2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《平面解析幾何綜合問題》練習(xí)（附答案）

2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸小題專項(xiàng)（平面解析幾何綜合問題）好題練習(xí)

一、單選題

22

1.（2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知片，耳是雙曲線C三-與=1的左、右焦點(diǎn)，尸,。

ab1

為雙曲線C上兩點(diǎn)，滿足片尸〃與0,且|EQ|=|與尸］=3|耳尸則雙曲線C的離心率為（）

22

2.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：芯+}=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,以月為圓

心的圓與X軸交于耳，B兩點(diǎn),與y軸正半軸交于點(diǎn)A,線段N4與C交于點(diǎn)若忸與c的焦距的比值

為叵,則C的離心率為（）

3

A.更二1B.1A/3+1口不~1

224,2

3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線"：x+wy-3加-1=0與自

〃7X-y-3m+l=O相交于點(diǎn)M,線段48是圓C：(x+1)2+(j/+l)2=4的一條動(dòng)弦，且|48卜，^AMA-MB

的最小值為（）

A.6-472B.3-V2C.5+VID.75-1

4.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量萬=（x+l,石+y）,B=（x-l,6-y）,滿足21彼的動(dòng)點(diǎn)〃（x,y）的

軌跡為￡,經(jīng)過點(diǎn)N（2,0）的直線/與￡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A,點(diǎn)P在圓/+（y-20）2=l上，則/P的最

小值為（）.

A.3-2&B.72-1

C.2拒-2D.1

22

5.（2023-江蘇蘇州?蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓］+==1e>6>0））的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,P是橢圓

上一點(diǎn)，且2兩.陽=|聞川恒若△片的內(nèi)切圓的半徑/滿足戶勾=3rsin4月尸，則日產(chǎn)（其

中e為橢圓C的離心率）的最小值為（）

73V10「屈n2V2I

Dn.-------C.-----U.-------

1077

6.（2023春?江蘇南通?高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）雙曲線Lx?-/=4的左，右焦點(diǎn)分別為不工,

過用作垂直于x軸的直線交雙曲線于42兩點(diǎn)，口/耳用口叫耳口耳的內(nèi)切圓圓心分別為日,。2，。3,則

口。02。3的面積是（）

A.672-8B.6V2-4C.8-472D.6-472

22

7.（2023?江蘇南京?南京市第五高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎路謩e是雙曲線「十方=1（。>01>0）的

左、右焦點(diǎn)，過耳的直線分別交雙曲線左、右兩支于42兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，CB=3F^,BF2平分NF&C,

則雙曲線「的離心率為（）

A.V7B.V5C.V3D.V2

8.（2023?江蘇南通?二模）已知B,B分別是雙曲線C：6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲

2222

線上，PF,1PF2,圓O：x+y=^a+b）,直線尸B與圓。相交于，，8兩點(diǎn)，直線PB與圓。相交于

M,N兩點(diǎn).若四邊形?W2N的面積為9/,則C的離心率為（）

A.-B.-C.@D,

4525

22

9.（2023秋?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線-方=l（a>0,6>0）的左、右

焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)],P是雙曲線E上一點(diǎn)，PFhB，/4隼的平分線與無軸交于點(diǎn)0,22=：,則

、4PF位J

雙曲線E的離心率為（）

C.用

A.V2B.2D.V3

2

22

10.（2023?江蘇鹽城?鹽城中學(xué)校考三模）已知A、5是橢圓,方=1（。>6>0）與雙曲線

22

鼻-白=1（。>0,6>0）的公共頂點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，PA,交橢圓于M,N.若ACV過橢圓的焦點(diǎn)9,

且tanN4MB=-3,則雙曲線的離心率為（）

D.當(dāng)

A.2C.V2

11.（2023春?江蘇南通?高三海安高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）人教A版必修第一冊(cè)第92頁上“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)

習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)y=x+工的圖象與性質(zhì)”，經(jīng)探究它的圖象實(shí)際上是雙曲線.現(xiàn)將函數(shù)y=2x+^的圖象繞

XX

原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于無軸上的雙曲線C,則該雙曲線C的離心率是（）

A.—J八B.C.10-475D.710-475

22

二、多選題

12.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）圓柱高為1,下底面圓。的直徑N8長為2,8片是圓柱。旦的一

條母線，點(diǎn)R0分別在上、下底面內(nèi)（包含邊界），下列說法正確的有（）.

