2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：排列與組合（學(xué)生版）

第86講排列與組合

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1、排列與排列數(shù)

(1)定義：從〃個(gè)不同元素中取出用(加工九)個(gè)元素排成一列，叫做從〃個(gè)不同元素中

取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.從〃個(gè)不同元素中取出加(加工〃)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫

做從幾個(gè)不同元素中取出冽個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示.

nI

(2)排列數(shù)的公式：47=n(n-l)(n-2)---(n-m+l)=-——1―.

\ji-my.

特例：當(dāng)機(jī)="時(shí)，母=加=〃(〃-1)(〃-2)…321；規(guī)定：0!=1.

(3)排列數(shù)的性質(zhì)：

①然=研二；②M=」一/T=」-媼；③然=成印+黑「

n—mn—m

(4)解排列應(yīng)用題的基本思路：

通過(guò)審題，找出問(wèn)題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無(wú)特殊限制條件(特殊位置,

特殊元素).

注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達(dá)形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，

A；=〃(九-1)…(77+1)常用于具體數(shù)字計(jì)算；而在進(jìn)行含字母算式化簡(jiǎn)或證明時(shí)，多用

A”，_加.

"(ji—m)!

知識(shí)點(diǎn)2、組合與組合數(shù)

(1)定義：從“個(gè)不同元素中取出加(〃74〃)個(gè)元素并成一組，叫做從"個(gè)不同元素中

取出機(jī)個(gè)元素的一個(gè)組合.從"個(gè)不同元素中取出機(jī)4")個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫

做從"個(gè)不同元素中取出加個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)C：表示.

(2)組合數(shù)公式及其推導(dǎo)

求從"個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)A"，可以按以下兩步來(lái)考慮：

第一步，先求出從這〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)C：；

第二步，求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)6：；

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到A7=c；6；

田叱.T）（，L2）…"7+1）

"<ml

這里〃，meN+,且相W”，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式.因?yàn)锳：1〃！、，所以組合

\n-my.

HI

數(shù)公式還可表示為：c：=，,特例：C；=C：=1.

注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問(wèn)題

時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問(wèn)題.公式

C：=-1）（〃-2）…-M+1）常用于具體數(shù)字計(jì)算,c：=---常用于含字母算式的

mlm\（n-m）\

化簡(jiǎn)或證明.

（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①C：=C：T②C：+C：T=C1.

（4）組合應(yīng)用題的常見題型：

①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型

②“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型

知識(shí)點(diǎn)3、排列和組合的區(qū)別

組合：取出的元素地位平等，沒(méi)有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同.

注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問(wèn)題，它們

之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問(wèn)題，需

要考慮順序的是排列問(wèn)題.排列是在組合的基礎(chǔ)上對(duì)入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解

決排列組合綜合問(wèn)題的基本思維是“先組合，后排列”.

知識(shí)點(diǎn)4、解決排列組合綜合問(wèn)題的一般過(guò)程

1、認(rèn)真審題，確定要做什么事；

2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時(shí)進(jìn)行，弄清

楚分多少類及多少步；

3、確定每一步或每一類是排列（有序）問(wèn)題還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少

及取出多少個(gè)元素;

4、解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

【解題方法總結(jié)】

1、如圖，在圓中，將圓分〃等份得到w個(gè)區(qū)域陷，M2,M3,■■■,現(xiàn)取

依左..2）種顏色對(duì)這〃個(gè)區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個(gè)區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方

案有（一1）”/一1）+/-1）"種.

2、錯(cuò)位排列公式Dn=（才5+1）??!

tr?!

3、數(shù)字排列問(wèn)題的解題原則、常用方法及注意事項(xiàng)

（1）解題原則：排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題

的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位子上，或某個(gè)位子不排某些元素，解決該類排列

問(wèn)題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個(gè)位子安

排的元素影響到另一個(gè)位子的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.

