2025高考數(shù)學(xué)一輪知識清單：函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性歸類（原卷版）

專題04函數(shù)奇偶性'單調(diào)性'周期性'對稱性歸類

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石錄

題型一：奇偶性基礎(chǔ)..............................................................................1

題型二：單調(diào)性基礎(chǔ)..............................................................................3

題型三：周期性基礎(chǔ)..............................................................................4

題型四：中心與軸對稱應(yīng)用：左右平移..............................................................5

題型五：中心與軸對稱應(yīng)用：伸縮變換型............................................................6

題型六：中心與軸對稱應(yīng)用：軸對稱型..............................................................6

題型七：中心與軸對稱應(yīng)用：斜直線對稱............................................................7

題型八：中心與軸對稱應(yīng)用：中心對稱..............................................................8

題型九：中心與軸應(yīng)用：類比“正余弦”求和........................................................9

題型十：中心與軸應(yīng)用：“隱對稱點(diǎn)”.............................................................10

題型十一：雙函數(shù)型中心、軸互相“傳遞”.........................................................10

題型十二：函數(shù)型不等式：“優(yōu)函數(shù)”型...........................................................11

題型十三：類周期型函數(shù).........................................................................12

題型十四：“放大鏡”函數(shù)類周期性質(zhì).............................................................13

^突圍?錯(cuò);住蝗分

題型二廠^偶性基礎(chǔ)

指I點(diǎn)I迷I津

判定函數(shù)的奇偶性的常見方法：

(1)定義法：確定函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再化簡解析式驗(yàn)證

/(f)=±〃力貨等價(jià)形式±“X)=0是否成立；

(2)圖象法：若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得函數(shù)為奇函數(shù)；若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可得函數(shù)為

偶函數(shù)；

(3)性質(zhì)法：設(shè)了(力心(”的定義域分別為外2,那么它們的公共定義域上.常見的函數(shù)奇偶性經(jīng)驗(yàn)結(jié)論

(在定義域內(nèi)):

1.加減型：

奇+奇一＞奇

偶+偶一＞偶

奇-奇—奇

偶-偶一偶

奇+偶-＞非

奇-偶一非

2.乘除型(乘除經(jīng)驗(yàn)結(jié)論一致)

奇X+奇一＞偶

偶X+偶T偶

奇X+偶T奇

奇X+偶X+奇一＞=偶

簡單記為：乘除偶函數(shù)不改變奇偶性，奇函數(shù)改變

3.上下平移型：

奇+c—＞非

偶+c—＞偶

4.復(fù)合函數(shù)：

若為奇函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則/這⑼為奇函數(shù)

若f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù)，則〃g(x)］為偶函數(shù)

1.(2023?全國?高三專題練習(xí))若〃x),g(x),力(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，則下

列函數(shù)不是偶函數(shù)的是()

A.y=f(g(x))h(x)B.y=f(g(x))+h(x)

C.y=f(h(x))g(x)D.y=〃x)|g(x)|/7(x)

2.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,y=/(x)+2e，是偶函數(shù)，y=/(x)_3e*是奇函數(shù)，貝”(無)

的最小值為()

A.eB.75C.20D.2A/5

3.(2023春?湖北武漢?高三武漢市開發(fā)區(qū)一中?？茧A段練習(xí))已知〃x),g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且/'(X)

：2+X+2,若對任意的1＜占＜尤z＜2,都有g(shù)a)-g')＞-3

是奇函數(shù)，g(無)是偶函數(shù)，滿足〃x)+g(尤)=忒

再-x2

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

-CO,一；U[0,+co)3

A.B.——,+oo

4

一1,+oo)

C.D.-川

2'一旦

4.（2023?吉林延邊?高三延邊二中?？奸_學(xué)考試）函數(shù)〃x)=R的奇函數(shù)，是常數(shù).不等式

/（h3*）+/（3<9=2）<0對任意xeR恒成立,求實(shí)數(shù)上的取值范圍為

A.左<20-1B.-2血-1（左<2&-1

C.k<-\D.-1<^<2A/2-1

5.（2023秋?山西?高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/（*）=（尤+"-2乂為奇函數(shù)，則的值是（）

