2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合（含答案）

2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

1.了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理

及其意義.在近幾年的高考中，排列與組合考查的頻率

2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原較高，常以社會(huì)熱點(diǎn)問題為背景，考查考生

理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.利用排列組合知識(shí)解決問題的能力.預(yù)計(jì)

3.理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推2025年高考將會(huì)以小題形式單獨(dú)考查排列與

導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.組合的應(yīng)用問題或與統(tǒng)計(jì)概率綜合命題.

4.能利用排列組合解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

(1)分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不

同的方法，那么完成這件事共有雙=畫〃?+"種不同的方法.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有機(jī)種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么

完成這件事共有N=^^x〃種不同的方法.

2.排列與組合

(1)排列與組合的概念

名稱定義

并按照畫一定的順序排成一列,叫做從

排列

從n個(gè)不同元素中取出n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列

加(mW九)個(gè)元素作為一組，叫做從〃個(gè)不同元素中取出"Z

組合

個(gè)元素的一個(gè)組合

(2)排列數(shù)與組合數(shù)

①?gòu)膎個(gè)不同元素中取出皿。W0個(gè)元素的所有畫不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素

中取出根個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)畫繼表示.

②從n個(gè)不同元素中取出皿mW")個(gè)元素的所有畫不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素

中取出機(jī)個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)畫甥表示.

(3)排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)

⑴A7—1。8|〃(小1)(〃濟(jì)+1)—z_■、］.

\YIfn/?

mn(n-1)(九一2)...(n—m+1)

⑷n\Jr=-AM-=---------------m-l----------------

公式

—109|(?x.(n,m€N,且MW九).

m!(〃一加！

特別地c°=i

(1)0!=?J_；A^=DT|〃!.

性質(zhì)

(2)c?=crm；cr=Mc酊+c籍i

常用

1.排列數(shù)、組合數(shù)常用公式

(l)A；r=(n-/77+l)A?-1.

⑵A/=wA憶！I

(3)(〃+1)!—n!=〃?"！.

(4)H%=“CQ.

十l?八—i十...十。機(jī)+1十。根—?！?1.

2.解決排列與組合問題的四大原則

(1)特殊優(yōu)先原則：如果問題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置.

(2)先取后排原則：在既有取出又需要對(duì)取出的元素進(jìn)行排列時(shí)，要先取后排，即完整地把需

要排列的元素取出后，再進(jìn)行排列.

(3)正難則反原則：當(dāng)直接求解困難時(shí)，采用間接法解決問題.

(4)先分組后分配原則：在分配問題中如果被分配的元素多于位置，這時(shí)要先進(jìn)行分組，再進(jìn)

行分配.

診斷自測(cè)

1.概念辨析(正確的打“Y”，錯(cuò)誤的打“X”)

(D在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()

(2)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件

事.()

(3)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.()

(4)若組合數(shù)公式C；,=C%則成立.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)x

2.小題熱身

(1)某同學(xué)逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購(gòu)買方案有()

A.3種B.6種

C.7種D.9種

答案C

解析買一本，有3種方案；買兩本，有3種方案；買三本，有1種方案.因此共有3+3+

1=7種方案.

(2)(人教A選擇性必修第三冊(cè)習(xí)題6.2T4(2)改編)現(xiàn)從6名學(xué)生干部中選出3名同學(xué)分別參加

全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個(gè)夏令營(yíng)活動(dòng)，則不同的選派方案的種數(shù)是()

A.20B.90

C.120D.240

答案C

解析共有Ag=120種不同的選派方案.

(3)(人教A選擇性必修第三冊(cè)習(xí)題6.1T8(2)改編)3個(gè)班分別從5處風(fēng)景點(diǎn)中選擇一處游覽，

不同的選法有種.

答案125

解析因?yàn)榈?個(gè)班有5種選法，第2個(gè)班有5種選法，第3個(gè)班有5種選法，所以由分步

乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的選法有5x5x5=125種.

(4)(人教A選擇性必修第三冊(cè)習(xí)題6.2T13改編)某醫(yī)院計(jì)劃從3名醫(yī)生和4名護(hù)士中任選3

人去外地培訓(xùn)，則至少有1名醫(yī)生被選中的選法共有種.