4、定位、定元的排列問(wèn)題，一般都是對(duì)某個(gè)或某些元素加以限制，被限制的元素通常

稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置.這一類問(wèn)題通常以三種途徑考慮：

（1）以元素為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊元素的排法問(wèn)題，即先滿足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置為主考慮，這時(shí)，一般先解決特殊位置的排法問(wèn)題，即先滿足特殊位置，

再考慮其他位置；

（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計(jì)算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列

數(shù).

5、解決相鄰問(wèn)題的方法是“捆綁法”，其模型為將〃個(gè)不同元素排成一排，其中某左

個(gè)元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這左個(gè)元素“捆綁在一起“，看

成一個(gè)整體，當(dāng)作一個(gè)元素同其他元素一起排列，共有A-管種排法；然后再將“捆綁”

在一起的元素“內(nèi)部”進(jìn)行排列，共有種排法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件

的排法共有耳二窗種.

6、解決不相鄰問(wèn)題的方法為“插空法”，其模型為將〃個(gè)不同元素排成一排，其中某

上個(gè)元素互不相鄰（kWn-k+l）,求不同排法種數(shù)的方法是：先將（n—k）個(gè)元素排成一

排，共有黑二；種排法；然后把七個(gè)元素插入〃-左+1個(gè)空隙中，共有《一日種排法.根據(jù)分步

乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合條件的排法共有娼$,1種.

必考題型全歸納

題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡(jiǎn)和計(jì)算

例1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若Cf+'C鏟，則實(shí)數(shù)式的值為（）

A.1B.3C.I或3D.0

例2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）C；+C；+C：+-+C；8=（）

A.ClB.小C.C-lD.黑-1

例3.（2024?甘肅蘭州?統(tǒng)考一模）A；=90,則n等于.

變式1.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）勺一勺=____

A；+A；

變式2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）A：＞89A；-8A；=.

變式3.（2024?高三課時(shí)練習(xí)）己知A?-C；+0!=4,則加=.

變式4.（2024?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）若C；:6=c：:2,則c；=

變式5.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）計(jì)算C；7+C：%的值為.

題型二：直接法

例4.（2024?江蘇?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封

神榜》，恰好買到了六張連號(hào)的電影票.若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法

種數(shù)為（）

A.360B.480C.600D.720

例5.（2024?重慶?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）雅禮女籃一直是雅禮中學(xué)的一張靚麗的名片，在

剛剛結(jié)束的2022到2024賽季中國(guó)高中籃球聯(lián)賽女子組總決賽中，雅禮中學(xué)女籃隊(duì)員們敢

打敢拼，最終獲得了冠軍.在頒獎(jiǎng)儀式上，女籃隊(duì)員12人（其中1人為隊(duì)長(zhǎng)），教練組3

人，站成一排照相，要求隊(duì)長(zhǎng)必須站中間，教練組三人要求相鄰并站在邊上，總共有多少

種站法（）

A.A；A；；B.2A；A；：C.A；A：A；D.2A；A：A；

例6.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天

兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

變式6.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）要排出某班一天中語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，政治，英語(yǔ)，體

育，藝術(shù)6門課各一節(jié)的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在前3節(jié)，英語(yǔ)課不排在第6節(jié)，則不同

的排法種數(shù)為（）

A.24B.72C.144D.288

變式7.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）運(yùn)輸公司從5名男司機(jī)，4名女司機(jī)中選派出3名

男司機(jī)，2名女司機(jī)，到A,B,C,D,E這五個(gè)不同地區(qū)執(zhí)行任務(wù)，要求A地只能派

男司機(jī)，E地只能派女司機(jī)，則不同的方案種數(shù)是（）

A.360B.720C.1080D.2160

變式8.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）從編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)球中任取4個(gè)，放

在編號(hào)為A,B,C,。的4個(gè)盒子里，每盒一球，且2號(hào)球不能放在B盒中的不同的方法

數(shù)是（）

A.24B.48C.54D.96

變式9.（2024?陜西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）甲、乙兩個(gè)家庭周末到附近景區(qū)游玩，其中

