2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練：解三角形（選填壓軸題）（學(xué)生版+解析）

專題16解三角形（選填壓軸題）

目錄

一、三角形邊長相關(guān)問題....................................1

二、三角形周長問題.......................................2

三、三角形面積問題......................................24

四、三角形與向量綜合問題.................................4

一、三角形邊長相關(guān)問題

L（2024?全國?模擬預(yù)測）已知AABC外接圓的半徑為畫G,。為邊BC的中點(diǎn)，AD=1，

32

—BAC為鈍角，則2AC-AB的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.[-2,2]C.（-1,2）D.（-1,2]

2.（23-24高二上?河南鄭州?開學(xué)考試）在中，角A氏C所對(duì)的邊分別是

°、氏°,4=120。,。是邊3（7上一點(diǎn)，且=貝ij%+2c的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

3.（23-24高一下?湖北?期中）在銳角中，角A,B,。所對(duì)的邊為〃，b,c,若

半半=您4+4,且siYA+si/B-sin2c=sinA-sin3,則上的取值范圍是（）

3sinAaca+b

A.[5/3,2A/3）B.（6,473]C.[26,6）D.[g,2）

4.（23-24高一下?天津靜海?期中）在銳角三角形ABC中，若百sinB+cos8=2,且滿足關(guān)

.jCOsBcosCsinAsinB也也6，口/、

系式^―+----=,.，則4+C的取值范圍是（）

bc3smC

cD

5.⑵-24高一下?浙江嘉興?期末）在中,B^,C^AC^,AC的中點(diǎn)為D,

若長度為3的線段PQ（P在。的左側(cè)）在直線BC上移動(dòng)，則的最小值為

.730+2710D回+3加

22

c回+4麗D回+5師

?2?2

6.（23-24高一下?重慶?期末）在銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,s為

AABC的面積，且2s="一伍"y,則空土且的取值范圍為__________.

be

7.（23-24高一下?湖南永州?期末）在AABC中，角42,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若c=?sinA,

則？h的最大值是.

a

8.（23-24高一下?江蘇連云港?期中）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃，b,

h2

什尸二1一sinB1-cos2A則片的取值范圍是

yp?q-

cosBsin2A

二、三角形周長問題

1.（23-24高一下?江蘇淮安?期末）在41BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=6，

J!LA/3COSB+sinB=c,則AABC的周長的取值范圍為（）

A.（百,2陰B.[A/3,2A/3]C.倒括,3@D.12百,3向

2.（23-24高二上?福建泉州,開學(xué)考試）在銳角AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,S

為AABC的面積，a=2,且2s="-伍一）2,則AASC的周長的取值范圍是（）

A.（4,6]B.（4,275+2]

C.（6,2石+2]D.（4,^+2]

3.（23-24高三下?河南?開學(xué)考試）在"RC中，若內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

ZABC的平分線交AC于點(diǎn)。，RD=1且匕=2,則AASC周長的最小值為（）

A.7B.2夜C.2+2-72D.4

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

（c-6）sinC=asinA-6sin3,若AABC的面積為招，則AASC的周長的最小值為（）

A.4B.4+73C.6D.6+73

5.（23-24高一下?江蘇鹽城?期中）在銳角41BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

b=3,sinA+asin8=2百，則&4BC周長的取值范圍為.

6.（23-24高一下?四川成都?期中）已知在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

并滿足條件仇=（。,2力），n=（cosC,sinC）,m-n=b+c,|m|=4,則AABC的周長范圍

TT

4.（23-24高一下?廣東廣州?階段練習(xí)）在AABC中,ZABC的平分線交AC于點(diǎn)D,ZABC=-,

BD=4,則AABC面積的最小值為（）

A.3叵B.迪C.165/3D.16

33

5.（23-24高一下?湖北武漢?期中）設(shè)。是AABC的外心，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，滿足

DO=^AAB-^AAC,A&R,若|前卜2,則面積的最大值為（）

A.2B.4C.45/2D.8

6.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）如圖，平面四邊形中，

AB=3,AC=2BC,AD=DC,ZADC=90。，則四邊形ABCD面積的最大值為.

