2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：圓錐曲線題型拓展二（學(xué)生版）

第82講圓錐曲線題型拓展（二）

知識(shí)梳理

一、仿射變換問題

仿射變換有如下性質(zhì)：

1、同素性：在經(jīng)過變換之后，點(diǎn)仍然是點(diǎn)，線仍然是線；

2、結(jié)合性：在經(jīng)過變換之后，在直線上的點(diǎn)仍然在直線上;

3、其它不變關(guān)系.

我們以橢圓為例闡述上述性質(zhì).

r

22X=X

橢圓了+爐=1(〃”>0),經(jīng)過仿射變換a則橢圓變?yōu)榱藞A尤"+y2=/,

y'=-y

Ib

并且變換過程有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：

⑴點(diǎn)尸（為,%）變?yōu)?/p>

（2）直線斜率左變?yōu)楹?，?duì)應(yīng)直線的斜率比不變;

b

（3）圖形面積s變?yōu)镾，=3S，對(duì)應(yīng)圖形面積比不變；

b

（4）點(diǎn)、線、面位置不變（平行直線還是平行直線，相交直線還是相交直線，中點(diǎn)依

然是中點(diǎn)，相切依然是相切等）；

（5）弦長關(guān)系滿足”=、叵1,因此同一條直線上線段比值不變，三點(diǎn)共線的比

\AB\V1+F

不變

總結(jié)可得下表:

變換前變換后

22

方程?+”a>b>0)x'2+y2=

橫坐標(biāo)XX，

,a

縱坐標(biāo)yy=-y

b

斜率k4k，邸*ak

AxAx，Axb

面積S=—Ax-AySf=—Axf-=—S

22b

,____1~~-Jl+如

弦長I=A/1+k?Ax2

/'=,]+k'2Z=A/1H——Z:Ax=—「—I

Vb2Ji+ie

不變量平行關(guān)系；共線線段比例關(guān)系；點(diǎn)分線段的比

二、非對(duì)稱韋達(dá)問題

在一元二次方程如2+法+c=0中，若A>0,設(shè)它的兩個(gè)根分別為西，當(dāng)，則有根與

系數(shù)關(guān)系：%+/=，玉%2=￡,借此我們往往能夠利用韋達(dá)定理來快速處理

aa

上-百，尤;+￥，,+'之類的結(jié)構(gòu)，但在有些問題時(shí)，我們會(huì)遇到涉及的不同系數(shù)

%工2

的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求五，3士馬一［2*一一或X'+味之類的結(jié)構(gòu),就相對(duì)較難地轉(zhuǎn)化到

應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了.特別是在圓錐曲線問題中，我們聯(lián)立直線和圓錐曲線方程，消去

X或y,也得到一個(gè)一元二次方程，我們就會(huì)面臨著同樣的困難，我們把這種形如

%+2%,Ax1y2+〃尤2%,%或標(biāo)底+2占一々之類中,的系數(shù)不對(duì)等的情況，這些式子

x22XIX2—X1+X2

是非對(duì)稱結(jié)構(gòu)，稱為“非對(duì)稱韋達(dá)”.

三、光學(xué)性質(zhì)問題

1、橢圓的光學(xué)性質(zhì)

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)

（如圖1）.

圖1圖2圖3圖4

【引理1】若點(diǎn)A,3在直線L的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線L上到A,3兩點(diǎn)距離之和最小的

點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸是點(diǎn)A關(guān)于直線乙的對(duì)稱點(diǎn)A'與點(diǎn)3連線A2和直線L的交點(diǎn).

【引理2】若點(diǎn)A,8在直線L的兩側(cè)，且點(diǎn)4B到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)「是直線

L上到點(diǎn)A,3距離之差最大的點(diǎn)，即|厚-尸同最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)「是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)

稱點(diǎn)A與點(diǎn)3連線A'3的延長線和直線工的交點(diǎn).

【引理3】設(shè)橢圓方程為1+/=片，鳥分別是其左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)0

在橢圓外，則。e+￡＞鳥＞2”.

2、雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦

點(diǎn)（如圖）.

