2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)《圓錐曲線中的證明問題》練習(xí)（附答案）

2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：壓軸好題專項(xiàng)（圓錐曲線中的證明問題）練習(xí)

1.（2023屆湖南省長沙市一中等名校聯(lián)考聯(lián)合體高三上學(xué)期11月聯(lián)考）設(shè)橢圓C：

22

會+==1（。>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&￡.A,5是該橢圓C的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且

|明=石，若該橢圓的離心率為也.

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）的直線/：y=h+m交橢圓。于尸，。兩點(diǎn)（點(diǎn)尸在點(diǎn)。下方），過點(diǎn)P作x軸

\DE\

的垂線交直線于點(diǎn)。，交直線3。于點(diǎn)號求證：曷為定值.

22

2.（2023屆河南省焦作市高三上學(xué)期期中）已知橢圓C：1r+#=1（°>6>0）的離心率為

々，點(diǎn)M（l,0）,G（4,0）橢圓。的右頂點(diǎn)A滿足2戒+刀=鼠

⑴求橢圓C上一點(diǎn)尸到點(diǎn)M的最小距離；

（2）若經(jīng)過M點(diǎn)的直線/交橢圓C于號尸兩點(diǎn),證明：當(dāng)直線/的傾斜角任意變化時(shí)，總存在實(shí)

GEGF

數(shù)3使得=X+研|

\GE\

22

3.已知橢圓C:\+}=1（。>6>0）的長軸長為4,片,丹為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

6%，%）（盟工0）在C上運(yùn)動，且cos/甲居的最小值為|■.連接尸號巡并延長分別交橢圓C

于Af,N兩點(diǎn).

⑴求。的方程；

⑵證明：甘勺+學(xué)結(jié)為定值.

^^OMFX^AOF2N

4.（2022屆湖北省十堰市丹江口市高三下學(xué)期模擬）已知雙曲線。:￡-4=1（〃>0/>0）的

ab

左、右頂點(diǎn)分別為4,4,右焦點(diǎn)為尸（2,0）,點(diǎn)尸為c上一動點(diǎn)（異于4,4兩點(diǎn)），直線尸4和

直線24與直線x=1分別交于兩點(diǎn)，當(dāng)PF垂直于x軸時(shí)，△尸的面積為2.

⑴求c的方程；

(2)求證：NMWV為定值，并求出該定值.

5.(2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學(xué)期10月聯(lián)考)記以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)、廠(1,0)為焦點(diǎn)

的拋物線為C,過點(diǎn)F的直線I與拋物線C交于A,5兩點(diǎn).

⑴己知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,0),求//MB最大時(shí)直線的傾斜角；

⑵當(dāng)/的斜率為|■時(shí),若平行I的直線機(jī)與。交于M,N兩點(diǎn)，且AM與BN相交于點(diǎn)7,證明：

點(diǎn)7在定直線上.

6.在平面直角坐標(biāo)系X0中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,g),以線段披為直徑的圓與x軸相切.

⑴求點(diǎn)M的軌跡￡的方程；

⑵設(shè)T是￡上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),07的平行線/交E于A,B兩點(diǎn),交曲線￡在7處的切線于點(diǎn)

5

N,求證：|N7|7=^\N^\NB\.

7.已知雙曲線:T：x-V=4,雙曲線「的右焦點(diǎn)為尸,圓。的圓心在y軸正半軸上，且經(jīng)過坐

標(biāo)原點(diǎn)。，圓C與雙曲線「的右支交于N、8兩點(diǎn).

(1)當(dāng)△。物是以尸為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求△。物的面積；

(2)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(右,1),求直線AB的方程；

⑶求證：直線N8與圓/+/=2相切.

8.(2023屆湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考)已知直線乙：>=一［^+2與橢

圓￡：工+匕=1相切于點(diǎn)與直線八夕=1》+/相交于點(diǎn)N(異于點(diǎn)M).

42,2

⑴求點(diǎn)河的坐標(biāo)；

⑵直線4交E于點(diǎn)/(再,必),2(%,%)兩點(diǎn),證明：AANMS^MNB.