7.（2024高二下?浙江杭州?學(xué)業(yè)考試）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2,

__cQ___DC

麗?國=萬聯(lián)國=1,記AABC與AACD的面積分別為品S〉則邑的值

為.

8.（23-24高一下?四川成都?期中）AABC中，NC=150。,。為線段A3上一點(diǎn)，CD=L且

DCAC=0>則AABC面積的最小值為.

9.（23-24高三下?重慶渝中?階段練習(xí)）如圖，四邊形ABC。由“1BC和AACD拼接而成，

其中NACB=90。，NADC>90°,若AC與30相交于點(diǎn)E,ZACD=30°,AD=2,AC=2道,

且tan/A4￡）=之叵，則ACDE的面積S=.

5一

D

四、三角形與向量綜合問題

1.（23-24高一下?福建廈門?期末）向量,,￡2滿足6.02=0,同=同=1,（"6,4-02）=^,

則口的最大值為（）

A.夜B.C.0+諉D.瓜

22

2.（23-24高一下?重慶?期末）已知AABC中，角人民。的對(duì)邊分別為，且滿足

（2AB+AC）1BC,麗在它上的投影向量的模長為gc,則cosA=（）

A.—B.@C.叵D.叵

451010

jr

3.（23-24高一下?山東青島?期中）AABC中，AB=^^ACB=-,。是AABC外接圓

圓心，是灰1.荏+瓦?麗的最大值為（）

A.1B.72+1C.3D.5

4.（23-24高一下?黑龍江綏化?階段練習(xí)）在等腰“RC中，AB=AC=6,。為AC上一點(diǎn),

且而=2萬？，記AABC的外心為。，若瓦5=2次5,貝I］%；岳-3e=（）

27

A.9B.12C.—D.27

2

5.（23-24高一下?上海?期末）如圖，已知點(diǎn)尸為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，|通-罔=8,

|相=3網(wǎng)，定義點(diǎn)集￡>=［尸］?=3X通+—亞XeR},若存在點(diǎn)4使得對(duì)任

意尸eO,有|福上|明恒成立，那么當(dāng)VWC的面積取得最大值12時(shí)，忸匐=.

A

B

6.（23-24高一下?重慶?期末）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算

經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖"，亦稱"趙爽弦圖"（以弦為邊長得到的正方形由4個(gè)

全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成，如圖①），類比"趙爽弦圖"，可構(gòu)造

如圖②所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的

等邊三角形，其中2礪=3衣，則》^的值為;設(shè)而=彳荏+〃記，貝I

7.（23-24高一下?江蘇宿遷?期末）記AABC的三個(gè)內(nèi)角4民C,且AB=4,AC=6,若。

是AABC的外心，是角A的平分線，。在線段8C上，則.而=.

專題16解三角形（選填壓軸題）

目錄

一、三角形邊長相關(guān)問題....................................1

二、三角形周長問題.......................................2

三、三角形面積問題......................................24

四、三角形與向量綜合問題.................................4

一、三角形邊長相關(guān)問題

L（2024?全國?模擬預(yù)測）已知AABC外接圓的半徑為《迦，。為邊的中點(diǎn)，AD=^,

32

—BAC為鈍角，貝U2AC-AB的取值范圍是（）

A.（-2,2）B.[-2,2]C.（-1,2）D.（-1,2]

【答案】C

【分析】解法一：禾U用正弦定理和外接圓的半徑可求得/BAC=120。，設(shè)NB4E=a,利用

正弦定理將AC,A3用角”的三角函數(shù)表示出來，再利用三角恒等變換及三角函數(shù)的值域

即可求解；

解法二：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得/BAC=120。，利用向量2蒞=麗+/可得

1=b1+c1-bc，^t=2AC-AB=2b-c,再由關(guān)于，的方程3從-3力+/一1=0至少有1個(gè)

正根，利用判別式可得其范圍；

解法三：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得NA4c=120。，在AABC和△ABD中，分別利

用余弦定理可得1=6?+C?-6c,^-t=2AC-AB=2b^c,再由關(guān)于b的方程

3廿一3加+產(chǎn)-1=0至少有1個(gè)正根，利用判別式可得其范圍.