【引理4】若點(diǎn)A,8在直線L的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)是直線心上到A,3兩點(diǎn)距離之和最小的

點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)p是點(diǎn)A關(guān)于直線乙的對(duì)稱點(diǎn)A與點(diǎn)3連線A2和直線L的交點(diǎn).

【引理5】若點(diǎn)在直線￡的兩側(cè)，且點(diǎn)A,8到直線的距離不相等，設(shè)點(diǎn)尸是直線

L上到點(diǎn)A,8距離之差最大的點(diǎn)，即同最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸是點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)

稱點(diǎn)A與點(diǎn)3連線A3的延長線和直線L的交點(diǎn)?

【引理6】設(shè)雙曲線方程為鳥_3=1（“>0,>>0），與，罵分別是其左、右焦點(diǎn)，若

點(diǎn)￡）在雙曲線外（左、右兩支中間部分，如圖），則。門-破<2。.

3、拋物線的光學(xué)性質(zhì)

從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線與拋物線的軸平

行（或重合）.反之，平行于拋物線的軸的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后都通過焦點(diǎn).

爐=2外（？>0）,尸0,芻為其焦點(diǎn)，）是過拋物

線上一點(diǎn)￡>（毛，為）的切線，是直線）上的兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)￡））,直線改平行于y

【結(jié)論2】已知：如圖，拋物線C:y2=2px（p>0），p是拋物線的焦點(diǎn)，入射光線從

尸點(diǎn)發(fā)出射到拋物線上的點(diǎn)”，求證：反射光線平行于x軸.

okFX

四、三點(diǎn)共線問題

證明三點(diǎn)共線問題常用方法是斜率法和向量法

必考題型全歸納

題型一：仿射變換問題

例L（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一類特殊而

又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，其體解題方法為將

c/+/=i（a>b>o）由仿射變換得：y=1,則橢圓\+￥=i變?yōu)?/p>

鏟+/小，直線的斜率與原斜率的關(guān)系為《=然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)

b

22

算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系.最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.已知橢圓C:=+2=l（a>b>0）

ab

的離心率為好，過右焦點(diǎn)尸2且垂直于X軸的直線與c相交于A、B兩點(diǎn)且仍可=述，過

5115

橢圓外一點(diǎn)尸作橢圓c的兩條切線4、4且4,4,切點(diǎn)分別為以、N.

⑴求證：點(diǎn)尸的軌跡方程為Y+V=%

⑵若原點(diǎn)。到4、4的距離分別為4、d2,延長表示距離4、人的兩條直線，與橢圓c

交于y、w兩點(diǎn)，試求：原點(diǎn)。在巴￥邊上的射影z所形成的軌跡與尸所形成的軌跡的面

積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù).

例2.（2024?河北邯鄲?高二校考期末）仿射變換是處理圓錐曲線綜合問題中求點(diǎn)軌跡的一

類特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圓錐曲線與圓之間的關(guān)系，具體解題方法為將

C:二+或=1（。”>0）由仿射變換得：/=-,則橢圓三+1=1變?yōu)?/p>

ababab

xr2+y'2=l,直線的斜率與原斜率的關(guān)系為左'=/左，然后聯(lián)立圓的方程與直線方程通過計(jì)

b

22

算韋達(dá)定理算出圓與直線的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)換回橢圓即可.已知橢圓。:=+2=1（°>6>0）

ab

的離心率為好，過右焦點(diǎn)生且垂直于X軸的直線與c相交于A8兩點(diǎn)且=還，過橢

55

圓外一點(diǎn)尸作橢圓c的兩條切線4，4且4,4,切點(diǎn)分別為M，N.

⑴求證：點(diǎn)P的軌跡方程為爐+丁=9；

⑵若原點(diǎn)。到4，4的距離分別為4，d2,延長表示距離4，刈的兩條直線，與橢圓c

交于兩點(diǎn)，過。作OZLIW交1w于z,試求：點(diǎn)z所形成的軌跡與p所形成的軌跡

的面積之差是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)求出變化函數(shù).

