2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）（全題型壓軸題）（學(xué)生版+解析）

專題10一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）

目錄

一、圖象識(shí)別題............................................1

二、函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題......................................3

三、不等式整數(shù)解問(wèn)題.....................................15

四、函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題...............4

五、不等式恒成立問(wèn)題......................................6

一、圖象識(shí)別題

1.（2024湖北?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（尤）=3_1-1!?：2的圖象大致為（）

2.（2024?寧夏固原,一模）已知函數(shù)”尤）的部分圖像如圖所示,貝U/（x）的解析式可能為（

x

?心濟(jì)e_

A7(3E

小）=后

c-?。?3D-

3.（2024?天津?一模）如圖是函數(shù)〃x）的部分圖象，則〃尤）的解析式可能為（)

cos5x

B.〃x)=

2X+2-X

sin5x

D.〃x)=

2~X-2X

e'-e-J

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃元）=的大致圖象是（

41n|x|+l

O

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃尤）=1^.1中|的大致圖像是（）

二、函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題

1.（23-24高三上?廣東汕頭?階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)（加,〃）（〃7>0）可作曲線y=/-3x三條切線,

則()

A.n<—3mB.n>m3-3m

C.幾=m3—3m或〃=—3mD.—3m<n<n^-3m

2.（23-24高三上?廣東佛山?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=（x-3）ex,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,“）且與曲線

>=/（元）相切的直線有三條，則（）

A.—3<aV—eB.a>-eC.Qv-3D.av_3或Q>—e

3.（23-24高二下?安徽安慶?期末）若過(guò)點(diǎn)（a,6）（a>0）可以作曲線y的三條切線，則

()

A.0<a<bebB.-aea<b<0

C.0<ae1<b+4D.—(Q+4)〈加2Vo

4.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期末）過(guò)直線丁=%-1上一點(diǎn)尸可以作曲線〃％）=龍-丘的

兩條切線，則點(diǎn)尸橫坐標(biāo)/的取值范圍為（）

A.0<t<lB.l<t<e

1?

C.Q<t<eD.-<t<l

四、函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題

1.(23-24高二下?四川樂山?期末)已知函數(shù)/(x)=e*-ox和g(x)=ox-lnx有相同的最小

值.

⑴求。；

(2)若直線y=b與y=和y=g(x)的圖象共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，試探究：從左到右四個(gè)

交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系.

2.(23-24高二下?廣東深圳?階段練習(xí))用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之"美現(xiàn)

代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率

定義如下：若義(X)是“X)的導(dǎo)函數(shù),是㈤是尸⑺的導(dǎo)函數(shù),則曲線在點(diǎn)

處的曲率為3

（1+八）3

(1)已知函數(shù)/(X)=sinx+COST,

①求函數(shù)在點(diǎn)(0,1)處的曲率的平方K：；

②求函數(shù)的曲率K的最大值.

(2)函數(shù)g(x)=(x-2)e*+［下一---lark2,若g(無(wú))在兩個(gè)不同的點(diǎn)處曲率為0,求實(shí)數(shù)小

的取值范圍.

3.(2024?北京房山?一模)已知函數(shù)/(幻=y+、

X

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程;

⑵設(shè)g(x)=/'(x)-x2,求函數(shù)g(x)的極大值；

(3)若a<-e,求函數(shù)Ax)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4.(23-24高三下?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)=和g(x)=ox-lnx(aeR)

⑴若函數(shù)y=g(x)是定義域上的嚴(yán)格減函數(shù)，求。的取值范圍.

(2)若函數(shù)/(x)=e，-ax和g(x)=辦-Inx有相同的最小值，求。的值

⑶若。=1,是否存在直線y=b,其與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),

并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列

5.（2023?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃％）=*,尤eR.

（1）求函數(shù)〃x）=xe，單調(diào)區(qū)間；

（2）若過(guò)點(diǎn)P（1，OG?R）可以作曲線,=/（x）的3條切線，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

五、不等式恒成立問(wèn)題

1.（2024?湖南?一模）若不等式e'T-〃1-2〃-320對(duì)VxeR恒成立，其中〃入0,則一的

m

取值范圍為（）

（ln3eIn3e

A.一叫———B.--------,+oo

2

In3eIn3e)

D.

C.~2~

b

2.（2024?山東苗澤?一模）關(guān)于x的不等式尤e^+bx-lnxNl（a>0）恒成立，則一的最小值

a

為.

