2025高考物理復習教案：磁場中的動態(tài)圓模型

第十一章磁場

專題十五磁場中的動態(tài)圓模型

核心考點五年考情命題分析預測

“平移圓”模型

本專題內容為解決帶電粒子在有界磁場中運動的模型歸

納，單獨考查的可能性不大，但在解決大量帶電粒子在

“旋轉圓”模型

磁場中的運動問題時，會使解題更加方便快捷.

2020：全國預計2025年高考可能會通過與帶電粒子在磁場中做圓周

“放縮圓”模型

IT18運動有關的現代科技，考查帶電粒子在有界勻強磁場中

“磁聚焦”與2021：湖南運動的臨界與極值問題.

“磁發(fā)散”模型T13

題型1“平移圓”模型

同種帶電粒子速度大小相等、方向相同，入射點不同但*X*****

在同一直線上.粒子進入勻強磁場時，它們做勻速圓周X

適用條件運動的半徑相同，若入射速度大小為W，則圓周運動半\\\

徑廠=哼，如圖所示（圖中只畫出了粒子帶負電的情境）

qB

軌跡圓帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡圓圓心在同一直線上，H直線與入

圓心共線射點的連線平行

界定方法語率徑為7=篝的圓進行平祿T從而探索粒子運動的臨界條產

垂直于磁場邊界不斷地發(fā)射速度相同的同種帶電粒子，不考慮粒子間的相互作用，則粒子

經過磁場的區(qū)域（陰影部分）可能是（c）

XXXXX

茄子演

粒子源粒子源

R

一一工―_…

：LUi：UJi

寂播通了演

c.n

解析帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，如圖所示，粒子源最左端發(fā)射的粒子落在A

點，最右端發(fā)射的粒子落在B點，故選C.

和子源

題型2“旋轉圓”模型

同種帶電粒子速度大小相等，方向不同.粒子進入勻強磁場①

時，它們在磁場中做勻速圓周運動的半徑相同，圓周轉向相乙工總

適用條件同，圓心位置不同，軌跡不同.若粒子射入磁場時的速度為第

vo,則粒子做圓周運動的軌跡半徑為R=噂，如圖所示（圖飛上工-

qB磅、…，'

中只畫出粒子帶正電的情境）

如圖.帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡圓的圓心在以：:

軌跡圓

入射點為圓心、半徑R=翳的圓上

圓心共圓

將半徑為尺=吟的圓以帶電粒子入射點為定點進行旋轉，從而悠粒子至藥

界定方法qB

的臨界條件，這種方法稱為“旋轉圓”法

2.[2023四川德陽期末]如圖所示，豎直平行線MN、P。間距離為a,其間存

在垂直紙面向里的勻強磁場（含邊界產。），磁感應強度大小為8,MN上

。處的粒子源能沿不同方向釋放速度大小相等、方向均垂直磁場的帶負電粒

子，己知粒子的電荷量為q,質量為九粒子間的相互作用及重力不計，其中

沿0=60。射入的粒子，恰好垂直PQ射出，則（D）

A.粒子在磁場中做圓周運動的半徑為百。

B.粒子的速率為陋

m

C.沿9=60。射入的粒子，在磁場中的運動時間為您

3qB

D.P。邊界上有粒子射出的長度為2百a

解析粒子沿9=60°射入時，恰好垂直PQ射出，則粒子在磁場中轉過30°,如圖甲所

2

示，由幾何關系有Rsin30°=a,解得R=2a,由洛倫茲力提供向心力有qvB=m上,則v

R

=碼￡故AB錯誤.沿0=60°射入的粒子，在磁場中的運動時間為t=四丁丁=工義2"=

m36012v

—,故C錯誤.如圖乙所示，e=0°時，粒子從PQ上離開磁場的位置與B點的距離

6v6qB

為6,當e增大時，粒子從PQ上離開磁場的位置下移，直到粒子運動軌跡與PQ相

切；9繼續(xù)增大，則粒子不能從PQ邊界射出；粒子運動軌跡與PQ相切時，由半徑R=2a

可知，粒子轉過的甬度為60°,所以出射點在PQ上O點的水平線下方巡a處；所以PQ

邊界上有粒子射出的長度為2百a,故D正確.

XTJ.

