2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)阿波羅尼

斯圓和蒙日圓的問題含答案

阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、阿波羅尼斯圓

1.阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點(diǎn)AB,設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足撰=人當(dāng)4>0且入時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓,稱

riD

之為阿波羅尼斯圓.(4=1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段AB的中垂線)

2.阿波羅尼斯圓的證明

設(shè)P(2,y),4(—a,0),B(a,0).若爆=間>0且丑1),則點(diǎn)P的軌跡方程是(2一要+靖=

(等L其軌跡是以(燮la,o)為圓心，半徑為「=鬻匹的圓.

v/l—17v/I-17/I2—1

證明：由Q4=zlPB及兩點(diǎn)間距離公式，可得(c+a)?+必=#[(2—a?+媛],

化簡可得(1—"+(1—矛"+2(1+#)a,+(1—#)〃=0①,

(1)當(dāng);I=1時(shí)，得。=0,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線;

(2)當(dāng)N片1時(shí),方程①兩邊都除以1—萬得d+爐+2a(W+a?=0,化為標(biāo)準(zhǔn)形式即為:

1—矛

2Q/1的圓.

V—7^1

圖③

【定理】A,B為兩已知點(diǎn)，跖N分別為線段AB的定比為劃片1)的內(nèi)外分點(diǎn)，則以的V為直徑的圓。上任

意點(diǎn)P到AB兩點(diǎn)的距離之比為九

證明：以；1>1為例.如圖②，設(shè)AB=2a,慧=第=九則力河=3筌,BN=2a—

AN=^-,BN=孕*-2a=普~.過B作AB的垂線圓C交于Q,R兩點(diǎn)，由相交弦定理及勾股定理

得QB，=MB?BN=粵乙”=AB?+QB2=,于是QB^,QA=,：.察=工

矛—1/l2-lV/l2-lV/l2-lQB

同時(shí)在到兩點(diǎn)距離之比等于4的圓上，而不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，

圓。上任意一點(diǎn)P到AB兩點(diǎn)的距離之比恒為人同理可證0<4V1的情形.

3.阿波羅尼斯19的相關(guān)結(jié)論

【結(jié)論1】當(dāng)4>1時(shí)，點(diǎn)口在圓。內(nèi)，點(diǎn)A在圓C外;當(dāng)0V4VI時(shí)，點(diǎn)A在圓。內(nèi)，點(diǎn)B在圓。外.

【結(jié)論2】因=AN,故AQ是圓。的一條切線.若已知圓。及圓。外一點(diǎn)A,可以作出與之對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)B,反之亦然.

【結(jié)論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為面積為妻吟.

1|（不—Ip

【結(jié)論4】過點(diǎn)A作圓。的切線AQ（Q為切點(diǎn)）,則QM,QN分別為AAQB的內(nèi)、外角平分線.

【結(jié)論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分AB和外分AB所得的兩個(gè)分點(diǎn)，如圖所示，河是的內(nèi)

分點(diǎn)，N是AB的外分點(diǎn)，此時(shí)必有■平分ZAPB,PN平分NAPB的外角.

證明：如圖①,由已知可得篇=黯=第=小>°且"1）'.?.普=制=九又

PMsinZAPM,S,PBM=^PB-PMsinABPM,；.靠徐黑懿=九

sin/ARW=sin/BPM,；.4ApM=ABPM,：.PAI平分AAPB.由等角的余角相等可得4BPN=

ADPN,：.PN平分NAPB的外角.

【結(jié)詒6】過點(diǎn)B作圓。不與QR重合的弦EF,則平分ZEAF.

證明:如圖③，連結(jié),由已知窗=韶=4,.?.鏢=魯?：言迺=第（4>0且壯1）,又

-TJDh/JDJrJDJrAbbABFJrJD

u_147->A7TI?/D4zyc*_14DA7j>,/D4E1.AB，AEJsinNBAE_EB_AE.

SAABE=2,AEsm/BAB,S^ABF=了?AFsm^BAF,..AB.AFsinABAF=布=菽

sin/BAE=sin/BAF,；.NBAE=ABAF,：.AB平分NEAF.