答案31

解析至少有1名醫(yī)生被選中的選法共有C3—Cl=31種.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

例1⑴若機(jī)，n€N,m>0,n>0,且MI+〃W8,則平面上的點(diǎn)(加，")共有()

A.21個(gè)B.20個(gè)

C.28個(gè)D.30個(gè)

答案C

解析根據(jù)題意，加可取的值為1,2,3,4,5,6,7,當(dāng)機(jī)=1時(shí)，”可取的值為1,2,3,

4,5,6,7,共7種；當(dāng)機(jī)=2時(shí)，〃可取的值為1,2,3,4,5,6,共6種；當(dāng),"=3時(shí)，

〃可取的值為1,2,3,4,5,共5種；當(dāng)機(jī)=4時(shí)，〃可取的值為1,2,3,4,共4種；當(dāng)

相=5時(shí)，/可取的值為1,2,3,共3種；當(dāng)m=6時(shí)，w可取的值為1,2,共2種；當(dāng)初

=7時(shí)，”可取的值為1,共1種.則平面上的點(diǎn)(“Z,”)共有1+2+3+4+5+6+7=28個(gè).

(2)有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有

種不同的報(bào)名方法.

答案120

解析因?yàn)槊宽?xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選

法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有6x5x4

=120種不同的報(bào)名方法.

(3)用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作

答).

答案420

解析要完成的"一件事''為"組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)“，所以千位數(shù)字不能為0,個(gè)位數(shù)

字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個(gè)數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步.

第一類，當(dāng)千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1,3,5中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可取0,2,4,6中的

任意一個(gè)，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重復(fù)的

數(shù)字.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3x4x5x4=240種取法；

第二類，當(dāng)千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2,4,6中的任意一個(gè)時(shí)，個(gè)位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的

任意一個(gè)偶數(shù)，百位數(shù)字不能取與這兩個(gè)數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個(gè)數(shù)字重

復(fù)的數(shù)字.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有3x3x5x4=180種取法.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共可以組成240+180=420個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).

(4)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成??個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方

體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”共有個(gè).

答案36

解析在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成6x4=24個(gè)“正交線

面對(duì)”；而正方體的六個(gè)對(duì)角面中，每個(gè)對(duì)角面有兩條面對(duì)角線與之垂直，共構(gòu)成6x2=12

個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有24+12=36個(gè)“正交線面對(duì)”.

(5)如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖

上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色

方案共有種.

陜西'

湖北「安徽

湖南江西

答案720

解析解法一：依題意，分五步進(jìn)行.第一步，涂湖北有5種方法；第二步，涂江西有4種

方法；第三步，涂安徽有3種方法；第四步，涂湖南有3種方法；第五步，涂陜西有4種方

法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方案共有5x4x3x3x4=720種.

解法二：依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：若安徽與陜西涂同色，先涂

陜西有5種方法，再涂湖北有4種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有3種方法，最后涂湖

南有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂色方案有5x4x1x3x3=180種；若安徽與

陜西涂不同色，先涂陜西有5種方法，再涂湖北有4種方法，涂安徽有3種方法，涂江西、

湖南也各有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂色方案有5x4x3x3x3=540種.所

以由分類加法計(jì)數(shù)原理得，不同的涂色方案共有180+540=720種.

【通性通法】

利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路

⑴弄清完成一件事是做什么；

⑵確定是先分類后分步，還是先分步后分類；

(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么；

(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.

【鞏固遷移】

I設(shè)/={1,2,3,4},A與2是/的子集，若A"B={1,2},則稱(A,2)為一個(gè)“理想配集”.若

將(A,B)與(B,A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有個(gè).

答案9

解析對(duì)子集A分類討論：當(dāng)A是二元集{1,2}時(shí)，B可以為{1,2,3,4},{1,2,4},{1,

2,3},{1,2],共4種情況；當(dāng)A是三元集{1,2,3}時(shí)，8可以為{1,2,4},{1,2},共

2種情況；當(dāng)A是三元集{1,2,4}時(shí)，8可以為{1,2,3},{1,2},共2種情況；當(dāng)A是

四元集{1,2,3,4}時(shí)，8取{1,2},有1種情況.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有4+2+2

+1=9種結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個(gè).

2.如果一個(gè)三位正整數(shù)形如2a3”滿足且a2>a3,則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120)

343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為.

