2025屆拉薩市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷（附答案解析）

2025屆拉薩市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等信息填寫(xiě)在答題卡指定位置上.

3.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).作答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1已知集合11＞11則川段―（）

A.{2,3,4}B.{2,3}C.{2}D.{3}

2.下列命題中形式不同于其他三個(gè)的是（）

A.VxeZ,x2-9＜x2B.eR,x2-2x+10

C.每一個(gè)正數(shù)的倒數(shù)都大于0D.Vx＜2,x-3＜0

2X-3

3.已知xeR,則3x+2V0”是“----41”的（）

x-1

A,充分不必要條件B.必要不充分條件C充要條件D.既不充分也不必要條件

4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式0-2）——2（。-2）x-4＜0恒成立，則實(shí)數(shù)。取值范圍為（）

A.（—叫2）B.（—8,2]c.（-2,2）D.（—2,2]

A.%＞為＞％B,為＞必＞為C.乃＞%＞外D.乃＞%＞為

6.有四個(gè)幕函數(shù)：v=x（；y=x3；了=爐2.某同學(xué)研究了其中的一個(gè)函數(shù)，他給出這個(gè)函數(shù)的

三個(gè)性質(zhì)：①它是偶函數(shù)；②它的值域是{ylyeR且yw。}；③它在（-8,0）上單調(diào)遞增.若他給出的

三個(gè)性質(zhì)中有兩個(gè)正確、一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是（）

32

A.y=x~'B.v_x3C.y=xD.y=x^

7.已知定義在R上的函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且周期為3,又/（—1）=1,/（0）=-2,貝I]

/⑴+/⑵+/(3)+…+/(2025)的值是()

A.2024B.2023C.1D.0

8.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：C=FF10g2^l+-^y它表示在被

高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率C取決于信道帶寬少、信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率S、信

道內(nèi)部的高斯噪音功率N的大小，其中一叫做信噪比.已知當(dāng)x比較大時(shí)，

N

j=loga(l+x)(6/>l)-logflx,按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶少在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加20%,信

噪比從1000提升至8000,則C大約增加了()(附：lg2?0.3010)

A.37%B.45%C.48%D.56%

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分

9.下列不等式恒成立的是()

A.a2+9>6aB.若aW0,則。H—22

a

C.若ab>0,則—F—>2D.若凡6>0,則

ab

10.下列選項(xiàng)中，正確的是()

A.若0：三〃eN,“2>2”，則,?2<2"

B.若不等式共2+=+3>0的解集為{T-1<尤<3},則a+6=2

C.函數(shù)/(x)=log“(x-l)+l(?>0且。#1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1』)

D.若a>0,b>Q,且a+4b=l,則一+一的最小值為9

ab

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x)滿(mǎn)足/(x)不恒為零,且/(x+6)=/(x),/(3+x)+/(3-x)=0,

/(2)=0,則下列結(jié)論正確的是()

A./(0)=0B./(x)是奇函數(shù)

c./(X)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=13對(duì)稱(chēng)D./(X)在［0,10］上有6個(gè)零點(diǎn)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

2

12.函數(shù)/(x)=lg[x+1)的定義域是

/、2-x,x>2,

13.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿(mǎn)足當(dāng)xe[O,+s)時(shí)，/(x)=｛2in,0則

x+1,0<x<2,

/(/(-2))=

四、解答題：本題共5小題，共77分，其中第15題13分，第16-17題每題15分，第18-19題每題17

分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知奇函數(shù)/(x)=——的圖象過(guò)點(diǎn)

X-+1

(1)判斷/(X)在(1,+8)上的單調(diào)性，并用定義證明；

(2)求/(x)在(-2,-1)上的值域.

22

16.已知橢圓。：*+==1(?！?〉0)過(guò)點(diǎn)(2,、歷)，且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)/=8x的焦點(diǎn)重合.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)48與橢圓。交于A,5兩點(diǎn)，若點(diǎn)/(-2,1)是線(xiàn)段4g的中點(diǎn)，求直線(xiàn)4B的方程.

17.已知S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，3%-%=6，$6=54.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

〃+3也1(、

(2)若J,求數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和九?

18.對(duì)于函數(shù)工(x)/(x),如果存在實(shí)數(shù)a,b,使得函數(shù)以(x)=a?工(x)+b/(x),那么我們稱(chēng)R(x)

為工(x)/(x)的“笈C函數(shù)”.

