2025年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識篇（核心知識背記手冊）

高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識篇

（核心基礎(chǔ)知識背記手冊）

目錄

基礎(chǔ)知識背記01集合................................................................2

基礎(chǔ)知識背記02常用邏輯用語.......................................................2

基礎(chǔ)知識背記03復(fù)數(shù)................................................................3

基礎(chǔ)知識背記04平面向量............................................................3

基礎(chǔ)知識背記05基本不等式.........................................................4

基礎(chǔ)知識背記06三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式、三角恒等變換.................................5

基礎(chǔ)知識背記07三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)...............................................6

基礎(chǔ)知識背記08解三角形............................................................8

基礎(chǔ)知識背記09函數(shù)的基本性質(zhì).....................................................9

基礎(chǔ)知識背記10指數(shù)對數(shù)幕函數(shù)....................................................11

基礎(chǔ)知識背記11函數(shù)的零點與方程的根..............................................14

基礎(chǔ)知識背記12導(dǎo)數(shù)...............................................................14

基礎(chǔ)知識背記13數(shù)列...............................................................15

基礎(chǔ)知識背記14立體幾何...........................................................16

基礎(chǔ)知識背記15直線與圓...........................................................22

基礎(chǔ)知識背記16圓錐曲線...........................................................26

基礎(chǔ)知識背記17排列組合與二項式定理.............................................30

基礎(chǔ)知識背記18概率統(tǒng)計..........................................................31

基礎(chǔ)知識背記01集合

1.集合有〃個元素，子集有2〃個，真子集有2〃-1個，非空真子集個數(shù)為2〃-2個.

2.A^\B={x|xEA^XGA\JB=\x\xEA^XG5}

3.CVA=（x|xG。且xeA]

基礎(chǔ)知識背記02常用邏輯用語

i.充分條件與必要條件

對于若夕則4類型中，夕為條件，9為結(jié)論

若pnq充分性成立，若q=p必要性成立

若p=q，q=p，則夕是夕的充分必要條件（簡稱：充要條件）

若pnq,q與P,則P是9的充分非必要條件（充分不必要條件）

若p*q,q=p,則p是9的必要非充分條件（必要不充分條件）

若p力q,q與p,則夕是夕的既不充分也不必要條件

2.全稱量詞命題與存在量詞命題

全稱量詞：V（任意，所有，全部），含有全稱量詞V的命題，叫做全稱量詞命題

存在量詞：三：（存在一個，存在兩個，存在一些），含有存在量詞三的命題，叫做存在量詞命題

3.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

全稱量詞命題的否定

全稱量詞命題：VXGM,2（x）,否定為：3xGAf,-ip（x）

存在量詞命題的否定

存在量詞命題：3XGM,2（x）,否定為：VxeM,

基礎(chǔ)知識背記03復(fù)數(shù)

1.虛數(shù)單位：力，規(guī)定產(chǎn)=—1

2.虛數(shù)單位的周期7=4

3.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：Z=a+bi（a,beR）,。叫實部，6叫虛部

4.復(fù)數(shù)的分類

-實數(shù):b=0

[a=0

0：1

b=0

z=a+bl\虛數(shù)：“0

純虛數(shù):產(chǎn)。

a=0

5.復(fù)數(shù)相等：4=a+bi,Z2=c+di,若Z]=Z2,則a=c,b="

6.共軌復(fù)數(shù)：若兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫互為共軌復(fù)數(shù);

z=a+bi,z=a—bi(a,beR),

推廣：z-z={a+bi\a-bi)=a1-(Z>z)2=a2+b2

結(jié)論：z-z=a2+b2

7.復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)2=<一一對應(yīng)>復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,6)

22

8.復(fù)數(shù)的模：Z=a+bi(a,beR),貝!!|z|=|a+bi\=y/a+b：

基礎(chǔ)知識背記04平面向量

i.向量的運算

(1)兩點間的向量坐標公式：

幺(西,必)，B(x2,y2),]衛(wèi)=終點坐標一始點坐標=(》2_再,為_乃)

(2)向量的加減法

a=(xi，必)，b=(x2,y2):.a+b=(x1+x2,%+%)，a-b=(xx-x2,yx-v2)