甲家庭有2個(gè)大人和2個(gè)小孩，乙家庭有2個(gè)大人和3個(gè)小孩，他們9人在景區(qū)門口站成

一排照相，要求每個(gè)家庭的成員要站在一起，且同一家庭的大人不能相鄰，則所有不同站

法的種數(shù)為（）

A.144B.864C.1728D.2880

題型三：間接法

例7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）8個(gè)點(diǎn)將半圓分成9段弧，以10個(gè)點(diǎn)（包括2個(gè)端

點(diǎn)）為頂點(diǎn)的三角形中鈍角三角形有（）個(gè)

A.55B.112C.156D.120

例8.（2024?湖北武漢?高二校聯(lián)考期末）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢

口江灘游玩，每人只能去一個(gè)地方，漢口江灘一定要有人去，則不同游覽方案的種數(shù)為

（）

A.65B.73C.70D.60.

例9.（2024?湖南長(zhǎng)沙?雅禮中學(xué)校聯(lián)考二模）從正360邊形的頂點(diǎn)中取若干個(gè)，依次連

接，構(gòu)成的正多邊形的個(gè)數(shù)為（）

A.360B.630C.1170D.840

變式10.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將7個(gè)人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人

中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（）.

A.1860種B.3696種C.3600種D.3648種

題型四：捆綁法

例10.（2024?四川內(nèi)江?高三期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯

演，若甲和乙相鄰，丙不站在兩端，則不同的排列方式共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

例11.（2024?江西宜春?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）“基礎(chǔ)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)試驗(yàn)計(jì)劃”簡(jiǎn)稱“珠

峰計(jì)劃”，是國(guó)家為回應(yīng)“錢學(xué)森之問(wèn)”而推出的一項(xiàng)人才培養(yǎng)計(jì)劃，旨在培養(yǎng)中國(guó)自己的學(xué)

術(shù)大師.浙江大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、武漢大學(xué)、中山大學(xué)均有開設(shè)數(shù)學(xué)學(xué)科拔尖學(xué)生培養(yǎng)基地.已知

某班級(jí)有A3,C,O,E共5位同學(xué)從中任選一所學(xué)校作為奮斗目標(biāo)，每所學(xué)校至少有一位同

學(xué)選擇，則A同學(xué)選擇浙江大學(xué)的不同方法共有（）

A.24種B.60種C.96種D.240種

例12.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某個(gè)單位安排7位員工在“五?一”假期中1日至7日

值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰的兩天，丙

不排在5月1日，丁不排在5月7日，則不同的安排方案共有（）

A.504種B.960種C.1008種D.1200種

變式11.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）2024年春節(jié)在北京工作的五個(gè)家庭，開車搭伴一

起回老家過(guò)年，若五輛車分別為A5CRE,五輛車隨機(jī)排成一排，則A車與8車相鄰，

A車與C車不相鄰的排法有（）

A.36種B.42種C.48種D.60種

變式12.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）為慶祝廣益中學(xué)建校130周年，高二年級(jí)派出甲、

乙、丙、丁、戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后5名老師排成一排合影

留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有（）種.

A.40B.24C.20D.12

題型五：插空法

例13.（2024?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知來(lái)自甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校的5

名學(xué)生參加演講比賽，其中三個(gè)學(xué)校的學(xué)生人數(shù)分別為1、2、2.現(xiàn)要求相同學(xué)校的學(xué)生的

演講順序不相鄰，則不同的演講順序的種數(shù)為（）

A.40B.36C.56D.48

例14.（2024?黑龍江佳木斯?高三?？奸_學(xué)考試）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，

甲和乙不相鄰，排法種數(shù)為（）

A.12B.36C.48D.72

例15.（2024?遼寧沈陽(yáng)?高三沈陽(yáng)二十中校考開學(xué)考試）五聲音階是中國(guó)古樂(lè)基本音

階，故有成語(yǔ)“五音不全”，中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，若把這

五個(gè)音階全用上，排成一個(gè)五個(gè)音階的音序，且要求宮、羽兩音階不相鄰且在角音階的同

側(cè)，則可排成不同的音序種數(shù)為（）

A.72B.28C.24D.32

變式13.（2024?全國(guó)?高三對(duì)口高考）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排.若男生

甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為（）

A.36B.42C.48D.60

變式14.（2024?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某校舉行文藝匯演，

甲、乙、丙等6名同學(xué)站成一排演唱歌曲，若甲、乙不相鄰，丙不在兩端，則不同的排列

方式共有（）

A.72種B.144種C.288種D.432種

變式15.（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）北京地處中國(guó)北部、華北平原北部，東與天津毗

連，其余方向均與河北相鄰，是世界著名古都，也是國(guó)務(wù)院批復(fù)確定的中國(guó)政治中心、文化

中心、國(guó)際交往中心、科技創(chuàng)新中心.為了感受這座古今中外聞名的城市，某學(xué)生決定在高考

后游覽北京，計(jì)劃6天游覽故宮、八達(dá)嶺長(zhǎng)城、頤和園、“水立方”、“鳥巢”、798藝術(shù)區(qū)、首都博

物館7個(gè)景點(diǎn)，如果每天至少游覽一個(gè)景點(diǎn)，且“水立方”和“鳥巢”在同一天游覽，故宮和

八達(dá)嶺長(zhǎng)城不在相鄰兩天游覽，那么不同的游覽順序共有（）

A.120種B.240種C.480種D.960種

變式16.（2024?湖北襄陽(yáng)?襄陽(yáng)四中校考模擬預(yù)測(cè)）一排有8個(gè)座位，有3人各不相鄰

而坐，則不同的坐法共有（）

A.120種B.60種C.40種D.20種

題型六：定序問(wèn)題（先選后排）

例16.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）滿足毛eN*（i=1,2,3,4）,且當(dāng)＜尤3＜匕＜1。的有

序數(shù)組（石,々，當(dāng)，匕）共有（）個(gè).

A.C；B.蜀C.品D.組

例17.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）已知％e{T,0.1}，G'=l,2,…,則滿足聞+園|+|&|+...+聞=2

的有序數(shù)組（孫孫三，…,三）共有（）個(gè)

n2—w

A.—2nB.2n2+2nC.-------D.n2-n

2

例18.（2024-山西朔州?高二懷仁市第一中學(xué)校?？计谥校┪迦瞬⑴耪驹谝慌牛绻?/p>

A,8必須相鄰且8在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有（）

A.60種B.48種C.36種D.24種

變式17.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）。乂4是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋

線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長(zhǎng)長(zhǎng)的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上

的堿基之間由氫鍵相結(jié)合.在。N4中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，

。乂4中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T,或者是C-

G,不會(huì)出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們

也就知道了另一條鏈上堿基的順序.如圖所示為一條OVA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想

在堿基T和堿基C之間插入3個(gè)堿基A,2個(gè)堿基C和1個(gè)堿基T,則不同的插入方式的

種數(shù)為（）

...AGGATCGG...

A.20B.40C.60D.120

變式18.（2024?江蘇揚(yáng)州?高三?？计谀┗簦置安薀簟薄盁艋\”，是中國(guó)傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時(shí)

代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的6盞不同的花燈需要取下，

每次取1盞，則不同取法總數(shù)為

變式19.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某公司在元宵節(jié)組織了一次猜燈謎活動(dòng)，主持人

事先將10條不同燈謎分別裝在了如圖所示的10個(gè)燈籠中，猜燈謎的職員每次只能任選每

列最下面的一個(gè)燈籠中的謎語(yǔ)來(lái)猜（無(wú)論猜中與否，選中的燈籠就拿掉），則這10條燈謎

依次被選中的所有不同順序方法數(shù)為.（用數(shù)字作答）

n

nT

變式20.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）7人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人順序一定，共有一不同的

排法.