A.若P4+PB=3,則尸點(diǎn)的軌跡為圓

B.若直線。尸與直線。4成45。，則尸的軌跡是拋物線的一部分

C.存在唯一的一組點(diǎn)尸,0,使得/尸，尸。

D./尸+「。+0月的取值范圍是［舊,26+班］

13.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若點(diǎn)尸是棱長為2的正方體-44G。表面上的動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)M是棱44的中點(diǎn)，則（）

A.當(dāng)點(diǎn)P在底面48CD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐P-GRM的體積為定值§

B.當(dāng)/PLDM時(shí)，線段/P長度的最大值為4

C.當(dāng)直線NP與平面/BCD所成的角為45。時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長度為4亞+乃

D.直線?！氨徽襟w"3CD-4與GA的外接球所截得的線段的長度為g

14.（2023秋?江蘇泰州?高三統(tǒng)考期末）過圓O：/+丁=8內(nèi)一點(diǎn)網(wǎng)1,6）作兩條互相垂直的弦Ag,CD,

得到四邊形NO8C,則（）

A.H目的最小值為4

B.當(dāng)［48|=2班時(shí)，］?；?2療

C.四邊形/D8C面積的最大值為16

D.衣.麗為定值

15.（2023春?江蘇南通?高三?？奸_學(xué)考試）已知過拋物線C:/=4x焦點(diǎn)廠的直線/交C于48兩點(diǎn)，交C

的準(zhǔn)線于點(diǎn)其中B點(diǎn)在線段上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線/的斜率為左，則（）

A.當(dāng)左=1時(shí)，以4=8B.當(dāng)％=2后時(shí)，忸叫=|/卻

C.存在上使得N/O8=90°D.存在上使得乙108=120。

16.（2023春?江蘇南京?高三南京師大附中?？奸_學(xué)考試）已知經(jīng)過點(diǎn)尸（2,4）的圓C的圓心坐標(biāo)為（0,f）（?

為整數(shù)），且與直線/：屈-了=0相切，直線?。恨k+了+2a=0與圓C相交于/、8兩點(diǎn)，下列說法正確

的是（）

A.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+（了一葉=9

B.若尸/1PB,則實(shí)數(shù)。的值為-2

C.若|/8|=2血，貝。直線〃?的方程為x7+2=0或7x7+14=0

D.弦48的中點(diǎn)M的軌跡方程為（x+1）2+（V-2『=5

17.（2023春?江蘇南京?高三南京市寧海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線G：?=e',拋物線。2：/=?，

P（x「,處）為曲線G上一動(dòng)點(diǎn)，。（%，%）為拋物線C2上一動(dòng)點(diǎn)，與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的

公切線，則以下說法正確的有（）.

A.直線/：了=尤+1是曲線G和C2的公切線；

B.曲線G和的公切線有且僅有一條；

C.|尸。|+無2最小值為&-1;

D.當(dāng)P0//X軸時(shí)，口。|最小值為W工.

18.（2023秋?江蘇南京?高三金陵中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線1-4=1的左、右焦點(diǎn)分別是片，月，點(diǎn)尸

169

在雙曲線的右支上，則（）

A.若直線2片的斜率為左，則閥e

B.使得△尸與名為等腰三角形的點(diǎn)P有且僅有四個(gè)

,144

C.點(diǎn)尸到兩條漸近線的距離乘積為石

D.已知點(diǎn)0（7知）,則內(nèi)尸|+|尸。|的最小值為5

19.（2023春?江蘇南通?高三?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系》帆中，P是直線/：x+y+2=0上一點(diǎn)（除