：.sinZBAE=sinABAF,：.2BAE=ABAF,：.AB平分NEAF.

二、蒙日Bl

i.蒙日圓的定義

在橢圓上,任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心,半徑等于橢圓長半軸

短半軸平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日圓，如圖1.?M

證明:設(shè)橢圓的方程為蕓+4=l(a>fe>0)，則橢圓兩條互相垂直的切線PA,PB交點(diǎn)、P的軌跡是蒙日

Wbz

圓：x2+y2=a2+b2.①當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線_R4,PB斜率均存在且不為。時(shí)，可設(shè)P(g,g())(g

?一%=卜(力一M，

W±Q且隊(duì)。土b),過P的橢圓的切線方程為g—隊(duì)=小(劣一g)(kWO),由《壁尤_得

F=1,

222222222

(afc+b)a;—2ka(kxo-yo)x+a(kx0—y^)—ab=0,

22

由其判別式值為0,得(破—a)k—2x0y0k+需一〃=0(碇—Q2。0),

???品如瓦^是這個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩個(gè)根，

.,,_yl~b2

??kpA■kpB——'

Xo-az

由已知_R4_LPB,二％四?kpB=—1,二空一~T=-1,破+端=口2+&2,.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足方程y2+==謨

Xg—a^

+b2.

②當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線R4,P3有斜率不存在或斜率為0時(shí),可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(土a,b)或

3±6),此時(shí)點(diǎn)」也在圓那+婿=(12+方上.

綜上所述:橢圓[+鳥=l(a>6>0)兩條互相垂直的切線B4,PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日圓+量=&2

a2b-

+b2.

2.蒙日HI的幾何性質(zhì)

【結(jié)論1】過圓爐+峭=a?+〃上的動(dòng)點(diǎn)p作橢圓空+￡=1伽>6>0)的兩條切線口,PB,則B4，

a'bz

PB.

(x2.y1—-\

證明：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)Qo，yo)，由《必〃，得(a2k2-bb2)x2—2ka2(kxQ—yo)x+a2(kxQ—y()f—a262=

[y-yo=k(x-xo)

0,由其判別式的值為0,得(就一稼)心2-2g隊(duì)卜+需—〃=0(或一02#0),

?：kPA,描B是這個(gè)關(guān)于k的一元二次方程的兩個(gè)根，

???kpA'kpB=y；b，就+說=。2+4,kpA'kpB=y；b=-l,PA±PB.

Xo-azXo-az

【結(jié)論2】設(shè)P為蒙日圓O：c2+y2=a2+〃上任一點(diǎn)，過點(diǎn)p作橢圓卓+4=1的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)

a2bz

AB,O為原點(diǎn),則OP,AB的斜率乘積為定值kOp-kAB=—與.

a'

【結(jié)論3】設(shè)P為蒙日圓。："+靖=&2+〃上任一點(diǎn)，過點(diǎn)p作橢圓（+鳥=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為

Wbz

AB,O為原點(diǎn),則OAP4的斜率乘積為定值kOA?蟠=—4，且OB,PB的斜率乘積為定值kOB-L=

a

—與（垂徑定理的推廣）.

【結(jié)論4】過圓婷+靖=a2+〃上的動(dòng)點(diǎn)p作橢圓W+￡=i（a>b>0）的兩條切線，。為原點(diǎn)，則PO平

a2bz

分橢圓的切點(diǎn)弦

證明：P點(diǎn)坐標(biāo)（羯%）,直線OP斜率k°p=%,由切點(diǎn)弦公式得到AB方程等+警=1,=

22

x0ab

—睜，kOP-=-4，由點(diǎn)差法可知，OP平分4B，如圖“是中點(diǎn).

