2025年高考數(shù)學(xué)模擬卷4（新高考專用）

2025年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷04（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘;滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=（l+g,i為虛數(shù)單位，則z的虛部為（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和乘方的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的定義進(jìn)行求解即可.

【解答過程】+=（1一§=（1-i）3=1+3xM.（一i）+3X1x（-i）2+（-i）3=1一3i-3+i=

-2―2i,

因此復(fù)數(shù)的虛部為—2.

故選：D.

2.（5分）（2024?天津和平?二模）若xeR,下列選項(xiàng)中，使“/<1”成立的一個(gè)必要不充分條件為（）

A.-2<x<lB.-1<x<1C.0<%<2D.-1<%<0

【解題思路】根據(jù)題意，/<1等價(jià)于—1〈尤<1,若所求必要條件對(duì)應(yīng)的范圍為4,則（—1,1）A,由此

判斷即可得到本題的答案.

【解答過程】不等式/<1等價(jià)于—1<x<l,

使“/<1”成立的一個(gè)必要不充分條件，對(duì)應(yīng)的集合為4,貝是4的真子集，

由此對(duì)照各項(xiàng)，可知只有A項(xiàng)符合題意.

故選：A.

3.（5分）（2024?貴州貴陽?二模）已知向量五=（1,—2）花=（2,x）,若（33—司〃@+21），則實(shí)數(shù)久=（）

A.2B.IC.0D.-4

【解題思路】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.

【解答過程】34一了=（1,-6-x）,2+21=（5,2%-2）,

由（32-司〃?+2b）,則有1x（2x-2）-5X（-6-x）=0,

解得x=—4.

故選：D.

4.（5分）（2024?四川達(dá)州?二模）下圖是某地區(qū)2016-2023年旅游收入（單位:億元）的條形圖，則下列說法

錯(cuò)誤的是（）

A.該地區(qū)2016-2019年旅游收入逐年遞增

B.該地區(qū)2016-2023年旅游收入的中位數(shù)是4.30

C.經(jīng)歷了疫情之后，該地區(qū)2023年旅游收入恢復(fù)到接近2018年水平

D.該地區(qū)2016-2023年旅游收入的極差是3.69

【解題思路】根據(jù)中位數(shù)、極差的定義即可判斷BD；結(jié)合圖形，分析數(shù)據(jù)即可判斷AC.

【解答過程】A：由圖可知該地區(qū)2016-2019年旅游收入逐年遞增，故A正確；

B：由圖可知，2016-2023年旅游收入的中位數(shù)為碼產(chǎn)=4.255億元，故B錯(cuò)誤；

C：從圖表可知2023年旅游收入為4.91億元，接近2018年的5.13億元，故C正確；

D：2016-2023年旅游收入的極差是5.73-2.04=3.69億元，故D正確.

故選：B.

5.（5分）（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P是直線x—y-m=0上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)P向圓O:x2+y2=i引

切線，切點(diǎn)分別為MN且NMPN=90。，若滿足以上條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，則（）

A.V2B.±V2C.2D.±2

【解題思路】連接。M,ON,結(jié)合圓的切線性質(zhì)可推得點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心，企為半徑的圓C上，再由題意可

知該圓與直線x-y-爪=0相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得答案.

【解答過程】連接。M,ON,貝IJPM1OM,PN1ON.

又上MPN=90°,OM=ON,所以四邊形MPN。為正方形，|PO|=戈|?？蓔=夜,

于是點(diǎn)P在以點(diǎn)。為圓心，魚為半徑的圓C上.

又由滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)，則圓C與直線X-y-m=0相切，

所以點(diǎn)0到直線x-y-m=0的距離d=①：.瞿=V2,解得m=±2.

故選：D.

6.（5分）（2024?青海西寧?二模）關(guān)于函數(shù)/'（%）=Asin3%+w）（A>0,3>0,0<0<§,有下列四個(gè)

說法：①八久）的最大值為3;②/（X）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)分別為修，犯，且有I久1-久21=田③/（X）的圖象上相

鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為全④/⑶的圖象關(guān)于直線久=?寸稱，若有且僅有一個(gè)說法是錯(cuò)誤的，貝行

（）

A.-迪B.隨C.一D.三

2222

【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得②和③相互矛盾，然后分別驗(yàn)證①②④成立時(shí)與①③④成立時(shí)的結(jié)論,

即可得到結(jié)果.