22

例3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）是橢圓會(huì)+3=1（。>>>0）上一條不過原點(diǎn)且不垂

直于坐標(biāo)軸的弦，尸是的中點(diǎn)，則右，A，B是該橢圓的左右頂點(diǎn)，

。是橢圓上不與A,8重合的點(diǎn)，則的是該橢圓過原點(diǎn)。的一條

弦，直線C。，。。斜率均存在，則生。?心2=.

變式1.（2024.全國?高三專題練習(xí)）如圖，作斜率為1的直線/與橢圓上+丫2=1交于

24

尸，。兩點(diǎn)，且加（四，空］在直線/的上方，則△知尸。內(nèi)切圓的圓心所在的定直線方程為

22

變式2.（2024.全國?高三專題練習(xí)）尸是橢圓工+匕=1上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn),

43

PO=2OQ,過點(diǎn)。的直線交橢圓于A,8兩點(diǎn)，并且QA=Q8,貝LPAB面積為

22

變式3.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知直線/與橢圓土+上=1交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)

42

k0M-k0N=，△MQV面積最大，并且最大值為.記乂）,NG，%）,當(dāng)

△MON面積最大時(shí)，x；+x；=,y^+yl=.尸是橢圓上一點(diǎn)，

OP=AOM+juON,當(dāng)△MON面積最大時(shí)，矛+〃2=.

變式4.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C：5+y2=*4l左頂點(diǎn)為A,P,Q為橢圓C上兩

動(dòng)點(diǎn)，直線PO交4。于E,直線。。交AP于D,直線OROQ的斜率分別為配網(wǎng)且

左隹=-；,AD=ADF,AE=^iEQ（4〃是非零實(shí)數(shù)），求笛+〃？=.

題型二：非對(duì)稱韋達(dá)問題

22

例4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓二+與=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)是不F2,

ab

左右頂點(diǎn)是4、%,離心率是正，過招的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、。（不是左、右頂點(diǎn)）,

2

且八月尸。的周長是4后,

直線4P與4。交于點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）（i）求證直線\p與劣。交點(diǎn)M在一條定直線/上；

（ii）N是定直線/上的一點(diǎn)，且PN平行于無軸，證明：肅是定值.

例5.（2024?四川成都?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知點(diǎn)A,B分別為橢圓

22

￡：》+方=1（。＞。＞0）的左、右頂點(diǎn)，耳，尸2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，正=3麗，P為

橢圓上異于A，B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，區(qū)的周長為12.

⑴求橢圓E的方程；

⑵已知點(diǎn)“（3,0）,直線與橢圓另外一個(gè)公共點(diǎn)為。直線AP與交于點(diǎn)N,求

證：當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，點(diǎn)N恒在一條定直線上.

2

例6.（2024?陜西榆林?高二校聯(lián)考期末）已知橢圓C：4+方=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)分

a

別為月，F(xiàn)2,離心率e=；,尸為C上一動(dòng)點(diǎn)，△「片心面積的最大值為

（1）求C的方程;

⑵若過F?且斜率不為。的直線/交橢圓于"，N兩點(diǎn)，A，&分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),

直線AM,4N分別與直線八％=1交于T,。兩點(diǎn)，證明：四邊形。鞏。為菱形.

丫2v21

變式5.（2024.全國?高三專題練習(xí)）已知橢圓C:1y+為=1（。＞人＞0）的離心率為叁，短軸

長為2g.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)A,8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)尸（4,0）且斜率不為。的直線/與橢圓C

交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與8N相交于點(diǎn)0.證明：點(diǎn)。在定直線上.

22

變式6.（2024?吉林四平?高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C:a+方=1（。＞萬＞0）的左、右頂

點(diǎn)分別為Mi、M2,短軸長為2g,點(diǎn)C上的點(diǎn)尸滿足直線尸監(jiān)、尸叫的斜率之積為

_3

-4,

（1）求C的方程；

⑵若過點(diǎn)（1,。）且不與y軸垂直的直線/與C交于A、8兩點(diǎn)，記直線交于點(diǎn)

Q.探究：點(diǎn)。是否在定直線上，若是，求出該定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理由.