Q句0出

【結(jié)論5】設(shè)P為蒙日圓O：〃+g2=稼+〃上任一點(diǎn)，過點(diǎn)p作橢圓%+%=l（a>5>0）的兩條切線，交

azbz

蒙日圓O于兩點(diǎn)。。,則。P,CD的斜率乘積為定值kOP-kCD=-^~.

a

【結(jié)論6】設(shè)P為蒙日圓，2+靖=&2+〃上任一點(diǎn)，過點(diǎn)p作橢圓《+m=1（&>6>0）的兩條切線，切點(diǎn)

出bz

分別為ABO為原點(diǎn),則OAQB的斜率乘積為定值：kOP-%CD=—4.

a4

【結(jié)論7】設(shè)P為蒙日圓/+靖=/+〃上任一點(diǎn)，過點(diǎn)p作橢圓/+￡_=i（a>b>0）的兩條切線，切點(diǎn)

Wb

分別為ABO為原點(diǎn),則SQAOB的最大值為半，SXAOB的最小值為-

【結(jié)論8】設(shè)P為蒙日圓/+靖=口2+〃上任一點(diǎn),過點(diǎn)p作橢圓與+￡=i（a>fc>0）的兩條切線，切點(diǎn)

分別為AB,則S4ApB的最大值為*7，S“PB的最小值為-

a'+ba'+b

二、題型精講精練

題1設(shè)A,B是平面上兩點(diǎn),則滿足端=M其中％為常數(shù)，%片0且%W1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌

跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知4（碗,0）,B（粵,0）,且看

=V2.

（1）求點(diǎn)P所在圓/■的方程.

（2）已知圓。:0+2）2+（夕―2）2=5與c軸交于C,D兩點(diǎn)（點(diǎn)。在點(diǎn)D的左邊），斜率不為0的直線I過點(diǎn)

D且與圓“交于兩點(diǎn),證明：/ECD=/FCD.

網(wǎng)］2己知橢圓+冬=l（O>6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（病,0）,離心率為乎.

azbzJ

（1）求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（〃）若動(dòng)點(diǎn)P（曲，如）為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓。的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

???

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

1.阿波羅尼斯圓

一、單

1.我們都知道:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值(不為1)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅

尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)人(一1,0)和B(2,l),且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足E4|=2|PB|,若點(diǎn)P的軌跡關(guān)

于直線mx+ng—2=0(m,n>0)對(duì)稱，則—+—的最小值是()

mn

A.10B.20C.30D.40

2.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆

盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0且kW

1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓+岑=1(。>b>0),AB為橢圓T長軸

的端點(diǎn)，為橢圓T短軸的端點(diǎn)，分別為橢圓T的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)河滿足野斗=2,AMAB面積

\MF\

的最大值為4碗,△MGD面積的最小值為方,則橢圓T的離心率為()

A乎B.乎C.空D.乎

3.阿波羅尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之

一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)”與兩定點(diǎn)的距離之比藍(lán)^=4(4>0,4/1),那么點(diǎn)”的軌跡就是阿波羅尼

斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)河的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為"+婿=1,定點(diǎn)Q為2軸上一點(diǎn)，p(—0)且4=

2,若點(diǎn)則2|W|+|MB|的最小值為()

A.V6B.V7C.VioD.Vii

4,阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn):如

果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)4僅>0且4A1),那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅

尼斯圓.若點(diǎn)P到4(2,0),6(—2,0)的距離比為V3，則點(diǎn)P到直線Z：2V2rc-y-V2=0的距離的最大值

是()

A.3V2+2V3B.2+2V3C.473D.673

5.數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)4(4>0且4/1)的點(diǎn)的軌跡是

圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，力(-2,0),動(dòng)點(diǎn)“滿足

\MA\=21Moi，得到動(dòng)點(diǎn)河的軌跡是阿氏圓C.若對(duì)任意實(shí)數(shù)％，直線l-.y=k(x-l)+b與圓。恒有公共

點(diǎn)，則b的取值范圍是()

A.卜乎乎]B.[-＜,＜]

6,阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)

現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)AB的距離之比為定值4僅＞0,且4片1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯

圓”.在平面直角坐標(biāo)系工。沙中，4(—2,0),8(4,0),點(diǎn)P滿足篙=；.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線。，則下列

說法錯(cuò)誤的是()

A.。的方程為(c+4)2+靖=16B.當(dāng)4BP三點(diǎn)不共線時(shí)，則/4?。=48尸。

C.在。上存在點(diǎn)朋■，使得|MO|=2|AM|D.若。(2,2),則|PB|+2|PD|的最小值為4，^

7.已知平面上兩定點(diǎn)A,則所有滿足段=4僅＞0且4/1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線上，半

