱錐ABC,J-CDE,K-EFA,再

分別以AC,CE,E4為軸將ACH,CEJ,E4K分別向上翻轉(zhuǎn)180。，使“，J,K三

點(diǎn)重合為點(diǎn)S所圍成的曲頂多面體(下底面開(kāi)口)，如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用

曲率來(lái)刻畫(huà)，定義其度量值等于蜂房頂端三個(gè)菱形的各個(gè)頂點(diǎn)的曲率之和，而每一頂點(diǎn)的

曲率規(guī)定等于2兀減去蜂房多面體在該點(diǎn)的各個(gè)面角