變式7.（2024.全國?高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系宜刀中，已知橢圓

c：44=1(。>。>0)的長軸長為4,且經(jīng)過點(diǎn)(6,ge),其中e為橢圓C的離心率.

ab

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A8,直線/過C的右焦點(diǎn)/，且交C于兩點(diǎn)，若

直線AV與3N交于點(diǎn)T,求證：點(diǎn)T在定直線上.

丫2V2

變式8.(2024.吉林長春.高二東北師大附中?？计谀?已知橢圓C：會(huì)+方=1(°>6>0)

的離心率為9，H(1，當(dāng)J是C上一點(diǎn).

(1)求C的方程.

(2)設(shè)A,8分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)。(1,0)作斜率不為0的直線/,/與C交于

P,Q兩點(diǎn)，直線AP與直線交于點(diǎn)記AP的斜率為匕，的斜率為七.證明：①

｝為定值；②點(diǎn)拉在定直線上.

k2

22

變式9.(2024.廣西桂林.高二統(tǒng)考期末)已知橢圓C:=+3=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分

ab

別是耳，匕，點(diǎn)尸是橢圓c上任一點(diǎn)，若面積的最大值為G，且離心率0=3.

⑴求c的方程；

(2)4,8為C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)F?且斜率不為。的直線交。于M,N兩點(diǎn)，證明：直

線AM與BN的交點(diǎn)在一條定直線上.

變式10.(2024?福建泉州?高二福建省泉州第一中學(xué)校考期中)已知橢圓C：

1■+11(。>6>°)的左、右頂點(diǎn)分別為4，4,離心率為爭(zhēng)點(diǎn)“?在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程.

⑵若過點(diǎn)8(2,0)且斜率不為0的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，已知直線4知與&N相

交于點(diǎn)G,試判斷點(diǎn)G是否在定直線上？若是，請(qǐng)求出定直線的方程；若不是，請(qǐng)說明理

由.

題型三：橢圓的光學(xué)性質(zhì)

例7.(2024.湖北孝感.高二大悟縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中)生活中，橢圓有很多光學(xué)性質(zhì)，

如從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)現(xiàn)橢圓C

的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，從左焦點(diǎn)及射出的光線經(jīng)過橢圓鏡面反射到右焦點(diǎn)

乙，這束光線的總長度為4,且橢圓的離心率為無，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B.

一2

⑴求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)P在橢圓上，求線段3P的長度怛升的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)不過點(diǎn)A的直線/交橢圓C于N兩點(diǎn)，記直線/,的斜率分別為左,3卷,若

kg+kg,證明：直線/過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

例8.(2024?全國?高三專題練習(xí))橢圓的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓

22

反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.已知橢圓C：?+方=i(0<b<2),

片,乙為其左、右焦點(diǎn).M是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N（o,石），若用的最大值為6.動(dòng)直

線/為此橢圓C的切線，右焦點(diǎn)耳關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)P&,%）,S=|3占+4%-24|,貝IJ橢

圓C的離心率為—；S的取值范圍為.

22

例9.（2024.山東青島.統(tǒng)考二模）已知橢圓E芯+方=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

月、為，過工的直線與E交于點(diǎn)A、B,直線/為E在點(diǎn)A處的切線，點(diǎn)8關(guān)于/的對(duì)稱

點(diǎn)為〃住橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，F(xiàn)\、A、M三點(diǎn)共線.若|AB|=a,相=十則

BF2_

正二---------

變式11.（2024?安徽六安?高三六安一中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性

質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).已

22

知橢圓三+2=1（。>匕>0）的左、右焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,尸為橢圓上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn)，/

為鳥的內(nèi)心，記直線。尸，P/（。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為%,k2,茗3k、=2k-

則橢圓的離心率為.

,切線一I"

變式12.（2024?天津和平?高三天津一中?？茧A段練習(xí)）歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了

橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另一焦點(diǎn)?現(xiàn)有

22

一橢圓當(dāng)=1（。>b>0）,長軸長為4，從一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上

ab

7

一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且P^=;.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵已知A為該橢圓的左頂點(diǎn)，若斜率為上且不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與橢圓C交于N兩

點(diǎn)，記直線AM,AN的斜率分別為給k2,且滿足M匕+&)=2.