徑為-A7的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱

1一心

長為6的正方體ABCD—4BQQ1的一個(gè)側(cè)面ABB.A,上運(yùn)動(dòng)，且滿足|B4|=2\PB\，則點(diǎn)P的軌跡長度

為()

A.等B.萼C.V37TD.泮^

OO/

8.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為

定值4(4＞。且;1W1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏

圓.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4(—1,0),8(2,0),點(diǎn)P滿足喻=],設(shè)點(diǎn)p的軌跡為曲線。，下列

結(jié)論正確的是()

A.曲線。的方程為(2+2)2+量=4

B.曲線。與圓。:砂+(?/一2)2=4外切

C.曲線。被直線Z：c+?/=0截得的弦長為

D.曲線。上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m：x+V3y=0的距離為1

9.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比

為定值4(421)的點(diǎn)的軌跡是圓.”后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

在平面直角坐標(biāo)系2。沙中，A(l,0),B⑶0),點(diǎn)P滿足M=0點(diǎn)P的軌跡為曲線。，下列結(jié)論正確的

是()

A.曲線。的方程為d+靖―102+]_7=0B.直線32+4沙=0與曲線。有公共點(diǎn)

C.曲線。被c軸截得的弦長為D.44BP面積的最大值為

10.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓,

此圓被稱為‘'阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系多。沙中，4(—2,0),口(4,0),點(diǎn)P滿足%=；.設(shè)點(diǎn)

P的軌跡為。，則().

A.軌跡C的方程為(力+4丫+靖=9

B.在①軸上存在異于的兩點(diǎn)。，E,使得儡

C.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是/APB的角平分線

D.在。上存在點(diǎn)“，使得|MO|=2|AM|

U.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠,阿波羅尼斯發(fā)

現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值4僅>0,且4W1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼

斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系以為中，4(—2,0),B(4,0),點(diǎn)P滿足磊=].設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線。，則下

列說法正確的是()

A.。的方程為(%+4)2+靖=16B.當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則/APO=/BP。

C.在。上存在點(diǎn)河，使得|MO|=2|M4|D.若。(2,2),則|PB|+2|PD|的最小值為4A后

三、填空題

12.阿波羅尼斯(約前262-前190年)證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)磔k>0水/1)的

點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)0(0,0),4(3,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足胃=

看,則點(diǎn)P的軌跡方程是.

13.阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿

波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)間的距離為3,動(dòng)點(diǎn)P滿足裔=2,則方?屈的范圍為.

14.阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人

沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)用(k>0且用手1?)的點(diǎn)M的軌跡是

圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有△48。,BC=6,sinB=ysinC,,當(dāng)4ABC的面積最大時(shí),則AC的長

為.

15.希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為

定值〃4片1)的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已

知在平面直角坐標(biāo)系以加中，4(—3,1),B(—3,6),點(diǎn)P是滿足4=乎的阿氏圓上的任一點(diǎn)，若拋物線沙=

O

的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線與此阿氏圓相交所得的最長弦與最短弦的和為

16.已知平面上兩定點(diǎn)A、B,則所有滿足魯=4(4>0且4片1)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線上，半

徑為工7的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為3

1—

的正方體ABCD-AiBQQi表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足|_B4|=2\PB\，則點(diǎn)P的軌跡長度為.

四、解答題

17.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn):“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為

定值4僅>0且4片1)的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿

氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，4—2,0),B(4,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足舄~=卷.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為G.

(1)求曲線G的方程；

(2)若曲線G和O。2：(2-4)2+(夕—6)2=r2(r>0)無公共點(diǎn),求r的取值范圍.

18.平面上兩點(diǎn)A、口,則所有滿足器=%且k不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)

學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知圓G上的動(dòng)點(diǎn)P滿足：=2（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)

為?3）.

