2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：不等式恒成立、能成立問題【七大題型】解析版

不等式恒成立、能成立問題【七大題型】

?題型歸納

【題型1一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題1...............................................2

【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題】.............................................3

【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題】...........................................5

【題型4基本不等式求解恒成立問題】.........................................................7

【題型5一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解問題】................................................10

【題型6一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】................................................II

【題型7一元二次不等式恒成立、有解問題綜合】..............................................13

?命題規(guī)律

1、不等式恒成立、能成立問題

一元二次不等式是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，”含參不等式恒成立與能成立問題”

是?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點(diǎn)多、

綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)備受高考命題者的青睞.另一方面，在解決這類數(shù)學(xué)問題的過程中涉及的“函數(shù)

與方程”、“化歸與轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”等數(shù)學(xué)思想對鍛煉學(xué)生的綜合解題能力，培養(yǎng)

其思維能力都起到很好的作用.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1不等式恒成立、能成立問題】

1.一元二次不等式恒成立、能成立問題

不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R,對于一元二次不等式辦2+6x+c>0,它的解集為

R的條件為4

3—<0；

一元二次不等式OX2+6X+CN0,它的解集為R的條件為乜;心；.wn

H一伏一、0；

一元二次不等式ox2+/>x+c>0的解集為0的條件為］:(亶'0

2.一元二次不等式恒成立問題的求解方法

(1)對于二次不等式恒成立問題常見的類型有兩種，一是在全集R上恒成立，二是在某給定區(qū)間上恒成

立.

(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)，一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的

范圍，誰就是參數(shù).

①若aN+Zzx+c〉。恒成立，則有a>0,且△<()；若ax2+bx+c<Q恒成立，則有a<Q,且△<().

②對第二種情況，要充分結(jié)合函數(shù)圖象利用函數(shù)的最值求解(也可采用分離參數(shù)的方法).

3.給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題的解題策略

解決恒成立問題一定要清楚選誰為主元，誰是參數(shù)；一般情況下，知道誰的范圍，就選誰當(dāng)主元，求

誰的范圍，誰就是參數(shù)；即把變元與參數(shù)交換位置，構(gòu)造以參數(shù)為變量的函數(shù)，根據(jù)原變量的取值范圍列

式求解.

4.常見不等式恒成立及有解問題的函數(shù)處理策略

不等式恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來處理，具體如下：

(1)對任意的xe[加用,。次x)恒成立今。次琮?工；

若存在x[m,n],。次無)有解=>。次加；

若對任意x[m,n],a次x)無解今a勺⑴,”加.

(2)對任意的xG[私用，。勺(x)恒成立今。勺(X),”而；

若存在xG[m,n],。勺(x)有解分a<fix)max-,

若對任意X6[加，司,。勺(X)無解"a

?舉一反三

【題型1一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題】

【例1】(2023―福建廈門二模)“66(0,4)”是“以61那一版+1>0成立，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】由V"eR,bx2-bx+l>0成立求出b的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.

【解答過程】由VxeR,6久2—bx+1>0成立，則當(dāng)b=o時，1>o恒成立，即b=o,

當(dāng)bKO時,{b2解得。(寸<4,

因此V久￡R,bx2—bx4-1>0成立時，0W6<4,

因?yàn)?0,4)□[0,4),所以“bG(0,4)”是“以eR,bx2-bx+1>0成立”的充分不必要條件.

故選：A.

【變式1-1](2023?江西九江?模擬預(yù)測)無論x取何值時，不等式久2—2—+4>0恒成立，則k的取值范圍

是()

A.(-oo,-2)B.(-oo,-4)C.(-4,4)D.(-2,2)

【解題思路】由題知4k2—16<0,再解不等式即可得答案.

【解答過程】解：因?yàn)闊o論x取何值時，不等式好—2依+4>0恒成立，

所以，4k2—16<0,解得一2<k<2,

所以，k的取值范圍是(一2,2)

故選：D.

【變式1-2](2023?福建廈門?二模)不等式a久2—2久+1>0(aeR)恒成立的一個充分不必要條件是(

1

A.a>2B.a>1C.a>1D.0<a<-

【解題思路】

分a=。和a豐0兩種情況討論求出a的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.

【解答過程】當(dāng)a=0時，―2久+1>0,得與題意矛盾，

當(dāng)a小。時,則｛八—:<o>解得a>1,

綜上所述，a>1,

所以不等式a/—2久+1>0(a6R)恒成立的一個充分不必要條件是A選項(xiàng).