①證明：直線/過定點(diǎn)；

②若|OM『+|ONF=5,求左的值.

22

變式13.(2024.全國?高二專題練習(xí))已知橢圓C：1r+方=l(a>6>0)上、下頂點(diǎn)分別為

A,B,且短軸長為26，T為橢圓上(除A,B外)任意一點(diǎn)，直線的斜率之積為

3

工,Fz分別為左、右焦點(diǎn).

⑴求橢圓C的方程.

(2)“天眼”是世界上最大、最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，它的外形像一口“大鍋”，可以接收

到百億光年外的電磁信號(hào).在“天眼”的建設(shè)中，用到了大量的圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，請(qǐng)以

上面的橢圓C為代表，證明：由焦點(diǎn)片發(fā)出的光線射到橢圓上任意一點(diǎn)M后反射，反射光

線必經(jīng)過另一焦點(diǎn)%.(提示：光線射到曲線上某點(diǎn)并反射時(shí)，法線垂直于該點(diǎn)處的切

線)

22

變式14.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知橢圓E:5+2=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

F2,過F?的直線與E交于點(diǎn)A,8.直線/為E在點(diǎn)A處的切線，點(diǎn)B關(guān)于/的對(duì)稱點(diǎn)

回-圃多

為由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，耳A，M三點(diǎn)共線.若IAS1=。,9

|阿7’人AFX

2

A.B.C.D.

~2747

變式15.（多選題）（2024.全國?高三專題練習(xí)）橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出

發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中

22

不會(huì)衰減，橢圓的方程為工+匕=1,則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所

95

經(jīng)過的路程可能為（）

A.2B.8C.10D.12

變式16.（2024?全國?高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前

375年一公元前325年），大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡、系統(tǒng)地研究了圓錐曲線，并

且他還進(jìn)一步研究了這些圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：如圖，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線或聲

波，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，其中法線/'表示與橢圓C的切線垂

直且過相應(yīng)切點(diǎn)的直線，已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為耳（-60）,

瑪（c,0）（c>0）,若由月發(fā)出的光線經(jīng)橢圓兩次反射后回到馬經(jīng)過的路程為8c.對(duì)于橢圓C

上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)P，橢圓在點(diǎn)尸處的切線為/,后在/上的射影為其中

\OH\=2-j2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，過尸2作斜率為％（左>。）的直線機(jī)與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方）.

點(diǎn)、M,N是橢圓上異于A,8的兩點(diǎn)，MF2,叫分別平分和若AMF?N

外接圓的面積為詈，求直線機(jī)的方程.

O

變式17.(2024?貴州黔西?高二統(tǒng)考期末)歐幾里得生活的時(shí)期人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的

光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過該橢圓的另一焦點(diǎn).現(xiàn)

22

有橢圓C:1+與=1(。>6>0),長軸長為4,從橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)尸發(fā)出的一條光線經(jīng)該

ab

7

橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與X軸垂直，且|尸耳=-.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，若斜率為左且不經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與橢圓C

交于“，N兩點(diǎn)，記直線AM,AN的斜率分別為匕，k2,且滿足左傳+&)=2,且

|OM「+|ON「=5,求女的值.

變式18.(2024?四川成都?川大附中?？级?橢圓的光學(xué)性質(zhì)：光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出

22

發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)有一橢圓C：*+2=l(a>b>0),長軸44長為4,從

ab

一個(gè)焦點(diǎn)F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射之后恰好與x軸垂直，且尸歹=g.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵點(diǎn)。為直線x=4上一點(diǎn)，且Q不在無軸上，直線。4，Q4與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)分

別為M,N,設(shè)△Q44，AQMN的面積分別為耳，S2,求去的最大值.

d2

變式19.（2024?江蘇連云港?高二統(tǒng)考期中）班級(jí)物理社團(tuán)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有

趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.