22

9.(2023屆重慶市巴蜀中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期月考)已知橢圓C:5+胃=1(“>b>0)的

ab

左、右頂點(diǎn)分別為4%橢圓C的長半軸的長等于它的焦距，且過點(diǎn).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)(不同于48)，直線

AM與直線BN相交于點(diǎn)P，直線/N與直線BM相交于點(diǎn)。，證明：P0，x軸.

10.已知拋物線C：/=22H?>()),其焦點(diǎn)為￡。為坐標(biāo)原點(diǎn),直線/與拋物線。相交于不

同的兩點(diǎn)為的中點(diǎn).

⑴若p=2,河的坐標(biāo)為(1,1),求直線I的方程.

(2)若直線/過焦點(diǎn)F,AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求證：邛”為定值.

y1

11.(2023屆河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)高三月考)己知橢圓。：++=l(a>6>0)的

a

左、右焦點(diǎn)分別為片，片，左頂點(diǎn)為/(-2,0),離心率為當(dāng).

⑴求C的方程；

(2)若直線/：尸Mx+1)(匕0)與C交于點(diǎn)。石，線段NE的中點(diǎn)分別為尸,0.設(shè)過點(diǎn)片且

垂直于x軸的直線為,若直線。尸與直線/‘交于點(diǎn)S，直線OQ與直線/'交于點(diǎn)T,求證：

郎?亨為定值.

12.已知拋物線C:/=2處(0>0)的焦點(diǎn)到直線l.y=2x-5的距離為罕.

⑴求。的方程；

⑵若點(diǎn)P在I上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn)，直線45與/交于點(diǎn)。，證明：存在定點(diǎn)

H,使得PHLQH.

22

13.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓C:亍+a=1伍>6>0)的離心率為學(xué)，且過點(diǎn)(0,1).

(1)求C的方程；

3

(2)若直線l：x=ky+m馬C交于P,Q兩點(diǎn)，且△OPQ的面積是-，求證：2m1-k2=9.

14.(2023屆福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三上學(xué)期月考)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)

點(diǎn)力；,0,嗎,()],點(diǎn)G與尸兩點(diǎn)的距離之和為*N為一動點(diǎn)，點(diǎn)N滿足向量關(guān)系式:

GN+GP+GQ=0.

⑴求點(diǎn)N的軌跡方程C；

⑵設(shè)C與無軸交于點(diǎn)48(A在B的左側(cè))，點(diǎn)M為C上一動點(diǎn)(且不與48重合).設(shè)直線

/峪x軸與直線x=4分別交于點(diǎn)凡S,取E(l,0),連接ER,證明：ER為AMES的角平分線.

15.(2023屆山東省濟(jì)寧市汶上縣高三上學(xué)期質(zhì)量聯(lián)合檢測)已知橢圓

22

月：—+與=1(。>b>0)丘丘

。b2’的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為片，與，動點(diǎn)5在石上且位于第一象

限，忸用+忸以=4,當(dāng)叫,AF2時(shí)，直線AB的斜率為I-

⑴求E的方程；

.(31

1

/D4「/DrAQtantz,tan—=一

⑵設(shè)々盟=&，因/=匕證明：22.

參考答案

1.（2023屆湖南省長沙市一中等名校聯(lián)考聯(lián)合體高三上學(xué)期11月聯(lián)考）設(shè)橢圓C：

22

會+}=1（。>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為&￡.A,5是該橢圓C的下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，且

1陰=石，若該橢圓的離心率為YL

2

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）的直線/：y=h+m交橢圓。于兩點(diǎn)（點(diǎn)?在點(diǎn)。下方），過點(diǎn)尸作x軸

\DE\

的垂線交直線4B于點(diǎn)、D，交直線3。于點(diǎn)E,求證：曷為定值.

【過程詳解】（1）由題可得,="2+62=石,

所以/+/=5,

因?yàn)闄E圓的離心率為也，所以e=￡="，

2a2

結(jié)合橢圓中Z）2=/一°2可知=2,6=1.

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+/=1.