答案240

解析若。2=2,則百位數(shù)字只能選1,個(gè)位數(shù)字可選1或0,凸數(shù)為120與121,共2個(gè)；

若6=3,則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則凸數(shù)有2x3=6個(gè)；若02=4,

滿足條件的凸數(shù)有3x4=12個(gè)；…；若的=9,滿足條件的凸數(shù)有8義9=72個(gè).所以所有凸

數(shù)的個(gè)數(shù)為2+6+12+20+30+42+56+72=240.

3.現(xiàn)要將5種不同的花卉種植在如圖所示的5個(gè)區(qū)域上，要求相鄰的區(qū)域不能種植同一種花

卉，則不同的種植方法有種.

52

答案420

解析由題意，可以種植相同花卉的區(qū)域?yàn)?,4和3,5.若都不相同，則有5x4x3x2x1=120

種；若只有2,4相同,則有5x4x3x2=120種；若只有3,5相同，則有5x4x3x2=120種;

若2,4與3,5分別相同，則有5x4x3=60種.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有120+120+120

+60=420種不同的種植方法.

考點(diǎn)二排列問題

例2(1)中國(guó)國(guó)家滑雪隊(duì)將開展自由式滑雪項(xiàng)目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型

場(chǎng)地技巧四個(gè)項(xiàng)目表演，現(xiàn)安排兩名男隊(duì)員和兩名女隊(duì)員組隊(duì)參演，參演選手每人展示其中

一個(gè)不同的項(xiàng)目，雪上技巧項(xiàng)目必須由女隊(duì)員展示，則所有不同出場(chǎng)順序與項(xiàng)目展示方案種

數(shù)為()

A.576B.288

C.144D.48

答案B

解析根據(jù)題意，雪上技巧項(xiàng)目必須由女隊(duì)員展示，有2種情況，剩下3人表演其他3個(gè)項(xiàng)

目，有A?=6種情況，而4個(gè)項(xiàng)目之間的排法有A才=24種順序，則有2x6x24=288種展示

方案.

(2)用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且不大于4310的四位偶

數(shù).

答案110

解析①當(dāng)千位上排1或3時(shí)，符合題意的數(shù)共有A3A4A2個(gè)；②當(dāng)千位上排2時(shí)，符合題意

的數(shù)共有A/AZ個(gè)；③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40XX,42XX的偶數(shù)各有AJ個(gè)符合題意，形如41xx

的偶數(shù)有AJA』個(gè)符合題意，形如43xx的偶數(shù)只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)符合題意.故共有

AlAUHA1AH2A3+A3A3+2=110個(gè)數(shù)符合題意.

【通性通法】

求解排列問題的四種常用方法

【鞏固遷移】

4.從3,5,7,11這四個(gè)質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)，分別記為a,b,則共可得到左的

不同值的個(gè)數(shù)為()

A.6B.8

C.12D.16

答案C

解析號(hào)的值的個(gè)數(shù)即為從3,5,7,H這四個(gè)數(shù)中任選2個(gè)數(shù)的排列數(shù)，即A?=4x3=12.

考點(diǎn)三組合問題

例3某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取

3種.

(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？

(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？

(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

解(1)從余下的34種商品中選取2種有C%=561種，所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同的取

法有561種.

⑵從34種可選商品中選取3種有色4=5984種，所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同的取法有

5984種.

⑶從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種，

有C%C25=2100種，

所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.

(4)選取2種假貨有口品種,選取3種假貨有C：5種，

共有CloC?5+C?5=2100+455=2555種，

所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.

（5）從35種商品中選取3種有C*種,選取3種假貨有C：5種，因此共有C?5一昂=6545—455

=6090種.

所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.

【通性通法】

組合問題常有以下兩類題型

⑴“含有''或"不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先

將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.

（2）“至少”或“至多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮

逆向思維，用間接法處理.

【鞏固遷移】

5.（2023?新課標(biāo)I卷）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8

門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有

種（用數(shù)字作答）.

答案64

解析由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1門，有種方

案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2門，有C3C?種方案；第

三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1門，有c3a種方案.綜上，不

同的選課方案共有C\C\+C\d+ClC\=64種.

考點(diǎn)四排列、組合問題的綜合應(yīng)用（多考向探究）

考向1相鄰、不相鄰問題

例4某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國(guó)二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“驚蟄”“雨水”“春分”“清明”“谷

雨”六張知識(shí)展板分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且

“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為（）

A.24B.48

C.144D.244

答案C

解析根據(jù)題意，先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起‘解‘雨水”“谷雨”排列,有4個(gè)

空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，所以不同的放置方式有A3A執(zhí)?=144種.