【解答過程】說法②可得1得到3=1,說法③可得!=工=3則3=2,②和③相互矛盾;

2co2co2

當(dāng)①②④成立時(shí)，由題意4=3,3=1,]+9=2所[+*fcGZ.

因?yàn)?6(0,5,令k=0,得到卬建，

所以/(x)=3sin(%+)得到f(9)=3si嗚+')=3siny=苧,

說法①③④成立時(shí)，由題意A=3,3=2,y+=2/cir+pkez,

則9=2k?t仁((J,]),故不合題意.

故選：B.

7.（5分）（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐P-ABCD中，△PAD為等邊三角形，四邊形力BCD為矩形,

且力B=/BC,平面PAD，平面力BCD,則直線/C與平面PCD所成角的正弦值為()

A.-B.—C.—D.1

222

【解題思路】取M為PD的中點(diǎn)，先證明力Ml平面PCD,得N4CM為所求線面角，由邊長間的關(guān)系求正弦值.

【解答過程】平面PAD1平面力BCD,又平面PADC平面4BCD=4D,

CDu平面力BCD,CD1AD,則CD_L平面PAD,

又CDu平面PCD,故平面PCD_L平面PAD,

取PD的中點(diǎn)M,連接a”,CM,如圖所示，

△PAD為等邊三角形，則力MJ.PD,故AMI平面PCD,

則直線AC與平面PCD所成角即為乙4cM,

令BC=a,貝儲(chǔ)B=V2a,AC=V3a,AM=§a,

AHJIAM

_故LZ.s.mZ-ACM=—=一1.

AC2

故選：A.

8.（5分）（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（%）滿足Inx=,且％1>e,x>eJCq）+/（%）=1，則

:_L一:八僅旬22

的最小值為（）

A.eB.IC.-D.-

7e

【解題思路】通過解方程可得/(%)的解析式，由/(%1)+/(%2)=1化簡(jiǎn)可得lnxt-ln%2=1noi?x2)+3,

結(jié)合基本不等式可得ln(xi?町)>6,運(yùn)用分離常數(shù)法化簡(jiǎn)可得/(的肛)=I-,2進(jìn)而可得其最小值.

【解答過程】因?yàn)镮nx=:+像,所以1口久一In久?/(%)-1一7(%)=0,即/(%)=%

1—j(x)lnx+1

又因?yàn)閒Ol)+f(久2)=1，

——

所以警言?ln%21=1,即(ln%i—l)(ln%2+1)+(ln%2—l)(ln%i+1)21nxi-lnx22

lnxi+1ln12+l(lnxi+l)(lnx2+1)(lnxi+l)(ln%2+1)

所以In%1-lnx2=ln(;q?x2)+3,

因?yàn)椋>e,x2>e,所以lnx1>1,lnx2>1，

所以In/?1%=In。]?％2)+3〈(螞瞥￥=嗎9，

24

整理得l/Qq?%2)-41n(%i?不)-1220,

解得ln(%i?尤2)/6或1noi?%2)工―2(舍)，

所以/(%62)=，產(chǎn)：；=1-「用21—等=*當(dāng)且僅當(dāng)即打=及=e3時(shí)取等號(hào).

In(%「％2)+1ln(x1-x2)+l6+17?X2)=6

故/(盯久2)的最小值為*

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.（6分）（2024?黑龍江牡丹江一模）已知（一,0）為函數(shù)/O）=asin2x+cos2x的一個(gè)對(duì)稱中心，則（）

A.a=V3B.函數(shù)y=/（久—為奇函數(shù)

C.曲線y=nx）關(guān)于x=守寸稱D.函數(shù)y=f（久）在（―瑞吟）單調(diào)遞增

【解題思路】根據(jù)對(duì)稱可得a=?，即可由輔助角公式求解f（x）=/hin（2x+3,結(jié)合選項(xiàng)，即可逐一代

入求解.