A.0B.-12C.12D.10

6.（2024年高考天津卷）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（)

2

ex-x2cosx+xsinx+4x

A.B.yC.y=■D.y=---n----

x2+lx+1,即

題型二:單調(diào)性基礎(chǔ)

指I點(diǎn)I迷I津

單調(diào)性的運(yùn)算關(guān)系：

①一般認(rèn)為，一七）和六均與函數(shù)的單調(diào)性相反；

J\x）

②同區(qū)間，T+T=J_，1+[=」_,LE_,J—T=J_；

單調(diào)性的定義的騫杯形式：餒尤1，x2^[a,b],麗么有:

增函數(shù)；

X1~X2

2旦減函數(shù)

X\—X2

（3）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性結(jié)論:同增異減.

1.（21-22高三?全國?課后作業(yè)）如果函數(shù)/（x）在[o,句上是增函數(shù)，那么對于任意的M,X20。,b]（xi^x2）,

下列結(jié)論中不正確的是（）

〃%)一/伍)>0

A.

B.(X1—X2)\f(Xl)—f(X2)]>0

C.若M<X2,則/(a)</(x])</(X2)</(b)

再-x2

D.尤2)>°

2.（23-24高三?福建廈門?模擬）已知定義在R上的奇函數(shù)/（尤）滿足①/（2）=0；②％,々￡（。，+°°），且不。馬，

尤2）一%了（網(wǎng)）>0,則

的解集為（）

x2一芯X

A.(-S,-2)U(2,+8)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-s,-2)U(0,2)D.(一2,0九(2收)

3.（22-23高一上?重慶沙坪壩?期末）已知y=〃x+l）為偶函數(shù)，若對任意。/e[l,+s）,（awb）,總有

力?。）+妙5）<4（。）+"僅）成立，則不等式〃2X）<〃4）的解集為（）

B.(-2,2)

]_2

D.

4.(22-23高三?浙江?模擬)設(shè)/(丈)，g(x)都是。上的單調(diào)函數(shù)，有如下四個(gè)命題，正確的是()

①若單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則/(x)-g。)單調(diào)遞增；

②若/⑺單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞減，則/。)-g(x)單調(diào)遞增；

③若Ax)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞增，則Ax)-g(x)單調(diào)遞減；

④若了。)單調(diào)遞減，g(x)單調(diào)遞減，則/(x)-g(x)單調(diào)遞減.

A.①③B.①④C.②③D.②④

5.(23-24高三?河北邢臺?階段練習(xí))已知定義在(0,+動(dòng)上的函數(shù)〃尤)滿足〃2)=4,對任意的不，2?0,小),

且玉片馬，玉*2[/(%)+"X2)]<*：/(*2)+石〃王)恒成立，則不等式〃尤一3)>2x—6的解集為()

A.(3,7)B.(9,5)C.(5,+00)D.(3,5)

題型三：周期性基礎(chǔ)

指I點(diǎn)I迷I津

周期性

①若加+a)=/(x—力可㈤周期為T=a+b.

②常見的周期函數(shù)有：

/x+a)=—/x)或/x+a)=f,丁，或/x+a)=一,那么函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期均為T=2a

1.(22-23高三?重慶沙坪壩?模擬)函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,且/="0)20.若對任意實(shí)數(shù)x,V都

有/(x)+/(y)=2/(寧則“2020)=()

A.0B.-1

C.0D.1

2.(2023高三?全國?專題練習(xí))定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：/'(10+x)為偶函數(shù)，且“5'(5+x),則

/(x)一定是()

A.是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)

B.是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

C.是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

D.是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

3.(23-24高三?湖南衡陽?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)滿足/■⑴=1,對任意實(shí)數(shù)x,y都有