【通性通法】

相鄰與不相鄰問題的解決方法

⑴“相鄰”問題：元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元

素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列.

（2）“不相鄰”問題：元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全

排列，然后在“普通''元素之間及兩端插入不相鄰元素.

【鞏固遷移】

6.三對(duì)夫妻站成一排照相，則僅有一對(duì)夫妻相鄰的站法總數(shù)是（）

A.72B.144

C.240D.288

答案D

解析首先，選一對(duì)夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素4這對(duì)夫妻有2種排法,

故有C3A3=6種排法，則現(xiàn)在共有5個(gè)位置，若這對(duì)夫妻在左數(shù)第一個(gè)位置，共有C3A3A3=

8種情況，若這對(duì)夫妻在左數(shù)第二個(gè)位置，則共有口。=8種情況，若這對(duì)夫妻在中間位置

共有GQA3A5=16種情況，左數(shù)第四個(gè)和第二個(gè)情況一樣，第五個(gè)和第一個(gè)情況一樣，所

以三對(duì)夫妻站成一排照相，則僅有一對(duì)夫妻相鄰的站法有6x（2x8+2x8+16）=288種.故選

D.

考向2特殊元素（位置）問題

例5（2022?新高考II卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站

在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（）

A.12種B.24種

C.36種D.48種

答案B

解析因?yàn)楸?、丁要在一起，先把丙、丁捆綁，看作一個(gè)元素，連同乙、戊看成三個(gè)元素排

列，有A?種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一

個(gè)位置插入，有2種插入方式；注意到丙、丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排

這5名同學(xué)共有A^x2><2=24種不同的排列方式.故選B.

【通性通法】

解決特殊元素、特殊位置問題的原則與方法

⑴原則：解“在''與"不在''的有限制條件的排列問題時(shí)，可以從元素入手也可以從位置入手,

原則是誰(shuí)特殊誰(shuí)優(yōu)先.

⑵方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置

入手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置.

【鞏固遷移】

7.從10種不同的作物種子中選出6種放入6個(gè)不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不

能放入第1號(hào)瓶?jī)?nèi)，那么不同的放法種數(shù)為（）

A.C?oAgB.C|A§

C.cmD.C同

答案c

解析先排第1號(hào)瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種，有C&種選法，再排

剩余的瓶子，有種方法，故不同的放法共有C&A8種.故選C.

考向3分組、分配問題

例6（多選）有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行分配，其中分配種數(shù)正確的是（）

A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有90種分配方法

B.分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，有90種分配方法

C.分給甲、乙每人各2本，分給丙、丁每人各1本，有180種分配方法

D.分給甲、乙、丙、丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分配方法

答案ABC

解析對(duì)于A,先從6本書中分給甲2本，有CW種方法；再?gòu)钠溆嗟?本書中分給乙2本，

有C3種方法；最后的2本書給丙，有C芬中方法，所以不同的分配方法有CVC2G=9O種，A

正確；對(duì)于B,先把6本書分成3堆：4本、1本、1本，有C,種方法；再分給甲、乙、丙三

人，所以不同的分配方法有C4A?=9O種，B正確；對(duì)于C,6本不同的書先分給甲、乙每人

各2本，有C支土種方法；其余2本分給丙、丁，有A3種方法，所以不同的分配方法有Cr%A當(dāng)

=180種，C正確；對(duì)于D,先把6本不同的書分成4堆：2本、2本、1本、1本，有籌?第

種方法；再分給甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有等?粵-A1=1080種，D錯(cuò)

誤.

【通性通法】

解決分組分配問題的策略

（1）對(duì)于不等分問題，首先要對(duì)分配數(shù)量的可能情形進(jìn)行一一列舉，然后再對(duì)每一種情形分類

考慮.在每一類的計(jì)數(shù)中，又要考慮是分步乘法計(jì)數(shù)還是分類加法計(jì)數(shù)，是排列問題還是組

合問題.

⑵對(duì)于整體均分，分組后一定要除以A［（w為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù).

（3）對(duì)于部分均分，若有機(jī)組元素個(gè)數(shù)相等，則分組時(shí)應(yīng)除以相！.