XX義'、￥

\B

x0

題型3“放縮圓”模型

同種帶電粒子速度方向相同，大小不同.粒子進入勻強磁場時，這些帶電粒

適用條件

子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度大小的變化而變化

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情境），速度v越大,

軌跡圓

運動半徑越大.帶電粒子沿同一方向射入磁場后，它們運動軌

圓心共線

跡的圓心在垂直入射速度方向的直線PP'上:：

以入射點P為定點，圓心位于直線PP上，將半徑放縮確定運動軌跡，從

而探索出粒子運動的臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

3.真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為。和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與

圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示.一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場.已知電子

質量為機，電荷量為e,忽略重力.為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內，

磁場的磁感應強度最小為（C）

解析為使電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內，電子進入勻強磁場中做勻速圓

周運動的半徑最大時軌跡如圖所示，設其軌跡半徑為r,軌跡圓圓心為M,磁場的磁感應

強度最小為B由幾何關系有+r=3a,解得r=^a,電子在勻強磁場中做勻速圓周

運動有evB=m些，解得B=?巴，選項C正確.

r4ae

題型4“磁聚焦”與“磁發(fā)散”模型

原理圖像證明

如圖甲所示，大量同種帶正電的粒

四邊形3為菱形，是

子，速度大小相同，平行入射到圓

6特殊的平行四邊形，對邊

形磁場區(qū)域，不計粒子的重力及粒

平行，必平行于AO

磁聚焦子間的相互作用，如果軌跡圓半徑

.（即豎直方向），可知從

與磁場圓半徑相等（R=r）,則所

A點入射的帶電粒子必然

有的帶電粒子將從磁場圓的最低點

經過B點

B點射出

如圖乙所示，有界圓形磁場的磁感

所有粒子運動軌跡的圓心

應強度為2,圓心為0,尸點有大

與磁場圓圓心。、入射

量質量為優(yōu)、電荷量為q的帶正電

點、出射點的連線為菱

粒子，以大小相等的速度v沿不同

形，也是特殊的平行四邊

磁發(fā)散方向射入有界磁場，不計粒子的重

形，OiA、0殂、03c均平

力及粒子間的相互作用，如果帶正

圖乙行且等于P。，即出射速

電粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場

度方向相同（均沿水平方

半徑相等，則所有粒子射出磁場的

向）

方向平行

4.如圖所示，半徑為R的;圓形區(qū)域內存在著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為

B,磁場的左邊垂直無軸放置一線形粒子發(fā)射裝置，能在OWyWR的區(qū)間內各處沿x軸正方

向同時發(fā)射出速度相同、帶正電的同種粒子，粒子質量為加、電荷量為q,不計粒子的重

力及粒子間的相互作用力，若某時刻粒子被裝置發(fā)射出后，經過磁場偏轉擊中y軸上的同

一位置，則下列說法中正確的是（D）

A.粒子都擊中。點處

B.粒子的初速度為詈

2m

C.粒子在磁場中運動的最長時間為千

qB

D.粒子到達y軸上的最大時間差為焉一苴

解析由題意，某時刻發(fā)出的粒子都擊中y軸上一點，由最高點射出的粒子只能擊中（0,

R）,可知擊中的同一點就是（0,R）,A錯誤；從最低點射入的粒子也擊中（0,R）,

由幾何關系可知粒子做勻速圓周運動的半徑為R,由洛倫茲力提供向心力得qvB=m匕，則

速度v="2B錯誤；偏轉角最大的粒子在磁場中的運動時間最長，顯然從最低點射入的

m

粒子偏轉角最大，為90：故其在磁場中的運動時間最長，時間t=^T=^X空空=您，C

44qB2qB

錯誤；從最高點直接射向（0,R）的粒子到達y軸的時間最短，則最長與最短的時間差為

ARTtmm八十『女

At=t—=——,D正確.

v2qBqB

朕基礎練知識通關

1.如圖所示為邊長為L的正方形有界勻強磁場ABCD,帶電粒子從A點沿

AB方向射入磁場，恰好從C點飛出磁場；若帶電粒子以相同的速度從

4。的中點尸垂直射入磁場，則從。C邊的M點飛出磁場（M點未畫

出）.設粒子從A點運動到C點所用的時間為小從P點運動到M點所用

的時間為益.帶電粒子重力不計，貝Li：叁為（C）

A.2：1B,2：3C.3：2D.1

解析畫出粒子從A點射入磁場到從C點射出磁場的軌跡，并將該軌跡向

下平移，粒子做圓周運動的半徑為R=L,從C點射出的粒子運動時間為

R

tl=-;由P點運動到M點所用時間為t2,圓心角為cos0則

4R2

T

8=60°,故t2=g所以￡=今=|，C正確.