(1)己知/(x)=x-3/(x)=-2x+l,試判斷尸(x)=5x—5是否為工(x)/(x)的“R?函數(shù)”.若

是，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)生人的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)已知工(x)=2'/(x)=4',尸(x)為工(x)/(%)的“笈。函數(shù)”且?=2,6=1.若關(guān)于x的方程

3

尸(x)=〃稔(x)+l有解，求實(shí)數(shù)加的取值范圍;

(3)已知工(x)=xj(x)=4,尸(%)為工(x)J(x)的“//C函數(shù)"(其中a〉01〉0),E(x)的定

X

義域(0,+”)，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，/(X)取得最小值4.若對(duì)任意正實(shí)數(shù)天,》2,且石+%=2,不等式

斤(七)+/(》2)2加恒成立，求實(shí)數(shù)掰的最大值.

19.“民政送溫暖，老人有飯吃”.近年來(lái)，各級(jí)政府，重視提高老年人的生活質(zhì)量.在醫(yī)療、餐飲等多方

面，為老人提供了方便.單從用餐方面，各社區(qū)，創(chuàng)建了“愛(ài)心食堂”、“愛(ài)心午餐”、“老人食堂”等等不同

名稱(chēng)的食堂，解決了老人的吃飯問(wèn)題.“愛(ài)心食堂4'為了更好地服務(wù)老人，于3月28日12時(shí)，食堂管理

層人員對(duì)這一時(shí)刻用餐的118人，對(duì)本食堂推出的15種菜品按性?xún)r(jià)比“滿(mǎn)意”和“不滿(mǎn)意”作問(wèn)卷調(diào)查，其

中，有13人來(lái)食堂用餐不足5次，另有兒童5人，他們對(duì)菜品不全了解，不予問(wèn)卷統(tǒng)計(jì)，在被問(wèn)卷的人

員中男性比女性多20人.用餐者對(duì)15種菜品的性?xún)r(jià)比認(rèn)為“滿(mǎn)意”的菜品數(shù)記為x(0<x<15,xeN),

當(dāng)xN12時(shí)，認(rèn)為該用餐者對(duì)本食堂的菜品“滿(mǎn)意”，否則，認(rèn)為“不滿(mǎn)意”.統(tǒng)計(jì)結(jié)果部分信息如下表：

滿(mǎn)意不滿(mǎn)意合計(jì)

男40

女20

合計(jì)

(1)①完成上面2x2列聯(lián)表；

②能有多大(百分比)的把握認(rèn)為用餐者對(duì)本食堂菜品的性?xún)r(jià)比是否滿(mǎn)意與性別有關(guān)？

(2)用分層抽樣在對(duì)菜品的性?xún)r(jià)比“滿(mǎn)意”的人群中抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人，用X表示抽

取的3人中的男性人數(shù)，求X的分布列和期望.

附：參考公式和臨界值表左2-----n(adjbc)-----其中，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（產(chǎn)4）0.1000.05000100.001

ko2.7063.8416.63510.828

4

2025屆拉薩市高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試卷

注意事項(xiàng)：

1.本試卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等信息填寫(xiě)在答題卡指定位置上.

3.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).作答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

-1t.一人Z=(xeN|l<x<6),8=b|4-x〉01?,4nz?-

1.已知集合11111則川a—()

A.{2,3,4}B.{2,3}C.{2}D.{3}

【答案】B

【解析】

【分析】先求解兩個(gè)集合，再結(jié)合兩集合交集定義求解答案；

【詳解】因?yàn)?={2,3,4,5},3=,卜<4},所以/c8={2,3}.

故選：B.

2.下列命題中形式不同于其他三個(gè)的是()

A.VxeZ,%2-9<x2

B.3xeR,x2-2x+10

C.每一個(gè)正數(shù)的倒數(shù)都大于0

D.Vx<2,x—3<0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題即可求解.

【詳解】“任意”，“每一個(gè)”是全稱(chēng)量詞，故ACD是全稱(chēng)命題，而“存在”是存在性量詞,

故B為特稱(chēng)命題，故B與ACD命題不同，

故選：B

2X-3

3.已知xeR,則“f_3x+2W0”是“-----W1”的()

X—1

5

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】求解一元二次不等式和分式不等式，由充分性、必要性的定義分析即得解

【詳解】由丁―3x+2W0=(x-l)(x-2)40,

解得1VxW2,

由-----Win——K0n(x—l)(x—2)V0且xwl,

x-1x-11八)

解得l<x<2,

故1<XW24l<x<2,充分性不成立；

l<x<2^>l<x<2,必要性成立

故3x+2<0是上一<1成立的必要不充分條件

x-1

故選：B.