(3)向量的數(shù)乘運算

a=(x,y)，貝U：Aa=y]=(2x,Ay)

(4)向量的模

a=(x,y),則a的模H=J"+y2

(5)相反向量

已知a=(x,y),則—Q=(-x-y)；已知

(6)單位向量

（7）向量的數(shù)量積

a$=a.g.cos仇其中以a與廟勺夾角，記作且。e[0㈤

a=(xl,yl),b=(x2,y2y-.a-b=xix2+yly2

（8）向量的夾角

cos0=,/,

H.M亞+—；.+yl

（9）向量的投影

a在3上的投影為H-cosd=《a-ba-b

x在[上的投影為M?cos?=pi?福a-b

(10)向量的平行關(guān)系

a〃6=a=Xb=xxy2=x2y1

(11)向量的垂直關(guān)系

Q_L60a?b=0=xxx2+yxy2=0

(12)向量模的運算

基礎(chǔ)知識背記05基本不等式

1.Q￡7?+,b￡R+,"+'2a+b>2y[ab(積定和最小)

2

+

2.aeR+,beR+,ab<^^-(和定積最大)

++4

12

3.aeR+,beR+,a+b>lab

4.推F式：仔W而吟歸

---1---

ab

基礎(chǔ)知識背記06三角函數(shù)與誘導(dǎo)公式、三角恒等變換

1.特殊角的三角函數(shù)值

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°27(r360°

717171712萬34571371

弧度0n2萬

64323462

J.4273eJ.

sina010-10

2~T~TV~T2

734iii

cosa10-101

222222

V3_A/3

tana01不存在0不存在0

~T出-V3-1

2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

平方關(guān)系：sin2a+cos2a-\

商數(shù)關(guān)系：tana=里吧

cosa

3.正弦的和差公式

sin(a+尸)=sinacosP+cosasin/,sin(a—/7)=sinacosP-cosasin/3

4.余弦的和差公式

cos(a+/?)=cosacos/3-smasin°cos(a—/)=cosacos/+sinasin[3

5.正切的和差公式

/八\tana+tanB(八、tana-tanB

tan(q+/?)=-----------------tan(a-/7)=-----------------

1-tanatan/?,1+tanatanp

6.正弦的倍角公式

sin2a=2sinacosansinacosa=—sin2。

2

7.余弦的倍角公式

cosla-cos2a-sin2a-(cosa+sina)(cosa-sina)

升塞公式：cos2。=l-2sin2a，cos2。=2cos2a-1

,__,.21—cos2a1+cosla

降累公式：sina=------------，2cosa--------------

2

8.正切的倍角公式

2tan。

tan2。=

1-tan2a

9.推導(dǎo)公式

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

10.輔助角公式

歹=Qsinx+bcosx,(〃>0)ny=J/+/sin(x+0),其中tan0=2,cpG,

a2

基礎(chǔ)知識背記07三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)

i.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

2.JT

當(dāng)x=2k兀~\——時，

2

當(dāng)x=2k兀時,

最乂nax=1；當(dāng)

>max=l；當(dāng)X=2k7T+兀既無最大值也無最小值

值

x=Ikrv--

2時，F(xiàn)mm=-L

時，為in=T?

周

期2TC2JT71

性

奇

偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

在2k兀----,2k兀H—

_22_在\2k7i-肛2左句上是增函

單J,n7冗

上是增函數(shù)；數(shù)；在14萬一5"'左乃+5

調(diào)

…兀…3〃在[2左肛2k兀+TC\上是減函

性在2k兀H—,2k兀H---上是增函數(shù).

_22

數(shù).

上是減函數(shù).