根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為L+匕=1,其左、右焦點(diǎn)分別是

1612

K，F(xiàn)2,直線/與橢圓C切于點(diǎn)P,且|尸耳|=5,過點(diǎn)P且與直線/垂直的直線機(jī)與橢圓

|耳。|

長軸交于點(diǎn)。，則9號(hào)=（）

題型四：雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

例10.（2024.上海浦東新.高二華師大二附中?？茧A段練習(xí)）圓錐曲線都具有光學(xué)性質(zhì)，如

雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是

發(fā)散的，其反向延長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲

線的部分，”是它的一條對(duì)稱軸，尸是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)F發(fā)出，射到鏡面上

點(diǎn)B,反射光線是BC,若NPFB=120°,1FBC90?,則該雙曲線的離心率等

例11.（2024.全國?高二專題練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1,從雙曲線右焦點(diǎn)招發(fā)

出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)月.我國首先研制成功的

雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈'’的軸截面是雙曲線一部

22

分，如圖2,其方程為鼻-2=1,用工分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)F?發(fā)出的光線經(jīng)

ab

3

雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（在同一直線上），滿足=

4

圖1圖2

（1）當(dāng)|AB卜4時(shí)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過K且斜率為2的直線與雙曲線的兩條漸近線交于S,T兩點(diǎn)，點(diǎn)〃是線段ST的中點(diǎn),

試探究器是否為定值，若不是定值，說明理由，若是定值，求出定值.

FE

例12.（2024?山東煙臺(tái)?校考模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計(jì)

中，例如從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長

線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F?發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反

射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)耳.已知入射光線鳥尸的斜率為-2,且B尸和反射光線

PE互相垂直（其中P為入射點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為.

變式20.（2024.江蘇南京?高二?？计谀﹫A錐曲線具有光學(xué)性質(zhì)，如雙曲線的光學(xué)性質(zhì)

是：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是發(fā)散的，其反向延

長線會(huì)經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖，一鏡面的軸截面圖是一條雙曲線的部分，AP是它

的一條對(duì)稱軸，廠是它的一個(gè)焦點(diǎn)，一光線從焦點(diǎn)廠發(fā)出，射到鏡面上點(diǎn)反射光線是

BC,若/PEB=120。，?FBC90?,則該雙曲線的離心率等于（）

D1+1

B.75C.6+1

.2

變式21.（多選題）（2024?高二單元測(cè)試）我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利

用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：耳，尸2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從工發(fā)出的光線施射在雙曲線右

支上一點(diǎn)尸，經(jīng)點(diǎn)P反射后，反射光線的反向延長線過耳；當(dāng)尸異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲

線在點(diǎn)P處的切線平分/的尸耳.若雙曲線C的方程為二一上=1,則下列結(jié)論正確的是

916

44

A.射線力所在直線的斜率為左，則Ae

3；3

B.當(dāng)〃?_L”時(shí)，jP/^l-|P/s|=32

C.當(dāng)"過點(diǎn)。（7,5）時(shí)，光線由居到戶再到Q所經(jīng)過的路程為13

D.若點(diǎn)T坐標(biāo)為（1為）,直線尸T與C相切,則熙=12

變式22.（2024?全國?高三專題練習(xí)）雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線

經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線

22

E:0-4=1（。＞0,10）的左、右焦點(diǎn)分別為不工，從尸2發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的4B兩

ab

5.

點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，^.cosZBAC=--,ABBD=0,則E的離心率為（）

A?4B.3C.fi

變式23.（多選題）（2024?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從

雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另

一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知

2

F1,尸2分別為雙曲線C:/-,=1的左，右焦點(diǎn)，過C右支上一點(diǎn)A（Xo，%）（x0＞l）作直

線/交X軸于點(diǎn)航11,0：交y軸于點(diǎn)N,則（）

A.C的漸近線方程為＞=±2無B.AF.AM=AF2AM

3

C.過點(diǎn)《作耳垂足為X,貝D.四邊形A耳”面積的最小值為

4行

變式24.（多選題）（2024.安徽蕪湖.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個(gè)焦

點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳,工分別是雙曲線=1的左、右焦點(diǎn)，過弱的直線交雙曲線C的

916

右支于〃，N兩點(diǎn)，且MR,%）在第一象限，AMFE,△而；區(qū)的內(nèi)心分別為512,

其內(nèi)切圓半徑分別為勺4，AM￡N的內(nèi)心為/.雙曲線C在〃處的切線方程為

邛-鬢=1,則下列說法正確的有（）

916

A.點(diǎn)/1、人均在直線%=3上B.直線區(qū)的方程為#-鬢=1

9lo

,△.八_5

C?r\r2=~rD?