故選：A.

【變式1-3](2023?四川德陽?模擬預(yù)測)己知p：0Wa<2,q,任意x6R,a/—a久+120,則〃是q成立

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)一元二次不等式恒成立解得q：0<a<4,結(jié)合充分、必要條件的概念即可求解.

【解答過程】命題q：一元二次不等式a/—a%+120對一切實(shí)數(shù)x都成立，

當(dāng)a=0時，1>0,符合題意；

當(dāng)a片。時，有｛晨〉即｛02雪/0,解為a6(0,4],

???q：0<a<4,又p：0<a<2,

設(shè)4=[0f2]fB=[0,4],則4是8的真子集,

所以夕是9成立的充分非必要條件，

故選：A.

【題型2一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題】

【例2】(2023?遼寧鞍山?二模)已知當(dāng)久>0時，不等式：刀2—爪乂+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍

是()

A.(-8,8)B.(-00,8]C.(-00,8)D.(8,+8)

【解題思路】先由/—TH%+16>0得??1<%+,，由基本不等式得工+?之8,故0V8.

【解答過程】當(dāng)%>0時，由％2—血工+16>0得TH<%+至，

X

因x>0,故比+與22Jxx§=8,當(dāng)且僅當(dāng)“當(dāng)即x=4時等號成立，

因當(dāng)%>0時，znV%+至恒成立，得mV8,

X

故選：C.

【變式2-1](23-24高一上?貴州銅仁?期末)當(dāng)x6(—1,1)時，不等式2依2—依―?<0恒成立，則k的取值

范圍是()

A.(-3,0)B.[-3,0)C.D.(-3,1]

【解題思路】

對二項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行分類，結(jié)合二次函數(shù)定義的性質(zhì)，列出關(guān)系式求解.

【解答過程】當(dāng)％6(—1,1)時，不等式2k依一(<0恒成立，

當(dāng)k=0時，滿足不等式恒成立；

當(dāng)kH0時,令f(%)=2kx2—kx-則f(%)<0在(—1,1)上恒成立，

函數(shù)/(X)的圖像拋物線對稱軸為X=p

k>0時，/(x)在(—13)上單調(diào)遞減，在Q,l)上單調(diào)遞增,

/(-l)=2fc+fc-1<01

則有解得o<fc<-

/(l)=2fc-fc-1<0o；

o

k<0時，/(x)在(—上單調(diào)遞增，在(；,1)上單調(diào)遞減,

G2fk3

有c

-----<O

16-4-8解得一3<fc<0.

綜上可知，女的取值范圍是(一3,-

故選：D.

【變式2-2](23-24高一上?江蘇徐州?階段練習(xí))若對于任意即+1],都有/+根久—1<。成立，則

實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(-|,0)B.(一孝,0)

C[—利D-[-T'°]

【解題思路】利用一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分析運(yùn)算即可得解.

【解答過程】由題意，對于1]都有/'(%)=久2+血％—1<0成立，

.[/(m)=m2+m2-1<0罐得._y/2

"\f(m+1)=(m+l)2+m(m+1)—1<0?用牛你，2n'

即實(shí)數(shù)血的取值范圍是(一旁,0).

故選：B.

【變式2-3](22-23高一上?安徽馬鞍山?期末)已知對一切*6[2,3],yG[3,6],不等式一孫+步？。

恒成立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

A.m<6B.—6<m<0

C.m>0D.0<m<6

【解題思路】令t=(,分析可得原題意等價于對一切te[1,3],m—/恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合二

次函數(shù)的性質(zhì)分析運(yùn)算.

【解答過程]“6[2,3],ye[3,6],貝心晶],

e[1,3],

又—xy+y2>0,且久G[2,3],X2>0,

可得小

x

令t=5e[l,3],則原題意等價于對一切te[1,3],巾2/：一步恒成立，

...y=[一七2的開口向下，對稱軸t=g

則當(dāng)t=1時，y=t一產(chǎn)取到最大值ymax=1-12=0,

故實(shí)數(shù)小的取值范圍是爪>0.

故選：C.