去與無軸的交點(diǎn)），過P作拋物線c：￥=2》的兩條切線，切點(diǎn)分別為N,B,直線為，尸8與X軸分別交于

點(diǎn)、M,N,則（）

A,直線過定點(diǎn)（一1,2）B.的最小值為石

C./MW為銳角D.次.礪最小值為一1

20.（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：V=2px（p>0）的焦點(diǎn)為凡直線/與C交于/（國,必），

8（%,%）兩點(diǎn)，其中點(diǎn)/在第一象限，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，作"N垂直于準(zhǔn)線，垂足為N,則下列結(jié)論正

確的是（）

A.若直線/經(jīng)過焦點(diǎn)尸，且刀.無=-12,則。=2

B.若疝?=3而，則直線/的傾斜角為g

C.若以為直徑的圓“經(jīng)過焦點(diǎn)尸，則篇的最小值為四

D.若以48為直徑作圓則圓M與準(zhǔn)線相切

22

21.（2023?江蘇徐州?江蘇省沛縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）己知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：?+匕=l（a>2行）.過點(diǎn)

a8

”（亞,1）作斜率分別為弓和一日的兩條直線4,4,其中4與c交于尸，。兩點(diǎn)，4與C交于邑7兩點(diǎn)，且

OP^2OM>則（）

A.C的離心率為正B.\ST\=6

2

1111..............................

C\^+\MQ\=\MS\+\MT\D-尸，O，S，7四點(diǎn)共圓

22.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，

它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，"（-2,0）,

N（2,0）,動(dòng)點(diǎn)尸滿足|PMHPN|=5,則下列結(jié)論正確的是（）

A.點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)的取值范圍是卜石，石］

B.|。目的取值范圍是［1,3］

C.□PAW面積的最大值為：

2

D.|月囪+|尸川的取值范圍是［2有,5］

22

23.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓C：5+方=1（。>6>0）,磯08），/（%,"）為橢圓C上一點(diǎn)，加40,

點(diǎn)民/關(guān)于無軸對(duì)稱，直線E4劭分別與x軸交于兩點(diǎn)，則（）

A.H目的最大值為V7萬

B.直線E4EB的斜率乘積為定值

C.若V軸上存在點(diǎn)尸，使得NMPO=NPNO,則尸的坐標(biāo)為（0,。）或（0,-。）

D.直線/N過定點(diǎn)

24.（2023春?江蘇南通?高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)直線/與拋物線j?=4x相交于4,8兩點(diǎn)，與

圓（x-5）2+y2=，2&>0）相切于點(diǎn)物％,%）,且加?為N8的中點(diǎn).（）

A.當(dāng)為=1時(shí)，的斜率為2B,當(dāng)%=2時(shí)，|/卻=8

C.當(dāng)廠=5時(shí)，符合條件的直線/有兩條D.當(dāng)廠=3時(shí)，符合條件的直線/有四條

25.（2023?江蘇鹽城??？既＃┊嫹◣缀蔚膭?chuàng)始人一法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條

垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓

C：5+V=1.4,月分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線/的方程為X+虛>-3=0,M為橢圓C的蒙日?qǐng)A上一動(dòng)

點(diǎn)，M4,MB分別與橢圓相切于48兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為無2+/=3

B.記點(diǎn)A到直線/的距離為d,則d-|盟|的最小值為竽

C.一矩形四條邊與橢圓C相切，則此矩形面積最大值為6

D.口/Q5的面積的最小值為|,最大值為正

32

26.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2-1=1的左，右焦點(diǎn)分別為耳，用，點(diǎn)尸是雙曲線

C的右支上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/與雙曲線C的兩條漸近線交于M,N,則（）

A.尸外-2卮2的最小值為8

B.若直線/經(jīng)過月，且與雙曲線C交于另一點(diǎn)°,則戶。|的最小值為6

C.|尸7訃戶聞葉為定值

D.若直線/與雙曲線C相切，則點(diǎn)/，N的縱坐標(biāo)之積為-3

27.（2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）橢圓曲線/+即=x3+6x2+s+d是代數(shù)幾何中一類重要的研究對(duì)象.關(guān)于