題型七：列舉法

例19.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)論領(lǐng)域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉

格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理的內(nèi)容是：任意正整數(shù)都可以表示為不超過(guò)四個(gè)自然

數(shù)的平方和，例如正整數(shù)12=32+F+F+12=22+22+22+（）2.設(shè)25=。2+/+。2+第,其

中a,b,c,d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組（a力,Gd）的個(gè)數(shù)是（）

A.28B.24C.20D.16

例20.（2024?浙江寧波?高二校聯(lián)考期末）已知字母x,y,z各有兩個(gè)，現(xiàn)將這6個(gè)字

母排成一排，若有且僅有一組字母相鄰（如中小），則不同的排法共有（）種

A.36B.30C.24D.16

例21.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放

在如圖所示正方形ABCD（邊長(zhǎng)為2個(gè)單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過(guò)擲骰子來(lái)確定棋子沿

正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛐凶吡藥讉€(gè)單位，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為m=1,2,…,6）,則棋子就按

逆時(shí)針?lè)较蛐凶遡個(gè)單位，一直循環(huán)下去.則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到起點(diǎn)A處

的所有不同走法共有（）

A.21種B.22種C.25種D.27種

變式21.（2024?海南海口?統(tǒng)考一模）形如45132這樣的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位上的

數(shù)字，千位上的數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)字大，則由1,2,3,4,5可組成數(shù)字不重

復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為

A.20B.18C.16D.11

變式22.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖

所示的六個(gè)位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不熊連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓.

則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是.

/?32,\

?56。

題型八：多面手問(wèn)題

例22.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）我校去年11月份，高二年級(jí)有10人參加了赴日本

交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.現(xiàn)要從中

選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有（）種不同的選法.

A.675B.575C.512D.545

例23.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人

只會(huì)英語(yǔ)，4人只會(huì)法語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語(yǔ)翻譯，4

人當(dāng)法語(yǔ)翻譯，則共有（）種不同的選法

A.225B.185C.145D.110

例24.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要

的節(jié)日民俗活動(dòng)之一，在我國(guó)南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊(duì)欲參加今年端午節(jié)

龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊(duì)員中有3人只會(huì)劃左槳，3人只會(huì)劃右槳，2人既會(huì)劃左槳又會(huì)

劃右槳.現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共

有（）

A.26種B.30種C.37種D.42種

變式23.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人

只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷.現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去

參加比賽，則不同的選派方法共有（）

A.56種B.68種

C.74種D.92種

題型九：錯(cuò)位排列

例25.（2024?重慶沙坪壩?高二重慶八中?？计谀皵?shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)

的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡(jiǎn)單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮

格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字

5,且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大

到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（）

___________

5

A.72B.108C.144D.196

例26.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)人分別去坐編號(hào)

為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中有且只有兩個(gè)人的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法有（）

A.10種B.20種C.30種D.60種

例27.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)

為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入

的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

變式24.（2024?廣東廣州?高二廣州奧林匹克中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將編號(hào)為1、2、3、4

、5、6的六個(gè)小球放入編號(hào)為1、2、3、4、5、6的六個(gè)盒子里，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，若有且只

有三個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球編號(hào)相同，則不同的方法總數(shù)是（）

A.20B.40C.120D.240

題型十：涂色問(wèn)題

例28.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5

個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色

方法共有一種.

例29.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）對(duì)正方體42C。-A4CQ的6個(gè)面進(jìn)行涂色，有5

種不同的顏色可供選擇.要求每個(gè)面只涂一種顏色，且有公共棱的兩個(gè)面不同色，則總的涂

色方法個(gè)數(shù)為（填寫數(shù)字）

例30.（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某城市休閑公園管理人員擬對(duì)一塊圓環(huán)區(qū)域進(jìn)行改

造封閉式種植鮮花，該圓環(huán)區(qū)域被等分為5個(gè)部分，每個(gè)部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮

花中選取一種進(jìn)行栽植.要求相鄰區(qū)域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有

種.