【解答過程】解：因?yàn)椋ㄒ还?0）為函數(shù)f（x）=asin2x+cos2x的一個(gè)對(duì)稱中心,

=usin2(—-+cos2(—-^=0,

即—}(2+1=0,解得a=g,故A錯(cuò)誤；

所以/'(%)=-ysin2x+cos2x=卓sin(2x+

y=-])=Wsin^x-]+§=手sin2x,顯然為奇函數(shù)，故B正確;

r/7吟2V3.(n7ITIT\2A/3.9TI2A/3.3n2A/3日息//古

=—sin(2x—+-)=—sin-=—sin—,是取小值，

\1Z/3\1Z□/3。3ZD

所以曲線y=f（x）關(guān)于久="對(duì)稱，故C正確;

當(dāng)xe（-稱吟）時(shí)，2x+]e（話,之所以函數(shù)y=f（x）在（一號(hào),自單調(diào)遞增，故D正確.

故選：BCD.

10.（6分）（2024?黑龍江大慶?三模）已知點(diǎn)P（l,或）是雙曲線C:3/-y2=1上一點(diǎn)，過p向雙曲線的兩

條漸近線作垂線，垂足分別為4B,則下列說法正確的是（）

A.雙曲線的浙近線方程為y=±Bx

B.雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1

C.\PA\?|PB|

D.△P4B的面積為普

16

【解題思路】首先根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，判斷A,再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離判斷BC,最后根據(jù)幾何

關(guān)系，求乙4P8,再代入面積公式，即可求解.

【解答過程】因?yàn)殡p曲線的方程為C:3/—y2=1,所以。=人=1,所以雙曲線的漸近線方程為y=±拄=

土遮久.故A正確；

雙曲線的右焦點(diǎn)律,0）到漸近線y=的距離為d=|=1,故B正確；

由點(diǎn)到直線的距離公式可得|P川?|PB|=型尹x地抖=，故C錯(cuò)誤.

如圖，因?yàn)镵O4=V5，所以乙4。乂=60。.在△PAD和△OBD中，^PAD=AOBD=90°,

/.PDA=AODB,所以Z4PD=NB。。=60。，所以

SNAB=；X\PA\-|PB|sin60。=；x；x^=第,故D正確.

故選：ABD.

11.（6分）（2024?河北?二模）已知函數(shù)f（x）=%?+2），9（乂）=（x+2）lnx,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/■（＞）在R上單調(diào)遞增

B.若對(duì)任意久＞0,不等式f（a久）2f（ln/）恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為:

C.函數(shù)儀久）在（0,+8）上存在極值點(diǎn)

D.若/GJ=g（%2）=t（t〉0），則1右的最大值為工

【解題思路】對(duì)于A,直接求得單調(diào)區(qū)間即可；對(duì)于BCD,構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值即可.

【解答過程】對(duì)于A,f(%)的定義域?yàn)镽j'Qv)=(%+l)ex+2,令m(%)=/(%),

則TH(%)=(久+2)e”,???當(dāng)％G(—co,—2)時(shí)，m(x)<0；

當(dāng)?shù)?(-2,+8)時(shí)，m(x)>0,7H(x)即/'(%)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，

在(—2,+8)上單調(diào)遞增，

???/'(%)>/'(-2)=-e-2+2=2-*>0,.,?/(%)在R上單調(diào)遞增，故A正確；

對(duì)于B,由A知/(%)在R上單調(diào)遞增，由/(a%)>/(In/)得>In%2,則當(dāng)％>0時(shí)，a之哈=手，令h(%)=

等，貝服'(%)=.??當(dāng)％e(0,e)時(shí)，h'(x)>0；當(dāng)％G(e,+8)時(shí),h'(x)<0,/i(%)在(0,e)上單調(diào)遞增,

在(e,+8)上單調(diào)遞減，M%)max=h(e)=：,?,.a2：，即。的最小值為：，故B正確；

對(duì)于C,g(%)的定義域?yàn)?0,+8),g'(%)=Inx+^=Inx4-1+1,令幾(%)=/(%),

則幾(%)=，-.=愛，；.當(dāng)》6(0,2)時(shí),n(x)<0；當(dāng)%6(2,+8)時(shí),

n(x)>0;幾(%)即g'(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

???g(x)>g'(2)=ln2+2>0,gQr)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若=g(、2)=>0),

則％i(e%i+2)=(%2+2)lnx2=t,v/(0)=0,g(l)=0,t>0,

由AC知：f(%),g(%)均為定義域上的增函數(shù)，

%1X1X1

由+2)=(冷+2)ln%2得+2)=(e+2)lne=(x2+2)lnx2/*,?久2=e,「?=

x渭+2)=當(dāng)令p(t)=竽則p'(t)=&，:當(dāng)te(0,e)時(shí)，p'(t)>0；

當(dāng)tE(e,+8)時(shí),p(t)<0,p(t)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

???P(t)max=P(e)=±即次次的最大值為士故D正確.

