2025高考數學專項復習：阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題（含答案）

2025高考數學專項復習阿波羅尼

斯圓和蒙日圓的問題含答案

阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題

一、知識點梳理

一、阿波羅尼斯圓

1.阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點AB,設P點在同一平面上且滿足撰=人當4>0且入時，P點的軌跡是個圓,稱

riD

之為阿波羅尼斯圓.(4=1時P點的軌跡是線段AB的中垂線)

2.阿波羅尼斯圓的證明

設P(2,y),4(—a,0),B(a,0).若爆=間>0且丑1),則點P的軌跡方程是(2一要+靖=

(等L其軌跡是以(燮la,o)為圓心，半徑為「=鬻匹的圓.

v/l—17v/I-17/I2—1

證明：由Q4=zlPB及兩點間距離公式，可得(c+a)?+必=#[(2—a?+媛],

化簡可得(1—"+(1—矛"+2(1+#)a,+(1—#)〃=0①,

(1)當;I=1時，得。=0,此時動點的軌跡是線段AB的垂直平分線;

(2)當N片1時,方程①兩邊都除以1—萬得d+爐+2a(W+a?=0,化為標準形式即為:

1—矛

2Q/1的圓.

V—7^1

圖③

【定理】A,B為兩已知點，跖N分別為線段AB的定比為劃片1)的內外分點，則以的V為直徑的圓。上任

意點P到AB兩點的距離之比為九

證明：以；1>1為例.如圖②，設AB=2a,慧=第=九則力河=3筌,BN=2a—

AN=^-,BN=孕*-2a=普~.過B作AB的垂線圓C交于Q,R兩點，由相交弦定理及勾股定理

得QB，=MB?BN=粵乙”=AB?+QB2=,于是QB^,QA=,：.察=工

矛—1/l2-lV/l2-lV/l2-lQB

同時在到兩點距離之比等于4的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，

圓。上任意一點P到AB兩點的距離之比恒為人同理可證0<4V1的情形.

3.阿波羅尼斯19的相關結論

【結論1】當4>1時，點口在圓。內，點A在圓C外;當0V4VI時，點A在圓。內，點B在圓。外.

【結論2】因=AN,故AQ是圓。的一條切線.若已知圓。及圓。外一點A,可以作出與之對應

的點B,反之亦然.

【結論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為面積為妻吟.

1|（不—Ip

【結論4】過點A作圓。的切線AQ（Q為切點）,則QM,QN分別為AAQB的內、外角平分線.

【結論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內分AB和外分AB所得的兩個分點，如圖所示，河是的內

分點，N是AB的外分點，此時必有■平分ZAPB,PN平分NAPB的外角.

證明：如圖①,由已知可得篇=黯=第=小>°且"1）'.?.普=制=九又

PMsinZAPM,S,PBM=^PB-PMsinABPM,；.靠徐黑懿=九

sin/ARW=sin/BPM,；.4ApM=ABPM,：.PAI平分AAPB.由等角的余角相等可得4BPN=

ADPN,：.PN平分NAPB的外角.

【結詒6】過點B作圓。不與QR重合的弦EF,則平分ZEAF.

證明:如圖③，連結,由已知窗=韶=4,.?.鏢=魯?：言迺=第（4>0且壯1）,又

-TJDh/JDJrJDJrAbbABFJrJD

u_147->A7TI?/D4zyc*_14DA7j>,/D4E1.AB，AEJsinNBAE_EB_AE.

SAABE=2,AEsm/BAB,S^ABF=了?AFsm^BAF,..AB.AFsinABAF=布=菽

sin/BAE=sin/BAF,；.NBAE=ABAF,：.AB平分NEAF.

：.sinZBAE=sinABAF,：.2BAE=ABAF,：.AB平分NEAF.