【題型3給定參數(shù)范圍的一元二次不等式恒成立問題】

【例3】(23-24高一上?山東淄博?階段練習(xí))若命題，H—lWaW3,a比2一?a—l)x+3—a<0”為假命

題，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）

A.{x|—1<%<4]B.^%|o<x<||

C.卜1—1W久W0或9<xW41D.卜1—1W久<0或|<久W41

【解題思路】由題意可得：命題"v—lWaW3,a%2一（2a—l）x+3—a20”為真命題，根據(jù)恒成立問題結(jié)

合一次函數(shù)運(yùn)算求解.

【解答過程】由題意可得：命題"V—1<a<3,ax2—（2a—l）x+3—a>0”為真命題，

即a/_（2a-l）x+3-a=（x2-2x-l）a+x+3>0對aG[一1,31恒成立,

則{3^-2x-S+x+3^，解得一1<久<?；?x<明

5

即實(shí)數(shù)'的取值范圍為卜I—1<X<o或<X<4

--3---

故選：C.

【變式3-1]（23-24高一上?廣東深圳?階段練習(xí)）當(dāng)時，mN一小久一1<0恒成立，則實(shí)數(shù)久的取

值范圍是（）

A.

22

B.

C.

22

D.

【解題思路】將不等式整理成關(guān)于m的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)性質(zhì)解不等式即可求得結(jié)果.

【解答過程】根據(jù)題意可將不等式整理成關(guān)于m的一次函數(shù)。2—%）加一1V0,

f(x2—x)xl—1<0即]x2—x—1<0

由一次函數(shù)性質(zhì)可知t(x2-x)x2-l<0,即匕/-2x-1<0;

厘<x<1+V5

解得鬲，綜合可得等<無<等;

22

故選：B.

【變式3-2]（23-24高一下?河南濮陽?期中）已知當(dāng)一IWaWl.時，久2+g―4）x+4—2a>0恒成立，則

實(shí)數(shù)％的取值范圍是（）

A.(—00,3)B.(—oo,l]U[3,+oo)

c.(_8,i)D.(—8,1)U(3,+oo)

【解題思路】將%2+(a—4)x+4—2a>。化為(久—2)a+x2—4x+4>0,將a看成主元，令/'(a)=(%—2)

a+x2-4x+4,分x=2,久>2和x<2三種情況討論，從而可得出答案.

【解答過程】解：/+(a—4)x+4—2a>0恒成立，

即(x—2)a+/—4x+4>0,對任意得a€[—1,1]恒成立，

令/(a)=(%—2)。+/—4x+4,ae[—1,1],

當(dāng)％=2時，/(a)=0,不符題意，故萬不2,

當(dāng)%>2時，函數(shù)f(a)在aG[一1,1]上遞增，

則/(a)min=f(—1)=—X+2+x2—4x+4>0,

解得％>3或x<2(舍去)，

當(dāng)％<2時，函數(shù)<a)在a€1,1]上遞減,

則f(a)min=/(I)=X—2+X2—4x+4>0,

解得X<1或X>2(舍去),

綜上所述，實(shí)數(shù)x的取值范圍是(—8,1)U(3,+OO).

故選：D.

【變式3-3](2008?寧夏?高考真題)已知的>a2>>0,則使得(1—a/)2<1。=1,2,3)都成立的丫取

值范圍是()

A-(%)B.(0謂)C.(0*)D.(0謂)

[解題思路]由(1一◎咨)2<1可求得oV%V>0),

2

【解答過程】由(1—a㈤2<i,得：1—2atx+a?x<1,

即—2ttj)<0,解之得0<x<~{cti>0),

因?yàn)?gt;。2>。3>0，使得(1一a/)2<l(i=1,2,3)都成立，

2

所以。<X(不；

al

故選：B.

【題型4基本不等式求解恒成立問題】

【例4】(23-24高一下?貴州貴陽?期中)對任意的久6(0,+8),必一2爪％+1〉o恒成立，則小的取值范圍

為()

A.[1,+oo)B.(-1,1)C.(—8,1]D.(-oo,l)

【解題思路】參變分離可得27n<%+，寸任意的xe(0,+8)恒成立，利用基本不等式求出％；的最小值，

即可求出參數(shù)的取值范圍.

【解答過程】因?yàn)閷θ我獾腦6(0,+8),*2-2nlX+1>0恒成立，

所以對任意的xe(0,+8),2m<?=x+3亙成立，

又X+工2211=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=±即比=1時取等號，

xyjXx

所以2mV2,解得zn<l,即m的取值范圍為(-8,1).

故選：D.