3.（23-24高三上?山東臨沂?期末）己知函數(shù)〃尤）=卜'一無(wú)~一2招式"°,若關(guān)于尤的不等式

xlnx,x>0

F（x）>?x-e（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在R上恒成立，則。的取值范圍____.

4.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=lnx-or2（a>0）

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求/（力的單調(diào)區(qū)間;

（2）若Inx-or?WZzx恒成立，求。+2A的最小值.

專題10一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象及性質(zhì)）

目錄

一、圖象識(shí)別題............................................1

二、函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題......................................3

三、不等式整數(shù)解問(wèn)題.....................................15

四、函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題...............4

五、不等式恒成立問(wèn)題......................................6

一、圖象識(shí)別題

1.（2024湖北?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（尤）=3_1-1!?：2的圖象大致為（）

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)x<0時(shí)的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

ex-ex-21n(-x),x<0

［詳解］f(x)=ex-^-\nx2=

ex-ex-21ILX,x>0

1

因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),y=ex,y=—ex,y=-21n(—%)都為增函數(shù),

所以，y=e、_/_21n(r),x<0單調(diào)遞增，故B，C錯(cuò)誤;

、_1

又因?yàn)閥(-尤)=b—e*-Inx2，

所以/(x)不是奇函數(shù)，即圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤.

故選：A

2.(2024?寧夏固原一模)已知函數(shù)/(元)的部分圖像如圖所示,則“X)的解析式可能為(

7(3E

D-4)=力

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】利用/(x)在(1,+s)上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用/(無(wú))在

。,+8)上的單調(diào)性排除D,從而得解.

【詳解】對(duì)于B,當(dāng)尤>1時(shí)，/(%)=-—-—，易知e"-er>0，3-4x<0,

則/(x)<0,不滿足圖象，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,;常,定義域?yàn)閪，-飆卜:片+6，

P-XXex+e~x

又/(f)=F+EO=方匚7="幻，則的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故C錯(cuò)誤;

qJC\D4X\D

XxI

對(duì)于D,當(dāng)x>l時(shí)，小)=麗=17rl+』，

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在(1,+8)上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤;

-x

檢驗(yàn)選項(xiàng)A,。滿足圖中性質(zhì),故A正確.

4|尤|-3

故選：A.

3.（2024?天津?一模）如圖是函數(shù)/（X）的部分圖象，則/（尤）的解析式可能為（）

、cos5x

B.心疔尸

、cos5xr“、sin5x

C-=D-=

z-乙z-z

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除C,根據(jù)在原點(diǎn)附近的函數(shù)值的正負(fù)可排除BA,

即可求解.

【詳解】由圖可知：/（無(wú)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則為偶函數(shù)，

上（、sin（-5x）-sin5x?、

對(duì)于A,〃—）=2-2'=_（2,-2-，）="z"）'為偶函數(shù)，

但當(dāng)x取一個(gè)很小的正數(shù)，例如x=0.0001,選項(xiàng)中的/'（0.0001）＞0,而原圖象中值為負(fù)數(shù),

故A不符合，舍去，

對(duì)于B,〃—）=冶3，=等當(dāng)=〃力,為偶函數(shù)，但是x=0處有意義，但是原函數(shù)在

2I22I2

尤=0處無(wú)意義，故B不符合，

對(duì)于c,〃-村=學(xué)32=T啜=-〃"，為奇函數(shù)，故C不符合,

z—zz—Z

故選：D

ex-eTx

4（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/⑴二…的大致圖象是（

4/

M1U

A-13“卜

小

斗/

C.1D--半―

八4n

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)函數(shù)解析式,求函數(shù)定義域，奇偶性，特殊值利用排除法逐一判斷各

個(gè)選項(xiàng).

【詳解】由題意得41n|x|+lN0,即一I，得彳*±屋八且X*。，

所以/（X）的定義域?yàn)椴?土e；且"0"

「，/、e-x-exex-e-x、

又以X）~Al1I1—AA\\1—/（%），所以〃尤）為奇函數(shù)，

4ln—x|+l4ln|x|+l

其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B,C；

IIII

又。十

）,所以排除D.

e"J4ln-+l一3

e

故選：A.

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)/（x）=±「的大致圖像是（）

11

:一

yt

【優(yōu)尖升-分析】由奇偶函數(shù)的定義可判斷A,C；由特值法可判斷B,D.