4-

設(shè)尸（國,必）,。（馬，力）,直線/的方程為y=6+機(jī)，

將點(diǎn)（2,-1）代入得：掰=-2左-1,

「?直線/:y=kx-（2k+1）.

2

由于橢圓C：'+/=1,;.^（0,-1）,5（2,0）,

聯(lián)立方程~得（4/+1）》2-8左（2左+1卜+16/+16左=0,

y=Ax-（2左+1）

由A=—64左＞0,得左＜0,

16左2+8左\6k2+\6k

x,+x=---；----,x,x,=----------

12?4k2+1124k2+1

直線的方程為：x-2y-2=0,

直線80的方程為：了=上7（尤一2）,

一2

4,胃;G，去（*-2）,

必=儂-（2左+1）

y2=kx2-（2k+1）

16k2+8左吊

運(yùn)用x,+x=---；----?

1294左2+1

16k2+16左

X,X=----z----

124k2+1

能證得：士+」、=1②，

x2-2再一2

下面證明②：（再—2）%+（%-2）%一（占一2乂/-2）

二（須一2）［生-（2左+1）］+（%2一2）［心一（2左+1）］-（再一2）（%2-2）

二（2k—1）X］%—（4左一1）（再+%）+8k,

運(yùn)用①中的韋達(dá)定理：（2左—1）再馬—（4左—1）（項(xiàng)+9）+8左

=（21嚴(yán)：；*一（41呼才+8左

32k3+3242-16左2_16左一64左3_32左2+16k2+8左+32k3+8左

-Q—0n,

4產(chǎn)+1

即②成立，

；?必+上;（再-2）=2*胃，即點(diǎn)石和尸的縱坐標(biāo)之和等于。點(diǎn)縱坐標(biāo)的2倍,

X?—Z，

DE\

???。點(diǎn)是線段EP的中點(diǎn)，即—4=1,

DE

綜上，了萬=1,故為定值.

22

2.（2023屆河南省焦作市高三上學(xué)期期中）己知橢圓C：2+方=1（°>6>（））的離心率為

1，點(diǎn)M（1,0）,G（4,0），橢圓。的右頂點(diǎn)A滿足2病+就=6.

⑴求橢圓C上一點(diǎn)尸到點(diǎn)M的最小距離；

（2）若經(jīng)過M點(diǎn)的直線/交橢圓C于E，尸兩點(diǎn),證明：當(dāng)直線/的傾斜角任意變化時(shí)，總存在實(shí)

（________、

___~CVFGF

數(shù)也使得=2=+=

[\GE\VF\）

【過程詳解】（I）解：/（。,0）,

因?yàn)?萬7+就=0,所以2（1—凡0）+（4—/0）=0,

即（6—3a,0）=0,所以6—3a=0,解得a=2,

離心率?=￡.=￡=所以°=y/2,

a22

所以/=/—/=2,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

設(shè)P（x,y）,（-2Wx42）,

則\PM\=7（^-l）2+T2=^（x-1）2+2-1x2=^|（X-2）2+1,

當(dāng)"2吐“L=l,

所以橢圓C上一點(diǎn)尸到點(diǎn)M的最小距離為1;

（2）證明：當(dāng)直線/的傾斜角為0時(shí)，直線/與x軸重合，

不妨取￡（一2,0）,尸（2,0）,

則—加■（/T°、）耐GE=（一-6,0）=/（一1,°、）府GF=（一-2,0）=（/一1,°、），

由曲=4禺+陷,得面3GEGF

2〔函|函

----?（Tr（rr

所以此時(shí)存在實(shí)數(shù)2,使得GM=2=+=

[\GE\VF\）

當(dāng)直線/的傾斜角不為0時(shí),設(shè)直線方程為工=即+1,￡（網(wǎng),必）,/（乙,%）,

貝1J玉=町+L&=期+1,

（22

土匕=]

聯(lián)立42~，消x得（加2+2）J?+2沖一3=0,

x=my+\

,.2m3

貝n!J必+為=一一=，%為=一一FTT，

m+2m+2

kM?力，（研-3）+%（町-3）

GEGF

Xj-4x2-4[myx-3）（my2-3）

6m6m

=2"%-3（乂+%）=一優(yōu)2+2+"廣+2=0.