【詳解】解法一：

根據(jù)正弦定理得拽些=BC,所以sinZBAC=是,

3sinZBAC2

因?yàn)閆BAC為鈍角，所以/BAC=120。；

延長4￡）到E,使得AD=DE,連接BE,CE,如下圖所示:

易知四邊形ABEC為平行四邊形，且ZABE=18（T-/54C=60。.

BEABAE

設(shè)N54E=m則々"=120。一a，所以京=sin(120-a)=詢，

即AC=A3=2二2

sincrsin(1200-a)sin600石

22

所以AC=^rsina,AB=-j=sin(120°-),

所以2AC-A3=2sin(a-30。),

因?yàn)?。＜。＜120。，所以—300＜a—30°＜90°，所以一：＜國11（1-30。）＜1,

所以-1＜2$由（0-30。）＜2,

可得2AC-AB的取值范圍是（-1,2）.

解法二:

根據(jù)正弦定理得名酶=BC

3sinZBAC

所以sin/A4C=走，因?yàn)?B4c為鈍角，所以/B4c=120。

2

因?yàn)?。為邊BC的中點(diǎn)，所以2而=而+/，可得4須2=大送+2荏?*+配2，

設(shè)AC=b,AB=c,則1=無+°2一歷①.

T^t=2AC-AB=2b-c,貝ljc=26—t,

將其代入①得3/一3活+/一1=0②，

所以關(guān)于b的方程3加-3必+產(chǎn)-1=0至少有1個(gè)正根；

當(dāng)A=9?-1292-1）=0,即/=±2,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)f=2時(shí)，方程②即6?-26+1=0,解得6=1,貝!|c=2Z?-r=0,不合題意;

當(dāng)仁一2時(shí)，方程②即從+26+1=0,解得匕=-1，不符合題意；

<|A=-3Z2+12>0

A=-3r+12>0

所以h或，解得-1々<2,

->02

12t2-l<0

故2AC-45的取值范圍是(-1,2).

解法三：

根據(jù)正弦定理得粵J-,

所以sin/8AC=W,因?yàn)?BAC為鈍角，所以/B4C=120。；

2

設(shè)5C=a,AC=〃,AB=c,根據(jù)余弦定理得標(biāo)二〃十。2-2)ccosNa4C=h2+。2+反，

^22_r2

在AABC中易知COS3=巴二一—

2ac

222

f-Y+c-AD^+c--

又在/\ABD中可得8sB=以----------=-4----4,

CT2」

所以可得片+。2-萬2二+c-4,即1=2〃+2°2-/,

lacac

將儲(chǔ)=萬+。2+歷代入,得1=/?2+02—be①，

^t=2AC-AB=2b-c1貝ijc=2b—3

將其代入①得3必_3加+/-1=0②，

所以關(guān)于b的方程3/一3傷+/一1=0至少有1個(gè)正根；

當(dāng)A=9產(chǎn)一12(產(chǎn)-1)=0,即/=±2,

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)7=2時(shí)，方程②即"2-26+1=0，解得6=1,貝l|c=2〃—t=0,不合題意;

當(dāng)/=一2時(shí)，方程②即戶+2匕+1=0,解得6=-1,不符合題意；

,fA=-3r+12>0

△=-3產(chǎn)+12>0

所以r或:<°，解得-1</<2,

->02

12/2-1<0

故2AC-的取值范圍是(-1,2).

故選：C

【點(diǎn)睛】解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：

一是將所求量表示為與邊有關(guān)的形式，利用函數(shù)知識(shí)或基本不等式求得最值或范圍;

二是將所求量用三角形的某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，結(jié)合角的范圍確定最值或范圍.