二、蒙日Bl

i.蒙日圓的定義

在橢圓上,任意兩條相互垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心,半徑等于橢圓長半軸

短半軸平方和的幾何平方根，這個圓叫蒙日圓，如圖1.?M

證明:設橢圓的方程為蕓+4=l(a>fe>0)，則橢圓兩條互相垂直的切線PA,PB交點、P的軌跡是蒙日

Wbz

圓：x2+y2=a2+b2.①當題設中的兩條互相垂直的切線_R4,PB斜率均存在且不為。時，可設P(g,g())(g

?一%=卜(力一M，

W±Q且隊。土b),過P的橢圓的切線方程為g—隊=小(劣一g)(kWO),由《壁尤_得

F=1,

222222222

(afc+b)a;—2ka(kxo-yo)x+a(kx0—y^)—ab=0,

22

由其判別式值為0,得(破—a)k—2x0y0k+需一〃=0(碇—Q2。0),

???品如瓦^是這個關于k的一元二次方程的兩個根，

.,,_yl~b2

??kpA■kpB——'

Xo-az

由已知_R4_LPB,二％四?kpB=—1,二空一~T=-1,破+端=口2+&2,.?.點P的坐標滿足方程y2+==謨

Xg—a^

+b2.

②當題設中的兩條互相垂直的切線R4,P3有斜率不存在或斜率為0時,可得點P的坐標為(土a,b)或

3±6),此時點」也在圓那+婿=(12+方上.

綜上所述:橢圓[+鳥=l(a>6>0)兩條互相垂直的切線B4,PB交點P的軌跡是蒙日圓+量=&2

a2b-

+b2.

2.蒙日HI的幾何性質

【結論1】過圓爐+峭=a?+〃上的動點p作橢圓空+￡=1伽>6>0)的兩條切線口,PB,則B4，

a'bz

PB.

(x2.y1—-\

證明：設P點坐標Qo，yo)，由《必〃，得(a2k2-bb2)x2—2ka2(kxQ—yo)x+a2(kxQ—y()f—a262=

[y-yo=k(x-xo)

0,由其判別式的值為0,得(就一稼)心2-2g隊卜+需—〃=0(或一02#0),

?：kPA,描B是這個關于k的一元二次方程的兩個根，

???kpA'kpB=y；b，就+說=。2+4,kpA'kpB=y；b=-l,PA±PB.

Xo-azXo-az

【結論2】設P為蒙日圓O：c2+y2=a2+〃上任一點，過點p作橢圓卓+4=1的兩條切線，交橢圓于點

a2bz

AB,O為原點,則OP,AB的斜率乘積為定值kOp-kAB=—與.

a'

【結論3】設P為蒙日圓。："+靖=&2+〃上任一點，過點p作橢圓（+鳥=1的兩條切線，切點分別為

Wbz

AB,O為原點,則OAP4的斜率乘積為定值kOA?蟠=—4，且OB,PB的斜率乘積為定值kOB-L=

a

—與（垂徑定理的推廣）.

【結論4】過圓婷+靖=a2+〃上的動點p作橢圓W+￡=i（a>b>0）的兩條切線，。為原點，則PO平

a2bz

分橢圓的切點弦

證明：P點坐標（羯%）,直線OP斜率k°p=%,由切點弦公式得到AB方程等+警=1,=

22

x0ab

—睜，kOP-=-4，由點差法可知，OP平分4B，如圖“是中點.

Q句0出

【結論5】設P為蒙日圓O：〃+g2=稼+〃上任一點，過點p作橢圓%+%=l（a>5>0）的兩條切線，交

azbz

蒙日圓O于兩點。。,則。P,CD的斜率乘積為定值kOP-kCD=-^~.

a

【結論6】設P為蒙日圓，2+靖=&2+〃上任一點，過點p作橢圓《+m=1（&>6>0）的兩條切線，切點

出bz

分別為ABO為原點,則OAQB的斜率乘積為定值：kOP-%CD=—4.

a4

【結論7】設P為蒙日圓/+靖=/+〃上任一點，過點p作橢圓/+￡_=i（a>b>0）的兩條切線，切點

Wb

分別為ABO為原點,則SQAOB的最大值為半，SXAOB的最小值為-

【結論8】設P為蒙日圓/+靖=口2+〃上任一點,過點p作橢圓與+￡=i（a>fc>0）的兩條切線，切點

分別為AB,則S4ApB的最大值為*7，S“PB的最小值為-

a'+ba'+b

二、題型精講精練

題1設A,B是平面上兩點,則滿足端=M其中％為常數，%片0且%W1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌

跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓，已知4（碗,0）,B（粵,0）,且看

=V2.