（Wi-3）（仇-3）（%-3）（仇-3）

所以直線GE,GF的傾斜角互補(bǔ)，則GM平分NEGF,

/__,__\

____「百「戶k

所以當(dāng)直線/的傾斜角任意變化時(shí)，總存在實(shí)數(shù)4,使得曲=彳.+『

{,\GE\\GF\）

_,、

GEGF

綜上所述，當(dāng)直線/的傾斜角任意變化時(shí)，總存在實(shí)數(shù)4,使得GW=2阿I同

22

3.已知橢圓。十+方=1（。>6>0）的長軸長為4,大,￡為C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)

p（%，%）（%H。）在C上運(yùn)動，且cosZFtPF2的最小值為。.連接尸&P鳥并延長分別交橢圓C

于河,N兩點(diǎn).

（1）求。的方程;

⑵證明：合工+學(xué)組為定值.

^/\OMFX、叢0plN

【過程詳解】（1）由題意得。=2,

設(shè)|尸片|,|尸鳥|的長分別為",",加+〃=2°=4

lm2+n2-4C2(m+nV-4c2-2mn=i-7--------=-"一12口內(nèi)

貝1ml」cos/片尸石=-----------=-^-----------------rnn(m+n\a，當(dāng)且僅

2mn2mnI——I

當(dāng)加=〃時(shí)取等號，

,1,b23及、

從而一；—1——，倚s--=一.b=3,

a22/4

22

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+匕=1;

43

（2）由（1）得耳（一1,0）,巴（1,0）,

設(shè)M（XQJ,N（X2，%）,

設(shè)直線PM的方程為x=^-y-1，直線PN的方程為尤=區(qū)二與+1,

%y0

%+11

x=-^——y-l

2'I,得3(x°+l)6"廣9=0,

由,L+4

上+2=1%

143

2

—9-9y0-9%2

則.22

3(")『+43(/+1『+4%23x0+4y0+6x0+32%+5,

4

.y=

-,2%+5,

同理可得力=恙?

T西閭初川+皿）

所以決.OPFIS4OPN

i=_A+A+1

^AOFN*制/）網(wǎng)網(wǎng)(必%.

.OMFX2

=_%+7。+1=U.

-3%-3%3

、2x0+55-2x0,

所以2+A為定值

D△。町O(N3

4.（2022屆湖北省十堰市丹江口市高三下學(xué)期模擬）已知雙曲線。:m-4=1（〃>0,6>0）的

左、右頂點(diǎn)分別為4,4,右焦點(diǎn)為尸（2,0）,點(diǎn)尸為c上一動點(diǎn)（異于4,4兩點(diǎn)），直線尸4和

直線「4與直線x=1分別交于MN兩點(diǎn)，當(dāng)PF垂直于x軸時(shí)，△尸44的面積為2.

⑴求c的方程；

（2）求證：為定值，并求出該定值.

【過程詳解】（1）由題意知。=2,則/+/=4.當(dāng)尸尸_Lx軸時(shí),|尸尸|=一,

a

故△尸44的面積S=L2q.Q=62=2,解得a=b=41，

2a

22

故C的方程為土-匕=1.

22

（2）由（1）得4（-60）,4（立0）,設(shè)尸（%,九乂/W±@,

則直線尸4'y=一%77（%+收），令工=1,得加=—%■片（1+后）；

%+A/2+A/2

直線尸^2:y=-^7^(］一&),令％=］得、汽=-^-y=(l-\/2).

x0—72xC—72

故M（L加）,N（l，w）,

因?yàn)镴WN=-x；-Jo=2,故J，"％=-1,

工0-2

又FM=（-1,加），尸N=（-1,%）,則KW?W=1+九6.

因此而^^nl+yMyNuO，

故KW_LFN,即2MFN=90°.

5.（2023屆湖北省荊荊宜三校高三上學(xué)期10月聯(lián)考）記以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)、廠（1,0）為焦點(diǎn)

的拋物線為C,過點(diǎn)F的直線I與拋物線。交于A,B兩點(diǎn).