【詳解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|xwO},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又/(x)=(e*-b).In禺，/(-%)=-ex)-In|-x|=-(eA-)-In|x|=-/(x),

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除選項(xiàng)A,C.

因?yàn)?⑴=Oj[g)=[八一排除選項(xiàng)B.

(另解：當(dāng)0<x<l時(shí)，1皿0?-心〉0,所以〃x)<0,排除選項(xiàng)B).

故選：D.

二、函數(shù)切線條數(shù)問(wèn)題

1.(23-24高三上?廣東汕頭?階段練習(xí))若過(guò)點(diǎn)(〃2,〃)(加>0)可作曲線了=/-3》三條切線，

則()

A.n<—3mB.n>m3—3m

C.H=m3-3m或〃=—3mD.-3m<n<m3-3m

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】設(shè)出切點(diǎn)〃(X0,幾)，求導(dǎo)，得到切線方程，將("Z,")("?>0)代入切線方程，

得至—3/n片+3，"+”=。，故一3〃此：+3〃2+力=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，令

g(x0)=2W-3*+3〃7+〃，求導(dǎo)，得到其單調(diào)性和極值點(diǎn)情況，從而得到不等式，求出答

案.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為〃您，兀)，則%=〃％)=尤；-3%,

制x)=3d-3,故〃x°)=3君—3,且切線方程為丫一%=(3/一3)(x-x0),

因?yàn)?M7,〃)("?>0)在切線上，故”-(X；-3%)=(3x；-3)(m-/)，

整理得2xg-3mx；+3m+〃=0,

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(肛〃)(相>0)可作曲線y=V-3x三條切線,

故2丸一3mX；+3根+〃=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根，

設(shè)g(%o)=2/一3mX：+3m+n,則g'(九0)=6片-6mx0=6x0(x0-m),

由g'H。得，/=。或加，

因?yàn)榧?gt;。，由8’(%0)=6%0(%0-加)>0得兀0>機(jī)或%o<。，此時(shí)g(%o)單調(diào)遞增，

由^(xo)=6xo(xo-w)<O^O<xo<wt,此時(shí)8優(yōu))單調(diào)遞減，

所以8(%)=2鵬-3溷+3/+〃的極大值點(diǎn)為％=°,極小值點(diǎn)為飛=機(jī)，

故2年-3,欣+3m+?=0要有三個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件為19)：:,

g㈣<0

f3m+n>0

即<3c八，解得—3m<n<4—3m.

[-m+3m+n<0

故選：D

【點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

(1)己知切點(diǎn)人(%,/(%))求斜率h即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)左=「(為)；

(2)己知斜率k求切點(diǎn)4(%,〃網(wǎng))),即解方程尸(可)=左；

⑶已知切線過(guò)某點(diǎn)加(占,〃西))(不是切點(diǎn))求切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)4(%,〃%)),利用

k="6"/)=f'M求解.

%-玉)

2.(23-24高三上?廣東佛山?階段練習(xí))己知函數(shù)“r)=(x-3)ex,若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，。)且與曲線

y=/(尤)相切的直線有三條，則()

A.-3<a<-eB.a>-eC.a<-3D.av-3或。>一。

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】設(shè)切點(diǎn)為(天,(%-3)爐>),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)間的斜率公式可

得。=(一片+3x0-3)e?有3個(gè)解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=(f2+3x-3)e，,求導(dǎo)分析單調(diào)性與極值

可得”的取值范圍.

【詳解】尸(x)=(x-2)e”,設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,°)且與曲線y=/⑶相切的切點(diǎn)為-3)e』)，

,i

則/(x0)=(x0-2)e'>,又切線經(jīng)過(guò)(0,“)，故由題意a-3)__4=伍_2)打有3個(gè)解.

xo

化簡(jiǎn)有4=(%—3)爐>—/(5—2)e*,即a=(-xj+3xo-3)e&有3個(gè)解.

設(shè)g(x)=(—尤2+3x-3)e*,貝lJg〈x)=(-x2+x)eX,令g'(x)=0有尤=0或x=l,故當(dāng)

xe(y,O)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)xe(O,l)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)

xe(l,+oo)時(shí),g[x)<0,g(無(wú))單調(diào)遞減.