3°AZZ1Z2

22

變式25.（多選題）（2024?海南?海南中學(xué)校考三模）已知雙曲線C：?-1=l（b>0）的左、

右焦點(diǎn)分別為4，居，雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從右焦點(diǎn)F?發(fā)出的光線機(jī)交雙曲線右

支于點(diǎn)P,經(jīng)雙曲線反射后，反射光線〃的反向延長線過左焦點(diǎn)《，如圖所示.若雙曲線C

的一條漸近線的方程為，"-y=0,則下列結(jié)論正確的有（）

B.若租_L〃，貝！||理|」即|=12

C.若射線〃所在直線的斜率為鼠則%?（省,6）

D.當(dāng)w過點(diǎn)M（8,5）時(shí)，光由鳥一尸一〃所經(jīng)過的路程為10

變式26.（多選題）（2024?貴州貴陽?高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）雙曲線具有如下光學(xué)性

質(zhì)：如圖，K,B是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從Z發(fā)出的光線加射在雙曲線右支上一點(diǎn)

P,經(jīng)點(diǎn)尸反射后，反射光線的反向延長線過耳；當(dāng)尸異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)尸

22

處的切線平分/耳P招.若雙曲線C的方程為白-3=1,則下列結(jié)論正確的是（）

169

B.當(dāng)m_1_/時(shí)，|「耳卜|‘罵1=36

C.當(dāng)“過點(diǎn)。（7,5）時(shí)，光線由工到P再到。所經(jīng)過的路程為5

D.若點(diǎn)T坐標(biāo)為（1,0）,直線尸T與C相切，貝"尸鳥|=16

變式27.（多選題）（2024?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一條重要原

理，可以推導(dǎo)出雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反

射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).由此可得，過雙曲線上任意一點(diǎn)的

3

切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角.已知片、B分別是以y=?二％為漸近線且過點(diǎn)

4

A（40,3）的雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，在雙曲線C右支上一點(diǎn)尸（如%乂%>4,%>0）處的

切線/交x軸于點(diǎn)。，則（）

A.雙曲線C的離心率為也B.雙曲線C的方程為￡-f=1

4169

C.過點(diǎn)《作月KLPQ,垂足為K,則|OK|=8D.點(diǎn)。的坐標(biāo)為］

題型五：拋物線的光學(xué)性質(zhì)

例13.（2024?甘肅白銀?高二統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線的光學(xué)性質(zhì)：經(jīng)焦點(diǎn)的光線由拋物線反

射后的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸（即光線在曲線上某一點(diǎn)處反射等效于在這點(diǎn)處切線的

反射），過拋物線d=9》上一點(diǎn)P作其切線交準(zhǔn)線/于點(diǎn)〃，PN11,垂足為N,拋物線

的焦點(diǎn)為尸，射線尸F(xiàn)交/于點(diǎn)Q,若|"P|=|MQ|.則NMPN=,|W|=.

例14.（2024?四川巴中?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物

線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋

物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為一條平行于x軸的光線從

點(diǎn)4（5,4）射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)8反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)C射出，則

忸-

例15.（2024.全國?高二專題練習(xí)）根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從拋物線的焦點(diǎn)發(fā)出的光，經(jīng)

拋物線反射后光線都平行于拋物線的軸，已知拋物線＞2=2x,若從點(diǎn)。（3,2）發(fā)射平行

于x軸的光射向拋物線的A點(diǎn)，經(jīng)A點(diǎn)反射后交拋物線于2點(diǎn)，則|鉆|=.

變式28.（2024.四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光

線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線C：V=2x,

一條光線從點(diǎn)尸（4,2）沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)拉，經(jīng)點(diǎn)以反射后與

C交于另一點(diǎn)N,則△MON的面積為.