4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式伍-2)--2(a-2)x-4<0恒成立，則實(shí)數(shù)。取值范圍為()

A.(-oo,2)B.(-oo,2]C.(-2,2)D.(-2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】分類(lèi)討論，利用判別式小于0,即可得到結(jié)論

【詳解】當(dāng)a—2=0,即a=2時(shí)，—4<0,恒成立；

a—2<0

當(dāng)a—2/0時(shí),解之得-2<a<2,

4(?-2)2+16(?-2)<0

綜上可得—2<aK2

故選：D

-1.5

48

5.設(shè)％=嚴(yán)，j2=log327-°-,%=，則()

A.%>%>歹2B.乃>必>為C.乃>為>/D,為〉外>為

【答案】C

【解析】

6

【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將三個(gè)值化簡(jiǎn)，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即得.

91848

【詳解】由％=9°-=3，y2=log327"°-=log33T型=-1.44<0

因y=3,是增函數(shù)，故%〉%〉0〉%?

故選：C.

6.有四個(gè)基函數(shù)：yy=y=x3；y=.某同學(xué)研究了其中的一個(gè)函數(shù)，他給出這個(gè)函數(shù)的

三個(gè)性質(zhì)：①它是偶函數(shù)；②它的值域是｛y|yeR且ywO｝；③它在（-8,0）上單調(diào)遞增.若他給出的

三個(gè)性質(zhì)中有兩個(gè)正確、一個(gè)錯(cuò)誤，則他研究的函數(shù)是（）

x31

A.y=xB.v_%3C.y=xD.y=x

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合給定條件利用幕函數(shù)性質(zhì)判斷即可.

【詳解】對(duì)于尸xL它是定義在（-s,o）U（o,+s）上的奇函數(shù)，

值域是｛ylyeR且7片0｝,且在（-8,0）上單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足題意.

1

對(duì)于v—它是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，值域是R,

且在（-8,0）上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足題意.

對(duì)于它是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，值域是R,

且在（-8,0）上單調(diào)遞增，不滿(mǎn)足題意.

對(duì)于>=一,它是定義在（-叱0川（0,+吟上的偶函數(shù)，

值域是｛田y>0｝,且在（-*0）上單調(diào)遞增，滿(mǎn)足題意.

故選：D.

7.已知定義在R上的函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且周期為3,又/（—1）=1,/（0）=-2,則

/⑴+/（2）+/⑶+…+/（2025）的值是（）

A.2024B.2023C.1D.0

【答案】D

7

【解析】

【分析】利用/（X）的周期，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和已知函數(shù)值，結(jié)合題意，求解即可.

【詳解】因?yàn)?（X）的周期為3,

/（-I）=1，則/（2）=/（-1+3）=/（-I）=1,

又/（O）=—2,則/（3）=/（0+3）=/（0）=—2,

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在R上的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

所以/（x）為偶函數(shù)，

故/⑴=/（T）=l，

則/⑴+/（2）+〃3）=0,

故/⑴+/⑵+〃3）+…+/（2025）=675x[/（）+/（2）+/6）=675x0=0.

故選：D.

8.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：C=JFlog2^l+^,它表示在被

高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率C取決于信道帶寬少、信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率S、信

道內(nèi)部的高斯噪音功率N的大小，其中—叫做信噪比.已知當(dāng)x比較大時(shí)，

N

J=loga（l+x）（fi（＞l）-logax,按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶獷在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加20%,信

噪比從1000提升至8000,則C大約增加了（）（附：1g2Mo.3010）

A.37%B.45%C.48%D.56%

【答案】D

【解析】

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計(jì)算信噪比為1000和8000時(shí)C的比值即可求解.

【詳解】由題意可得，當(dāng)，=1000時(shí)，C,=^log21000,

當(dāng)?二8000時(shí)，C2=1.2fFlog28000,

8

山“C2_1.2JFlog28000_6log,8000_61g8000_6(lgl000+31g2)

n\以————

GFFlog,10005log,100051g100015

2(3+3x0,3010)

x-----------------L"56，

5

所以C的增長(zhǎng)率約為56%.

故選：D

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分

9.下列不等式恒成立的是()

A.a2+9>6aB.若aw0,則。2

a

C.若仍>0,則2+q?2D.若a,b>0,則4,

abI2J

【答案】ACD

【解析】

【分析】對(duì)于ACD,利用基本不等式分析判斷，對(duì)于B,舉例判斷.