又g（O）=—3,g（l）=-e,且=g（2）=-e2Vg（0）,故要a=（_x；+3x°_3）e0

有3個(gè)解，貝

故選：A

【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

3.（23-24高二下?安徽安慶?期末）若過(guò)點(diǎn)>0）可以作曲線y=的三條切線，則

（）

A.0<a<bebB.-aefl<b<0

C.0<ae2<b+4D.-（a+4）<Z>e2<0

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】設(shè)切點(diǎn)為（％,彳/'。），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及條件可得關(guān)于修的方程

（片-叫，-有三個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)〃x）=（尤2-6-小，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合即得.

【詳解】由題可得了=（*+1）/,

設(shè)切點(diǎn)（尤o,尤oe"0）,則小+1）6%=；:,整理得（X；-啄一。k演=一匕，

由題意知關(guān)于看的方程（x；-冰。-。）田=-6有三個(gè)不同的解，

設(shè)/⑺=（12_改_々）爐,r⑺=（%+2）（九一,

由/,1）=0，得了=-2或1=〃，又a>0,

所以當(dāng)xv—2時(shí)，/^x）>0,/（x）單調(diào)遞增，當(dāng)—2vx<4時(shí)，/^x）<0,f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x>。時(shí)第x）>o,/（x）單調(diào)遞增,

當(dāng)Xf-co時(shí)0,

當(dāng)xf+8時(shí)，〃x)f+co,且/(_2)=與好，〃a)=—ae"<0,

函數(shù)〃x）的大致圖像如圖所示,

因?yàn)椤▁）的圖像與直線>=有三個(gè)交點(diǎn)，

所以0<—6<^^,gp-（a+4）<Z7e2<0.

e

故選：D.

【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究零點(diǎn)問(wèn)題：

（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可

用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)

題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利

用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

4.（23-24高二下?黑龍江哈爾濱?期末）過(guò)直線>=x-l上一點(diǎn)P可以作曲線〃x）=x-Inx的

兩條切線，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)f的取值范圍為（）

A.0<Z<1B.l<t<e

C.0</<eD.—<.t<.1

e

【答案】C

【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線方程，再將方程r=2x0-尤。In%的根的個(gè)數(shù)問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=，與函數(shù)g（x）=2x-xlnx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合圖象，即可得出答案.

【詳解】解：由題意得尸億一D,設(shè)切點(diǎn)為%>0,

?.?r(x)=i」，ru)=i--=—,

X%%0

則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y-Xo+ln/=也一(x-毛)，整理得>='-x-lnx0+l,

%x0

1

由點(diǎn)尸在切線上，貝1]，-1=也一'，一lnxo+l,gp?=2x0-x0lnx0,

不

因?yàn)檫^(guò)直線y=x-l上一點(diǎn)P可以作曲線“r)=x-lnx兩條切線，

所以關(guān)于%的方程/=2%-％In%有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

即函數(shù)y=，與函數(shù)g(x)=2x-xlnx的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

g'(x)=2-lnx-l=l-lnx,

g'(x)>OnO<尤<e,g'(尤)<0=>尤)e,

則函數(shù)g(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，且g(e)=e,

x-0時(shí)，g(x)f0；xf+8時(shí)，g(x)-—co,

則函數(shù)y=，與函數(shù)g(x)=-xlnx+2x的圖象如下圖所示：

由圖可知，0<t<e,

故選：C.

三、不等式整數(shù)解問(wèn)題

1.(23-24高一上?上海嘉定?期末)已知函數(shù)〃幻=|3、-1|,若關(guān)于的x的方程

|/(尤)-4+|/(x)-a-1|=1有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.[TO]B,T,-jC.[0』D.gl)

【答案】B

【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)絕對(duì)值的應(yīng)用尋找方程成立的條件，再利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)即可.

【詳解】若關(guān)于的x的方程|/(x)-。|+|/(x)-a-1=1有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，

貝I必、有/(x)之。且/(x)〈a+l同時(shí)成立，即Ax)圖象夾在丫=。和>=〃+1之間，

2Q

易知/(0)=0,/(-1)=-,"1)=2,/(-2)="函數(shù)/*)的圖象大致如圖,

結(jié)合圖形可知。</（力4。+1的整數(shù)解只有兩個(gè)，則其中一個(gè)為x=0,另一個(gè)為x=-l,

2Q

所以aVO,且+

解得ae_g，_g），

故選：B

2.（23-24高一上?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃無(wú)）=尸::無(wú)若關(guān)于x的不等

式"（x）f-時(shí)（x）-"2<0恰有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)機(jī)的最小值是（）

A.-21B.-14C.-7D.-6

【答案】A

【優(yōu)尖升-分析】畫出函數(shù)的圖像，然后對(duì)于不等式"GV-時(shí)（力-*<0,分"=0和

以及根<0和機(jī)>0進(jìn)行分析說(shuō)明得實(shí)數(shù)小的最小值.