【鞏固遷移】

8.（2024?岳陽(yáng)模擬）中國(guó)書法歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體，不斷

地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開漢字，漢

字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨(dú)特

的藝術(shù)，我國(guó)書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國(guó)”字為例，現(xiàn)有5

張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同的分

法種數(shù)為（）

勵(lì)國(guó)國(guó)因6

A.60B.90

C.120D.150

答案D

解析滿足條件的分法可分為兩類：第一類，一人三張，另兩人各一張，符合條件的分法有

色A?種，即60種；第二類，其中一人一張，另兩人各兩張，符合條件的分法有籌種，

即90種.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的不同分法種數(shù)為60+90=150.

9.數(shù)學(xué)活動(dòng)小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個(gè)不同課題,

且每組只研究一個(gè)課題，并要求每組選出1名組長(zhǎng)，則不同的分配方案有（）

A."區(qū)才種B.62必廢34種

（2.罔風(fēng)3種D.色2色霓43種

答案B

解析解法一：首先將12名同學(xué)平均分成四組，有望建種分法，然后將這四組同學(xué)分配

到四個(gè)不同的課題組，有A才種分法，并在各組中選出1名組長(zhǎng)，有34種選法.根據(jù)分步乘

4

法計(jì)數(shù)原理，滿足條件的不同分配方案有蟹重?A$34=a2CM3種.

解法二：根據(jù)題意可知，第一組分3名同學(xué)有C%種分法，第二組分3名同學(xué)有Cg種分法，

第三組分3名同學(xué)有C湃中分法，第四組分3名同學(xué)有CW種分法.第一組選1名組長(zhǎng)有3種

選法，第二組選1名組長(zhǎng)有3種選法，第三組選1名組長(zhǎng)有3種選法，第四組選1名組長(zhǎng)有

3種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，滿足條件的不同分配方案有C%C§C2G34=G2C3C234

種.

課時(shí)作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固續(xù)

一、單項(xiàng)選擇題

1.一個(gè)火車站有8股岔道，每股岔道只能停放1列火車，現(xiàn)需停放4列不同的火車，則不同

的停放方法共有（）

A.84種B.48種

C.Cg種D.A?種

答案D

解析因?yàn)橐粋€(gè)火車站有8股岔道，每股忿道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，

所以有A?種不同的停放方法.

2.（2023?全國(guó)乙卷）甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀

物中恰有1種相同的選法共有（）

A.30種B.60種

C.120種D.240種

答案C

解析首先確定相同的讀物，共有eg種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的

5種讀物中選出2種進(jìn)行排列，共有Ag種情況，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有C1A1=12O

種選法.故選C.

3.（2023?安徽省五校聯(lián)盟質(zhì)檢）某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2

人到會(huì)，其余5家企業(yè)各有1人到會(huì)，會(huì)上任選3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)

的可能情況的種數(shù)為（）

A.15B.30

C.35D.42

答案B

解析甲企業(yè)有2人，其余5家企業(yè)各有1人，共有7人，所以從7人中任選3人共有C3種

情況，發(fā)言的3人來自2家企業(yè)的情況有C3&種，所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能

情況共有G—GCg=30種.

4.（2024?九省聯(lián)考）甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不

同排法共有（）

A.20種B.16種

C.12種D.8種

答案B

解析因?yàn)橐液捅g恰有2人，所以乙、丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，①當(dāng)乙、丙

及中間2人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩末位，故甲在乙、丙中間，排乙、丙有A芬中方法，排甲有

A4種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有A3種排法，所以有A3xAjxA3=8種方法；②當(dāng)乙、

丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩首位，故甲在乙、丙中間，排乙、丙有A芬中方法，排甲

有A夕種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有A3種排法，所以有A3XA/XA3=8種方法.由分類

加法計(jì)數(shù)原理可知，共有8+8=16種排法.故選B.

5.（2024?重慶檢測(cè)）將5名實(shí)習(xí)老師安排到高一年級(jí)的3個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1人，至多2

人，則不同的安排方法有（）

A.90種B.120種

C.150種D.18種

答案A

解析由題意，先將5名實(shí)習(xí)老師按1人、2人、2人分為三組，再安排到3個(gè)班中，則不同

的安排方法有拶?A?=90種.

6.6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）

A.144B.120

C.72D.24

答案D

解析“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任意兩人不相鄰的坐

法種數(shù)為用=4x3x2=24.