2.（23-24高二上?河南鄭州?開學(xué)考試）在AABC中，角A&C所對(duì)的邊分別是

。、604=120。,。是邊3。上一點(diǎn)，且A￡）=g,則6+2c的最小值是（）

A.4B.6C.8D.9

【答案】C

【分析】利用正弦定理及3+C=60。，表達(dá)出"2°=南"浦”，再利用基本不等式

求出最值.

【詳解】如圖所示，

因?yàn)?=120。,所以3+C=60°,

AF）

在RSABD中，AB=----,即c

tanBtanB

因?yàn)镹CW=120?！?0。=30。，

ACAD

由正弦定理可得:即—7-------------7

sinZADCsinCsin（ZB+90°）sin（600-B）,

6cosB

所以6=

sin（600-B）;

..6cosB2GA/3COSB2石

所以sin（60°-B）tanB^31tanB

——cosB——sinB

22

下）262732?6

V3_ltanBtanBg-tanBtanB（73-tanB）tanB

22

因?yàn)?。<區(qū)<60。，所以0<tan3<g,

24

所以"2c之二8

-tanB+tanB

當(dāng)且僅當(dāng)百Tan…nB,即tanB=乎時(shí)，等號(hào)成立,

所以b+2c的最小值為8.

故選：C

3.（23-24高一下?湖北?期中）在銳角dBC中，角A,B,。所對(duì)的邊為mb,c,若

sinBsinCcosAcosC0cc2”令小什R口/、

——一--=----+-----，且sin2A+sin2B-sin?C=sin4sin3,則nil-----的取值氾圍是()

3sinAaca+b

A.[右,2g)B.(6,4^/3]C.[2g,6)D.[代,2)

【答案】D

【分析】由sin?A+sii?B-sin?C=sinA-sinB,結(jié)合正余弦定理求得角C,繼而由

sm'sinC=您4+%￡結(jié)合正余弦定理求出c=2百,再表示出a=4sinA,b=4sinB,

3sinAac

利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得a+b的范圍，即可求得答案.

【詳解】由sin?A+sin?8-sin?C=sin4sin8,由正弦定理得小+――=曲,

即有cosC="+"一°?=j.,而Ce(0,g],則。=生，

2ab2I2J3

「sinBsinCcosAcosC

X————=—+—,

3sinAac

V3b2+c2-a2a2+b2-c2

由正弦定理、余弦定理得，°?2bc?2ab，化簡得：c=2退，

3aac

上=上=工=述=4

由正弦定理有：sinAsinBsinC73，即〃=4sinA,Z?=4sinB,

~2

△ABC是銳角三角形且C=。，有Ae（0，m，3=年-44。，5，

7171

解得

62

=4(sinA+且

因止匕a+Z?=4(sinA+sinB)=4cosA+-sinA

22

7

e

所以〃+廠4氐in'+j

故選：D

4.（23-24高一下?天津靜海?期中）在銳角三角形ABC中，若gsinB+cosB=2,且滿足關(guān)

cosBcosCsinAsinB…以誓/+什卬口/、

系式^―+----=°.八，則a+c的取值范圍是（）

bc3sinC

-

D2

-

【解析】根據(jù)已知條件求得"B,構(gòu)造a+c的函數(shù)，通過求三角函數(shù)的值域，即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)樨礽nB+cosB=2,故可得sin，+/l,

又Be［。,］）故可得B=60。.

cosBcosCsinAsinBccosB+bcosCsinA〃石

因?yàn)橐?-+----=c.八,故口」行-------------=-----XsinB=一X——

bc3sinCbe3sine3c2

卜

整理得/,=26，貝IJ2R=—^=4.

sinB

故可得a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4sin（A+60°）=4A/3sin（A+30°）,

因?yàn)锳J。,2120。一Ae10,?,故可得Ae（30°,90°）.

貝I］4百sin（A+30。）e（6,40］

故可得a+ce（6,4石］.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理求解三角形中的范圍問題，涉及正弦的和角公式，屬綜合

困難題.