⑴已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2,0）,求最大時(shí)直線的傾斜角；

⑵當(dāng)/的斜率為g時(shí),若平行/的直線機(jī)與C交于M,N兩點(diǎn)，且AM與BN相交于點(diǎn)T,證明：

點(diǎn)T在定直線上.

【過程詳解】（1）設(shè)直線的方程為》=叩+1,/（%,必）,8（%,%）5>0,為<0）

%

記==/，則tana二?tanP=-

再+2myx+3x2+2my2+3

tana+tan，_________3(%-%)_________

則tanZ.AMB=tan(a+/?)=

1-tancrtanp(〃?2+1)必力+3小(％+%)+9

由題設(shè)得拋物線方程為/=4x

fA>0

［r”2=4工_____

聯(lián)立\［消去X得V-4⑺一4=0|必+%=4加,y-y=4,加2+1

x=my+1,

〔必為=-4

——…，C12?12

tan4MB=應(yīng)0令”府石則出1tan^AMB=后”=廠

8m-+5次-7

12

由單調(diào)性得當(dāng)/=1時(shí),tanAAMB最大為y，此時(shí)加=0,直線AB的傾斜角為90°

uuiiUHmjrmr

(2)設(shè)7(%,%),力W=2714(4wl)則由48〃MV得

卜"((Kb幾+"-2-(”+.%)

4

j_.yA-yB_

又丁上題+%=8同理％+Zv=8

2"xA-xByA+yB

***8-2%=4(8-2%)又丁2^1.*.8-2y0=0/.y0=4

???點(diǎn)T在定直線＞=4上.

6.在平面直角坐標(biāo)系x°v中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,g),以線段“尸為直徑的圓與x軸相切.

(1)求點(diǎn)M的軌跡E的方程；

⑵設(shè)T是E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),07的平行線/交E于A,B兩點(diǎn),交曲線E在T處的切線于點(diǎn)

N,求證：|N7f=gL網(wǎng).

【過程詳解】(1)設(shè)點(diǎn)〃(x,y),因?yàn)槭?0,；

所以43的中點(diǎn)坐標(biāo)為，2]+1],

因?yàn)橐跃€段“尸為直徑的圓與x軸相切，

網(wǎng)=也到同回

24112

故卜+口_；：=叱''化簡得一=2^，

所以M的軌跡￡的方程為/=2y.

(2)因?yàn)門是E上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn),所以由(1)得(2,2),所以直線。7的斜率為1,

因?yàn)?//O7,所以可設(shè)直線/的方程為了=尤+私優(yōu)/0,

由/=2y，得y=；/,得＞=x,則曲線后在T處的切線的斜率為了'匚=2，

所以曲線E在7處的切線方程為了=2x-2,

聯(lián)立[I=x+mx=m+2

，得

—2x—2y=2m+2

所以N（N+2,2優(yōu)+2）,所以加中=（m+2-2『+（2優(yōu)+2-2）2=5〃/,

fy=x+m]

聯(lián)立｛2，化簡得工2一2%-2加=0,有A=4+8加＞0,解得冽＞-不

[x=2y2

設(shè)/（&,尤2）,8（%,%）,則匹+X2=2,X1X2=-2m,

因?yàn)镹,A,B在/上，所以|網(wǎng)=行忖-（〃7+2）|,|沖|=夜上-（機(jī)+2）|,

所以=2|西-（加+2）值_（加+2）|=2限2-（機(jī)+2）（網(wǎng)+電）+（加+2）]=2*,因?yàn)?/p>

\NTf=5m2，所以|沏②=斗乂4"洞.

7.已知雙曲線=心雙曲線「的右焦點(diǎn)為尸,圓。的圓心在y軸正半軸上，且經(jīng)過坐

標(biāo)原點(diǎn)。，圓C與雙曲線1的右支交于N、8兩點(diǎn).

（1）當(dāng)△OE4是以尸為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求△。物的面積；

（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（右,1）,求直線AB的方程；

（3）求證：直線N3與圓x2+y=2相切.