2023

成立，則2〃冽)=()

m=\

A.-2B.-1C.2D.1

1+小-2)

4.(22-23高三安徽?階段練習(xí))己知〃x)是定義在R上的函數(shù)，〃x)=且〃2)=2+6，則

1-小-2)

“2022)=()

A.2-上B.73-2C.2+A/3D.-2—\]3

5.(21-22高三?貴州六盤水?)函數(shù)〃”的定義域?yàn)槌撸?(x+2)=霽[且/(5)=-2,則”1103)=()

A.2B.-2C.-3D.3

題型四：中心與軸對稱應(yīng)用：左右平移

指I點(diǎn)I迷I津

圖形變換時(shí)，對稱軸和堆成中心也跟著平移

(1)平移變換：上加下減，左加右減

(2)對稱變換

關(guān)于無軸對稱

①y=/U)，=一版);

關(guān)于y軸對稱

②y=f(x)fy=?—x)；

關(guān)于原點(diǎn)對稱

③尸危)

關(guān)于y=%對稱

@y=ax(〃>0且中1)y=logR〃>0且存1).

保留%軸上方圖象

@y=Ax)將%軸下方圖象翻折上去-y=l心)I.

自&、保留y軸右邊圖象，并作其

⑥,寸%)一百許麗丁)川工

1.(2023?四川南充?闿中中學(xué)?？寄M預(yù)測)設(shè)函數(shù)無)的定義域?yàn)镽,7(犬+1)-3為奇函數(shù)，/(x+2)為

2023

偶函數(shù)，當(dāng)日《1,2]時(shí),f(x)=ax、b,若+則廣)

2

37112

A.B.C.D.

12123

2..(2023?全國?高三專題練習(xí))已知〃無)-1為R上的奇函數(shù)，/(X+2)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)XE[0,2]時(shí),

2

/(x)=x+l,若〃=/("),&=f(log2ll),c=/(2"),則〃，4c的大小關(guān)系為()

A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

3

3.(2023?貴州畢節(jié),統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(x+3)為偶函數(shù)，/仃了+彳)為奇函數(shù),

貝U()

A./(-|)=0B./(-1)=0C./(3)=0D./(6)=。

4.(2023?陜西?統(tǒng)考二模)已知Ax)是定義在R上的奇函數(shù)，若/[x+j為偶函數(shù)且〃1)=3,則”2022)+

7(2023)=()

A.3B.-5C.-3D.6

5.（2022秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,若〃1-力為奇函數(shù)，〃％-1）為偶

函數(shù).設(shè)〃-2）=1,貝ljf（2）=（）

A.-1B.0C.1D.2

題型五：中心與軸對稱應(yīng)用：伸縮變換型

指I點(diǎn)I迷I津

帶系數(shù)：系數(shù)不為1,類比正弦余弦的帶系數(shù)形式，提系數(shù)平移

平移變換：左右或者上下

/■（0x+e）n/（0（x+a）+o）左加右減

1.（2023?寧夏吳忠?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知f（x）是定義域?yàn)镽的函數(shù)，f（x-2）為奇函數(shù)，/（2x-l）為偶函數(shù)，

則有①“力為奇函數(shù)，②關(guān)于產(chǎn)-1對稱，③關(guān)于點(diǎn)（-L0）對稱，④〃-2）=0,則上述推斷

正確的是（）

A.②③B.①④C.②③④D.①②④

2.（2022秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,且+2）是奇函數(shù)，/（3x+l）是偶

函數(shù)，則一定有（）

A./（4）=0B."-1）=0

C."3）=0D."5）=0

3.（2023春四川瀘州?高三四川省瀘縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足/'（3x+l）是

奇函數(shù)，了（2彳-1）是偶函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A./（尤）的圖象關(guān)于直線云=-1對稱B."尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)（L0）對稱

C.，（-3）=1D./⑺的一個(gè)周期為8

4.（2023秋?湖北恩施?高三校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)〃尤）及其導(dǎo)函數(shù)尸（%）的定義域都為R,且“3-2力為偶