【詳解】對(duì)于A,a2+9=a2+32>6?.當(dāng)且僅當(dāng)。=3時(shí)取等號(hào)，所以A正確.

對(duì)于B,若a=—1,則。+1=—2<2,所以B錯(cuò)誤.

a

ha

對(duì)于C,因?yàn)椤?〉0,所以一〉0,—〉0,

ab

所以？+巴22、2.2=2,當(dāng)且僅當(dāng)2=?,即a=6時(shí)取等號(hào)，所以C正確.

ab\abab

對(duì)于D,因?yàn)椤?>0,所以土吆之丁茄，當(dāng)且僅當(dāng)a=6時(shí)取等號(hào)，

2

所以，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào)，所以D正確.

故選：ACD

10.下列選項(xiàng)中，正確的是()

2n

A.若夕：皿eN,“2>2",則「0：eN,n<2

B.若不等式a式+=+3鎏0的解集為{x「l<x<3},則a+b=2

9

C.函數(shù)/(司=1。8。卜—1)+1(?！?且。71)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)(1』)

D.若a>0,b>0,且a+4b=l,則工+工的最小值為9

ab

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)命題的否定即可判斷選項(xiàng)A正誤，根據(jù)一元二次不等式解集和一元二次方程根之間的關(guān)系,

再利用韋達(dá)定理,即可判斷選項(xiàng)B正誤,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log“x(a>0且a豐1)恒過(guò)(1,0),即可得選項(xiàng)

C正誤，根據(jù)“1”的代換，即可得選項(xiàng)D的正誤.

【詳解】對(duì)于A:由題知,“土76恤〃2>2"”的否定是“\/〃￡凡〃2<2"”，故A正確；

對(duì)于B：若不等式辦2+區(qū)+3>0的解集為{x|-l<x<3},

則ax1+bx+3=0的兩根為—1，3,且。<0,

-1+3=--

根據(jù)韋達(dá)定理有：<",解得a=—1,6=2,所以。+6=1,故B錯(cuò)誤；

-1x3=-

、a

對(duì)于C：對(duì)數(shù)函數(shù)/(x)=log°x(a>0且awl)恒過(guò)(1,0),

所以/(x)=log“(x—l)+l(a>0且awl)恒過(guò)(2,1),故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)閍+46=1,

匚匚2117_4ba__14ba.

所以一+—=(a+4b)—+-=5+—+—>5+2J----=9,

ab\ab)ab\ab

4ba1

當(dāng)且僅當(dāng)上=2,即。=26=—時(shí)等式成立，

ab3

故—I—的最小值為9,故D正確.

ab

故選：AD.

11.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)滿(mǎn)足/(X)不恒為零，且/(x+6)=/(x),f(3+x)+f(3-x)=0,

/(2)=0,則下列結(jié)論正確的是()

A./(0)=0

10

B./(x)是奇函數(shù)

C.7(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=13對(duì)稱(chēng)

D.在［0/0］上有6個(gè)零點(diǎn)

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)確定函數(shù)的周期和對(duì)稱(chēng)中心，利用這兩個(gè)條件可得/(-x)=-/(x)推出B正確；結(jié)合

函數(shù)定義域，可得A正確；利用函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在［0,10］上有8個(gè)零點(diǎn)，排除D項(xiàng)；對(duì)于C,結(jié)合D

的結(jié)果，通過(guò)舉例說(shuō)明排除即可.

【詳解】由/(x+6)=/(x)①可得，函數(shù)/(x)的周期為6；

由/(3+x)+/(3—x)=0可得，/(3+x)=-/(3-x)②，

即函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)成中心對(duì)稱(chēng)；

又由②式可得，/(x+6)=—/(—》)，結(jié)合①式可得，/(—x)=—/(x),故B正確；

又因/(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，故/(0)=—/(0),即得，/(0)=0,故A正確；

對(duì)于D,由上分析，/(0)=0,/(2)=0,

由/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)成中心對(duì)稱(chēng)，/(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)可知，/(3)=0,

/(4)=/(2)=0,/(6)=/(0)=0,/(8)=/(2)=0,/(9)=/(3)=0,/(10)=/(4)=0,

故函數(shù)/(x)在［。,10］上有8個(gè)零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因/(15)=/(3)=0,且/(11)=/(5)=/(—1)=—/(1),

而/⑴的值不能確定，即得不到/(15)=/(11),故C錯(cuò)誤.