橢圓曲線「：y2-2y=x3+mx-3,下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線r關(guān)于點(diǎn)（0,-3）對(duì)稱

B.曲線「關(guān)于直線y=l對(duì)稱

C.當(dāng)加=-3時(shí)，曲線r上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍為［2,+C0）

D.若曲線「上存在位于.v軸左側(cè)的點(diǎn)，則mW-3

28.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考三模）已知拋物線C:x?=2y的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,直線>=區(qū)+以

與C相交于48兩點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，則（）

A.若巾=2,則4402=90°

B.若3AuuFm=1UFULB，則直線的斜率為也包1

21

C.口08尸不可能是正三角形

D.當(dāng)48=4時(shí)，點(diǎn)M至心的距離的最小值為2

29.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)尸是拋物線C：的焦

點(diǎn)，點(diǎn)尸是C上異于原點(diǎn)。的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸且與C相切的直線/與〉軸交于點(diǎn)。，設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為機(jī)，

PHLm,“為垂足，貝|（）

A.當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）時(shí)，直線/的方程為x-y-l=0

B.設(shè)拉（2,2）,則必⑷+歸可的最小值為4

C.\PQf-4\OQ\-\HQ\

D.NFPH=2NFPQ

30.（2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知?jiǎng)訄A

C:（x-2m-1）2+（j-m-1）2=4/n2（加W0）,則下列說法正確的是（）

A.存在圓C經(jīng)過原點(diǎn)

B.存在圓C,其所有點(diǎn)均在第一象限

C.存在定直線/,被圓C截得的弦長為定值

D.所有動(dòng)圓。僅存在唯一一條公切線

三、填空題

22

31.（2023秋?江蘇?高三淮陰中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)橢圓7：1r+芫=1（〃>2右）的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸（U）

的直線/與橢圓交于點(diǎn)4B,M為48的中點(diǎn)，使得|四|是|同、眼|的等比中項(xiàng)，則a的最小整數(shù)值為一

32.（2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）拋物線「/=2刀（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過尸的

直線交「于48兩點(diǎn)，「在48兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)州（1,-則弦的長為.

22

33.（2023秋?江蘇淮安?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）橢圓0：三+二=15>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大，耳，上頂

ab

點(diǎn)為4直線4片與橢圓C交于另一點(diǎn)瓦若乙4￡8=120。，則橢圓C的離心率為.

34.（2023?江蘇徐州?江蘇省沛縣中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線2x-y-2=0與雙曲線C：乂2-/=1交于點(diǎn)

/（xQi），2（%，%）/（x3，%）為C上一點(diǎn)，且看<三<三,“<%<%，則的面積最大值為.

35.（2023秋?江蘇南京?高三南京外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)/（1,2）在拋物線/=2px上，過點(diǎn)工作

圓（X-2）2+「=2的兩條切線分別交拋物線于3,C兩點(diǎn)，則直線BC的方程為.

36.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+y2-8x=0,過點(diǎn)

的動(dòng)直線/與圓C交于點(diǎn)M,N,若△〃（好的面積最大值為4百，則上的最大值為.

m

37.（2023?江蘇?統(tǒng)考二模）已知拋物線C：x?=4y的焦點(diǎn)為尸，過動(dòng)點(diǎn)P的兩條直線4,4均與C相切，

設(shè)的斜率分別為左，Q若（耳-1）（心-1）=-2,則怛尸|的最小值為.

38.（2023?江蘇蘇州?校聯(lián)考三模）己知雙曲線C:「-匕=1（°>0）,過其右焦點(diǎn)尸的直線/與雙曲線C交于

A、B兩點(diǎn),已知|/8|=16,若這樣的直線/有4條，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

22/T

39.（2023春?江蘇南通?高三校考開學(xué)考試）已知橢圓C:=+方=l（a>6>0）的離心率為券，F(xiàn)是左焦點(diǎn),

過廠且傾斜角為45。的直線交C于點(diǎn)/，反設(shè)分別是/尸和AF的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若<W+0N=U，

則口OMN的面積為.