（1）求點P所在圓/■的方程.

（2）已知圓。:0+2）2+（夕―2）2=5與c軸交于C,D兩點（點。在點D的左邊），斜率不為0的直線I過點

D且與圓“交于兩點,證明：/ECD=/FCD.

網］2己知橢圓+冬=l（O>6>0）的一個焦點為（病,0）,離心率為乎.

azbzJ

（1）求橢圓。的標準方程；

（〃）若動點P（曲，如）為橢圓外一點，且點P到橢圓。的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

???

【題型訓練-刷模擬】

1.阿波羅尼斯圓

一、單

1.我們都知道:平面內到兩定點距離之比等于定值(不為1)的動點軌跡為圓.后來該軌跡被人們稱為阿波羅

尼斯圓.已知平面內有兩點人(一1,0)和B(2,l),且該平面內的點P滿足E4|=2|PB|,若點P的軌跡關

于直線mx+ng—2=0(m,n>0)對稱，則—+—的最小值是()

mn

A.10B.20C.30D.40

2.古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆

盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內與兩定點距離的比為常數k(k>0且kW

1)的點的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現有橢圓+岑=1(。>b>0),AB為橢圓T長軸

的端點，為橢圓T短軸的端點，分別為橢圓T的左右焦點，動點河滿足野斗=2,AMAB面積

\MF\

的最大值為4碗,△MGD面積的最小值為方,則橢圓T的離心率為()

A乎B.乎C.空D.乎

3.阿波羅尼斯是古希臘著名的數學家，對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之

一，指的是：已知動點”與兩定點的距離之比藍^=4(4>0,4/1),那么點”的軌跡就是阿波羅尼

斯圓.已知動點河的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為"+婿=1,定點Q為2軸上一點，p(—0)且4=

2,若點則2|W|+|MB|的最小值為()

A.V6B.V7C.VioD.Vii

4,阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數學三巨匠，他研究發(fā)現:如

果一個動點P到兩個定點的距離之比為常數4僅>0且4A1),那么點P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅

尼斯圓.若點P到4(2,0),6(—2,0)的距離比為V3，則點P到直線Z：2V2rc-y-V2=0的距離的最大值

是()

A.3V2+2V3B.2+2V3C.473D.673

5.數學家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數4(4>0且4/1)的點的軌跡是

圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，力(-2,0),動點“滿足

\MA\=21Moi，得到動點河的軌跡是阿氏圓C.若對任意實數％，直線l-.y=k(x-l)+b與圓。恒有公共

點，則b的取值范圍是()

A.卜乎乎]B.[-＜,＜]

6,阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)

現:平面內到兩個定點AB的距離之比為定值4僅＞0,且4片1)的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯

圓”.在平面直角坐標系工。沙中，4(—2,0),8(4,0),點P滿足篙=；.設點P的軌跡為曲線。，則下列

說法錯誤的是()

A.。的方程為(c+4)2+靖=16B.當4BP三點不共線時，則/4?。=48尸。

C.在。上存在點朋■，使得|MO|=2|AM|D.若。(2,2),則|PB|+2|PD|的最小值為4，^

7.已知平面上兩定點A,則所有滿足段=4僅＞0且4/1)的點P的軌跡是一個圓心在直線上，半

徑為-A7的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故稱作阿氏圓.已知動點P在棱

1一心

長為6的正方體ABCD—4BQQ1的一個側面ABB.A,上運動，且滿足|B4|=2\PB\，則點P的軌跡長度

為()

A.等B.萼C.V37TD.泮^

OO/

8.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得阿基米德齊名，他發(fā)現:平面內到兩個定點的距離之比為

定值4(4＞。且;1W1)的點的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏

圓.已知在平面直角坐標系xOy中，4(—1,0),8(2,0),點P滿足喻=],設點p的軌跡為曲線。，下列

結論正確的是()

A.曲線。的方程為(2+2)2+量=4

B.曲線。與圓。:砂+(?/一2)2=4外切

C.曲線。被直線Z：c+?/=0截得的弦長為

D.曲線。上恰有三個點到直線m：x+V3y=0的距離為1

9.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現:“平面內到兩個定點A,B的距離之比

為定值4(421)的點的軌跡是圓.”后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.