7.（2023?浙江十校聯(lián)盟聯(lián)考）源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長(zhǎng)足的發(fā)

展.太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)

驗(yàn).在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過5道程序，其中A,8兩道程序既

不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有（）

A.18種B.36種

C.72種D.108種

答案B

解析先排A,B兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序

選兩個(gè)放A,B,共有A3種放法；再排剩余的3道程序，共有A?種放法，則共有A3AW=36

種放法.

8.用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)

數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.96B.78

C.72D.64

答案B

解析根據(jù)題意知，要求這個(gè)五位數(shù)比20000大，則萬(wàn)位數(shù)必須是2,3,4,5這4個(gè)數(shù)字中

的一個(gè)，當(dāng)萬(wàn)位數(shù)是3時(shí)，百位數(shù)不是數(shù)字3,符合要求的五位數(shù)有A|=24個(gè)；當(dāng)萬(wàn)位數(shù)是

2,4,5時(shí)，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3,則符合要求的五位數(shù)有3X（A3—A?）=54個(gè).因此共

有54+24=78個(gè)符合要求的五位數(shù).

二、多項(xiàng)選擇題

9.在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門.學(xué)生

根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長(zhǎng)興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再?gòu)恼巍?/p>

地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成績(jī)計(jì)入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的

依據(jù).某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，

下列說法正確的是（）

A.若任意選科，選法總數(shù)為C?

B.若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C4G

c.若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為caaa

D.若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為caa+i

答案BD

解析若任意選科，選法總數(shù)為A錯(cuò)誤；若化學(xué)必選，選法總數(shù)為Cia，B正確；若

政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為ckCG+i）,c錯(cuò)誤；若物理必選，化學(xué)、生物至少選

一門，選法總數(shù)為C』C，+1,D正確.

10.（2024?重慶八中適應(yīng)性月考）將甲、乙、丙、丁4名志愿者分別安排到A,B,C三個(gè)社區(qū)

進(jìn)行暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)至少安排一名志愿者，則下列說法正確的是（）

A.共有18種安排方法

B.若甲、乙被安排在同社區(qū)，則有6種安排方法

C.若A社區(qū)需要2名志愿者，則有24種安排方法

D.若甲被安排在A社區(qū)，則有12種安排方法

答案BD

解析對(duì)于A,4名志愿者先分為三組，再分配到三個(gè)社區(qū)，所以安排方法種數(shù)為C?A?=36,

A錯(cuò)誤；對(duì)于B,甲、乙被安排在同社區(qū)，先從三個(gè)社區(qū)中選一個(gè)安排甲與乙，再把剩余的

2名志愿者分配到剩余的兩個(gè)社區(qū)中，所以安排方法種數(shù)為C3A3=6,B正確；對(duì)于C,A社

區(qū)需要2名志愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A社區(qū)，再把剩余的2名志愿者

分配到剩余的兩個(gè)社區(qū)中，所以安排方法種數(shù)為C?A3=12,C錯(cuò)誤；對(duì)于D,甲安排在A社

區(qū)，分為兩種情況：第一種是A社區(qū)安排了2名志愿者，所以從剩余3名志愿者中選擇1名

分到A社區(qū)，再把剩余的2名志愿者分配到剩余的兩個(gè)社區(qū)中，安排方法有CgA芬中；第二種

是A社區(qū)只安排了甲志愿者，此時(shí)剩余的3名志愿者分為兩組，再分配到剩余的兩個(gè)社區(qū)中，

此時(shí)安排方法有Cg芬中，所以安排方法種數(shù)為C3A3+C3A3=12,D正確.

11.（2024?江蘇蘇州質(zhì)檢）現(xiàn)有4個(gè)小球和4個(gè)小盒子，下列結(jié)論正確的是（）

A.若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，則共有24種放法

B.若4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，且恰有兩個(gè)空盒的放法共有18種

C.若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，且恰有一個(gè)空盒的放法共有144種

D.若編號(hào)為1,2,3,4的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，沒有一個(gè)空盒但小球的編

號(hào)和盒子的編號(hào)全不相同的放法共有9種

答案BCD

解析若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子中，共有44=256種放法，故A錯(cuò)

誤；若4個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，且恰有兩個(gè)空盒，則一個(gè)盒子放3