函數(shù)，/（x+2）為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.f[|]=0B./■'（2）=0

C./（2023）+/（2022）=0D./（2023）+/（2022）=0

5.（2022秋?湖北襄陽?高三襄陽五中?？茧A段練習(xí)）已知及其導(dǎo)函數(shù)r（力的定義域均為R,若“1-2力

8

為奇函數(shù)，〃2x—1）為偶函數(shù).設(shè)了'（0）=1,則工（（2左）=（）

k=\

A.-1B.0C.1D.2

題型六：中心與軸對稱應(yīng)用：軸對稱型

指I點(diǎn)I迷I津

和定為軸

1、f(a+x)=f(a-x)，則對稱軸x二a

2、f(a+x)=f(b-x)，則對稱軸x二竺^

2

3、f(x)=f(2a-x),則對稱軸x二a

Y—2

1.(2023上?山東濟(jì)寧?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/尤)=(x+“)log,^—關(guān)于直線x=b對稱，則2。+2"=_____

4-x

2.(2023上?福建龍巖?高三上杭一中?？茧A段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)y=滿足f(2+x)=f(2-x),

若方程/(x)=0有且僅有三個(gè)根，且x=0為其一個(gè)根，則其它兩根為.

3.(2023下?黑龍江七臺河?高二勃利縣高級中學(xué)?？计谥?己知函數(shù)Ax)滿足/(尤)=/(兀-彳)，且當(dāng)

時(shí)，f(x)=x+sinx,設(shè)。=/⑴力=/(2),c=/(3),則a,0,c的大小關(guān)系是.

4.(廣東省七校聯(lián)合體2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)若函數(shù)=Y-。同+華+。有且

只有一個(gè)零點(diǎn)，又點(diǎn)P(3a,l)在動(dòng)直線〃口-1)+7今-1)=0上的投影為點(diǎn)M,若點(diǎn)N(3,3),那么|跖V|的最小

值為.

5(四川省成都外國語學(xué)校、成都實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校聯(lián)合考試2021屆高三第一學(xué)期11月月考).已知

/(x)=￡±￡l+cosx(xeK),Vxe[l,4],f(mr-lnx-2)?2f(2)-f(2+lnx-mr),則實(shí)數(shù)m的取值范圍

是(J

1〃21+1幾2]「11ln2~|「1〃21ln2"l「Il+ln2

A.—,---B.-,l+—C.+—D.---

題型七：中心與軸對稱應(yīng)用：斜直線對稱

指I點(diǎn)I迷I津

軸變換，又叫直線鏡面變換：

X—>V

y=f(*)=丫=*對稱=<

'"yfx

-引申：y=x+b(必須斜率是k=l,就是直線反解)對稱nJ-泗

yfx+b

1.(2023上?遼寧大連?高三大連八中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)y=/(x)的圖像與函數(shù)g(x)=(；)'的圖像關(guān)于

直線y=X對稱，則函數(shù)y=/（2x-/）的單調(diào)遞增區(qū)間是.

2.（2023?高三單元測試）函數(shù)y=/（x）與y=g（x）的圖象關(guān)于直線y=X對稱,/⑺=，-2x+2（xV0）,則

g（5）=--------

3.（2022下?遼寧?高二瓦房店市高級中學(xué)校聯(lián)考模擬）已知函數(shù)/（3x+l）是定義在R上的奇函數(shù)，函數(shù)

的圖象與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線丁=尤對稱，則g（"+g（-x）=.

4.（2023上?上海閔行?高三校聯(lián)考期中）設(shè)曲線C與函數(shù)f（x）=哼/①<xv力的圖像關(guān)于直線y=對稱,

設(shè)曲線C仍然是某函數(shù)的圖像，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

5.（2022?湖南永州?統(tǒng)考三模）已知直線/：y=3x+2,函數(shù)〃x）=lnx-flx+；,若，（無）存在切線與/關(guān)于直線

y=x對稱，則。=.