八e%式%2+2)e

故選：ABD.

第n卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知在遞增的等比數(shù)列｛%J中，的a2a3=1,-+-+-^則

數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=__2—(ZLGJV-)—.

(Cl]Q3=1

【解題思路】設(shè)等比數(shù)列5｝的公比為4,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得。2=1，即有工+解出的值的，。3,

a32

即可求出公比，得出通項(xiàng).

【解答過程】設(shè)等比數(shù)列｛須｝的公比為q,因?yàn)橛蒩2a3=1，所以“=1，解得。2=1，

1117(al?3=1

又工+」+工=g所以有

的a2a32(-----1-----=~

laia32

由｛%｝是遞增的等比數(shù)列，解得的=3。3=2,

所以q=^=2,即有斯=:x2—1=2-2.

0.12

故答案為：2n-2(neN*).

13.(5分)(2024?湖南長沙?二模)已知2cos(2x+cos[-合)-cos3x=：，貝!]cos(2x+§=_—|_.

【解題思路】由3%=(2%+")+(%—巳)，結(jié)合兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)條件可求得cos卜+習(xí)，再利用二

倍角的余弦公式求cos(2x+§即可.

【解答過程】因?yàn)?cos(2x+1)cos(久——cos3x=",

所以2cos(2x+自cos(x一》cos[(2x+")+(s一,]=%

所以cos(2x+吊cos(%-芻+sin(2x+芻sin(%—￡)=p

所以cos(久+5)=9

所以cos(2x+；)=2cos2(%+f—1=—1.

故答案為：-，.

o

14.(5分)(2024?陜西榆林?模擬預(yù)測(cè))已知曲線/0)=/與g(x)=ln(ax)(a>0)有公共切線，則實(shí)數(shù)a

的最大值為—圖

【解題思路】先設(shè)出切點(diǎn)，求導(dǎo)得到切線方程，斜率截距對(duì)應(yīng)相等，得至U1-Ina=衰+也右,構(gòu)造函數(shù)Mx)=

*+lnx,轉(zhuǎn)化為存在性問題，最終求最值即可.

【解答過程】設(shè)曲線f(x)=/與g(%)=ln(ax)(a>0)的切點(diǎn)分別為(孫西)，(x2.ln(ax2))>

'//(x)=2x,g'(x)=.,.k1—2%],k2=—,

/.y—=2久式%—%!),y—ln(ax2)=—x2)

乙式］—ii

?*?"2,+ln(a%2)—1=0,即1—Inn=——2+ln%2，

4x24x2

+ln(ax2)—1=0

令h(x)=*+In%,貝ij九GO=2；/i,

當(dāng)0<%<爭(zhēng)寸，h\x)<0,九(%)單調(diào)遞減;當(dāng)工〉苧時(shí)，h\x)>0,h(%)單調(diào)遞增，

/i(x)>h(j)=；+In/,即1—Ina>|+In字即Ina<lnV2e,EP0<a<V2e.

故答案為：反

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))在△ABC中，角48C的對(duì)邊分別是a,hqtanC=(a—l)tanB.

(1)求證：bcosC=1；

(2)若a=2,△ABC面積為1,求邊c的長.

【解題思路】(1)根據(jù)題中等式利用同角三角函數(shù)商關(guān)系公式，兩角和的正弦公式，三角和內(nèi)角和定理，

正弦定理化簡(jiǎn)得到結(jié)果；

(2)利用(1)的結(jié)果計(jì)算sinC=Jl-i,再利用三角形面積公式計(jì)算出a,6,最后利用余弦定理計(jì)算出c；

【解答過程】(1)證明：根據(jù)tanC=(a-l)tanB,以及tanC=三鼻，tanB=奧］

得=(a-sinfcosB=(a—l)cosfsinB.

所以acosCsinB=sinCcosB+cosCsinB,即acosCsinB=sin(C+B),

根據(jù)3C=n-A,得sin(C+B)=sin/.