【過程詳解】（1）由題意△。物是以下為直角頂點(diǎn)的直角三角形，尸（2行,0）,

所以點(diǎn)/在直線x=2后處，設(shè)代入/一步=牝解得昨±2,取產(chǎn)2

則/（20,2），所以△。物的面積為⑻=；x2后x2=20；

（2）設(shè)圓C圓心坐標(biāo)為（0,加），因其過原點(diǎn)，則r=m.

故圓C方程為：x2+=m2.

代入點(diǎn)Z（右,1）,得5+（1—機(jī)）2=m2，解得m=3.

（2+（-3）2=9

將圓C方程與「/-/=4聯(lián)立得x了2，，消去X得：V-3y+2=0

[x"-y=4

解得％=1,%=2.又8點(diǎn)在雙曲線右支，故5（2行,2）.

V—11

則”2方程為：』1=荻二萬.

化簡為了=拽產(chǎn).[一碼+i即了=巴芭工_駕型

（3）證明：由題直線斜率必存在,

故設(shè)直線48的方程為了=云+加工（x/山）,B（X2/2）,

圓C的方程為x2+（ip=/（6>0）,

y=kx+m

由，消去y得：（［_后2）12加2+4）=0

x2-y2=4

1-尸。02kmm2+4

由題意，得:A>0'且為+"2=中'再尤2=一寸'

二士;7,消去X化簡得：…+2=。,所以必一.

由

22

所以必%=/*+加)(履2+加)=kxxx2+km(X[+x2)+m=2,

m2+4.2km-k2m2-4k2+2k2m2+m2-m2k2

即—+km-------+m2=2

1-k2\-k2\-k2

m2-4k20\m\

=2n加2=2+2好=>J?=母

1-F

得原點(diǎn)O到直線NB的距離"=+^7=血，所以直線M與圓/+/=2相切.

\1+k

8.（2023屆湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考）已知直線4：》=—日工+2與橢

圓土+二=1相切于點(diǎn)M,與直線4：〉=立1+方相交于點(diǎn)N（異于點(diǎn)"）.

4272

⑴求點(diǎn)A/的坐標(biāo)；

⑵直線4交￡于點(diǎn)/（不，必）,2（3,%）兩點(diǎn),證明：AANMSAMNB.

[旦+?

【過程詳解】（1），一2，消y得：尤2-2缶+2=0,解得：x=&,故/也1);

_x2+2y2=4

V2

k一石龍+2

（2）聯(lián)立，，解之得：NV2--f,l+-

_V2

y——X+/

2

聯(lián)立，一2"十,消了得：/+力儀+〃一2=0,

x2+2y2=4

22

由題可得：A=8-It>0,玉+尤?=-V2?,xlx2=t-2.

2

3

NANB=亞-爭(2+%)+

2

7

、\2

332

=-r-2-41-—t(-72/)+四_爭-r

24

2)7

、

|2W|=^1+1|V2-亞-等,

2

7

|TW|2=|A^||7V5|,

ANMN

=——，又ZANB=AMNB,???AANMS^MNB.

NMNB

,2

9.（2023屆重慶市巴蜀中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期月考）已知橢圓C:二+2=1(〃>6〉0)的

a

左、右頂點(diǎn)分別為4%橢圓c的長半軸的長等于它的焦距，且過點(diǎn)[i,|j.

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)（不同于48），直線

AM與直線BN相交于點(diǎn)P，直線AN與直線BM相交于點(diǎn)。，證明：P0，x軸.

_________22

【過程詳解】（1）由題意。=2c,即/）=工17=小，故橢圓C：a+￡=1,

13

代入點(diǎn)可得~7~2~^~~7~2=1，解得c=l,a=2/=G,

4c4c

.2

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：工+匕=1.