【詳解】函數(shù)仆）J*：：*'的圖像如下：

e-l,x<0

???不等式"（x）F-時(shí)（x）-"<0恰有兩個(gè)整數(shù)解，

①當(dāng)〃=0時(shí)，"（尤）］2_〃礦（x）<0,即

當(dāng)/<0時(shí)，m</（x）<0,

由于"（切2—時(shí)㈤<0恰有兩個(gè)整數(shù)解,又于（4）=0J（5）<0,<⑹<0J⑺<0,

則整數(shù)解為5和6,X/（6）=-62+4X6=-12,/（7）=-72+4X7=-21,

因?yàn)榍笞钚≈?，此時(shí)機(jī)＞0就不用考慮了，機(jī)的最小值為-21,

②當(dāng)"0時(shí)，對(duì)于"(切2—時(shí)(x)—/<0,

A=m2+>0

只考慮m＜0,

貝wz-J/+4見2〈0〈機(jī)+J//+4〃2

22

又/'（力=。時(shí)有兩個(gè)整數(shù)解，則不等式的解集中含有多于2個(gè)整數(shù)解，故舍去，

綜上，實(shí)數(shù)〃z的最小值是-21.

故選：A.

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的不等式Inx-履4+日3＞o恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)

上的取值范圍為（）

【答案】D

【優(yōu)尖升-分析】第一步：將不等式進(jìn)行合理變形，關(guān)于x的不等式學(xué)＞左。-1）恰有一個(gè)

整數(shù)解.

第二步：構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象求解；

【詳解】設(shè)/（尤）=華，y=k（x-v）,貝

XX

當(dāng)0＜x＜消時(shí)，八無(wú)）＞°，

當(dāng)尤時(shí)，/（x）＜°，

.?./（元）在區(qū)間0,”上單調(diào)遞增，在區(qū)間5,+"上單調(diào)遞減.

I）\）

當(dāng)x〉l時(shí)，/（%）＞0,當(dāng)x趨近于+8時(shí)，/（九）趨近于0,/（I）=0,

直線＞1）過(guò)點(diǎn)（1,。），在同一坐標(biāo)系中作出直線y=1）和函數(shù)/（尤）的圖象如圖所示.

由圖象知，要使關(guān)于X的不等式？＞心-1)恰有一個(gè)整數(shù)解，則

“2)-＞左(2一1)

力口ln3,7In2

解得

〃3)=與4M3T

故選：D.

4.(23-24高二下?河南鄭州?期末)若關(guān)于x的不等式區(qū)＞|尤-2|恰好有4個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)

上的范圍為()

22](231(32](2:

A-t5jB.白1C仁」

【答案】C

【優(yōu)尖升-分析】數(shù)形結(jié)合可知0＜左＜1,進(jìn)而可得4個(gè)整數(shù)解分別為2,3,4,5,所以

x=--e(5,6],即可解得人的取值范圍.

1-K

【詳解】

函數(shù)y=履與y=|x-2|的圖像如圖所示，

可知當(dāng)左＜-1時(shí)，兩函數(shù)的圖像有1個(gè)交點(diǎn)，不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解,

當(dāng)-1W左＜0,兩函數(shù)的圖像無(wú)交點(diǎn)，不等式無(wú)整數(shù)解，

當(dāng)％=0時(shí)，兩函數(shù)的圖像有1個(gè)交點(diǎn)，不等式無(wú)整數(shù)解，

當(dāng)人時(shí)，兩函數(shù)的圖像有1個(gè)交點(diǎn)，不等式有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)解，

所以0＜女＜1,則%＞1,

所以不等式的4個(gè)整數(shù)解分別為2,3,4,5,

\[y=kx°,解得一?-e(5,6],

[y=x-21-k

32

解得k

故選：c.