所以acosCsinB=sinA,

由正弦定理，得abcosC=a,因此bcosC=1.

(2)由(1)知，cosC=I，sinC=Jl-

SAABC=^absinC==Vb2-1=1,

所以/=2,得力=魚，COSC=-y,

又a=2,

所以由余弦定理得c=+/一2abeosC=J4+2-2x2xV2Xy=V2.

16.(15分)(2024?四川雅安?三模)已知函數(shù)/(%)=(a—1)%—2sinr

(1)若函數(shù)/(%)有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若關(guān)于久的不等式f(%)+%(1+cos%)<0在％G上恒成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【解題思路】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與極值的關(guān)系即可求解.

(2)由已知變形為2sinx—xcosx—ax>0恒成立，構(gòu)造函數(shù)/i(%)=2sinx—xcosx—ax,xE［。目，分類討

論研究函數(shù)的單調(diào)性，利用最值列不等式求解即可.

【解答過程】(1)依題意，/(%)=a-1-2cosx,令/■'(%)=(),得Q=1+2COSK,

因?yàn)?+2cosx6所以當(dāng)a<-1時(shí)，f(x)<0/(%)在R卜單調(diào)遞減；

當(dāng)3時(shí)，/(%)>0,故/(%)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)一1Va<3時(shí)，/(%)=0有變號(hào)零點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)/(%)存在極值；

綜上a6(—1,3).

(2)依題意，由f(X)+%(1+cosx)<0,

得(a—l)x—2sinx+x(l+cosx)<0,即2sinx—xcosx—ax>0,

設(shè)九(%)=2sinx—xcosx—ax,xE，

則九(%)=2cosx—cosx+xsinx—a=cosx+xsinx—a,

設(shè)TH(%)=cosx+xsinx—a,貝!JTH(%)=xcosx,

當(dāng)％e時(shí)，m(*)>。，血(%)單調(diào)遞增；

所以在工上，九'(%)W九'0=］—a,且h'(0)=l—a,

當(dāng)/一a<0,即a>］時(shí)，h(x)>0,九(%)在［0/n］上單調(diào)遞減，

則九(%)4九(0)=0,不符合題意，舍去，

當(dāng)a>0,即時(shí)，

(i)若1—a<0,BP1<a<p

m的E(0弓)，使得/(%o)=。，當(dāng)0V%<M時(shí)，h'(%o)V0,/1(第)在(0,&)內(nèi)單調(diào)遞減，h(x)<h(0)=0,不

符合題意，舍去，

(ii)若1—a20,即a<1,h'(x)>0恒成立，

九(%)在％E3上單調(diào)遞增，則九(%)>h(0)=0,符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-8,1].

17.（15分）（2024?河南周口?模擬預(yù)測(cè)）如圖,平行六面體力BCD-中，底面4BCD與平面ABC/i

都是邊長為2的菱形，4BCD=4BCiDi=12?！?側(cè)面BCC/i的面積為底.

⑴求平行六面體A8CD-4/的。1的體積；

（2）求平面BCCiBi與平面CDDiCi的夾角的余弦值.

【解題思路】（1）連接4C,4的，根據(jù)菱形的性質(zhì)、余弦定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、三角形面積公

式、棱柱的體積公式進(jìn)行求解即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【解答過程】（1）連接AC,ACr，

因?yàn)榈酌鍭BC。與平面48clz均為菱形，且2BCD=^BC1D1=120°,

所以△汨與aAB。均為等邊三角形，

取的中點(diǎn)。，連接。C,OCi，貝！JOC_L4B,OC±LAB,貝I]。。=。的=再，

因?yàn)閭?cè)面Beg場(chǎng)的面積為屈，

所以△B?的面積為苧貝嶺x2x2sinNCBCi=殍,

所以sinzCBCi=乎貝UcoszCBCi=\

在△BCCi中，C*=22+22—2x2x2x*=6,貝！|"i=迎，

所以。。2%。備=C或，所以。C_LOCi.

因?yàn)榱CiOC=。，4B,0Cu平面力BCD,

所以。的1平面4BCD,

故平行六面體力BCD-48忑1。1的體積，=SABCD?。的=2x2sin60°xV3=6.

（2）由（1）可知，48,。。,。的兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，以。B,OC,OCi所在直線分別為支軸、y軸、z軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz.