題型八：中心與軸對稱應(yīng)用：中心對稱

"旨I點(diǎn)I迷I津

中心對稱：

（1）若函數(shù)”無）滿足了（a+x）+/（o—x）=2〃，則〃尤）的一個(gè)對稱中心為

（2）若函數(shù)/（x）滿足/（2a-x）+y（x）=2Z7,則/（x）的一個(gè)對稱中心為

（3）若函數(shù)/（x）滿足〃2a+x）+〃r）=2b,則〃x）的一個(gè)對稱中心為（〃力）.

i函數(shù)變換，又叫原點(diǎn)變換：

y=f（X）=>原點(diǎn)對稱=<Xf*

;引申：關(guān)于點(diǎn)（a,b）對稱，貝2-x

y2b-y

；海元智,荻三一百一2022-2商”孽一岸'（三'4-殍羸三茨麗富豪厚一潑版丁巨瓦T函數(shù)

/（X）=ln（Vx2+l—尤）+3-3,，不等式/W?+4）+f（x2+5）?0對xeR恒成立，則?的取值范圍為（）

A.[-2,+oo）B.（-co,-2]C.-p+oo^D.

2.（四川省達(dá)州市大竹縣大竹中學(xué)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

/（無）=log2（"77+小一^7+2,xeR,若三公0,g使關(guān)于。的不等式

/（2sine-cos6）+/（4-2sine-2cos6-M）<2成立，則實(shí)數(shù)加的范圍為.

0帖ax1+a+]n(y/x2+l+x]什\息一法斗，息i后.浦卜＜1入了新加估

3.函數(shù)"x)=______\/14,右/(%)最大值為M,最小值為N,^e[l,3],則M+N的取值

X?+1a

范圍是.

4.(廣東省深圳市人大附中學(xué)深圳學(xué)校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(%)(%￡&滿足

r?1io

/(-x)=2-/(x),若函數(shù)j=--與y=/(無)圖像的交點(diǎn)為(和%),(々,％),…,則2(玉+-%)=

Xi=\

5.(江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三模擬檢測2數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)=f—言+i,若

存在me(l,4)使得不等式/(4-“a)+/(加+3時(shí)＞2成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

題型九：中心與軸應(yīng)用：類比“正余弦”求和

指I點(diǎn)I迷I津

類比正弦：

①兩中心(a,o)，3,o),g=k-6|

③一個(gè)中心(”,0),一■條軸x=6,1=,-4

1.(2022?廣東惠州?模擬)已知〃x)是定義在R上的奇函數(shù)，且小-力寸荷，若/⑴=3,則/(1)+/(2)+

/(3)+...+/(2018)=()

A.-3B.0C.3D.2018

2.(2022?廣西南寧?一模)定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足：對任意的實(shí)數(shù)x都有=/(x+1),且/(-I)=2,

f(2)=-l.則/⑴+/(2)+/(3)+…+”2017)的值為()

A.2017B.1010C.1008D.2

3.(2023?山東?一模)己知了(無)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(尤+D為偶函數(shù)，若/(-I)=2,則

/(l)+/(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.4B.2C.0D.-2

4.(22-23高三上?湖南永州?階段練習(xí))己知定義在R上的奇函數(shù)滿足/(尤+D+A3-尤)=0,若/⑴=2,

則/(1)+/(2)+/(3)+L+/(2019)=()

A.-2B.0C.2D.2020

5.(2023?廣東梅州?三模)已知函數(shù)〃尤)是定義在R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且〃-1)=1,貝I]

小。)|+|〃-9)|+…+|〃0)|+|〃1)|+…+|〃9)|+|〃10)卜()

A.10B.20C.15D.5

題型十：中心與軸應(yīng)用：“隱對稱點(diǎn)”

指I點(diǎn)I迷I津

兩圖象上有對稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有根的問題求解，然后再根據(jù)兩函數(shù)的特征選擇用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解,

具有綜合性，難度較大.