5.(23-24高二下?江蘇揚(yáng)州?期末)已知偶函數(shù)〃尤)滿足〃4+x)=〃4r),/(0)=-1,

且當(dāng)xe(0,4］時(shí)，〃尤)=弓.若關(guān)于x的不等式/■(x)>。在［T8,48］上有且只有60個(gè)整數(shù)解,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

In2ln3

A.(-1,0]

B.C.D.HE

【答案】B

【優(yōu)尖升-分析】分析可知，函數(shù)〃力是周期為8的周期函數(shù)，由題意可得關(guān)于x的不等式

〃￡)>。在［0,8)上有且只有5個(gè)整數(shù)解，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)滿足〃4+x)=〃4-x),則〃x+4)=〃x—4),即/(%+8)=/(x),

所以，函數(shù)/'(x)是周期為8的周期函數(shù)，

當(dāng)xe(O,4］時(shí)，尸⑺=上詈，令'(引=0,可得x=e.

由用尤)>?？傻?<x<e,由/'(x)<0可得e<xW4.

所以，函數(shù)”尤)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,4］上單調(diào)遞減，

因?yàn)殛P(guān)于x的不等式/(》)>。在［T8,48］上有且只有60個(gè)整數(shù)解，

則關(guān)于x的不等式〃x)>。在［0,8)上有且只有5個(gè)整數(shù)解，如下圖所示：

又因?yàn)椤?)>/(4),所以，要使得不等式在［0,8)上有且只有5個(gè)整數(shù)解,

則這五個(gè)整數(shù)解分別為3、5、2、4、6,

所以，/(2)>a>/(l),即ova〈殍，

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵

在于作出函數(shù)的圖象，明確整數(shù)解是哪些整數(shù)，再結(jié)合圖形求解.

四、函數(shù)零點(diǎn)，方程根，兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題

1.(23-24高二下?四川樂山?期末)已知函數(shù)/(x)=e*-ox和g(x)=ox-lnx有相同的最小

值.

⑴求。；

(2)若直線y=b與y=和y=g(x)的圖象共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，試探究：從左到右四個(gè)

交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系.

【答案】(1)。=1

(2)答案見解析

【優(yōu)尖升-分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得相應(yīng)的最小值，根據(jù)最小值相

等可求。，注意分類討論.

(2)根據(jù)(1)可得〃x)=e;x,g(x)=x-lnr,結(jié)合大致圖象分兩種情況進(jìn)行分析探究

即可.

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=e-or,所以_f(x)=e-a.

若。40,貝U/'(x)>0,此時(shí)無(wú)最小值，故a>0.

當(dāng)x<lna時(shí)，/(力<0,故/(X)在(YO,Ina)上為減函數(shù),

當(dāng)x>lna時(shí)，f^x)>0,故在(Ina,+oo)上為增函數(shù)，

故〃x)min=〃lna)=a-alna.

因?yàn)間(x)=axTnx的定義域?yàn)?0,+8),而g〈X)=a-L"L

當(dāng)0<x<：時(shí)，g'(x)<0,故g(x)在10,［上為減函數(shù)，

當(dāng)x>：時(shí)，g<x)>0,故g(無(wú))在&?,+<?］上為增函數(shù)，

故g(x)m,n=g［：］=lTn：.

VC4-JCt-

因?yàn)?(X)=e'-依和g(x)=?x-l?x有相同的最小值，

1n—1

故1—In—=a—alna,整理得到---=lna其中a〉0,

a1+a9

T§：h(a)=^—^-\na,a>0,則〃⑷=八~_，

1+a(1+a)aQ(1+Q)

故場(chǎng)(a)為(0,+e)上的減函數(shù),而項(xiàng))=0,

故/z(a)=O的唯一解為a=l,故E=lna的解為a=l.

綜上，a=l.

(2)由(1)知,<7=1,故/(x)=e*—x,g(x)=x-\nx,

且〃尤)在(-8,0)上為減函數(shù)，在(0,+向上為增函數(shù)，

g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+8)上為增函數(shù)，且〃o)=g⑴=1,

所以直線y=b與y=和y=g(x)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)，存在以下兩種情況:

設(shè)直線y=6與y=/(力的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為玉,三，

直線y=6與y=g(x)的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為

由圖可知/(5)=/(彳2)=8(*3)=8(匕)=》且再<。<無(wú)2<%<1<匕.

/(lnx3)=x3-lnx!=g(&)=占)且Inw<0.

/.lnx3=石.

同理，/(In%)：龍4-lnx4=g(X4)=/(N)且In%>0.

/.lnx4=x2.

/.玉+/=ln%3+%,x2+x3=Inx4+x3,

又g(w)=g(x4),即：x3-lnx3=x4-lnr4.