在平面直角坐標系2。沙中，A(l,0),B⑶0),點P滿足M=0點P的軌跡為曲線。，下列結論正確的

是()

A.曲線。的方程為d+靖―102+]_7=0B.直線32+4沙=0與曲線。有公共點

C.曲線。被c軸截得的弦長為D.44BP面積的最大值為

10.古希臘著名數學家阿波羅尼斯發(fā)現:平面內到兩個定點的距離之比為定值的點的軌跡是圓,

此圓被稱為‘'阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標系多。沙中，4(—2,0),口(4,0),點P滿足%=；.設點

P的軌跡為。，則().

A.軌跡C的方程為(力+4丫+靖=9

B.在①軸上存在異于的兩點。，E,使得儡

C.當三點不共線時，射線PO是/APB的角平分線

D.在。上存在點“，使得|MO|=2|AM|

U.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時期數學三巨匠,阿波羅尼斯發(fā)

現:平面內到兩個定點A,B的距離之比為定值4僅>0,且4W1)的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼

斯圓”.在平面直角坐標系以為中，4(—2,0),B(4,0),點P滿足磊=].設點P的軌跡為曲線。，則下

列說法正確的是()

A.。的方程為(%+4)2+靖=16B.當三點不共線時，則/APO=/BP。

C.在。上存在點河，使得|MO|=2|M4|D.若。(2,2),則|PB|+2|PD|的最小值為4A后

三、填空題

12.阿波羅尼斯(約前262-前190年)證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數磔k>0水/1)的

點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點0(0,0),4(3,0),動點P滿足胃=

看,則點P的軌跡方程是.

13.阿波羅尼斯證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿

波羅尼斯圓.若平面內兩定點間的距離為3,動點P滿足裔=2,則方?屈的范圍為.

14.阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人

沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內與兩定點距離的比為常數用(k>0且用手1?)的點M的軌跡是

圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現有△48。,BC=6,sinB=ysinC,,當4ABC的面積最大時,則AC的長

為.

15.希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現:“平面內到兩個定點的距離之比為

定值〃4片1)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已

知在平面直角坐標系以加中，4(—3,1),B(—3,6),點P是滿足4=乎的阿氏圓上的任一點，若拋物線沙=

O

的焦點為F,過點F的直線與此阿氏圓相交所得的最長弦與最短弦的和為

16.已知平面上兩定點A、B,則所有滿足魯=4(4>0且4片1)的點P的軌跡是一個圓心在直線上，半

徑為工7的圓.這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現，故稱作阿氏圓.已知棱長為3

1—

的正方體ABCD-AiBQQi表面上動點P滿足|_B4|=2\PB\，則點P的軌跡長度為.

四、解答題

17.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得阿基米德齊名，他發(fā)現:“平面內到兩個定點A,B的距離之比為

定值4僅>0且4片1)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿

氏圓.在平面直角坐標系xOy中，4—2,0),B(4,0),動點P滿足舄~=卷.設點P的軌跡為G.

(1)求曲線G的方程；

(2)若曲線G和O。2：(2-4)2+(夕—6)2=r2(r>0)無公共點,求r的取值范圍.

18.平面上兩點A、口,則所有滿足器=%且k不等于1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數

學家阿波羅尼斯發(fā)現，故稱阿氏圓.已知圓G上的動點P滿足：=2（其中。為坐標原點，A點的坐標

為?3）.

⑴直線力：沙=2上任取一點Q,作圓G的切線，切點分別為M,N,求四邊形QMGN面積的最小值；

（2）在（1）的條件下，證明:直線恒過一定點并寫出該定點坐標.

???