【變式4-1](22-23高三上?河南?期末)已知a>0,bER,若久>。時,關(guān)于％的不等式(a%—2)(/+6%—5)

20恒成立，貝必+?的最小值為()

A.2B.2V5C.4V3D.3近

【解題思路】根據(jù)題意設(shè)y=—2,y=x25,由一次函數(shù)以及不等式(a%—2)(/+取:-5)20分

析得x時，y=/+6x—5=0,變形后代入b+*然后利用基本不等式求解.

【解答過程】設(shè)丫=。％—2(%>0),y=x2+bx—5(%>0),

因?yàn)閍>0,所以當(dāng)0<%<(時，y=ax—2<0；

當(dāng)％=，時，y=ax—2=0；

2

當(dāng)久>，時'y=a%—2>0；

由不等式(ax-2)(/+日―5)2。恒成立，得：｛/f最m0或｛久2丁晟^^()，

即當(dāng)時，/+bx—540恒成立，

當(dāng)%>:時，x2+bx—5>。恒成立，

所以當(dāng)x=：時，丫=%2+以—5=0,則2+號—5=0,即6=苧—|,

則當(dāng)a>0時，fe+-=^--+-=^+->2l^x-=2V5,

a2aa2a72a

當(dāng)且僅當(dāng)竽=：,即a=等時等號成立，

所以6+:的最小值為2遍.

故選：B.

【變式4-2](23-24高三上?山東威海?期中)關(guān)于x的不等式a%2—.|+2a20的解集是(—8,+8),則實(shí)

數(shù)a的取值范圍為()

A.降+8)B,(—8,同C.[—率同D.(_8,一同U惇,+8)

【解題思路】不等式a/—1%|+2aN0的解集是(一8,+8),即對于a/—陽+2。20恒成立，即

a2懸，分4=0和a40兩種情況討論，結(jié)合基本不等式即可得出答案.

【解答過程】解：不等式Q%2-|X|+2a>0的解集是(一8,+8),

即對于V%GR,ax2—\x\+2a>0恒成立，

即a>吉匕，

當(dāng)％=0時，a>0,

當(dāng)aH0時，a>=|%|+_|_,

萬

因?yàn)?啊3訴1=今

所以a2*,

綜上所述ae[￥，+oo).

故選：A.

【變式4-3](23-24高一上?湖北?階段練習(xí))已知x>0,y>0,且擊-1+]1=2"，若久+2+y>租2+5小恒成

立，則實(shí)數(shù)小的取值范圍是()

A.(-4,7)B.(-2,7)C.(-4,2)D.(-7,2)

【解題思路】利用基本不等式“1”的代換求不等式左側(cè)最小值，結(jié)合％+2+y>m2+5小恒成立得到不等式,

解一元二次不等式求參數(shù)范圍

【解答過程】因?yàn)椋?gt;0,y>0,且擊1+歹1=也7

所以無+2+y=gxQ+2+y)(++^)=lx(1+1+^2+學(xué))

>|x(2+2信.力=14,當(dāng)且僅當(dāng)y=x+2=7時取等號，

又因?yàn)椋?2+y>m2+5zn恒成立，

所以14>m2+5m,

解得一7Vzn<2.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-7,2).

故選：D.

【題型5一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上有解問題】

【例5】(2024?陜西寶雞?模擬預(yù)測)若存在實(shí)數(shù)x,使得nt/一(小一2)%+加<0成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為()

A.(一叫2)B.(―8,0]U&3

C.(-8,|)D.(-oo,l)

【解題思路】分別在爪=0,m>0和爪<0的情況下，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論得到結(jié)果.

【解答過程】①當(dāng)巾=0時，不等式化為2x<0,解得：%<0,符合題意；

②當(dāng)m>0時，y=mx2—(m—2)x+TH為開口方向向上的二次函數(shù)，

只需△=(m—2)2—4m2=—3m2—4m+4>0,即0Vm<天

③當(dāng)m<0時，y=mx2—(m—2)x+6為開口方向向下的二次函數(shù)，

則必存在實(shí)數(shù)%,使得mN-(m_2)x+m<0成立；

綜上所述：實(shí)數(shù)小的取值范圍為(—00,|).

故選：C.

【變式5-1](22-23高一上?內(nèi)蒙古興安盟?階段練習(xí))若關(guān)于光的不等式久2—4x—2—aW0有解，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.{a\a>—2}B.{a\a<—2}C.{a\a>—6}D.(a\a<—6]

【解題思路】直接利用判別式即可研究不等式的解的情況.