26

2.[2021全國乙]如圖，圓形區(qū)域內有垂直紙面向里的勻強磁場，質量

為加、電荷量為q（q>0）的帶電粒子從圓周上的加點沿直徑V0N/

方向射入磁場.若粒子射入磁場時的速度大小為V1,離開磁場時速度M\xxOx

\XXXX/

方向偏轉90。；若射入磁場時的速度大小為V2,離開磁場時速度方向'..XX」，

偏轉60。.不計重力，則”為（B）

B-TD.V3

解析設圓形磁場區(qū)域的半徑為R,粒子的運動軌跡如圖所示，沿直徑

MON方向以速度vl射入圓形勻強磁場區(qū)域的粒子離開磁場時速度方

向偏轉90°,則其軌跡半徑為rl=R,由洛倫茲力提供向心力得qvlB

=m或，解得vl=避；沿直徑MON方向以速度v2射入圓形勻強磁場

r-im

區(qū)域的粒子離開磁場時速度方向偏轉60°,由幾何關系得tan30°=-,可得其軌跡半徑為

r2

r2=V3R,由洛倫茲力提供向心力得qv2B=m吱，解得v2=漁蟠，則以=:=立，B正確.

丁2??11?2V33

3.［多選］如圖所示，空間中存在一半徑為R、磁感應強度為B的圓形勻強磁場，MN是一豎

直放置的足夠長的感光板.大量相同的帶正電粒子從圓形磁場最高點尸以速率v沿不同方向

垂直磁場方向射入，不考慮速度沿圓形磁場切線方向入射的粒子.粒子質量為"3電荷量為

q,不考慮粒子間的相互作用和粒子的重力.關于這些粒子的運動，以下說法正確的是

(ACD)

A.對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中運動的時間越短

B.對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中運動的時間越長

C.若粒子速度大小均為v=幽,出射后均可垂直打在MNk

m

D.若粒子速度大小均為v=蟠，則粒子在磁場中的運動時間一定小于胃

mqB

解析對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中做圓周運動的軌跡半徑越大，軌跡對應的

圓心角越小，由1=21=也可知，運動時間越短，故A正確，B錯誤.粒子速度大小均為v

211qB

=幽時，根據洛倫茲力提供向心力可得粒子的軌跡半徑r=虻=R,根據幾何關系可知，

mqB

入射點P、O、出射點與軌跡圓的圓心的連線構成菱形，射出磁場時的軌跡半徑與PO平

行，故粒子射出磁場時的速度方向與MN垂直，出射后均可垂直打在MN上；根據幾何關

系可知，軌跡對應的圓心角小于180°,粒子在磁場中的運動時間tV^T=吧，故C、D正

2qB

確.

4.［2023豫北名校聯(lián)考/多選］如圖所示，直角三角形A3C區(qū)域內有一方向垂直紙面向里、磁

感應強度大小為8的勻強磁場，NA=30。，48=L在4點有一個粒子源，可以沿AB方向

發(fā)射速度大小不同的帶正電的粒子.己知粒子的比荷均為k,不計粒子間相互作用及重力，

則下列說法正確的是（CD）

A.隨著速度的增大，粒子在磁場中運動的時間變短久

B.隨著速度的增大，粒子射出磁場區(qū)域時速度的偏轉角變大p\

C.從AC邊射出的粒子的最大速度為竽

D.從AC邊射出的粒子在磁場中的運動時間為三；

解析

從4c邊（在磁場中偏轉角度e相同，B錯誤

射出的《?

粒子1在磁場中的運動時間仁整相同，A錯該

空還，C正確

能力練重難通關

5.［多選］如圖所示，正方形abed區(qū)域內有垂直于紙面向里的勻強磁場，0

點是cd邊的中點.一個帶正電的粒子（重力忽略不計）從。點沿紙面以

垂直于cd邊的速度射入正方形區(qū)域內，經過時間如剛好從c點射出磁場.