5.（23-24高一下?浙江嘉興?期末）在AASC中，3=彳,。=",47=2而，AC的中點(diǎn)為D,

412

若長度為3的線段尸。（P在Q的左側(cè)）在直線BC上移動(dòng)，則AP+。。的最小值為

人回+2師D聞+3技

22

C聞+4麗D聞+5加

'2'2-

【答案】B

【分析】先根據(jù)正弦定理求得BCA8,以3c所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)

對(duì)稱性和兩點(diǎn)間的距離公式，求得所求的最小值.

2>/6BCAB

【詳解】由正弦定理可得方=正=/1/7，水；=6,42=30+#,

T~2~4

以BC所在直線為x軸，則40,3+6））（0,0）,。（〃+3,。）,口（匕叵,生芭）

則AP+。。表示x軸上的點(diǎn)P與A和（-38,帶8）的距離和，

利用對(duì)稱性，（-士字，檸8）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E（-與8,-檸8）,

可得AP+的最小值為AE=叵+3加.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查距離和的最小值的求法,考查坐標(biāo)法，

屬于中檔題.

6.（23-24高一下?重慶?期末）在銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,S為

AABC的面積，且2s=儲(chǔ)-e-c）2,則竺±1的取值范圍為__________.

be

【答案】20,II）

【分析】利用三角形面積公式和余弦定理，可得2-sinA=2cosA,再根據(jù)同角三角函數(shù)的

關(guān)系可得sinA,cosA,tanA,然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得

1bb

bsinB5,3,結(jié)合條件可得tanC的取值范圍，進(jìn)而可得巳的取值范圍，令

—=--=---F—cc

csinCtanC5

則"絲+/="+1，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

becbt

1

【詳解】因?yàn)镾=,bcsinA,2S=a1-（Z?-c）9,

所以Z?csinA=/_僅_。）2,即〃+。2_儲(chǔ)=/7c（2-sinA）,

由余弦定理/+/一/=2Z?CCOSA,所以2—sinA=2cosA,

又因?yàn)閟in'A+cos2A=1,所以sii?A+12一;nA）=b

4

解得sinA=《或sinA=0,

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，

所以sinA=g,所以cosA=Vl-sin2*4A=,

4

所以tanA=—,因?yàn)锳+3+C=7i,

3

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA,

4「3?不4

—cosC+—sinC

由正弦定理得sin5sinAcosC+sinCcosA55上+3

csinCsinCsinCtanC5

因?yàn)锳ABC為銳角三角形,

0<B<-—<A+C<7T

22

所以，所以

0<C<-

2。＜。苫

cosA3

sinA4

14

所以°<榛<5'

4

所以435

所以35,35,

C5,3

5tanC53

b2b2+c22bcc1

設(shè)則----------=——+—=2/+一,

Cbecb

因?yàn)楹瘮?shù)y=2r+1在||,

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

當(dāng)”乎時(shí),有最小值為s,“加，有最大值為II,

r-159

所以203尸話,

所以"Je

be

故答案為：20,II1

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡可得

4

Z?_sinB5上3,進(jìn)而可以求解.

----1--

csinCtanC5

7.（23-24高一下?湖南永州?期末）在AABC中，角4,2,C所對(duì)的邊分別為。也c,若c2Z?sinA,

則？h的最大值是

a

【答案】V2+1/1+V2

【分析】由c=?sinA明確邊c上的高等于邊c的一半，做出邊c上的高CO,設(shè)=用

hh

X表示出巴，再結(jié)合換元法和基本不等式，求士的最大值.

aa

【詳解】如圖:

過C作CD_LAB于。.

因?yàn)閏=2/2sinA=2CD,所以CO=￡.

2

設(shè)。2一2cx=t

bb

若，=0,則一=1；若，＜0,則一＜1；

aa

當(dāng)/＞0時(shí),

=1+且'=2夜+3

（當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=2,4即，=缶2時(shí)取"=〃）.

所以空也應(yīng)+3=應(yīng)+1

a

故答案為：6+1

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求取值范圍得問題，常用的方法有：

（1）結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；

（2）利用基本不等式，求最值；

（3）利用三角函數(shù)的有界性求最值；

（4）判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值.