對對稱中心(左肛0)對稱中心]版■+/()]對稱中心o]

稱JI

對稱軸％=左萬+——

性2對稱軸x=k]無對稱軸

三角函數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)

(1)正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)性質(zhì)

y=/sin(m+0)+〃，y-Acos{(ox+(p)+h

z振幅，決定函數(shù)的值域，值域為[-4⑷

。決定函數(shù)的周期，7=若

加+°叫做相位，其中"叫做初相

(2)正切型函數(shù)性質(zhì)

歹=/tan(5+°)+〃的周期公式為：7

3.三角函數(shù)的伸縮平移變換

（1）伸縮變換（4,0是伸縮量）

y=/sin（s+o）+〃

Z振幅，決定函數(shù)的值域，值域為［-42］；

若//,縱坐標伸長；若Z、，縱坐標縮短；Z與縱坐標的伸縮變換成正比

E2"

0決定函數(shù)的周期，7=1

若T\,橫坐標縮短；若八,T/,橫坐標伸長；0與橫坐標的伸縮變換成反比

（2）平移變換（。，〃是平移量）

平移法則：左+右一，上+下一

基礎(chǔ)知識背記08解三角形

i.正弦定理

(1)基本公式：

nhc

--=1一=——=2R(其中&為A43C外接圓的半徑)

sinAsmBsinC

(2)變形

(i)a=2RsinA.b=27?sinS,c=2RsinC

,a.b.廠c

②sin/=——.smB=——,sinC=——,

2R2R2R

③Q:6:c=sin/:sin5:sinC

abcQ+6+Ca+bQ+C6+C

-=--=-——=2R=------------；——=------；—=--------；——=--------；——

sin/sinjBsinCsin/+s;in3+sinCsin/+sin8sin4+sinCsinJ5+sinC

(3)應(yīng)用：邊角互化

①3。+4b=5cn3sinA+4sinB=5sinC

②2a2+3/>2=5c2=>2sin2+3sin2B=5sin2C

(§)2asinA=bcosC+ccosBn2sinA-sinA=sinBcosC+cosBsinC

|JT5JT

=>Zsin2/=sin(jB+C)=sin/=sin/=—或sin/=0(舍)=>/=一或/=——

266

2.三角形中三個內(nèi)角的關(guān)系

'：A+B+C=7T

?.sin(5+C)=sin4,cos(5+C)=-cosA,tan(S+C)=-tanA

3.余弦定理

(1)邊的余弦定理

a2=Z72+c2-2bccosA,b2=a2-\-c2-2accosB,c1=a1+b2-2abcosC

(2)角的余弦定理

b2+c2-a2Q2+/一〃a2+b2-c2

cosA=cosB=cosC=

2bclaclab

(3)應(yīng)用1.求值，求角

①在A/L8C中，已知/+。2-6。=/,求4

7227272227Ab+C—abe1n71

b+c~be=ab+c—u=be,cosA---------------------——B——

2bc2bc23

②在AA8C中，已知Q?=〃-02,求COS5

4

1

22aC

1_,221._^+C-b_-4_1

?a2H—cic—b2—c2ci+c—b——ac,..cosBO------------------------——

44laclac8

(4)應(yīng)用2.判斷三角形的形狀

設(shè)。為最大邊，則/為最大角

A>90°鈍角三角形cos，<0b2+c2<a2

A=90°直角三角形cosA=0b2+c2=a1

A<90°銳角三角形cosA>0b2+c2>a2

4.三角形的面積公式

^\ABC二萬

SMBC=—absinC=-acsinB--besin^4

基礎(chǔ)知識背記09函數(shù)的基本性質(zhì)

i.定義域

①分式函數(shù)定義域：y=^~(/(%)*0)

/(x)

②偶次根式函數(shù)的定義域：(/a)、。)

③0次累型函數(shù)的定義域：y=f(x)°(/(x)0)

④對數(shù)函數(shù)的定義域：j=logfl/(x)(/(x)>0)

⑤正切函數(shù)的定義域：y=tan(/(x))(/(x)w7]7+Qr)(keZ)

2.單調(diào)性

(1)單調(diào)性的運算

①增函數(shù)(/)+增函數(shù)(/)=增函數(shù)/

②減函數(shù)(')+減函數(shù)(、)=減函數(shù)、

③/(x)為/,則一/(劃為二一為、

/(X)

④增函數(shù)(/)-減函數(shù)(\)=增函數(shù)/

⑤減函數(shù)(\)—增函數(shù)(/)=減函數(shù)'

⑥增函數(shù)(/)+減函數(shù)(\)=未知(導(dǎo)數(shù))