19.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中.阿波羅尼斯

_\MQ\

圓是他的研究成果之一，指的是已知動點M■與兩定點Q,P的距禺之比q——p=auxjHwi),/)是一個

\MP\

常數，那么動點河的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其

方程為"+靖=4,定點分別為橢圓C：(+4=i(a>b>0)的右焦點F與右頂點且橢圓。的離心率

azbz

(1)求橢圓。的標準方程；

⑵如圖，過右焦點F斜率為fc(fc>0)的直線I與橢圓。相交于B,。(點B在立軸上方)，點S,T是橢圓C

上異于D的兩點，SF平分/BSD,TF平分ABTD.

BS

①求^|一的|取值范圍；

回I

②將點S、F、T看作一個阿波羅尼斯圓上的三點，若&SFT外接圓的面積為等，求直線，的方程.

O

???

2.蒙日圓

一、單

1.加斯帕爾?蒙日（圖1）是18-19世紀法國著名的幾何學家,他在研究圓錐曲線時發(fā)現:橢圓的任意兩條互相

垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）.則橢圓。卷

5

+號=1的蒙日圓的半徑為（）

D.6

2.畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現:橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平

方等于長半軸短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓專+2=1的蒙日圓為，2+靖=

6b2

10,則該橢圓的離心率為（）

A.烏B.；C.4D.等

3.法國數學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現與橢圓相切的兩條互相垂直的

切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓,這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓：4+￡=l（a

>b>o）的蒙日圓為。："+靖=92,則橢圓「的離心率為（）

O

A察B.乎C.暇D.乎

2233

4.定義:圓錐曲線+4=1的兩條相互垂直的切線的交點Q的軌跡是以坐標原點為圓心，歷取為

azb

半徑的圓,這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓。的方程為彳=LP是直線Z:，+2g—3=0上的一點，過

點P作橢圓。的兩條切線與橢圓相切于N兩點，。是坐標原點，連接OP,當尸N為直角時，則kOP

=（）

A.—■或言B.■或0C.—|■或^■D.—^或。

435553

5.畫法幾何的創(chuàng)始人--法國數學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現:過橢圓外一點作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么

這一點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓。的蒙日

圓為圓G，若圓G不透明，則一束光線從點4（—4,3）出發(fā)，經，軸反射到圓G上的最大路程是（）

6.已知橢圓。:之+《=l（a>6>0）的左、右焦點分別為小理,離心率為咯,其蒙日圓方程為"+靖=

ab25

a2+b2,M為蒙日圓上的一個動點，過點刊作橢圓C的兩條切線，與蒙日圓分別交于P,Q兩點，若AMPQ

面積的最大值為36,則橢圓。的長軸長為（）

A.2V5B.4V5C.2V3D.4V3

7.加斯帕爾一蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家.如圖,他在研究圓錐曲線時發(fā)現:橢圓的任意兩條互相

垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心,這個圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四邊均

與橢圓M：4+學=1相切，則下列說法錯誤的是（）

64

A.橢圓河的離心率為今B.橢圓的蒙日圓方程為"+夕2=10

O

C.若G為正方形，則G的邊長為2西D.長方形G的面積的最大值為18

8.研究發(fā)現橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上,這個圓叫做橢圓的蒙日圓.設橢圓。