1.（21-22高三?云南紅河?模擬）對于函數(shù)y=〃尤），若存在%,使得/（%）=--（-%），則稱點(diǎn)（%,/（%））與

f尤22xX<0

點(diǎn)（_%"（_尤。））是函數(shù)y=F（x）的一對"隱對稱點(diǎn)"，若函數(shù)〃無）='c,存在"隱對稱點(diǎn)"，則實(shí)數(shù)

[mx+2,x>0

機(jī)的取值范圍是（）

A.12-2A/^,0）B.（-co,2-C.oo,2+2A/2JD.值,2+2行]

2.（2022廣西柳州?一模）已知函數(shù)〃x）=lnx+/與8（力=*_"的圖像上存在關(guān)于了軸對稱的對稱點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<—B.a>—C.a<eD.a>e

3.（2022遼寧沈陽?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=S與g（x）=f-l的圖象上存在關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為（）（。為自然對數(shù)的底）

A.a<0B.a<1C.a<\D.c?>1

4.（2023?河北衡水?一模）若函數(shù)y=/（x）圖象上存在兩個(gè)點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則對稱點(diǎn)（4為為函數(shù)

y=/（x）的"攣生點(diǎn)對"，且點(diǎn)（AB）對（8,A）與可看作同一個(gè)“攣生點(diǎn)對”.若函數(shù)

[2,x<0一

/（x）=3cc、八恰好有兩個(gè)"攣生點(diǎn)對"，則實(shí)數(shù)。的值為

[一+6x--9x+2-a,x>Q

A.0B.2C.4D.6

5.（22-23高三下?上海寶山?期中）若存在/wR與正數(shù)根，使尸Q-相）=尸《+附成立，則稱"函數(shù)/（無）在x=r

處存在距離為2租的對稱點(diǎn)”.設(shè)/（%）=二±4（x>0）,若對于任意此（后,6），總存在正數(shù)加，使得“函

X

數(shù)/（元）在x=/處存在距離為2%的對稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)彳的取值范圍是…

A.（0,2]B.（1,2]C.[1,2]D.[1,4]

題型十一：雙函數(shù)型中心'軸互相“傳遞”

指I點(diǎn)I迷I津

雙函數(shù)性質(zhì)：

1.雙函數(shù)各自對應(yīng)的對稱中心和對稱軸等性質(zhì)

2.雙函數(shù)之間存在著互相轉(zhuǎn)化或者互相表示的函數(shù)等量關(guān)系

傳遹中心，對稱粘，與周期

若函數(shù)〃尤)關(guān)于x=。軸對稱，關(guān)于(瓦0)中心對稱,則函數(shù)的周期為4,一耳,

若函數(shù)/>(X)關(guān)于x=。軸對稱，關(guān)于x=b軸對稱，則函數(shù)/■(%)的周期為

若函數(shù)f(x)關(guān)于(。,0)中心對稱，關(guān)于0,0)中心對稱，則函數(shù)“X)的周期為21a-瓦

1.(22-23高三上?江西?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x),g(x)的定義域均為R,且滿足

60

/'(x)-g(2-x)=4,g(x)+〃x-4)=6,g(3-x)+g(x+l)=0,貝0/(")=()

0=1

A.-3180B.795C.1590D.-1590

2.(23-24高三上?遼寧?階段練習(xí))已知函數(shù)/(力，g(x)的定義域均為R,>/(x)+g(2-x)=6,

18

g(x)-/(x-4)=4,若g(x)的圖像關(guān)于x=2對稱，g⑵=3,則￡/億)=()

k=\

A.14B.16C.18D.20

3.(2023?遼寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x),g(x)的定義域均為R,〃x+l)是奇函數(shù)，且/(I-x)+g(x)=2,

/(x)+g(x-3)=2,則下列結(jié)論正確的是.(只填序號)

2020

①“X)為偶函數(shù)；②g(x)為奇函數(shù)；③X〃k)=40；④㈤=40.

k=lk=\

4.(2023?河南?模擬預(yù)測)已知"%)為定義在R上的奇函數(shù)，g(x)是3(%)的導(dǎo)函數(shù),/(l)=h

g(2-x)+g(x)=0,則以下命題：①g(x)是偶函數(shù)；②g(l)=0;③"力的圖象的一條對稱軸是x=2；

2022

④￡/(i)=l,其中正確的序號是.