變式25.（2024?安徽?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)課上，老師出了一道智力游戲題.如圖所

示，平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)3乘3方格圖（小正方形邊長(zhǎng)為1）,一共有十六個(gè)紅色的格

點(diǎn)，游戲規(guī)則是每一步可以改變其中一個(gè)點(diǎn)的顏色（只能由紅變綠或綠變紅），如將其中任

何一個(gè)點(diǎn)由紅色改成綠色，則這個(gè)點(diǎn)周圍與之相鄰的點(diǎn)也要從原來(lái)的顏色變成另外一種顏

色，比如選擇（U）變成綠色，則與之相鄰的（0,1）,（1,0）,（1,2）,（2,1）四個(gè)點(diǎn)也要變成綠

色，那么最少需要步，才能使得位于直線V=-x+3上的四個(gè)點(diǎn)變成綠色，而其他點(diǎn)

變式26.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，現(xiàn)要對(duì)某公園的4個(gè)區(qū)域進(jìn)行綠化，有5

種不同顏色的花卉可供選擇，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色的花卉，共有一

種不同的綠化方案（用數(shù)字作答）.

變式27.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶.如圖是某同學(xué)

用木板制作的七巧板，它包括5個(gè)等腰直角三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形.若用四

種顏色給各板塊涂色，要求正方形板塊單獨(dú)一色，其余板塊兩塊一種顏色，而且有公共邊

的板塊不同色，則不同的涂色方案有種.

變式28.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用四種不同的顏色為正六邊形（如圖）中的六塊

區(qū)域涂色，要求有公共邊的區(qū)域涂不同顏色，一共有種不同的涂色方法.

變式29.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個(gè)區(qū)域涂

色，每種顏色至少使用一次，每個(gè)區(qū)域僅涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同，則

區(qū)域A,B,C,。和A，Bt,G，A分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有

種；區(qū)域A,B,C,。和A，4，2分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有

種.

題型十一：分組問(wèn)題

例31.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）貴陽(yáng)一中體育節(jié)中，乒乓球球單打12強(qiáng)中有4個(gè)種

子選手，將這12人平均分成3個(gè)組（每組4個(gè)人）、則4個(gè)種子選手恰好被分在同一組的

分法有（）

A.21B.42C.35D.70

例32.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）把10個(gè)蘋果分成三堆，要求每堆至少1個(gè)，至多5個(gè)，則

不同的分法共有（）

A.4種B.5種C.6種D.7種

例33.（2024?福建泉州?高二校聯(lián)考期中）在《爸爸去哪兒》第二季第四期中，村長(zhǎng)給6

位“萌娃”布置一項(xiàng)搜尋空投食物的任務(wù).已知：①食物投擲地點(diǎn)有遠(yuǎn)、近兩處；②由于

Grace年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項(xiàng)任務(wù)，但此時(shí)另需一位小孩在大本營(yíng)陪同，要么參

與搜尋近處投擲點(diǎn)的食物；③所有參與搜尋任務(wù)的小孩須被均分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一

組去近處，那么不同的搜尋方案有（）

A.25種B.30種C.40種D.50種

變式30.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）將12個(gè)不同的物體分成3組，每組4個(gè)，則不同

的分法種數(shù)為（）.

A.34650B.5940C.495D.5775

變式31.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）某中學(xué)要給三個(gè)班級(jí)補(bǔ)發(fā)8套教具，先將其分成3

堆，其中一堆4套，另兩堆每堆2套，則不同的分堆方法種數(shù)為（）

「4「402「2

C842D.8:2

A.B.,,

變式32.（2024?福建廈門?高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將6名同學(xué)分成兩個(gè)學(xué)習(xí)

小組，每組至少兩人，則不同的分組方法共有種.

題型十二：分配問(wèn)題

例34.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）按下列要求分配6本不同的書.

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，有種不同的分配方式；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，有種不同的分

配方式；

（3）平均分成三份，每份2本，有種不同的分配方式；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本，有種不同的分配方式；

（5）分成三份，1份4本，另外兩份每份1本，有種不同的分配方式；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本，有種不同的分配方

式；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本，有種不同的分配方式.

例35.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期

日3天參加社區(qū)公益活動(dòng)，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有一

種.（用數(shù)字作答）

例36.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）現(xiàn)計(jì)劃安排A,B,C,D,E五名教師教這六門課

程，每名教師至少教一門課程，每門課程只配一名教師，且教師A不教“圍棋”，教師B只

能教一門課程，則滿足條件的課程安排的種數(shù)為.