四、雙空題

40.（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在圓Cf+（y-2）2=2上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)0

在函數(shù)/'（x）=lnx-"2的圖象上運(yùn)動(dòng)，寫出一條經(jīng)過原點(diǎn)。且與圓C相切的直線方程為；若存在點(diǎn)P,

。滿足OP，。。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

參考答案

一、單選題

22

1.（2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知片，耳是雙曲線C三-與=1的左、右焦點(diǎn)，尸,。

ab2

為雙曲線。上兩點(diǎn)，滿足片尸〃瑪。，且優(yōu)。二優(yōu)尸|=3閨尸則雙曲線C的離心率為（）

AVToRV5rVi5nVTo

A.---D.C.---D.---

5232

【答案】D

【詳細(xì)分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質(zhì)詳細(xì)分析可得，=。，進(jìn)而可得/用尸'。=/片和=90。，結(jié)合勾股定

理運(yùn)算求解.

【過程詳解】延長。片與雙曲線交于點(diǎn)P,

因?yàn)榭墒?P,根據(jù)對(duì)稱性可知國尸|=\F2P'\,

設(shè)?尸[=|耳P]=f,則內(nèi)尸卜內(nèi)5=3/,

可得用刊-麻尸|=2/=24,即t=a,

所以|PQ|=4/=4a,則|0耳|=|。?|+2a=5a,閨尸|=|工尸|=3a,

即|尸'。『+|耳=口耳「，可知NFFQ=NF\PF[=90°,

在片鳥中，由勾股定理得囚尸f+|耳尸'「=陽引'，

即/+（3。）2=4°2,解得e=￡=巫.

v7a2

故選：D.

【名師點(diǎn)評(píng)】方法名師點(diǎn)評(píng)：1.雙曲線離心率（離心率范圍）的求法

求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定。，6,c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把6

用。，c代換，求e=￡的值;

a

2.焦點(diǎn)三角形的作用

在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來.

22

2.（2023?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：]+方=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳、F2,以月為圓

心的圓與X軸交于耳，B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)A,線段/片與C交于點(diǎn)若忸與C的焦距的比值

為叵，則c的離心率為（）

3

C>+1V7-1

A.B.；D.

22.42

【答案】D

【詳細(xì)分析】先求出以瑪為圓心的圓的方程，求出/（0,gc）,5（3c,0）,求出直線片/的方程后結(jié)合距離公

式可求M的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.

【過程詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為c,因?yàn)橐悦麨閳A心的圓過耳，故該圓的半徑為2c,

故其方程為：=4小

令x=0,則y=±J3c,結(jié)合A在了軸正半軸上，故

令歹=0,貝=或x=3c,故5（3。,0）.

故卜電=~~—=V3,故直線FXA:y=V3x+Gc.

因?yàn)锳在V軸的正半軸上，片在入軸的負(fù)半軸上，故加＜0,

nu\bM\=-----x2c=---------c，

1133

22c

故(3c-冽)2+(J5m+Qc)=-^―c,整理得到：4m=^~

故冽=—gc,故y=2^￡,

整理得到：4e4-16e2+9=0,故e=^二^

2

故選：D.

【名師點(diǎn)評(píng)】思路名師點(diǎn)評(píng)：圓錐曲線中離心率的值或范圍的計(jì)算，關(guān)鍵在于構(gòu)建關(guān)于基本量的方程或方

程組（不等式或不等式組），后者可通過點(diǎn)在橢圓上或判別式為零等合理構(gòu)建.

3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知直線/"x+zwy-35-1=0與8

mx-y-3機(jī)+1=0相交于點(diǎn)線段N8是圓C：（x+l），+（了+1『=4的一條動(dòng)弦，且k同=20，貝!|疝.荻

的最小值為（）

A.6-4亞B.3-V2C.5+出D.75-1

【答案】A

【詳細(xì)分析】根據(jù)直線所過定點(diǎn)和/14知庇?赤=0，由此得M軌跡是以G（2,2）為圓心，夜為半徑的

圓（不含點(diǎn)（3,3））,由垂徑定理和圓上點(diǎn)到定點(diǎn)距離最小值的求法求得|。回,|“必皿，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)

算律求得疝.標(biāo)最小值.