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)/"(x)=〃(g(x)),設(shè)"=g(x),叫做內(nèi)函數(shù),則/(x)=〃(M)叫做外函數(shù),

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)T

內(nèi)函數(shù)外函數(shù)J,二復(fù)合函數(shù)個任人閂+的日行

'內(nèi)函數(shù)T,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)尸結(jié)論：同叫減

、內(nèi)函數(shù)J,外函數(shù)復(fù)合函數(shù)J

3.奇偶性

①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱(大前提)

②奇偶性的定義：

奇函數(shù)：/(-x)=-/(x)，圖象關(guān)于原點對稱

偶函數(shù)：/(—x)=/(x),圖象關(guān)于y軸對稱

③奇偶性的四則運算

奇士奇=奇，偶±偶=偶，奇±偶=非奇非偶函數(shù)

奇.奇=偶，)偶，偶.偶=偶，+偶，奇.偶=奇，:奇

4.周期性(差為常數(shù)有周期)

①若/(x+a)=/(%),則/(x)的周期為：T=\a\

②若/(x+a)=/(x+6),則/(x)的周期為：T=\a-b\

③若/(x+a)=—/(x),則/(x)的周期為：T=\2a\(周期擴倍問題)

④若/(x+?)=±-則/(x)的周期為：7=|24(周期擴倍問題)

/(X)

5.對稱性(和為常數(shù)有對稱軸)

軸對稱

①若/(x+?)=/(-x),則/(X)的對稱軸為x=|

②若/(%+?)=f(-X+b),則/(X)的對稱軸為》=審

點對稱

①若/(x+a)=—/(—1)，則/(X)的對稱中心為1，o]

②若/(x+a)+/(—x+b)=c,則/(x)的對稱中心為[審，|J

6.周期性對稱性綜合問題

①若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=f(b-x),其中a/6,則/(x)的周期為：T=2\a-b\

②若/(a+》)=—/("x),f[b+x)=-f{b-x),其中awb,則/(x)的周期為：

T=2\a-b\

③若/(a+x)=/(a—x),f(b+x)=-f(b-x),其中則/(x)的周期為：

T=4\a-b\

7.奇偶性對稱性綜合問題

①已知/(x)為偶函數(shù)，/(x+a)為奇函數(shù)，則/(x)的周期為：T=4|a|

②已知/(x)為奇函數(shù)，/(x+a)為偶函數(shù)，則/(x)的周期為：7=4時

基礎(chǔ)知識背記10指數(shù)對數(shù)氟函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

0<a<l

2.指數(shù)和對數(shù)的互化公式

a*=Nox=log”N（a>0且a豐1）

3.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則

(1)兩個基本對數(shù)：

?logfl1=0,0logaa=1

(2)對數(shù)恒等式：

①*=N,②logfJN

(3)賽的對數(shù)：

①：log"6"=加Oga6

②：logb='log,*

n

rn

③：log加"=-log/

n

(4)積的對數(shù)：logfl(MN)=logflM+log,N

M

(5)商的對數(shù)：log。一=logflM-logaN

4.換底公式：

地*=3=9=她；

logca1gaIna

推廣1：對數(shù)的倒數(shù)式

I7

10gqDM----1---

-log/ologQlog/nl

推廣2：

log“blog6clog,a=1=log“blog6clogfd=logfld

5.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

Q>10<6Z<1

圖上!v-log^v(a>1)

象r

q川,0)7

(1)定義域：(0,+oo)

(2)值域：R

(3)當(dāng)x=l時，y=0即過定點(1,0)

(4)當(dāng)0<x<l時，(4)當(dāng)x>l時，

性

je(-oo,0)；je(-co,0)；

質(zhì)

當(dāng)x〉l時，當(dāng)0<x<l時，

je(0,+co)je(0,+co)

(5)在(0,+8)上為增(5)在(0,+oo)上

函數(shù)為減函數(shù)

6.塞函數(shù)

恒過定點(1,1)