變式33.（2024?四川瀘州?高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？奸_學(xué)考試）綿陽(yáng)中學(xué)食堂，以

其花樣繁多的飯菜種類和令人難忘的色香味使大批學(xué)子醉倒在它的餐盤之下，學(xué)子們不約

而同地將其命名為“遠(yuǎn)航大酒樓”.“遠(yuǎn)航大酒樓，，共三層樓，5名高一新同學(xué)相約到食堂就

餐，為看盡食堂所有美食種類，他們打算分為三組去往不同的樓層.其中甲同學(xué)不去二

樓，則一共有種不同的分配方式.

變式34.（2024?福建福州?高三福建省福州第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為了貫徹落實(shí)中央

新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)

展，某市派出了包括甲、乙在內(nèi)的5名專家型教師援疆，現(xiàn)將這5名教師分配到新疆的

A、B、a。四所學(xué)校，要求每所學(xué)校至少安排一位教師，則在甲志愿者被安排到A學(xué)校

有種安排方法.

變式35.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶一中校考階段練習(xí)）8個(gè)完全相同的球放入編號(hào)

1,2,3的三個(gè)空盒中，要求放入后3個(gè)盒子不空且數(shù)量均不同，則有種放法.

變式36.（2024?吉林長(zhǎng)春?高三長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_學(xué)考試）為了落實(shí)立德樹人的根

本任務(wù)，踐行五育并舉，某校開設(shè)三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)

參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法

有.

題型十三：隔板法

例37.（2024?云南紅河?統(tǒng)考三模）某校將6個(gè)三好學(xué)生名額分配到高三年級(jí)的3個(gè)班，

每班至少1個(gè)名額，則共有多少種不同的分配方案（）

A.15B.20C.10D.30

例38.（2024?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）學(xué)校決定把12個(gè)參觀航天博物館的名額給三（1）

、三（2）、三（3）、三（4）四個(gè)班級(jí).要求每個(gè)班分別的名額不比班級(jí)序號(hào)少，即三（1）

班至少1個(gè)名額，三（2）班至少2個(gè)名額，……，則分配方案有（）

A.8種B.10種C.165種D.495種

例39.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有9個(gè)相同的球要放到3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至

少一個(gè)球，各盒子中球的個(gè)數(shù)互不相同，則不同放法的種數(shù)是（）

A.28B.24C.18D.16

變式37.（2024?江蘇蘇州?高二吳縣中學(xué)?？计谥校W(xué)校有6個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分

配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少1個(gè)名額，則有（）種分配方案.

A.135B.10C.75D.120

變式38.（2024?全國(guó)?高二期末）方程毛+3+W+4=12的正整數(shù)解共有（）組

A.165B.120C.38D.35

題型十四：數(shù)字排列

例40.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用0,1,2,3,4可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶

數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.36B.48C.60D.72

例41.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）用數(shù)字1、2、3組成五位數(shù)，且數(shù)字1、2、3至少

都出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共有（）個(gè)

A.120B.150C.210D.240

例42.（2024?北京?高二北京八中?？计谀┯?,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，要求每

個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次，共可組成個(gè)不同的四位數(shù)（用數(shù)字作答）.

變式39.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四

位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有.個(gè)（用數(shù)字作

答）.

變式40.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒(méi)有重

復(fù)數(shù)字，且至多有一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個(gè).（用數(shù)

字作答）

題型十五：幾何問(wèn)題

例43.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn)，可得到

四面體的個(gè)數(shù)為（）

A.Cg-12B.C；-8C.C：-6D.C；-4

例44.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）一只螞蟻從正四面體A-的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿著正四面

體A-3CZ）的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機(jī)的，則螞蟻第1秒后到點(diǎn)

8,第4秒后又回到A點(diǎn)的不同爬行路線有（）

A.6條B.7條C.8條D.9條

例45.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著水平面的線條爬行

到點(diǎn)C,再由點(diǎn)C沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點(diǎn)B,則它可以爬行的不同的最