個(gè)小球，另一個(gè)盒子放1個(gè)小球或兩個(gè)盒子均放2個(gè)小球，共有C3（A3+1）=18種放法，故

B正確；若4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的盒子，且恰有一個(gè)空盒，則兩個(gè)盒子中

各放1個(gè)小球，另一個(gè)盒子中放2個(gè)小球，共有C3?電爐=144種放法，故C正確；若（2,

1,4,3)代表編號(hào)為1,2,3,4的盒子放入的小球編號(hào)分別為2,1,4,3,列出所有符合

要求的情況有(2,1,4,3),(4,1,2,3),(3,1,4,2),(2,4,1,3),(3,4,1,2),(4,

3,1,2),(2,3,4,1),(3,4,2,1),(4,3,2,1),共9種放法，故D正確.

三、填空題

12.把5張不同的電影票分給4個(gè)人，每人至少一張，則不同的分法種數(shù)為.

答案240

解析由題意知，其中一人分兩張，先分后排，共有C3A4=240種不同的分法.

13.宋代學(xué)者聶崇義編撰的《三禮圖集注》中描述的周王城：“匠人營(yíng)國(guó)，方九里，旁三門，

國(guó)中九經(jīng)九緯……”意思是周王城為正方形，邊長(zhǎng)為九里，每邊都有左中右三個(gè)門，城內(nèi)縱橫

各有九條路……，依據(jù)此種描述，畫出周王城的平面圖，則圖中共有個(gè)矩形.

答案3025

解析要想組成一個(gè)矩形，需要找出兩條橫邊、兩條縱邊，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，依題意,

所有矩形的個(gè)數(shù)為C?iC?i=3025.

14.某次燈謎大會(huì)共設(shè)置6道不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只燈籠里僅放

一道謎題，并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直

到答完全部6道謎題，則一名參與者有種不同的答題順序.

答案60

解析將6只燈籠全排，即Ag,因?yàn)槊看沃荒苋∑渲幸淮钕旅娴囊恢粺艋\內(nèi)的謎題，所以

AR

取謎題的方法有忒=6°種.即一名參與者有6°種不同的答題順序.

素養(yǎng)提標(biāo)

15.（多選）（2024.廣東佛山聯(lián)考）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加某運(yùn)動(dòng)會(huì)的志愿者

服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法正確的是（）

A.若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)為45

B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的安排方法數(shù)為AgC，

C.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方

法數(shù)為（cgca+cl（3）A?

D.每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝

任四項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)為C￡2A?+C次1

答案AD

解析對(duì)于A,若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種不同的安排方法，

A正確；對(duì)于B,先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排四項(xiàng)工作，有CgA才種不

同的安排方法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C,先將5人分為3組，有震十等種分組方法，將分好

的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有A?種情況，則有^+等用種不同的安排方

法，C錯(cuò)誤；對(duì)于D,①?gòu)谋?、丁、戊中選出1人開車，②從丙、丁、戊中選出2人開車，

則有C3C3A?+C3A*種不同的安排方法，D正確.故選AD.

16.（多選）某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形A8CD（邊長(zhǎng)為

2個(gè)單位）的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走的單位長(zhǎng)

度，如果擲出的點(diǎn)數(shù)為2,6）,則棋子就按逆時(shí)針方向行走i個(gè)單位長(zhǎng)度，一直

循環(huán)下去.某人拋擲〃次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A處，貝1（）

A.若力=2,則共有3種不同走法

B.若w=2,則共有5種不同走法

C.若”=3,則共有25種不同走法

D.若w=3,則共有27種不同走法

答案BD

解析由題意知正方形ABCD(邊長(zhǎng)為2個(gè)單位)的周長(zhǎng)是8.當(dāng)〃=2時(shí)，骰子的點(diǎn)數(shù)之和是8,

列舉出在點(diǎn)數(shù)中兩個(gè)數(shù)字能夠使得和為8的有(2,6),(3,5),(4,4),共3種組合，拋擲骰

子是有序的，所以共5種結(jié)果，故A錯(cuò)誤，B正確；當(dāng)〃=3時(shí)，三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是8,

16,列舉出在點(diǎn)數(shù)中三個(gè)數(shù)字能夠使得和為8,16的有(1,2,5),(1,3,4),(1,1,6),(2,

2,4),(2,3,3),(4,6,6),(5,5,6),共7種組合，前2種組合(1,2,5),(1,3,4),

每種情況可以排列出A?=6種結(jié)果，共有2A?=2x6=12種結(jié)果，其中(1,1,6),(2,2,4),

(2,3,3),(4,6,6),(5,5,6)各可以排列出3種結(jié)果，共有5x3=15種結(jié)果.根據(jù)分類

加法計(jì)數(shù)原理，知共有12+15=27種結(jié)果，故C錯(cuò)誤，D正確.