【過程詳解】由圓的方程知：圓心C（T,T）,半徑廠=2；

由/]:x+7町-3%-1=0得：（x-l）+〃?（y-3）=0,，恒過定點(diǎn)E（l,3）；

由/2：s-y-3zn+l=0得:w(x-3)+(l-y)=0,飛恒過定點(diǎn)尸(3,1)；

由直線4,4方程可知：4即施?痂=0,

設(shè)"（X/）,貝g礪=（1一％3—＞）,/=（3—匹1一切，

二加礪=（1-x）（3-x）+（3-了）（1-了）=0,整理得：（X-2）2+（J；-2）2=2,

即點(diǎn)M的軌跡是以G（2,2）為圓心，0為半徑的圓，又直線4斜率存在，

；.N點(diǎn)軌跡不包含（3,3）；

若點(diǎn)。為弦N8的中點(diǎn)，則疝+礪=2而5，位置關(guān)系如圖：

連接CD,由|/a=26知：叩=?_(由『=i,

貝I]\MD\mm=\MC\mm-|CD|=|CG|-V2-1=J(2+l『+(2+11-四-1=2&-1,

:.MA-MB={MD+DA^-^MD+DB^=MD+{j5A+J)ByMD+DA-"DB=MD-2,=6-^41

(當(dāng)M在(1,1)處取等號(hào))，

的最小值為6-40.

故選：A.

4.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量1=（x+l,石+y）3=（x-l,右-y）,滿足。B的動(dòng)點(diǎn)加。，回的

軌跡為E,經(jīng)過點(diǎn)N（2,0）的直線/與￡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A,點(diǎn)尸在圓一+3-2后）2=1上，則4尸的最

小值為（）.

A.3-272B.V2-1

C.272-2D.1

【答案】A

【詳細(xì)分析】先求出軌跡E的方程，再利用直線/與E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A,求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得解.

【過程詳解】ma1b，可得(x+l)(x-l)+(行+“(仆_y)=0,

化簡得為動(dòng)點(diǎn)/(xj)的軌跡E的方程為：仁-二=1,

44

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)N(2,0)的直線/為：y=k(x-2),(可判斷斜率存在)

y=k^x-2)

聯(lián)立方程/%2,得(公■］卜2.4〃X+4Q2-1)=0①，

----------=1

144

由于直線/與￡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)A,

2

所以左2=1,或D=16/-16(『-1)=0,

得左=±1,或左=土正，

2

因?yàn)閳A/+(夕-2后產(chǎn)=1,圓心(0,2后)，

所以當(dāng)點(diǎn)A在x軸上方時(shí)AP較小，以下只討論點(diǎn)A在x軸上方的情況,

當(dāng)左=±1時(shí)，代入①式，得x=0,

再代入雙曲線方程可得40，土2),

當(dāng)4(0,2)時(shí)，點(diǎn)A在圓/+(y-2夜了=1內(nèi)，

可得AP的最小值為1-(2&-2)=3-2及；

當(dāng)6=±正時(shí)，代入①式，得x=-2,

2

再代入雙曲線方程可得則/(-2,?2夜)，

當(dāng)N(-2,2&)時(shí)，點(diǎn)A在圓/+(>一=1夕卜，

可得/P的最小值為8+2>1=1；

貝UAP的最小值為3-2血.

故選：A

【名師點(diǎn)評(píng)】方法名師點(diǎn)評(píng)：求軌跡方程的常見方法有：

①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(尤/),根據(jù)題意列出關(guān)于X/的等式即可;

②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；

③參數(shù)法，把x/分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；

Xo=g(x)

④逆代法，將代入/伉,%)=0.