故選：AB.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.函數(shù)/(x)=坨(}1)的定義域是____________.

y/1-X

【答案】［-川

11

【解析】

【分析】由復(fù)合函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)的定義域即可求解.

3x+l>0

當(dāng)且僅當(dāng)IJMNO,解得—」<X<1,

【詳解】要使函數(shù)/(X)=有意義,

V1-Xl-x>03

所以函數(shù)/(耳=聞"。的定義域是

y/1-X

故答案為:

2-x,x>2,

13.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿(mǎn)足當(dāng)xe[0,+s)時(shí)，/(%)=<則

x29+l,0<x<2,

/(/(-2))=

【答案】1

【解析】

【分析】先由偶函數(shù)/(x),推出/(-2)=/⑵，再根據(jù)分段函數(shù)的不同區(qū)間依次求得/(-2)=0,

/(/(-2))=/(0)=1.

【詳解】因/(x)是在R上的偶函數(shù)，則/(—2)=/(2)=2—2=0,

故/(/(-2))=/(0)=1.

故答案為：1.

/?/\f—4x+515

14.函數(shù)/(x)=----------x>—的最小值為

x-2I2

【答案】2

【解析】

【分析】利用換元法以及基本不等式即可求解函數(shù)最小值.

【詳解】令2=%,則，2±x=，+2,

2

,由N興/r―r/l,(%+2)—4(/+2)+5/+11c[~c

??原函數(shù)可化為v=i----1------------』——=――1>2jr-=2,

tt+t~\t

12

當(dāng)且僅當(dāng)/二1■時(shí)取等號(hào)，止匕時(shí)X=3,

t

...函數(shù)/（X）的最小值為2.

故答案為：2.

四、解答題：本題共5小題，共77分，其中第15題13分，第16-17題每題15分，第18-19題每題17

分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

hx+c

15.已知奇函數(shù)——的圖象過(guò)點(diǎn)

（1）判斷/（X）在（1,+8）上的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）求）（X）在（-在-1）上的值域.

【答案】（1）/（X）在（1,+8）上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）利用定義法證明單調(diào)性即可.

（2）利用單調(diào)性法求解值域即可.

【小問(wèn)1詳解】

f（1）=—,\b=\,

由題意可得''）2解得《

/（0）=0,="

當(dāng)b=l,c=O時(shí)，函數(shù)/⑺是奇函數(shù)，所以/（月=二一.

/（X）在（1,+8）上單調(diào)遞減，證明如下：

%,丫（L+⑹，且…，/（6/伍）=嵩-高=（）：］仁；）

＞

因?yàn)?＜西＜/，所以不一馬＜。,$工21.

所以〉°'即/（匹）＞/（%），

所以/（X）在（l,+oo）上單調(diào)遞減

13

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得/(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

因?yàn)?(x)為奇函數(shù)，所以/(x)在上單調(diào)遞減，

所以/(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減.

21

故/(x)在(一2,—1)上的值域?yàn)?一.

22

16.已知橢圓C：t+4=l(a〉b〉0)過(guò)點(diǎn)(2,后)，且其一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)/=8x的焦點(diǎn)重合.

ab

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)48與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)河(-2,1)是線(xiàn)段48的中點(diǎn)，求直線(xiàn)48的方程.

22

【答案】(1)土+匕=1

84

(2)x-y+3=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)的點(diǎn)以及焦點(diǎn)，即可求解，

(2)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，即可根據(jù)中點(diǎn)關(guān)系求解.

【小問(wèn)1詳解】

拋物線(xiàn)/=8x的焦點(diǎn)為(2,0),

42

------1-----=11

由題意得士/〃，解得/=8，〃=4，

a2=b2+22

所以橢圓C的方程為三+乙=1.

84

【小問(wèn)2詳解】

直線(xiàn)/的斜率存在，設(shè)斜率為左，

直線(xiàn)/的方程為歹一1=左0+2),即歹二丘+2左+1,

14

y=丘+2左+1

聯(lián)立《22

土+匕=1

[84

消去〉得：(2k2+l)x2+4k(1+2k)x+8左2+8左一6=0,

設(shè)40i，yD，B（X2，y2），

因?yàn)槲瀹a(chǎn)=—2,即者+/=—4,

竺日士學(xué)=一4,解得左=i,

1+2公

此時(shí)△=24>0滿(mǎn)足題意

所以所求直線(xiàn)I的方程為x-y+3=0.