(1)暴函數(shù)的單調(diào)性

a>0時，/(x庵第一象限單調(diào)遞增

f(x)=Xaa<0時，/jx庵第一象限單調(diào)遞減

(2)幕函數(shù)的奇偶性

Ja為偶數(shù)，/(x)為偶函數(shù)

a為整數(shù)〔。為奇數(shù)，川只為奇函數(shù)

f(x)=Xa-’0為偶數(shù)時，/(x)為非奇非偶函數(shù)

a為分數(shù)，設(shè)q為奇數(shù),/(X)為奇函數(shù)

p為奇數(shù)時—

Pq為偶數(shù)，/(x)為偶函數(shù)

基礎(chǔ)知識背記11函數(shù)的零點與方程的根

1.函數(shù)的零點

對于函數(shù)歹=/(X),我們把/(x)=0的實數(shù)X叫做函數(shù)》=/(x)的零點

2.函數(shù)的零點與方程的根和圖象與x軸交點的關(guān)系

函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0的實數(shù)解，也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交點的橫坐標

方程/⑴=0的實數(shù)解

<=>函數(shù)y=/(%)的零點

<=>函數(shù)y=的圖象與x軸有交點

3.零點存在性定理

如果函數(shù)丁=/(x)在區(qū)間L㈤的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有/(a)/伍)<0,那么函數(shù)y=/(x)在

區(qū)間(見后至少有一個零點，即存在ce(a,b),使得/(。)=0,這個c也是方程/(x)=0的解

基礎(chǔ)知識背記12導(dǎo)數(shù)

1.八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式

(1)C'=0(C為常數(shù))

27---1--

⑵例：(/),*,的，=42"(?)，=("/

(3)(exy=ex

(4)(axy=axIna

(5)(Inx)'=—

x

(6)(logx)'=—

flxlna

(7)(sinx)'=cosx

(8)(cosx)r=-sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運算

⑴和的導(dǎo)數(shù)：［/(x)+g(x)］=/'(x)+g'(x)

(2)差的導(dǎo)數(shù)：［/(x)—g(x)】=/'(x)—g'(x)

(3)積的導(dǎo)數(shù)：[/(x)g(x)]=/(x)g(x)+/(x)g，(x)(前導(dǎo)后不導(dǎo)+前不導(dǎo)后導(dǎo))

(4)商的導(dǎo)數(shù):/(x)/'(x)g(x)—/(x)g'(x),g(x)/0

g(x)g2(x)

3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

函數(shù)y=/(g(x))中，設(shè)a=g(x)(內(nèi)函數(shù))，則y=/(i/)(外函數(shù))，y'=/?人

4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)/'(X)的幾何意義是曲線/(X)在點尸(x0)o)處切線的斜率

(2)直線的點斜式方程

直線的點斜式方程：已知直線過點尸(X。,%),斜率為左，則直線的點斜式方程為：y-y0=k(x-

5.導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系

/'(x)〉0#>0,/(x)單調(diào)遞增

/'(工)<0,后<0,/(工)單調(diào)遞減

6.極值

(1)極值的定義

/(X)在X=X。處先/后、，/(X)在X=X。處取得極大值

/(X)在X=Xo處先'后/,/(X)在X=X。處取得極小值

(2)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

/(x)是極值點=>/'(X)=0

f\x)=0中/(%)是極值點，即：/'(x)=0是/(x)為極值點的必要非充分條件

基礎(chǔ)知識背記13數(shù)列

1.等差數(shù)列通項公式：an=ax+[n-1)<7(neN+)^an=am+(n-m)d(neN+)

2.等差中項：若Z,B,C三個數(shù)成等差數(shù)列，則28=Z+C,其中8叫做/,C的等差中項

3.若{4},{a}為等差數(shù)列，貝吐?！啊繿},加。“土也}仍為等差數(shù)列

4.等差數(shù)列前n項和公式：sn="(%；"")或Sn=nax+"

5.等差數(shù)列的前〃項和中，S"=〃a色,(〃為奇數(shù))

nm

6.等比數(shù)列通項公式：%=/p"T或%=am-q-.(jteN*)

7.等比中項：若4,B,C三個數(shù)成等比數(shù)列，則臺2=ZC=8=±JIU,其中8叫做/,C的等比中

項

8.若｛4"｝,｛4｝為等比數(shù)列，則｛?！耙玻?，子仍為等比數(shù)列

屹J

nax,[q=1)