/.lnx3+%=lnx4+x3.

x1+x4=x2+x3,

設(shè)直線y=b與y=/(x)的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為西,三，

直線y=b與y=g(x)的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)從左到右依次為x3,x4.

由圖可知/(%)=/(々)=8(X3)=8(工4)=＞，占＜0＜無(wú)2＜退＜匕，且々＜1，匕＞1,

/(lnx2)=x2-ln%2=g(%2)=/■(%])且In%＜0.

/.lnx2=%.

同理，/。11%4)=無(wú)4—In%=g(x4)=/(w)且In%＞0.

lnx4=x3.

/.玉+/=Inx2+x4fx2+x3=Inx4+x2,

又丫g(龍2)=g(xj,即：x2-ln.x2=x4-ln.x4.

Inx2+x4=Inx4+x2.

/.x{+x4=x2+x3,

綜上所述，若直線y=6與y=〃x)和y=g(x)的圖象共有四個(gè)不同的交點(diǎn)，從左到右四個(gè)

交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的等量關(guān)系為：X1+x4=x2+x3.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)的最值問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)注意對(duì)參

數(shù)的分類討論，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.

2.(23-24高二下?廣東深圳?階段練習(xí))用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之"美現(xiàn)

代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率

定義如下：若廣⑺是“X)的導(dǎo)函數(shù)，尸(x)是廣(%)的導(dǎo)函數(shù),則曲線y=〃x)在點(diǎn)

山(切了

(1)已知函數(shù)/(x)=sinx+cosx,

①求函數(shù)在點(diǎn)(0,1)處的曲率的平方K：；

②求函數(shù)的曲率K的最大值.

(2)函數(shù)g(x)=(x-2)e'+1—3—---\wi\x2,若g(無(wú))在兩個(gè)不同的點(diǎn)處曲率為0,求實(shí)數(shù)小

的取值范圍.

【答案】⑴①”；②也

O

(2)(―oo,21n2—2)

【優(yōu)尖升-分析】(1)首先求得/'(x)=cosx—sinx,/"(%)=-sinx-cosx,①代入％=0得

r（o）=i,r（o）=-i,結(jié)合曲率公式即可求解；②首先得曲率表達(dá)式K、=,［進(jìn)

（2-sin2x）

一步通過(guò)換元法，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)即可得解；

（2）通過(guò)計(jì)算得g〃（x）=*+x-2（lnx+x）+7%x>0,從而g（x）在兩個(gè)不同的點(diǎn)處曲率為0,

等價(jià)于m=2（lm;+x）-6頤+工有兩個(gè)大于o的實(shí)數(shù)解，進(jìn)一步證明《x）=x+inx在（0,+s）上單

調(diào)遞增，從而原問(wèn)題等價(jià)于根=2"eZeR有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)即可求解.

【詳解】(1)/(x)=sinx+cosx,:.f\x)=cosx-sinx,f\x)=-sinx-cosx,

()2

;|ro|?-ip1

①由題意，r（o）=i,r（o）=-i,

°電"…+a8

②由K定義知K為非負(fù)數(shù)，由題意得

⑴丁—cos2x+sin2x-2sinxcosx=1-sin2x,

[/〃(x)T=sin2x+cos2x+2sinxcosx=1+sin2x,

l+sin2x

令〃=sin2尤G[-1,1],

(1+[-(x)T)(2-sin2x)3'

1+w

K2=I+U令/(")=

(2-")3'(2-M)3

(2-H)3-[-3(2-M)2](1+M)

2t>o在［-1』上恒成立,

則F(M)

(2-M)6（2-w）4

???尸(")=F在[-M]上單調(diào)遞增,即(%)="〃)=-1)=2,

7(ZT-W)\/max111as

；.K1mx=及，當(dāng)且僅當(dāng)&=5也2*=1時(shí)取到，所以曲率K的最大值為0.

3+mx,

(2)-/g(x)=(x-2)e%+--------------]nxx2,x>0

23

/.g'(x)=(K-l)eX+(3+m)x-x2—(元+2xlnx),

/.gn(X)=xex—2(lnx+x)+m=e1nx-2(lnx+x)+m,x>0,

因?yàn)間（x）在兩個(gè)不同的點(diǎn)處曲率為0,

。g"（x）=0有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)解，

。機(jī)=2（lnx+x）-e欣+*有兩個(gè)大于0的實(shí)數(shù)解.