43

(2)由題意右焦點(diǎn)尸(1,0),^(-2,0),5(2,0),

若直線I斜率不存在，直線方程為：X=1，代入橢圓方程可得：+[=1,解得y=±1，即

33

1133

故直線/M:y=i(x+2),/N:y=-5(x+2),3M:y=-5(x-2),8N:y=5(x-2),

y=；(x+2)1小

y=--(xz+2)

聯(lián)立，可得尸（4,3）；聯(lián)立；，可得0(4,—3),

y=^(x-2)y=--(x-2)

，故尸。_L無軸;

若直線I斜率存在,直線方程為：了=左（龍-1），與橢圓聯(lián)立

y=k（x-V）

<X2V2，即（4/+3）/-8Fx+4左2_12=O,A>O恒成立,

+=1

143

_8k2

x+x

12-4左2+3

不妨設(shè)/（%,乂）,N（X2，力），故，

4左2—12

4左2+3

故直線，"=^（x+2）,3：尸歹2（x+2）,W:y=-\（x-2）,

x2+2再一2

8N:.v=V（x-2）,

x2-2

左”2）F

例/+2X-6石

聯(lián)立，，可得Xp-2

-^U-2）3%+%-4

y=

x2-2

%

y=?（x+2）

工2+2/_4x^+2玉-6X

聯(lián)立（一「可得「一2^2

必

片

X]—2

4X1X2+2（再+/）-8項(xiàng)例/-6（再+%2）+8%

3（再+/）-2%—4（X|+12）+2X]—4

32左2一48-32左2+48

4左2+34左2+3

8-—12-8T+12

—2國

4左2+34左2+3

32/一4832/一48

—8國

4左2+34左2+3

----二0

8/C2-128/C2-12

-2國

4左2+34左2+3

?Xp="，故尸0_1_尤軸；

綜上：尸軸.

10.已知拋物線C：V=2.5>0）,其焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與拋物線C相交于不

同的兩點(diǎn)4民初為4s的中點(diǎn).

⑴若P=2,M的坐標(biāo)為（1,1），求直線I的方程.

（2）若直線/過焦點(diǎn)FAB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N,求證：羋”為定值.

沖I

【過程詳解】（1）由題意知直線/的斜率存在且不為0,

故設(shè)直線I的方程為x-1=-1）

即X=W+1-%設(shè)Z(陽,必),5(%,%).

\x=ty+l-t,1

由<24得y—4"—4+4，=0,

U=鈦

22

A=16z+16-16/=16(/-/+l)>0,y1+y2=4r,

I.4/=2,即”;.

???直線/的方程為2x—y—l=O.

(2)證明如下：

,/拋物線C：/=2px(p>0)焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為go].

由題意知直線/的斜率存在且不為0,

???直線/過焦點(diǎn)凡故設(shè)直線/的方程為x=W+5?wO),設(shè)4匹,弘),灰馬，外).

P

jx=ty+—/=

由J2，得y7-2pty-p9=0,

y=^px

，%+%=2〃/,A=472/+472>o

Xj+x=+%)+22

2t{yx=2pt?+p(pt+gpt).

:?MN的方程為y-pt=-t(x-pF-

令V=o,解得X=+學(xué),N(必2+#,0),

\MN^=p2+p2t2,\FN\=pt2+^---^=pt2+p,

,2|ACV|22(/+/〃)

7=2p，為定直

pt~+p

22

11.(2023屆河北省邯鄲市大名縣第一中學(xué)高三月考)己知橢圓C:會+方=1(。>6>0)的

左、右焦點(diǎn)分別為4,弓左頂點(diǎn)為/(-2,0),離心率為弓.

⑴求C的方程；

(2)若直線/：尸Mx+1)化片0)與C交于點(diǎn)。旦線段4CUE的中點(diǎn)分別為尸,。.設(shè)過點(diǎn)片且

垂直于x軸的直線為,若直線0P與直線/‘交于點(diǎn)S，直線OQ與直線/'交于點(diǎn)7,求證：

廝?可為定值.

【過程詳解】(1)???橢圓C左頂點(diǎn)為/(-2,0),：”=2,又離心率0=反=也,"=逝，

a2

22

.?方=/―2=2,，C的方程為：土+匕=1.