8.（23-24高一下?江蘇連云港?期中）在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,

1-sinB_l-cos2A則三h的2取值范圍是

cosBsin2A

【答案】[o,1

【分析】根據(jù)二倍角公式可得上駕=2",即COSA=sinC=cos佰-c],根據(jù)角的范圍

cosBcosA<2J

可得C-A=W，B=^--2A,0<A<:,故cosAe.由正弦定理、同角三角函數(shù)的

224I2)

A)2/\Q

基本關(guān)系及二倍角公式可得22=41+COS2A+；——TT-12,換元，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的

a2+2c2''1+cos2A

性質(zhì)即可求解.

■、斗々刀.工的上—r/口1—sinBl-cos2A2sin2AsinA,,

【詳解】由題意可得------=--------=-----------=-----,故

cosBsin2A2sinAcosAcosA

cosA—sinBcosA=sinAcosB,

即cosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=cos

因?yàn)锳e(O,7T),所以4=]_(7或_4='_0,

即C+A=工或C-A=2,即3=巴或C-A=二.

2222

若2=5,則cosB=0,則上網(wǎng)更無意義，故C-A=￡.

2cosB2

717T

又A+B+C=TI,所以2A+B=—,即3=--2A.

22

因?yàn)镃-A=&,所以C>四,0<A<女，0<B<-,

2222

TT

所以解得。<A<"故cosAe

兀71

0<——2A<—

22

sir?5

由正弦定理可得-22

a2+2c2sin2A+2sin2C

_sin2Bsin2B

sin2A+2sin2f+Asin2A+2cos之A

sir?[J—2A

cos22A

sin2A+2cos2Asin2A+2cos2A

(2cos2A-l)_4cos4A-4cos之A+l

1+cos2A1+cos2A

4(l+cos2A)2-12(1+COS2A)+9

1+cos2A

=4(l+cos2A)+————12,

\)1+cos2A

令f=l+cos2則7=4f+2_i2.

22

［2)a+2ct

設(shè)/⑺=4f+，12je1|,2)

由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得/.⑺在［I，2］上單調(diào)遞增,

所以即占片(夕

故答案為

二、三角形周長問題

1.（23-24高一下?江蘇淮安?期末）在UL6C中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若a=6,

且百cos5+sinB=c,則的周長的取值范圍為（）

--

B2ICD23

--

【答案】C

【分析】方法一：設(shè)AABC的外接圓半徑為凡根據(jù)正弦定理及已知可將題干等式化為

27?sinAcosB+sinB=27?sinC,再結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡，結(jié)合2Hsin4=〃=石可

得tanA=若，最后根據(jù)正弦定理以及三角恒等變換用3表示出疑。的周長，根據(jù)三角函

數(shù)的性質(zhì)求解即可.

方法二：根據(jù)三角形三邊關(guān)系排除即可.

【詳解】方法一：設(shè)融。的外接圓半徑為七

abccc

則----=-----=-----=2R,

sinAsinBsinC

因?yàn)锳/3COSB+sinB=c,a=A/3,

所以acos5+sin5=c,

可得2RsinAcosB+sinB=2RsinC=2Rsin（A+B）,

即2RsinAcosB+sin3=2RsinAcos3+2HcosAsin5,

可得sinB-27?cosAsinB,

因?yàn)?￡（0,兀），sinBwO,

所以2RcosA=l,

結(jié)合2RsinA=a=，可得tanA=^/3，

又AE（0,兀），所以A=g,

可得-^_=上=-^=2,

sinAsinBsinC

貝UAABC的周長為/=Q+b+c=0+2sin5+2sinC

=G+2sin5+2sin

=百+2sinB+A/3COSB+sinB=26sin^B+,

?—t、tr*?/-v27r?廣廣.7u_兀5兀

因?yàn)?$0,-^-,所以t；＜3+：＜L，

I3，oo6

H1Jsin^+^eQ,l

可得/e（26,3君］

方法二：由b+c>a,a=若可知"BC周長>26，排除ABD,

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解三角形周長和面積的取值范圍問題一般需將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為邊或者角

的式子，再利用三角函數(shù)性質(zhì)或基本不等式即可求得取值范圍.