令（%）=lnx+%（%>0）「,，（兀）=4+1>0,

x

.?.《同在（0,+8）上單調(diào)遞增，且值域?yàn)镽,

二機(jī)=2(依+2-6山+”有兩個(gè)大于。的實(shí)數(shù)解om=2-e'/eR有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

令/z(r)=2r-e'jeR,貝lj〃(t)=2-e'，

令〃⑺=0得f=ln2,fe(T,ln2)時(shí)，h'(t)>0,即入⑺單調(diào)遞增；

fe(ln2,+e)時(shí),/(f)<0,即人⑴單調(diào)遞減；

,砥)皿="伽2)=21112-2,

又>YO時(shí)，為⑺f-OO；/—>■!<?時(shí)，/?⑺f-8；

/7(。圖象如下圖所示：

一

21n2-2r^-^x/

/]\?.?〃7=/1(。有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，7〃?-8,21112-2).

y=h(t)/\

所以優(yōu)的取值范圍為(y,21n2-2).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決(2)的關(guān)鍵是通過(guò)同構(gòu)將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為加=2,-e'jeR有兩個(gè)

實(shí)數(shù)解，由此即可順利得解.

3.(2024?北京房山?一模)己知函數(shù)/(x)=*+L

(I)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程；

⑵設(shè)g(x)=/'(x)”爐,求函數(shù)g(x)的極大值；

(3)若“<-e,求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)丁=一無(wú)+3

⑵答案見解析

(3)1

【優(yōu)尖升-分析】(1)求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)求導(dǎo)，分。=0,。>0和°<0三種情況討論，再結(jié)合極大值的定義即可得解；

(3)令/(x)=e"+L=0,則6山=-工，再分x的正負(fù)討論，當(dāng)尤<0時(shí)，分離參數(shù)可得

XX

a=_皿二0,則函數(shù)“X)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=a,y=-12d0圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，構(gòu)造函

數(shù)Mx)=-yg"(x<0),利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖

象即可得解.

【詳解】(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=l+—,/'(x)=--,

xX-

則(⑴=-1,/'⑴=2,

所以曲線>=/(尤)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為>一2=—(x-l),即y=-x+3；

(2)/'(幻=“*一二，則80)=/'(力_?=依%6―1(衣0),

X

則8，(%)=2辦/+々2%26"=ov(a￥+2)e"(xw0),

當(dāng)〃=0時(shí)，g(x)=-l,此時(shí)函數(shù)g(j)無(wú)極值；

29

當(dāng)〃>0時(shí)，令g'(x)<0,則x>0或x<——,令g'(x)<0,貝ij一一<x<0,

aa

所以函數(shù)g(x)在1雙-1]，(。，+8)上單調(diào)遞增，在(-：，0)上單調(diào)遞減，

所以g(x)的極大值為g(-j)=，~-1;

29

當(dāng)時(shí)，令g'(%)<0,貝！JxvO或——,令g'(%)<0,貝！JOV尤v——,

aa

所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

而函數(shù)g(元)的定義域?yàn)?T?,0)5°，+8)，

所以此時(shí)函數(shù)g(x)無(wú)極值.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)極大值；

當(dāng)a>0時(shí)，g(尤)的極大值為；

〃e

(3)^/(x)=ear+-=0,則6心=-工，

%X

當(dāng)%>0時(shí)，e，">0,—<0,

x

所以x>0時(shí)，函數(shù)〃%)無(wú)零點(diǎn)；

當(dāng)尤<0時(shí)，由e3=-L,得辦=lnjl],所以a=一皿二

貝lJx<0時(shí)，函數(shù)/(X)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)y=a,y=一1nt。圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù),

X

令〃(司=一^^(》<0),則磯x)」n(：)T,

當(dāng)％<—e時(shí)，當(dāng)一evxvO時(shí)，/iz(x)<0,

所以函數(shù)M%)在-e)上單調(diào)遞增，在(-e,0)上單調(diào)遞減，

所以〃OOmax=M-e)=g,

又當(dāng)X->—00時(shí)，且0,當(dāng)x.0時(shí)，

如圖，作出函數(shù)Mx)的大致圖象，

又a<-e,由圖可知，所以函數(shù)y=a，Mx)=-#@的圖象只有1個(gè)交點(diǎn),

即當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)外可只有1個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，若。〈-e,函數(shù)/(無(wú))有1個(gè)零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和