的焦點為E，E，P為橢圓。上的任意一點，R為橢圓。的蒙日圓的半徑.若西?麗的最小值為占房，

則橢圓。的離心率為（）

A.yB.岑C.yD.亨

9.法國數學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現與橢圓相切的兩條互相垂直的

切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓「：4+g=

a2b2

l（a>b>0）的蒙日圓為ad+靖=a&2,過。上的動點刊作「的兩條切線，分別與。交于兩點，直

線PQ交「于兩點，則下列結論不正確的是（）

A.橢圓「的離心率為

3

B.AA7PQ面積的最大值為熹2

O

c.。到:r的左焦點的距離的最小值為（281五）。

D.若動點。在「上,將直線DA,DB的斜率分別記為阮，％2，則品自=—4

10.加斯帕爾?蒙日（如圖甲）是18-19世紀法國著名的幾何學家,他在研究圓錐曲線時發(fā)現:橢圓的任意兩條互

相垂直的切線的交點都在同一個圓上,其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖乙）.已知長方形

C.橢圓。的蒙日圓方程為"+峭=9D.長方形V的面積最大值為18

U.法國數學家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現與橢圓相切的兩條互相垂直

的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓!=

azbz

l（a>b>0）的蒙日圓為。:a;2+y2=1_a2,過。上的動點初作「的兩條切線,分別與。交于P,Q兩點，直

線PQ交「于兩點，則（）

A.橢圓「的離心率為空

B.ZWFQ面積的最大值為

C."■到「的左焦點的距離的最小值為（2—2）a

D.若動點。在「上,將直線DA,DB的斜率分別記為品，心，則fcifc2=-y

12.在橢圓C*+%=l（a>6>0）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓r：x2+y2=a2+b2±.,稱此圓為該

橢圓的蒙日圓.該圓由法國數學家G.A7bnge(1745—1818)最新發(fā)現.若橢圓+靖=1,則下列說法中

正確的有()

A.橢圓。外切矩形面積的最大值為4A歷

B.點P(a:,y)為蒙日圓「上任意一點,點M(-2A/3,0),2V(2V3,0),當/PAW最大值時tan4PMN=2+

V3

C.過橢圓。的蒙日圓上一點P,作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于點Q,若％OP#OQ存在，則為定

值一4

D.若橢圓。的左右焦點分別為瓦易過橢圓。上一點P和原點作直線I與蒙日圓相交于昭N,且P公

PF2=^,^APM-PN=^

13.畫法幾何的創(chuàng)始人--法國數學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現:與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢

圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C：苧+靖=1后,另分別為橢圓的

左、右焦點，直線I的方程為，+四y一3=0,河為橢圓。的蒙日圓上一動點，AM,皿5分別與橢圓相切于

AB兩點，。為坐標原點，下列說法正確的是()

A.橢圓。的蒙日圓方程為"+婿=3

B.記點A到直線I的距離為d,則d-|A￡|的最小值為早

C.一矩形四條邊與橢圓。相切，則此矩形面積最大值為6

D.ZVIOB的面積的最小值為。，最大值為警

O/

三、填空題

14.法國數學家蒙日(Monge,1746—1818)發(fā)現:橢圓「:4+^7=l(a>5>0)的兩條互相垂直切線的交點

a'bz

P的軌跡方程為：/+婿=/+〃,這個圓被稱為蒙日圓.若某橢圓m+必=I(Q>1)對應的蒙日圓方程

az

為力2+婿=5,則°=.

15.若橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓中心，則稱這個圓為蒙日

圓.若橢圓C：4+￥=1(，>4)的蒙日圓的半徑為2通,則橢圓C的離心率為

W4

16.“蒙日圓”涉及幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為:橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點都在同

???

一個圓上,它的圓心是橢圓中心，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓c：,+,=19>0）的蒙日

a+1a

圓方程為"+婿=7,則橢圓。的離心率為.

17.畫法幾何的創(chuàng)始人--法國數學家加斯帕爾?蒙日發(fā)現:與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢

圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓C:1+4=l（a>b>0）的蒙日

圓方程為爐+靖=<^+〃,橢圓。的離心率為卓，M為蒙日圓上一個動點，過點M作橢圓C的兩條切線,

與蒙日圓分別交于P、Q兩點，則面積的最大值為.（用含b的代數式表示）

四、解答題

18.法國數學家加斯帕爾?蒙日被譽為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時發(fā)現了一個有趣的重要結論:一

橢圓的任兩條互相垂直的切線交點的軌跡是一個圓,尊稱為蒙日圓,且蒙日圓的圓心是該橢圓的中心,半徑

為該橢圓的長半軸與短半軸平方和的算術平方根.已知在橢圓+4=l（a>b>0）中,離心率e=

寺，左、右焦點分別是回、號上頂點為Q,且|Q￡|=2,O為坐標原點.