2.（23-24高二上,福建泉州,開學(xué)考試）在銳角AABC中，角A,民C的對(duì)邊分別為瓦c,S

為"RC的面積，a=2,且2s=6?-他-cP，則AABC的周長的取值范圍是（）

A.（4,6]B.（4,2A/5+2]

C.（6,2A/5+2]D.（4,75+2]

【答案】C

A14

【分析】利用面積公式和余弦定理可得tanz=7，tanA=；,然后根據(jù)正弦定理及三角變換

223

可得匕+c=g（sinB+sinC）=2如sin（8+e）,再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到8的范圍,

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問題.

2

【詳解】?:2s=儲(chǔ)_僅_。）2=ai_yi-c-^-2bc=2bc-2bccosA,

/.S=bc-bccosA=—bcsinA,

2

1AAA

1-cosA=—sinA,即Zsii?—=sin—cos—,A為銳角,

2222

A114.443

tan—=—,tanA4=-----=—,sinA=—,cosA=—「公

2211355，又。=2,

i—

4

abc5

由正弦定理可得—:===一，

sinAsin3sinC2

所以6+c='1(sin3+sinC)='|[sin8+sin(A+8)]

34

=—IsinB+—sinB+—cosB|=4sin5+2cos5

255

=2j5sin(5+0),其中tan°=-,(p=—

22

因?yàn)锳ABC為銳角三角形,

所以萬?一<耳，則萬一4+0<_8+O<耳+夕,

口廣7rAenA

即：-----<3+0<一+一，

2222

A_A2

所以cos5<sin（3+0）?l,又。。丐二忑，

4<2石sin(B+°)W2石，即6+ce卜,2石],

故AABC的周長的取值范圍是（6,2如+2].

故選：C.

3.（23-24高三下?河南?開學(xué)考試）在"WC中,若內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

NABC的平分線交AC于點(diǎn)。，BD=lS.b=2,則AABC周長的最小值為（）

A.7B.20C.2+20D.4

【答案】C

【分析】先利用面積相等與三角形面積公式，結(jié)合正弦的倍角公式求得2.3下…a,

再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到。c的關(guān)系式，從而利用基本不等式求得

Q+CN20，由此得解.

【詳解】由題可得,SAABC=SMBD+SWCD，即

幺吟工…業(yè)

—acsinZABC=—BD?csinsin

22222

ZABCZABC

又BD=\,所以2acsinZABC=csin+。sin則

22

c.ZABCZABCz、.ZABC

2acsin-----cos------=c+asin------

22v72

因?yàn)樗?〈幺些〈色，則sin幺絲片0,

222

..X.ABC口門Z.ABCc+a

所以2accos------=c+a,即cos------

222QC

又因?yàn)閏osZABC=1+"一一4,cos/ABC=2COS?-1,

lac2

c+a

所以2I一1=。27-4,整理得(c+a)2=ac[(c+a)2-4],

2ac

所以(c+a)2=〃c[(c+a)2—4]?(c；〃){(c+a)2_町,

解得（c+a>28或（c+a）240（舍去），

所以a+cN2夜，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=血時(shí)，等號(hào)成立,

貝U6+a+c22+20>

故AASC周長的最小值為2+2應(yīng).

故選：C.

4.（2024?浙江?模擬預(yù)測）己知AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

（c-Z?）sinC=asinA-Z?sinB,若AABC的面積為百，則AABC的周長的最小值為（）

A.4B.4+A/3C.6D.6+73

【答案】C

【分析】應(yīng)用正弦定理把（。-6對(duì)11。=后114-法也8中的"角"轉(zhuǎn)化為"邊"，利用余弦定理求

出角A的值，接下來有兩個(gè)思路.思路一：先根據(jù)面積