⑴直線力：沙=2上任取一點(diǎn)Q,作圓G的切線，切點(diǎn)分別為M,N,求四邊形QMGN面積的最小值；

（2）在（1）的條件下，證明:直線恒過一定點(diǎn)并寫出該定點(diǎn)坐標(biāo).

???

19.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.阿波羅尼斯

_\MQ\

圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)M■與兩定點(diǎn)Q,P的距禺之比q——p=auxjHwi),/)是一個(gè)

\MP\

常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)河的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其

方程為"+靖=4,定點(diǎn)分別為橢圓C：(+4=i(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與右頂點(diǎn)且橢圓。的離心率

azbz

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵如圖，過右焦點(diǎn)F斜率為fc(fc>0)的直線I與橢圓。相交于B,。(點(diǎn)B在立軸上方)，點(diǎn)S,T是橢圓C

上異于D的兩點(diǎn)，SF平分/BSD,TF平分ABTD.

BS

①求^|一的|取值范圍；

回I

②將點(diǎn)S、F、T看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若&SFT外接圓的面積為等，求直線，的方程.

O

???

2.蒙日圓

一、單

1.加斯帕爾?蒙日（圖1）是18-19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相

垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”（圖2）.則橢圓。卷

5

+號(hào)=1的蒙日圓的半徑為（）

D.6

2.畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn):橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平

方等于長半軸短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓專+2=1的蒙日圓為，2+靖=

6b2

10,則該橢圓的離心率為（）

A.烏B.；C.4D.等

3.法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的

切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓,這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓：4+￡=l（a

>b>o）的蒙日圓為。："+靖=92,則橢圓「的離心率為（）

O

A察B.乎C.暇D.乎

2233

4.定義:圓錐曲線+4=1的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)Q的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，歷取為

azb

半徑的圓,這個(gè)圓稱為蒙日圓.已知橢圓。的方程為彳=LP是直線Z:，+2g—3=0上的一點(diǎn)，過

點(diǎn)P作橢圓。的兩條切線與橢圓相切于N兩點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接OP,當(dāng)尸N為直角時(shí)，則kOP

=（）

A.—■或言B.■或0C.—|■或^■D.—^或。

435553

5.畫法幾何的創(chuàng)始人--法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn):過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么

這一點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓。的蒙日

圓為圓G，若圓G不透明，則一束光線從點(diǎn)4（—4,3）出發(fā)，經(jīng)，軸反射到圓G上的最大路程是（）

6.已知橢圓。:之+《=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為小理,離心率為咯,其蒙日圓方程為"+靖=

ab25

a2+b2,M為蒙日圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)刊作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P,Q兩點(diǎn)，若AMPQ

面積的最大值為36,則橢圓。的長軸長為（）

A.2V5B.4V5C.2V3D.4V3

7.加斯帕爾一蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家.如圖,他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相

垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心,這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四邊均