（1）求橢圓。的方程，并請直接寫出橢圓。的蒙日圓的方程；

（2）設P是橢圓。外一動點（不在坐標軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作，軸的垂線，垂足H,若兩

切線斜率都存在且斜率之積為-十，求中?！娣e的最大值.

19.在橢圓C：《+m=l（a>b>0）中,其所有外切矩形的頂點在一個定圓「：/+靖=a?+呼上，稱此圓為

a2bz

橢圓的蒙日圓.橢圓C過P（L空），Q（—粵

⑴求橢圓。的方程；

（2）過橢圓。的蒙日圓上一點/■，作橢圓的一條切線,與蒙日圓交于另一點N,若％0兇，%.存在，證明：名”

"ON為定值.

???

阿波羅尼斯圓和蒙日圓的問題

一、知識點梳理

一、阿波羅尼斯圓

1,阿波羅尼斯圓的定義

在平面上給定兩點AB,設P點在同一平面上且滿足撰=人當4>0且入時，P點的軌跡是個圓,稱

riD

之為阿波羅尼斯圓.(4=1時P點的軌跡是線段AB的中垂線)

2.阿波羅尼斯圓的證明

設P(2,g),Ai(—a,0),B(a,0).若=4(4>0且4W1),則點P的軌跡方程是(x—+1a}+y2—

(等L其軌跡是以(燮la,o)為圓心，半徑為「=鬻匹的圓.

v/l—17v/I-17/I2—1

證明：由Q4=zlPB及兩點間距離公式，可得(c+a)?+必=#[(2—a?+媛],

化簡可得(1—淤)爐+(1一矛)靖+2(1+*)如+(l—#)a2=0①,

(1)當;I=1時，得。=0,此時動點的軌跡是線段AB的垂直平分線;

(2)當N片1時,方程①兩邊都除以1—萬得d+爐+2a(W+a?=0,化為標準形式即為:

1—矛

2Q/1的圓.

V—7^1

圖③

【定理】A,B為兩已知點，分別為線段AB的定比為4僅a1)的內外分點，則以的V為直徑的圓。上任

意點P到AB兩點的距離之比為九

證明：以；1>1為例.如圖②，設AB=2a,笑=慈=九則力M=^g,BM=2a—普勺=3，

Mk>Nb1+/l1-F/il+/i

AN=^-,BN=孕*-2a=普~.過B作AB的垂線圓C交于Q,R兩點，由相交弦定理及勾股定理

得QB，=MB?BN=粵乙”=AB?+QB2=,于是QB^,QA=,：.察=工

矛—1/l2-lV/l2-lV/l2-lQB

同時在到兩點距離之比等于4的圓上，而不共線的三點所確定的圓是唯一的，

圓。上任意一點P到AB兩點的距離之比恒為人同理可證0<4V1的情形.

3.阿波羅尼斯19的相關結論

【結論1】當4>1時，點口在圓。內，點A在圓C外;當0V4VI時，點A在圓。內，點B在圓。外.

【結論2】因=AN,故AQ是圓。的一條切線.若已知圓。及圓。外一點A,可以作出與之對應

的點B,反之亦然.

【結論3】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為面積為妻吟.

1|（不—Ip

【結論4】過點A作圓。的切線AQ（Q為切點）,則QM,QN分別為AAQB的內、外角平分線.

【結論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內分AB和外分AB所得的兩個分點，如圖所示，河是的內

分點，N是AB的外分點，此時必有■平分ZAPB,PN平分NAPB的外角.

證明：如圖①,由已知可得篇=黯=第=小>°且"1）'.?.普=制=九又

PMsinZAPM,S,PBM=^PB-PMsinABPM,；.靠徐黑懿=九

sin/ARW=sin/BPM,；.4ApM=ABPM,：.PAI平分AAPB.由等角的余角相等可得4BPN=

ADPN,：.PN平分NAPB的外角.

【結詒6】過點B作圓。不與QR重合的弦EF,則平分ZEAF.

證明:如圖③，連結,由已知窗=韶=4,.?.鏢=魯?：言迺=第（4>0且壯1）,又