17.已知S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，3a2-%=6，￡=54.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（〃+3也1（、

(2)——5——,求數(shù)列也｝的前10項(xiàng)和九?

一2

【答案】(1)an=2〃+2

⑵工。噎

【解析】

【分析】（1）由題意列出方程組求出首項(xiàng)、公差即可;

（2）化簡(jiǎn)“表達(dá)式，由裂項(xiàng)相消法即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d.因?yàn)?2-%=6,且$6=54,

15

3。2—%=3q+3d—a1-4d=2ax-d=6

所以L,6x57,17)，

S6=6al+-----a=6al+15d=54

、2

a=4

解得c,所以%=4+2(〃—1)=2〃+2.

d=2

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得("+3)〃=_1_,所以"=；~

22n+2(〃+l)(〃+3)21〃+1n+3)

所以_一_o=ia+i-^-一一q

"2(243546nn+2n+1n+3)2(23n+2n+3)

所以To=gx111135

+--

2310+210+3104

18.對(duì)于函數(shù)工(x)/(x),如果存在實(shí)數(shù)。力，使得函數(shù)尸(x)=a?工(x)+b?力(x),那么我們稱(chēng)尸(x)

為工(x)/(x)的“//C函數(shù)”.

(1)己知/(x)=x-3/(x)=-2x+l,試判斷R(x)=5x—5是否為工(x)/(x)的“笈。函數(shù)”.若

是，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)凡人的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)已知工(x)=(x)=4',/(x)為工(x),人(x)的函數(shù)”且a=2,b=l.若關(guān)于x的方程

/(力=咽("+1有解，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(3)已知工(x)=x,上(x)=1,廠(%)為工(x),人(x)的“8C函數(shù)”(其中a〉01〉0),R(x)的定

X

義域(0,+司，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，/(X)取得最小值4.若對(duì)任意正實(shí)數(shù)七,%，且玉+%=2,不等式

/(xJ+El%)2加恒成立，求實(shí)數(shù)加的最大值.

【答案】(1)存在，a=l,b=-2

(2)(-oo,2]

(3)10

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“」HC函數(shù)”的定義，利用多項(xiàng)式相等，列方程組求解.

16

(2)先明確E(x)的解析式，再用分離變量的方法得到：7”-1=2/_〃。>0),結(jié)合二次函數(shù)的值域,

可求參數(shù)加的取值范圍.

(3)先明確E(x)的解析式，再利用基本(均值)不等式，求加的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

若尸(x)=5x—5是工的“//C函數(shù)”，

所以77(》)=5%-5=.(工一3)+6(-2》+1)=(a-2b)x-3a+b,

a-2b=5

則1C7U，解得。=l/=—2,

—3ab——5

所以存在a=l1=一2,使得E(x)=5x—5是為工(x)J(x)的“笈C函數(shù)”.

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知：F(x)=2x2v+4Y,

對(duì)于方程R(x)=〃稔(x)+1,即2x2*+4*=〃⑷+1,BP7M—1=———,

令/=菽>0,貝U—=廠，貝U〃?一1=-產(chǎn)，

Y4'

對(duì)于g?)=2/-〃J>0,可知g(/)=2/-產(chǎn)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為/=1,

可得g?)Wg(l)=l,則加—1W1,即加<2,所以實(shí)數(shù)加的取值范圍(—8,2].

【小問(wèn)3詳解】

由題意可知：F(x)=ax+—,<2>0,Z)>0,xe(0,+oo),

則尸(X)=QC+2?2而，當(dāng)且僅當(dāng)ax=2,即儀時(shí)取等號(hào),

xX\a

a>0

b>0

結(jié)合題意：,R—2，解得a=1,6=4,

Va

2y[ab=4

A44

所以歹(X)=X+—,可得尸(七)+尸(、2)=再+、2---1---加恒成立,

XX]X]

17

44、

所以加VXj+X2H---------1-------

XX

、12/min

又X]>0,x2>O>％+x2=2,

所以：

44c1/（44）?/11）-，/x八

Xj+^2H------1-2H—（X]+%2）—?—2+2（%]+12）—?------—2+22------1

X]'22、X]、2,、*1、2）、”1"2，

?2+2（2+2」上.a]=10（當(dāng)且僅當(dāng)再=%=1時(shí)取“=”）

I\X!x2）-

所以加〈10.

故加的最大值為10.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：“一正二定三相等”.

（1）