短路徑有（）條

C.80D.120

變式41.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）凸八邊形的對(duì)角線有（）條

A.20B.28C.48D.56

變式42.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知C60分子是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，

它形似足球，因此又名足球烯，C60是單純由碳原子結(jié)合形成的穩(wěn)定分子，它具有60個(gè)頂

點(diǎn)和若干個(gè)面，.各個(gè)面的形狀為正五邊形或正六邊形，結(jié)構(gòu)如圖.己知其中正六邊形的面為

20個(gè)，則正五邊形的面為（）個(gè).

A.10B.12

C.16D.20

變式43.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)凸”（底3）棱錐中任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線段的條數(shù)為

加），則加+1）—八〃）=（）

A.n—1B.n

C.n~\-1D.〃+2

題型十六：分解法模型與最短路徑問(wèn)題

例46.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或

豎直走動(dòng)一個(gè)方格，走過(guò)的方格不能重復(fù)，只要有一個(gè)方格不同即為不同走法.現(xiàn)有如圖

的方格迷宮，圖中的實(shí)線不能穿過(guò)，則從入口走到出口共有多少種不同走法？

例47.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、

張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了,

所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在M處，學(xué)校在N處，

A3段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（）條.

A.23B.24C.25D.26

例48.（2024?廣東惠州?高三校考期末）如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成

（實(shí)線表示馬路），。段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到8的最短路徑有（）

D.26條

變式44.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)

的是中國(guó)文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和

竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由8個(gè)大小相同的

小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)8點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路

徑共有（）

A

A.48種B.60種

C.72種D.90種

變式45.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）一植物園的參觀路徑如圖所示，若要全部參觀并且路線

不重復(fù)，則不同的參觀路線共有（）

A.6種B.8種

C.36種D.48種

變式46.（2024?廣東惠州?高二?？计谥校┫聢D是某項(xiàng)工程的網(wǎng)絡(luò)圖（單位:天），則從開

始節(jié)點(diǎn)①到終止節(jié)點(diǎn)⑧的路徑共有（）

變式47.（多選題）（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，在某城市中，M,N兩地之間有

整齊的方格形道路網(wǎng)，其中A，4,A，A，A是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的5個(gè)交匯處，今

在道路網(wǎng)M,N處的甲、乙兩人分別要到N,M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短

路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)N,M處為止，則（）

4

人

4

M人

A.甲從M到達(dá)N處的走法有70種

B.甲從M必須經(jīng)過(guò)&到達(dá)N處的走法有12種

C.若甲、乙兩人途中在&處相遇，則共有144種走法

D.若甲、乙兩人在行走途中會(huì)相遇，則共有1810種走法

甲、乙兩人沿最短路徑行走，只可能在A，4，a，4，A處相遇，他們?cè)贏0=1，2,3,4,5）處相

遇的走法有（C『）4種，

則（c"+（C：y+（⑹4+（C：y+（C：y=1810,故D正確.

故選：AD.

變式48.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）5400的正約數(shù)有個(gè)

變式49.（2024?上海嘉定?高二校考期中）正整數(shù)2022有個(gè)不同的正約數(shù).

題型十七：排隊(duì)問(wèn)題

例49.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）街頭籃球比賽后，紅、黃兩隊(duì)共6名隊(duì)員（紅隊(duì)3

人，黃隊(duì)3人）合照，要求6人站成一排，紅隊(duì)3人中有且只有2名隊(duì)員相鄰，則不同排隊(duì)

的方法共有（）

A.432種B.216種C.144種D.72種

例50.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）七輛汽車排成一縱隊(duì)，要求甲車、乙車、丙車均不

排隊(duì)頭或隊(duì)尾且各不相鄰，則排法有()

A.48種B.72種C.90種D.144種

例51.(2024?山西朔州?高二?？茧A段練習(xí))5名成人帶兩個(gè)小孩排隊(duì)上山，小孩不排在

一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有(