17.(2024?遼寧十校調(diào)研)某34人的班級(jí)派5人參觀展覽，班級(jí)里有11人喜歡唱，4人喜歡

跳，5人喜歡rap,14人喜歡籃球，每個(gè)人只喜歡一種.5人站一隊(duì)參觀，但是展覽館不希望

隊(duì)伍中第左，Z+1,k+2,上+3個(gè)人分別喜歡唱、跳、rap、籃球.當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)隊(duì)伍中至少

有一個(gè)位置上的人的喜好不同，兩個(gè)隊(duì)伍才被認(rèn)為是不同的，則滿足上述條件的不同的排隊(duì)

方案數(shù)為.

答案1015

解析如果5個(gè)人中喜歡的種類有1種，則不同的排隊(duì)方案數(shù)為3；如果5個(gè)人中喜歡的種

類有2種,則不同的排隊(duì)方案數(shù)為C3(C1A3+C!A3)=18O；如果5個(gè)人中喜歡的種類有3種,

則不同的排隊(duì)方案數(shù)為C(C$AW+砥祟公。=600；如果5個(gè)人中喜歡的種類有4種，則不

同的排隊(duì)方案數(shù)為CgA才一8=232.故不同的排隊(duì)方案數(shù)為3+180+600+232=1015.

18.(2024?江浙高三聯(lián)考)第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是一組名為“江南憶”的機(jī)器人：“琮琮”

代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運(yùn)河.現(xiàn)

有6個(gè)不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個(gè)，將這6個(gè)吉祥物排成前后兩排，

每排3個(gè)，且每排相鄰兩個(gè)吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)為(用數(shù)字作答).

答案336

解析由題意可分兩種情形：①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”

和“宸宸''中取兩種，其中一種選兩個(gè),另一種選一個(gè),有CQClCl￡=24種排法;其次,后

排有A3=2種排法，故共有24義2=48種不同的排法.②前排含有三種不同名稱的吉祥物，

有CJQC必j=48種排法;后排有A§=6種排法，此時(shí)共有48x6=288種排法.因此，共有

48+288=336種排法.

第二節(jié)二項(xiàng)式定理

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

近幾年的高考中考查了二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的

能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式應(yīng)用、二項(xiàng)式定理的正用和逆用，二項(xiàng)式系

定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)的和.預(yù)計(jì)2025年高考可能

關(guān)的簡(jiǎn)單問題.會(huì)以二項(xiàng)式、三項(xiàng)式或兩因式乘積的形式呈

現(xiàn)，考查特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)，難度中檔.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.二項(xiàng)式定理

(1)二項(xiàng)式定理：(a+6)"=畫C/"+6+…+C獷…+C韻"(〃€N*)；

nkk

(2)通項(xiàng)：TM=[02\c^a~b,它表示第畫任L項(xiàng)；

(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)C9，CL…，C；.

2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)畫相等.

n

(2)增減性與最大值：當(dāng)w是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)C?取得最大值；當(dāng)"是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)

C工與C班相等，且同時(shí)取得最大值.

3.各二項(xiàng)式系數(shù)和

(l)(a+6)"展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)和：C°+CHCH...+C；!^[05l2".

⑵奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即c2+cHd+...=cHcH

CH...=[06]2"-1.

睡1結(jié)的

(a+b)"的展開式形式上的特點(diǎn)：

(1)項(xiàng)數(shù)為w+1.

(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的幕指數(shù)n,即a與6的指數(shù)的和為n.

(3)字母a按降幕排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由〃逐項(xiàng)減1直到零；字母。按升幕排列，從第

一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到機(jī)

(4)二項(xiàng)式系數(shù)從C9,G，一直到C『i,C?

(5)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念.二項(xiàng)式系數(shù)是指C9,C；,它只與

各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，而與mb的值無(wú)關(guān)；而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分，它不僅

與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān)，還與a,b