中

9.等比數(shù)列前?項和公式：sn=<=%-%q(q0

l-q1-q

10.已知｛%｝與｛s“｝的關(guān)系

=1

a"U.-S".i(〃22)

11.分組求和

若｛%,｝為等差數(shù)列，｛，｝為等比數(shù)列，貝U｛%+，｝可用分組求和

12.裂項相消求和

111

------------------------

〃7/(/7+1)n〃+1

1_1_____1_

"(〃+1)(〃+2)72+1〃+2

(2〃-1)(2〃+1)2(2〃-12n+1)

a=4J14______M=______1_

"(2〃-1)(2〃+3)Z(2〃-12?+3)2n-\2n+3

4"111、

a----------------------——?z--------------------j

"(4"—1)(4""T)34"-l4,,+1-l

——產(chǎn)=

an=........y/n+1-4n

基礎(chǔ)知識背記14立體幾何

i.平面初等幾何基礎(chǔ)

(1)三角形的面積公式：S=-ah

2

(2)正方形的面積公式：S=a2

(3)長方形的面積公式：S=ab

(4)平行四邊形的面積公式：S=ah

（5）菱形的面積公式：S=-ab（a,b為菱形的對角線）

2

（6）梯形的面積公式：S=（""）?（。為上底，人為下底，h為高）

2

（7）圓的周長和面積公式：C=2^r,S="2

2.立體幾何基礎(chǔ)公式

（1）所有椎體體積公式：V=-sh

3

（2）所有柱體體積公式：V=sh

4,

（3）球體體積公式：y=—獻

3

（4）球體表面積公式：S=4成2

（5）圓柱：憶=s〃,s表=s底+s側(cè)=2汨"+2乃7?

,1?

(6)圓錐：H=表=s底+s側(cè)="+勿7

3.平面圖形的判定定理

（1）高中常用的平行四邊形的判定定理

①一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

②兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

（2）菱形的判定定理

①四邊相等的四邊形是菱形

②對角線互相垂直平分的四邊形是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）

③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

（3）正方形的判定定理

①有一個角是直角的菱形是正方形

②一組鄰邊相等的矩形是正方形

③對角線互相垂直的矩形是正方形

（4）矩形的判定定理

對角線相等且互相平分的四邊形是矩形

4.平面圖形的對角線

平行四邊形的對角線互相平分

菱形的對角線互相垂直平分

矩形的對角線相等且互相平分

正方形的對角線互相垂直平分且相等

5.常見立體幾何的定義、性質(zhì)及其關(guān)系

（1）棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行圖形，側(cè)面是平行四邊形（即側(cè)棱平行且相等）

（2）斜棱柱：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱

（3）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱

（4）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱

（5）平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，即：平行六面體的六個面都是平行四邊形

6.四個公理與一個定理

公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.

7.空間中點線面的位置關(guān)系

點在直線上點不在直線上

點與直線的位置關(guān)系

AeaBia

?B

點在平面上點不在平面上

點與面的位置關(guān)系/'?/

AeaB色a

線與線的位置關(guān)系-----------------a丁

-----------------b

平行，allb相交，aC\b=o1，m異面

_____a

///

線與面的位置關(guān)系/Z___/

auaa^\a-Aalia

\____________\

面與面的位置關(guān)系A(chǔ)_________/

平行，allp相交，戊。4=々a與，重合

8.長方體(正方體、正四棱柱)的體對角線的公式

(1)已知長寬高求體對角線：Z2—a2+b2+c2

(2)已知三條面對角線求體對角線：12=123

2

9.球體問題

(1)球體體積公式：y=—版,球體表面積公式：s=4成2

3

(2)正方體、長方體、正四棱錐的外接球問題(類型I)

球心=體心，直徑O體對角線

已知長寬高。，b,。求體對角線/,公式為：〃=/+62+02

D=1,R=gns=4TIR2=4兀=4兀.?=I?兀

(3)直棱柱的外接球問題(類型II)