與橢圓M：4+學(xué)=1相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

64

A.橢圓河的離心率為今B.橢圓的蒙日圓方程為"+夕2=10

O

C.若G為正方形，則G的邊長為2西D.長方形G的面積的最大值為18

8.研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)圓叫做橢圓的蒙日圓.設(shè)橢圓。

的焦點(diǎn)為E，E，P為橢圓。上的任意一點(diǎn)，R為橢圓。的蒙日圓的半徑.若西?麗的最小值為占房，

則橢圓。的離心率為（）

A.yB.岑C.yD.亨

9.法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的

切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓「：4+g=

a2b2

l（a>b>0）的蒙日圓為ad+靖=a&2,過。上的動(dòng)點(diǎn)刊作「的兩條切線，分別與。交于兩點(diǎn)，直

線PQ交「于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.橢圓「的離心率為

3

B.AA7PQ面積的最大值為熹2

O

c.。到:r的左焦點(diǎn)的距離的最小值為（281五）。

D.若動(dòng)點(diǎn)。在「上,將直線DA,DB的斜率分別記為阮，％2，則品自=—4

10.加斯帕爾?蒙日（如圖甲）是18-19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互

相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”（圖乙）.已知長方形

C.橢圓。的蒙日圓方程為"+峭=9D.長方形V的面積最大值為18

U.法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直

的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓!=

azbz

l（a>b>0）的蒙日圓為。:a;2+y2=1_a2,過。上的動(dòng)點(diǎn)初作「的兩條切線,分別與。交于P,Q兩點(diǎn)，直

線PQ交「于兩點(diǎn)，則（）

A.橢圓「的離心率為空

B.ZWFQ面積的最大值為

C."■到「的左焦點(diǎn)的距離的最小值為（2—2）a

D.若動(dòng)點(diǎn)。在「上,將直線DA,DB的斜率分別記為品，心，則fcifc2=-y

12.在橢圓C*+%=l（a>6>0）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓r：x2+y2=a2+b2±.,稱此圓為該

橢圓的蒙日圓.該圓由法國數(shù)學(xué)家G.A7bnge(1745—1818)最新發(fā)現(xiàn).若橢圓+靖=1,則下列說法中

正確的有()

A.橢圓。外切矩形面積的最大值為4A歷

B.點(diǎn)P(a:,y)為蒙日圓「上任意一點(diǎn),點(diǎn)M(-2A/3,0),2V(2V3,0),當(dāng)/PAW最大值時(shí)tan4PMN=2+

V3

C.過橢圓。的蒙日圓上一點(diǎn)P,作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于點(diǎn)Q,若％OP#OQ存在，則為定

值一4

D.若橢圓。的左右焦點(diǎn)分別為瓦易過橢圓。上一點(diǎn)P和原點(diǎn)作直線I與蒙日圓相交于昭N,且P公

PF2=^,^APM-PN=^

13.畫法幾何的創(chuàng)始人--法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn):與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢

圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：苧+靖=1后,另分別為橢圓的

左、右焦點(diǎn)，直線I的方程為，+四y一3=0,河為橢圓。的蒙日圓上一動(dòng)點(diǎn)，AM,皿5分別與橢圓相切于

AB兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是()

A.橢圓。的蒙日圓方程為"+婿=3

B.記點(diǎn)A到直線I的距離為d,則d-|A￡|的最小值為早

C.一矩形四條邊與橢圓。相切，則此矩形面積最大值為6

D.ZVIOB的面積的最小值為。，最大值為警

O/

三、填空題

14.法國數(shù)學(xué)家蒙日(Monge,1746—1818)發(fā)現(xiàn):橢圓「:4+^7=l(a>5>0)的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)

a'bz

P的軌跡方程為：/+婿=/+〃,這個(gè)圓被稱為蒙日圓.若某橢圓m+必=I(Q>1)對(duì)應(yīng)的蒙日圓方程

az

為力2+婿=5,則°=.

15.若橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓中心，則稱這個(gè)圓為蒙日

圓.若橢圓C：4+￥=1(，>4)的蒙日圓的半徑為2通,則橢圓C的離心率為

W4

16.“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為:橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同

???

一個(gè)圓上,它的圓心是橢圓中心，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓c：,+,=19>0）的蒙日

a+1a

圓方程為"+婿=7,則橢圓。的離心率為.

17.畫法幾何的創(chuàng)始人--法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn):與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢

圓中心為圓心的圓.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C:1+4=l（a>b>0）的蒙日

圓方程為爐+靖=<^+〃,橢圓。的離心率為卓，M為蒙日圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線,

與蒙日圓分別交于P、Q兩點(diǎn)，則面積的最大值為.（用含b的代數(shù)式表示）

四、解答題

18.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日被譽(yù)為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的重要結(jié)論:一

橢圓的任兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,尊稱為蒙日圓,且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心,半徑

為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根.已知在橢圓+4=l（a>b>0）中,離心率e=

寺，左、右焦點(diǎn)分別是回、號(hào)上頂點(diǎn)為Q,且|Q￡|=2,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓。的方程，并請直接寫出橢圓。的蒙日圓的方程；

（2）設(shè)P是橢圓。外一動(dòng)點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作，軸的垂線，垂足H,若兩

切線斜率都存在且斜率之積為-十，求中?！娣e的最大值.