%=〃(x)

22

5.（2023?江蘇蘇州?蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓］+==1（">6>0））的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,P是橢圓

上一點(diǎn)，且2兩.7^=1西］J而若△大尸工的內(nèi)切圓的半徑r滿足戶￡|=3rsin”￡尸，則日產(chǎn)（其

中e為橢圓C的離心率）的最小值為（）

AV10R3>/10「陰八2A/21

101077

【答案】B

14o

【詳細(xì)分析】由已知即向量數(shù)量積定義可得COS/片尸瑪=2,應(yīng)用余弦定理求得|中||班|二§〃，根據(jù)等

C42

面積法可得一遙T再由正弦定理列方程求離心率，結(jié)合目標(biāo)式、基本不等式求其最小值，注意等號(hào)

成立條件.

【過程詳解】由題設(shè)2所?成=彳句斗|,卜。54；尸名=|兩'配故cos/片/”=；,

7T

又4Pge［0,兀），則/月尸乙=§,

|因『+|9『一|下月『（|P瑪+|珊|）2-2|尸印IMH用工『

由余弦定理知:cosZFPF=

t22|「印此|2|坨||桃|

=4(4一°2)_]=4/_i=J_

=?

^2\PFl\\PF2\~2\PFl\\PF2\~2

A1Fy

22

所以I尸印I俱|=-b,而時(shí)％=-\PF.\\PF2\sinZFtPF2=^-b,

JNJ

因?yàn)椤鳌陼r(shí)的內(nèi)切圓的半徑/，故與與明=尸耳|+1尸層|+1耳乙I)=(a+c?,

所以(a+c)r=XL>2,貝”=9L,

33(a+c)

|^|_2c_\PFt\_3；-

由I尸耳|=3rsm/耳與尸，即sin4尸尸sin^sin4再P，

i

所以臣一華，整理得7e?+4e-3=(7e-3)(e+l)=0且0<e<l,

a+cJ3

所以e=］3，

999ri

/+21e_』+9_—二八口a_35,當(dāng)且僅當(dāng)a=3時(shí)等號(hào)成立，

7b-7〃2-2-一2后一2回~10

所以目標(biāo)式最小值為亞.

10

故選：B

6.（2023春?江蘇南通?高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線C:/-/=4的左，右焦點(diǎn)分別為耳,耳，

過用作垂直于x軸的直線交雙曲線于42兩點(diǎn)，口口的內(nèi)切圓圓心分別為a,Q,Q，則

AFXF2BFXF2^FXAB

□。02。3的面積是（）

A.672-8B.6拒-4C.8-472D.6-472

【答案】A

【詳細(xì)分析】由題意畫出圖，由己知求出。的值，找出42的坐標(biāo)，由口/耳片口期用口4N3的內(nèi)切圓圓心

分別為a,o2,q,進(jìn)行詳細(xì)分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出口。。?。的底和高，利用三角形

的面積公式計(jì)算即可.

【過程詳解】由題意如圖所示：

由雙曲線C:X2-/=4,知/=/=4,

所以c?=a2+b~=8，

所以乙（2在0）,|4月|=2c=4收

所以過外作垂直于x軸的直線為x=20，

代入C中，解出/（2上,2）,8（2五-2）,

由題知山納為，□胡匕的內(nèi)切圓的半徑相等,

且M同=怛用，□，□兩可的內(nèi)切圓圓心《,。2

AFXF2

的連線垂直于X軸于點(diǎn)尸，

設(shè)為廠，在八4月工中，由等面積法得：

g（H娼+3用+|片用）.一；比用.以國

由雙曲線的定義可知：|/月|-|4閭=2。=4

由|/6|=2,所以|"；|=6,

所以g（6+2+4后卜?=；x4亞x2,

解得：，=產(chǎn)=3…=2四-2，

因?yàn)槠聻椤跗?4片8的角平分線，

所以。3一定在片外上，即X軸上，令圓。3半徑為尺，

在口/片8中，由等面積法得：

；（以耳|+忸叫+W即.R=；但0卜|/8|,

又回=|附=加4+|皿「="4⑹工?=6

所以gx（6+6+4>R=；x4行x4,

所以R=0，

所以|尸閶」=2&-2,

\O3P\=\O3F2\-\PF2\=R-r=42-（2y/2-^=2-42,

所以s^。2a=；|on||qp|=；x2rx|ap|

=rx|O,P|=（2V2-2）x（2-V2）=6V2-8,

故選：A.