現設法使該帶電粒子從。點沿紙面以與Od成30。角的方向（如圖中虛線所示）且以各種不

同的速率射入正方形區(qū)域內，那么下列說法正確的是（AD）

A.該帶電粒子不可能從正方形的某個頂點射出磁場

B.若該帶電粒子從油邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間可能為|加

C.若該帶電粒子從be邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間可能為|而

D.若該帶電粒子從cd邊射出磁場，它在磁場中經歷的時間一定為，

解析帶電粒子以垂直于cd邊的速度射入正方形內，經過時間t0剛好從c

點射出磁場，則知帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的周期為T=2t0.如圖

所示，隨粒子速度逐漸增大，軌跡由①一②一③一④依次漸變，由圖可以

"AB

知道粒子在四個邊射出時，不可能從四個頂點射出，故A正確；由幾何關

系可知粒子從ab邊射出時經歷的時間小于半個周期t0,從be邊射出時經歷的時間小于

-T,從cd邊射出時軌跡所對的圓心角都是300°,經歷的時間為二=也，故B、C錯誤,

363

D正確.

6.如圖所示，在屏的上方有磁感應強度為B的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里.P

為屏上的一個小孔，PC與MN垂直.一群質量為相、帶電荷量為一q的粒子（不計重力）,

以相同的速率v從尸處沿垂直于磁場的方向射入磁場區(qū)域.粒子入射方向在與磁場B垂直的

平面內，且散開在與PC夾角為9的范圍內.則在屏上被粒子打中的區(qū)域的長度為

（D）

.2mvC

A.——XDXX：XXX

qBD

X.、XX：XX,x

n2mvcos3、:，/

x火、gx-jqe,,義x

xxxx

MP

qB

qB

解析當粒子初速度方向與MN垂直時，粒子打中屏MN上被粒子打中的區(qū)域的最右端，

到P點的距離xl=2r=刎；當粒子初速度方向與PC夾角為9時，粒子打中屏MN上被

qB

2mvcos0

粒子打中的區(qū)域的最左端，到P點的距離x2=2rcos9=f故在屏MN上被粒子打中

qB

的區(qū)域的長度為X1—x2=2m",D正確.

qB

7.[1形化/多選]如圖所示，紙面內有寬為工、水平向右飛行的帶電粒，二T

子流，粒子質量為相，電荷量為一q,速率為％,不考慮粒子的重力及粒|--

子間的相互作用，要使粒子都會聚到一點，可以在粒子流的右側虛線框帶電粒了流

內設計一勻強磁場區(qū)域，則磁場區(qū)域的形狀及對應的磁感應強度可以是下列選項中的(其

中員=安，A、C、D選項中曲線均為半徑為L的;圓弧，B選項中曲線為半徑為;的圓)

qL42

(AB)

B=B,B=2B?B=B?B=2B?

ABCD

8.如圖所示，正方形區(qū)域abed內(含邊界)有垂直紙面向里的勻強磁場，ab=l,Oa=

0.4/,大量帶正電的粒子從O點沿與邊成37。角的方向以不同的初速度vo射入磁場，不

計粒子重力和粒子間的相互作用.已知帶電粒子的質量為如電荷量為分磁場的磁感應強

度大小為8,sin37°=0.6,cos37°=0.8.

(1)求帶電粒子在磁場中運動的最長時間；

(2)若帶電粒子從ad邊離開磁場，求vo的取值范圍.

答案(1)理皿(2)^<v0<—

90qB4m9m

解析(1)粒子從次?邊離開磁場時，在磁場中運動的時間最長，如圖甲

所示

有物物=遇，又7=陋，解得了=地

RVQBq

圖申

又由幾何關系得。=74。，則粒子在磁場中運動的最長時間

_360°—74°,丁143nm

360°90qB

(2)粒子軌跡與4d邊相切時，如圖乙所示，設此時初速度為voi,軌跡半徑為Ri,由幾何

關系可得

R+Risin37°=0.4/

又密知=等，解得知=詈

1Ri4m

粒子運動軌跡與cd邊相切時，如圖丙所示，設此時初速度為"02,軌跡半徑為&,由幾何

關系可得

&+&cos370=/

創(chuàng)新練素養(yǎng)通關

9.[4024湖北武漢部分學校調研/多選]如圖所示，在