變式29.（2024?江蘇常州?高二常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥校佄锞€有光學(xué)性質(zhì)，即由其

焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，反之亦然.如圖所

示，今有拋物線丁=2內(nèi)（。>0）,一光源在點(diǎn)M11,4j處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋

物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)尸，反射后又射向拋物線上的點(diǎn)。，再反射后又沿平行

于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線/：2%-分-17=0上的點(diǎn)郎再反射后又射回點(diǎn)

M,設(shè)尸，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（工1，yj,（-r2.y2）.

（2）求拋物線方程.

變式30.（2024?四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線有一條重要的光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光

線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線

C:/=2Mp>0）,一條光線從點(diǎn)P（4,2）沿平行于x軸的方向射出，與拋物線相交于點(diǎn)

-----------3

M,經(jīng)點(diǎn)M反射后與C交于另一點(diǎn)N.若OM-ON=1,則△MON的面積為（）

4

,5r5c3-5

A.—B.—C.—D.一

8422

變式31.（2024?湖南長沙?高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦

點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于地物

線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為b，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線《從點(diǎn)P（〃7M僅2<4時(shí)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)

A（4X）反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)3（赴,％）反射后，沿直線4射出，則直線4與4間的

距離最小值為（）

A.2B.4C.8D.16

變式32.（2024.全國?高二專題練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射

后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反

射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線V=16x的焦點(diǎn)為廠，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)

尸（4,4后）射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)5射出，則△曲的

面積為（）

A.4B.6>/2C.12A/2D.240

變式33.（2024?江西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性

質(zhì)：一束平行于拋物線對(duì)稱軸的光線，經(jīng)過拋物面（拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲

而叫拋物面）的反射后，集中于它的焦點(diǎn).用一過拋物線對(duì)稱軸的平面截拋物面，將所截

得的拋物線C放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱軸與x軸重合，頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，如圖，若拋

物線C的方程為V=8x,平行于x軸的光線從點(diǎn)M（12,2）射出，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，

再從C上的另一點(diǎn)8射出，則1加例=（）

變式34.（多選題）（2024.遼寧沈陽?東北育才學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，拋物線有如下光學(xué)性

質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.已知拋物線

>2=4x的焦點(diǎn)為凡一束平行于x軸的光線《從點(diǎn)“（3,1）射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)

尸（石,乂）反射后，再經(jīng)拋物線了上另一點(diǎn)。（%,%）反射，沿直線4射出，則下列結(jié)論中正

確的是（）

425

c.\PQ\=—D.《與4之間的距離

A.玉工2=1B.kPQ=——

為5

變式35.（多選題）（2024?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線有如下光

學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，

平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后，必過拋物線的焦點(diǎn).已知平行于x軸的光

線乙從點(diǎn)〃射入，經(jīng)過拋物線C：y=8尤上的點(diǎn)尸反射，再經(jīng)過C上另一點(diǎn)。反射后，沿

直線4射出，經(jīng)過點(diǎn)N,則（）

A.若，的方程為y=2,則閘=8

B.若4的方程為y=2,且NPQM=NMQN,則“（13,2）

C.分別延長PO,N。交于點(diǎn)。，則點(diǎn)。在C的準(zhǔn)線上

D.拋物線C在點(diǎn)尸處的切線分別與直線廠P,4所成角相等

變式36.（多選題）（2024?湖南長沙?長沙一中?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由

其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于

拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線V=4x的焦點(diǎn)為

F,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于x軸的光線4從點(diǎn)P（〃M（/<4時(shí)射入，經(jīng)過拋物線上的

點(diǎn)4（外,％）反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)3（々,為）反射后，沿直線4射出，則下列結(jié)論中

正確的是（）

A.xxx2=1

B.點(diǎn)A（%,yJ關(guān)于無軸的對(duì)稱點(diǎn)在直線4上

C.直線4與直線x=T相交于點(diǎn)則A，O,。三點(diǎn)共線

D.直線乙與4間的距離最小值為4

變式37.（多選題）（2024?全國?高三專題練習(xí)）阿波羅尼奧斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，與

歐幾里得、阿基米德齊名，他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓

錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.其中給出了拋物線一條經(jīng)典的光學(xué)性

質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸.此性質(zhì)

可以解決線段和的最值問題，已知拋物線。：丁=