22

7.（2023?江蘇南京?南京市第五高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎謩e是雙曲線口號(hào)-%=l（a>0,，>0）的

左、右焦點(diǎn)，過耳的直線分別交雙曲線左、右兩支于48兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，。=3項(xiàng)，BF］平令NRBC,

則雙曲線「的離心率為（）

A.aB.加C.V3D.V2

【答案】A

【詳細(xì)分析］根據(jù)赤=3后可知C5〃工N,再根據(jù)角平分線定理得到忸凰，忸C|的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義

分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.

設(shè)劇=2c,則舊C|=4c,設(shè)=則忸刷=3乙＞邳=2/.

因?yàn)橐蚱椒钟山瞧椒志€定理可知，饕二鑿二壬二4，

BC因4c2

所以忸C|=2忸耳|=6f,所以|/閭=：忸。=2/,

由雙曲線定義知|/閭-|4片|=2a,即2"％=2a,t=2a,①

又由畫||叫=2a^\BF2\=3t-2a=2t,

所以|陷|=同=閶=2/,即AABF2是等邊三角形，

所以ZF2BC=ZABF2=60°.

在口片中，由余弦定理知cosZF,BF2=：忸一閭

一-M2.阿卜3忸可k

即14戶+9"戶一牝4「2，化簡得“2=船2,

22,2t,3t

把①代入上式得e=￡=近，所以離心率為，.

a

故選：A.

8.（2023?江蘇南通?二模）已知入，入分別是雙曲線C：烏-馬=1（。＞0,方＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在雙曲

ab

線上，PFJPB，圓。：/+/號(hào)(/+/),直線叨與圓。相交于1,8兩點(diǎn)，直線上與圓。相交于

M,N兩點(diǎn).若四邊形的面積為9/，則。的離心率為()

A.-B.-C.@D.馬叵

4525

【答案】D

2222

【詳細(xì)分析】設(shè)|尸耳|=〃，|尸用=加，有〃-〃7=2°,n+m^4c,mn^2b,由弦長公式可得

1Q

四邊形的面積為1/臺(tái)””用，解得c?=gl>2,可

求雙曲線的離心率.

【過程詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示,

Q%

圓o：x2+/=^(?2+fe2),圓心為0(0,0),半徑為方，

222

設(shè)|尸耳|=〃，|尸閭=加，點(diǎn)P在雙曲線上，PFiLPF2,則有〃-加=2%n+m=4c,可得m幾=2b?,

1M

過。作MN的垂線，垂足為。，。為耳名的中點(diǎn)，則|0必=半產(chǎn)片1=5，|MN卜2

同理,

四邊形⑷四N的面積為g,斗|兒的=；x2

81c4(m2+w29c2m2n2

則有力“2則c

[IT什+-1r

.而、缶cV82A/TO

的罔心率e=_='=-------

aV55

故選：D

22

9.（2023秋?江蘇南京?高三南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線E:二-々=1（°>0,6>0）的左、右

ab

S5

焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,P是雙曲線E上一點(diǎn)，尸匕，片工，/耳空的平分線與X軸交于點(diǎn)。，髭也=可，則

^/\PF2QJ

雙曲線￡的離心率為（）

A.V2B.2C.在D.V3

2

【答案】B

【詳細(xì)分析】根據(jù)題意詳細(xì)分析可得艘=J,利用正弦定理結(jié)合角平分線可得昌=騏=9,再根據(jù)

F

\1Q\3\F2Q\3

雙曲線的定義結(jié)合通徑詳細(xì)分析運(yùn)算即可.

c-\PFA-\F.Q\5

【過程詳解】PFH則”也=彳---------“侍人。|3

3

2KI-M

PF,sin//勿|P￡|sin/尸0K

分別在口尸。片，口尸因中，由正弦定理可得：—7

相sinNQPFi'優(yōu)。「sinN0叫

-,?P0平分4尸鳥，可得NQPH=NQPB，