R2=(j)2+r2,其中〃為直棱柱的高，子為底面外接圓半徑(可用正弦定理求解)

(4)墻角問題n可轉(zhuǎn)化為類型I

(5)側(cè)棱，底面問題=＞可轉(zhuǎn)化為類型n

io.空間中的平行關(guān)系

(1)線線平行

①三角形、四邊形中位線，②平行四邊形的性質(zhì)(對邊平行且相等)

③內(nèi)錯角、同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

(2)線面平行的判定定理：

平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行

圖形語言符號語言

1--------mb}

1=lIIa

/6/6uaj

(3)線面平行的性質(zhì)定理

若線面平行，經(jīng)過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行

圖形語言符號語言

1IIa

^7lu/3\nlllb

a^\P-b

(4)面面平行的判定定理

判定定理1:一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，則面面平行

圖形語言符號語言

alia

b//j3

a[\b=A

aua,bua

判定定理2：一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別5F另一個平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行

圖形語言符號語言

alln

bllm

aC\b=Anall/3

mC\n=B

a,bua

up

(5)面面平行的性質(zhì)定理

性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面

性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行

11.空間中的垂直關(guān)系

(1)線線垂直

①等腰三角形(等邊三角形)的三線合一證線線垂直

②勾股定理的逆定理證線線垂直

③菱形、正方形的對角線互相垂直

(2)線面垂直的判定定理

判定定理：一直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直

圖形語言符號語言

1

ILa]

lib

r~—>=>I-La

/a/aC\b=A

a.buaJ

(3)線面垂直的性質(zhì)定理

(4)面面垂直的判定定理

判定定理：一個平面內(nèi)有一條直線垂直于另一個平面，則兩個平面垂直

(或：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則面面垂直)

(5)面面垂直的性質(zhì)定理

12.異面直線所成角

—>—>

cos。=1cos&［）|=\叼=Wz+JVj+zvI

；22222

'/\a\-\b\yjx+y1+z1-ylx,+j2+z2

—>—>

（其中。（0。<。<90°）為異面直線a乃所成角，a力分別表示異面直線a,6的方向向量）

13.線面角

/B*772—*

直線4g與平面所成角，sinQ=一一（加為平面a的法向量）.

\AB^m\

14.二面角a-1-p的平面角

m.w—?—

cos6）=—~—（m,〃為平面a,，的法向量）.

\m\\n\

15.點8到平面a的距離

I4B,nI一

tZ=11（場為平面a的法向量，48是經(jīng)過面a的一條斜線，Aea）.

\n\

基礎(chǔ)知識背記15直線與圓

1.兩點間的距離公式

N(Xi/i),(x-XI)2+(_y-2

B(X2,y2\\AB\=yj22yl)

2.中點坐標公式

x,+x

/=丁7

2（再,必），B（x2,y2）,為48的中點，貝心<

2

3.三角形重心坐標公式

/&,%),B(X2,y2\C(x3,y3),M(x0,%)為A4BC重心

n<3

必）=

3

4.直線的斜率與傾斜角的定義及其關(guān)系

（1）斜率：表示直線的變化快慢的程度；k>0,直線遞增，k<0,直線遞減,

（2）傾斜角：直線向上的部分與x軸正方向的夾角，范圍為［0,乃）

（3）直線的斜率與傾斜角的關(guān)系：k=tan0

00°30°45°60°90°120°135°150°

V3

tan。01V3不存在-V3-1

V一工

5.兩點間的斜率公式

幺（馬,必），MZ，歹2），的B=：_：

6.直線的斜截式方程

y=kx+b,其中左為斜率，b為y軸上的截距

7.直線的點斜式方程

已知點尸（Xo/o）,直線的斜率左，則直線方程為：y-y0=k（x-x0）

8.直線的一般式方程

Ax+By+C=0（/+爐00）

9.兩條直線的位置關(guān)系

（1）平行的條件

%=k

①斜截式方程：lvy=kxx+bx,l2.y=k2x+b2,/J//,。，:

一〔6尸打

AXB2=A2BX

②一般式方程：4：A{x+Bxy+Cx=0,/2:A2X+B2y+C2=0,<

4c2w42cl

（2）重合的條件