42

(2)設(shè)。國乂),￡仁,%),則

y=k(x+\)

由，X?j?得：(1+242)f+4rx+242一4=0,

142

貝1JA=16代一40+2后2)Q后2-4)=24/+16>0,

4422k=4

,*X1+%2="TT2F,X1X2=TT2F;

?.,直線。尸方程為：尸？x,r：x=一行,「.s-亞，-垃

X]_2IX]_2

同理可得:

:.F\S=-2V2,

“幣=8+----=8+2,2(竺乎+1)=&+2"號(網(wǎng)+?+1)

(占一2)(%2—2)(%1—2)(x2—2)再入2—2(再+/)+4

2M十-f+112

8+〔;+2左21切2人8+9=8」=竺,

2左2-48k,,18F33

--------r+-------r+4

1+2左21+2左2

----------??Z$

.?.月5書7為定值

12.已知拋物線C:X?=2加(0>0)的焦點(diǎn)到直線/：y=2x-5的距離為罕.

⑴求C的方程；

(2)若點(diǎn)P在/上，尸/，m是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn)，直線43與/交于點(diǎn)。，證明：存在定點(diǎn)

H,使得PHLQH.

【過程詳解】(1)由題可知。的焦點(diǎn)為(0,5),依距離公式可得

|2x0-^-5|,/7

「21_6%>如解得〃=2.

#+(-1)25

所以C的方程為x2=4y；

(2)設(shè)/&,=),5(稱

由y《可知直線尸/的方程為尸￥=|_（xrj,即夕=當(dāng)-].

同理直線PB的方程為了=芋一:.

>=咨_5_2,

2

聯(lián)立4解得尸(土產(chǎn)

_xxx2

22,

_一T

若記取2-5）,則有二Mx+二x,4=⑵23一5）所以可寫出直線"的方程為

=X[

(X1_X2)(y_§)=(^~_，)(x_X2)^Pyy=1-x-2z+5.

y=2x-5,

由“5與/相交可知—聯(lián)立]=3-2，+5可得。（等'■）.

設(shè)〃(x,y),則由尸〃，可知

而切=(……一5))卜一y-3^

=y—^(^-^^-(2^-5))-((r-4)^-4(^-5),(^-4)^-(3/-20))

-~~~-(^-x,2z-(y+5))-((x-4)Z-4(x-5),(y-3)^-4(j^-5))

=-------4)/2_(x?-20)t+4x(x-5)+2(y-3)/-(「+10jv-55、+4(y+5)(y_5)]

=-r(x+2j;-10)/2-(x2+/+10j；-75)Z+4(x2+j；2-5x-25)l=0

’-4L」

上式關(guān)于，恒成立當(dāng)且僅當(dāng)

x+2〉-10=0,

<x2+/+10y-75=0,

+>2—5x—25—0.

,=0,[x=8,

解得<或,

[y=5[y=i-

因此，存在定點(diǎn)H(0,5)或“(8,1),使得PHLQH.

13.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)用圓C:捺+/=1(。>6>0)的離心率為半，且過點(diǎn)(0,1).

(1)求C的方程；

“3

(2)若直線/：、=@+機(jī)與。交于P,。兩點(diǎn)，且△。尸0的面積是萬,求證：2m2-k?=9.

22

【過程詳解】(1)因橢圓C:'+2=l(a>"0)過點(diǎn)(0,1),則6=1,又橢圓C的離心率為

2A/2

；-4=述，解得0=3,

所以C的方程為卷+/=1.

（2）依題意，加片0,由x+9-V=9消去x并整理得：（公+9）/+2初沙+〃/-9=0,

［x=ky+m

A=4k2m2-4（左2+9）（加2—9）=36（左？+9-m2）>0,

-2km

2

設(shè)尸(士,必),。(々,力),則<k+9

2-9

于是得?PQ|=7I7F.，(“+為)2一4了跖=+9也，點(diǎn)0到/的距離

K?y

因此“。蛇=；闿”=亞邛三"^=?即4--4蘇伊+9)+仔+9)2=0,

整理得［2/-儼+9)了=0,即2/-左2=9,顯然2〃/一左2=9滿足A>0,

所以2療一左2=9.

14.(2023屆福建師范大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三上學(xué)期月考)在平