Z=1

5.(2023?四川南充?二模)設(shè)定義在R上的函數(shù)和g(x).若〃尤)一g(4—龍)=2,g(x)=f(x-2)-2,且

〃x+2)為奇函數(shù)，?/(l)+/(2)+/(3)+-+/(2023)=.

題型十二：函數(shù)型不等式：“優(yōu)函數(shù)”型

指I點(diǎn)I迷I津

有/(x+y)((或>)/(x)+/(y)或者y(x)〈(或/(x)+/(t),則稱/⑶為優(yōu)函數(shù)。

類似這類函數(shù)不等式，可以借助“類周期”思維進(jìn)行放縮。

1.(2024年高考1卷)已知函數(shù)為f(X)的定義域?yàn)镽,/(%)>+/(X—2),且當(dāng)1<3時(shí)/(%)=X,

則下列結(jié)論中一定正確的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

2.(2021?四川德陽?一模)已知函數(shù)/(無:，若VxeR,fix2-3x\-f(.-x)+f(x-a)>f(x),則實(shí)

71+%

數(shù)。的取值范圍是()

A.(l,+oo)B.(-l,+oo)C.(-oo,l)D.(-oo,-l)

3.(2020高三?全國?專題練習(xí))已知〃尤)是定義在R上的函數(shù)，/(1)=1,且對任意xeR都有：

〃x+5)2〃x)+5與〃x+l)V〃x)+l成立，若g(x)=/(x)+l—x,則g(2017)=.

4.(22-23高二上?上海浦東新?開學(xué)考試)設(shè)f(x)是定義在Z上的函數(shù)，且對于任意的整數(shù)"，滿足

/(n+4)-/(n)<2(n+l),/(?+12)-/(?)>6(n+5),/(-l)=-505,貝ij7僅期)的值為.________.

289

5.(22-23高三?北京順義?模擬)如果函數(shù)滿足對任意s,法(0,一)，有〃s+r)</(s)+/⑺，則稱/(無)

為優(yōu)函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：

①g(x)=ln(l+x)(x>0)為優(yōu)函數(shù)；

②若為優(yōu)函數(shù)，則/(2023)<2023八1)；

③若“X)為優(yōu)函數(shù)，則在(0,y)上單調(diào)遞增；

④若尸(無)=△。在(0,+8)上單調(diào)遞減，則/(x)為優(yōu)函數(shù).

X

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

題型十三：類周期型函數(shù)

/(x),|x|<8

(2023?上海,統(tǒng)考模擬預(yù)測)〃尤)在上非嚴(yán)格遞增，滿足〃x+l)=〃x)+l,g(x)=

1.R>8'

若存在符合上述要求的函數(shù)及實(shí)數(shù)%,滿足g(%+4)=g(/)+l,則。的取值范圍是

2.(2021下?天津武清?高二天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？计谀?已知函數(shù)/(x)=Jl-ST/'O&xv?

〔/(x-2),x>2

若對于正數(shù)廄(〃eN*),直線y=%/與函數(shù)/(x)的圖像恰好有2〃+1個(gè)不同的交點(diǎn)，則

女:+左;+???+左;=.

3.己知f(x)=[(1)+a(X-0,且方程/(x)=x恰有兩解.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____

f(x-1),%>0,

,,、無。一1<無41,、

4.(2023上?四川資陽?高三統(tǒng)考模擬)已知函數(shù)/(尤)=｛，/?。，函數(shù)〃元)在x=x°處的切線為/,