19.在橢圓C：《+m=l（a>b>0）中,其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓「：/+靖=a?+呼上，稱此圓為

a2bz

橢圓的蒙日圓.橢圓C過P（L空），Q（—粵

⑴求橢圓。的方程；

（2）過橢圓。的蒙日圓上一點(diǎn)/■，作橢圓的一條切線,與蒙日圓交于另一點(diǎn)N,若％0兇，%.存在，證明：名”

"ON為定值.

???

阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題

一、知識(shí)點(diǎn)梳理

一、阿波羅尼斯圓

1,阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點(diǎn)AB,設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足撰=人當(dāng)4>0且入時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓,稱

riD

之為阿波羅尼斯圓.(4=1時(shí)P點(diǎn)的軌跡是線段AB的中垂線)

2.阿波羅尼斯圓的證明

設(shè)P(2,g),Ai(—a,0),B(a,0).若=4(4>0且4W1),則點(diǎn)P的軌跡方程是(x—+1a}+y2—

(等L其軌跡是以(燮la,o)為圓心，半徑為「=鬻匹的圓.

v/l—17v/I-17/I2—1

證明：由Q4=zlPB及兩點(diǎn)間距離公式，可得(c+a)?+必=#[(2—a?+媛],

化簡可得(1—淤)爐+(1一矛)靖+2(1+*)如+(l—#)a2=0①,

(1)當(dāng);I=1時(shí)，得。=0,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線;

(2)當(dāng)N片1時(shí),方程①兩邊都除以1—萬得d+爐+2a(W+a?=0,化為標(biāo)準(zhǔn)形式即為:

1—矛

2Q/1的圓.

V—7^1

圖③

【定理】A,B為兩已知點(diǎn)，分別為線段AB的定比為4僅a1)的內(nèi)外分點(diǎn)，則以的V為直徑的圓。上任

意點(diǎn)P到AB兩點(diǎn)的距離之比為九

證明：以；1>1為例.如圖②，設(shè)AB=2a,笑=慈=九則力M=^g,BM=2a—普勺=3，

Mk>Nb1+/l1-F/il+/i

AN=^-,BN=孕*-2a=普~.過B作AB的垂線圓C交于Q,R兩點(diǎn)，由相交弦定理及勾股定理

得QB，=MB?BN=粵乙”=AB?+QB2=,于是QB^,QA=,：.察=工

矛—1/l2-lV/l2-lV/l2-lQB

同時(shí)在到兩點(diǎn)距離之比等于4的圓上，而不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，

圓。上任意一點(diǎn)P到AB兩點(diǎn)的距離之比恒為人同理可證0<4V1的情形.

3.阿波羅尼斯19的相關(guān)結(jié)論

【結(jié)論1】當(dāng)4>1時(shí)，點(diǎn)口在圓。內(nèi)，點(diǎn)A在圓C外;當(dāng)0V4VI時(shí)，點(diǎn)A在圓。內(nèi)，點(diǎn)B在圓。外.

【結(jié)論2】因=AN,故AQ是圓。的一條切線.若已知圓。及圓。外一點(diǎn)A,可以作出與之對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)B,反之亦然.

【結(jié)論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為面積為妻吟.

1|（不—Ip

【結(jié)論4】過點(diǎn)A作圓。的切線AQ（Q為切點(diǎn)）,則QM,QN分別為AAQB的內(nèi)、外角平分線.

【結(jié)論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分AB和外分AB所得的兩個(gè)分點(diǎn)，如圖所示，河是的內(nèi)

分點(diǎn)，N是AB的外分點(diǎn)，此時(shí)必有■平分ZAPB,PN平分NAPB的外角.

證明：如圖①,由已知可得篇=黯=第=小>°且"1）'.?.普=制=九又

PMsinZAPM,S,PBM=^PB-PMsinABPM,；.靠徐黑懿=九

sin/ARW=sin/BPM,；.4ApM=ABPM,：.PAI平分AAPB.由等角的余角相等可得4BPN=

ADPN,：.PN平分NAPB的外角.

【結(jié)詒6】過點(diǎn)B作圓。不與QR重合的弦EF,則平分ZEAF.

證明:如圖③，連結(jié),由已知窗=韶=4,.?.鏢=魯?：言迺=第（4>0且壯1）,又