則B(1,O,O),C(0,V3,0),的(0,0,b),D(-2,V3,0),

BC=(-l,V3,0),CC\=(0,-V3,V3),CD(-2,0,0),

設(shè)平面BCCiB］的法向量為記=(xi，yi，z。,

l：0：H-XX=0,取為=L麗=(V3.U).

設(shè)平面CD/。的法向量為元=(x2,y2,z2),,

嘿?"得｛一￡21。取…則元=(0,1,1),

于是cos(而用=磊=2_V10

V5xV2―—'

設(shè)平面BCC/i與平面CDDiCi的夾角為仇

所以cos0=|cos(m,n)|=等.

18.(17分)(2024?遼寧錦州?模擬預(yù)測(cè))甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分,

負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已

知每局比賽中，甲獲勝的概率為a,乙獲勝的概率為0,兩人平局的概率為y(a+S+y=l,a>0，S>0,y2

0),且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴若a=|，s=|,y=:求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；

(2)當(dāng)y=0時(shí)，

(i)若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望E(X)的最大值；

(ii)若比賽不限制局?jǐn)?shù)，求“甲學(xué)員贏得比賽”的概率(用%/?表示).

【解題思路】(1)用事件4分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)

員贏得比賽”為事件N,則事件N包括事件：4CC4azic4CCA4共5種，即可求解；

(2)(i)由題意得X的所有可能取值為：2,4,5,求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列及求出數(shù)學(xué)期望，并求出最

大值；

(ii)由(1)得前兩局比賽結(jié)果可能有：AA,BB,AB,BA,其中事件44表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件表示

“乙學(xué)員贏得比賽”，事件力表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)

員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，所以P(M)=P{AA)?1+P(BB)?0+PQ4B)?

P(M)+P(BA)-P(M)即可求解.

【解答過程】(1)用事件4B,C分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，

則。(4)=a=：,P(B)=0=|,P(C)=y=1,

記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N,

則事件N包括事件：ABAA,BAAA,ACCA,CACA,CCAA^5種，

所以P(N)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCAA)

=2P(B)P(A)P(A)P(A)+3P(C)P(C)P(4)PG4)

…(丘嗚飛"

(2)(i)因?yàn)閥=0,所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即a+0=l,

由題意得X的所有可能取值為：2,4,5,

P(X=2)=a2+伊,

P(X=4)=(a6+pa)a2+(鄧+0a)伊=2a.隊(duì)a2+儼),

P(X=5)=(a￡+°a)?(a￡+^a)-1=4a2/?2,

所以X的分布列為：

X245

a22aj?(a2

p4a2/?2

+/?2+乃)

所以X的期望為:

E(X)=2(cr2+r)+8as(a2+儼)+20a2/?2

=2(1-2a位+8a0(1-2a/?)+20a2/?2

=4a2爐+4a0+2

因?yàn)閍+夕=122質(zhì)，所以

等號(hào)成立時(shí)，a=/?=g,所以0<a°w],

所以E(X)=4a2伊+4a/?+2=(2a￡+1尸+1<(2Xi+l)2+1=y,

故E(X)的最大值為：*

(ii)記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件則「(用)=三=號(hào)，

l—2apa"+伊

由(1)得前兩局比賽結(jié)果可能有：AA,BB,AB,BA,

其中事件44表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件BB表示“乙學(xué)員贏得比賽”，

事件4表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，

當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，

所以P(M)=PQL4)-1+P(BB)?0+PQ4B)-P(M)+P(BA)-P(M)

=P(4)P(4)+P(4)P(B)P(M)+P(B)P(4)P(M)

=a2+a0P(M)+0ap(M)

=a2+2a/?P(M),

所以(1一2a0)P(M)=a?,得P(M)=

1—Z(Zp

+6=1,所以P(M)=-2=~2---丁布----=2c2.

因?yàn)閍k722222

產(chǎn)(a+/?)-2a/?a+2ap+p-2apa+/?

19.(17分)(2024?河南三門峽?模擬預(yù)測(cè))設(shè)有窮數(shù)列4%,做，…,時(shí)(九22)的所有項(xiàng)之和為S,所有項(xiàng)的

絕對(duì)值之和為7,若數(shù)列4滿足下列兩個(gè)條件，則稱其為九階“0-1數(shù)列"：①S=0；②T=L

(1)若2023