【解答過程】若關(guān)于對勺不等式/—4%—2—aW0有解，

則4=16+4(2+a)>0,解得a>-6.

故選：C.

【變式5-2](23-24高一上?山東臨沂?階段練習(xí))若不等式—必+a久—1>。有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

()

A.a<—2或a>2B.—2<a<2C.a力士2D.1<a<3

【解題思路】根據(jù)一元二次不等式有實(shí)數(shù)解的充要條件列式求解作答.

【解答過程】不等式一/+必—1>0有解，即不等式/一奴+1<0有解，

因此A=a2—4>0,解得a<—2或a>2,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<—2或a>2.

故選：A.

【變式5-3](23-24高一上?江蘇徐州?期中)己知關(guān)于x的不等式一支2+4*2a2—3a在R上有解，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是()

A.{a|—1WaW4}B.{a[—1<a<4}

C.{a\a>4或a<—1}D.{a|—4<a<1}

【解題思路】由題意知/-4%+a2-3a<0在R上有解，等價于A>0,解不等式即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解答過程】因?yàn)殛P(guān)于％的不等式—/+4%>a2—3a在R上有解，

即/-4%+a2-3a<0在R上有解，

只需y=x2-4x+a?-3a的圖象與%軸有公共點(diǎn)，

所以/=(—4)2—4x(a2—3a)>0,

即a2—3a—4W0,所以(a—4)(a+1)W0,

解得：—1<a<4,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|—1WaW4},

故選：A.

【題型6一元二次不等式在某區(qū)間上有解問題】

【例6】(2023?福建寧德?模擬預(yù)測)命題Jxe[1,2],/w或?yàn)檎婷}的一個充分不必要條件是()

A.a>1B.a>4

C.a>-2D.a<4

【解題思路】根據(jù)能成立問題求。的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件理解判斷.

【解答過程】??,3%e[1,2],X2<a,則(%2)min<a,即a21,

-''a的取值范圍[1,+co)

由題意可得：選項(xiàng)中的取值范圍對應(yīng)的集合應(yīng)為[1,+8)的真子集，

結(jié)合選項(xiàng)可知B對應(yīng)的集合為[4,+8)為口,+8)的真子集，其它都不符合，

符合的只有B,

故選：B.

【變式6-1](22-23高二上?河南?開學(xué)考試)設(shè)。為實(shí)數(shù)，若關(guān)于》的不等式/—5+720在區(qū)間(2,7)上

有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是()

A.(—oo,8)B.(—8,8]C.(—oo,2V7)D.(―8,弓)

【解題思路】參變分離，再根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合能成立問題求最值即可.

【解答過程】由題意，因?yàn)椋?(2,7),故QW%：在區(qū)間(2,7)上有實(shí)數(shù)解，則+，又9(%)=%+

x'X,max

彳在(2,")上單調(diào)遞減，在(77,7)上單調(diào)遞增，且9(2)=2+:=?,g(7)=7+：=8>g(2),故

7

<8.故aWx+i在區(qū)間(2,7)上有實(shí)數(shù)解則a<8.

故選：A.

【變式6-2](23-24高一上?福建?期中)若至少存在一個x<0,使得關(guān)于x的不等式3—|3久一可>/+2久

成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(一%)B,(—3片)C.(一日片)D.(—3,3)

【解題思路】

化簡不等式3—|3x—a|>"+2%,根據(jù)二次函數(shù)的圖象、含有絕對值函數(shù)的圖象進(jìn)行分析，從而求得a的

取值范圍.

【解答過程】依題意，至少存在一個工<0,使得關(guān)于％的不等式3—|3第一可>/+2%成立，

即至少存在一個工<0,使得關(guān)于工的不等式一%2—2x+3>|3x—a|成立，

畫出y=—x2—2x+3(%<0)以及y=13%—可的圖象如下圖所示，其中一/—2%+3>0.

當(dāng)y=3x—。與y=—x2—2x+3(%<0)相切時，

由｛y='1打3消去y并化簡得了+5x-a-3=0,

37

△=25+4a+12=0,a=-不

當(dāng)y=—3%+a與y=—%2—2x+3(%<0)相切時,

由｛y=3消去'并化簡得了一%+a—3=0①，

由△=1—4a+12=0解得a=果代入①得/一汽+；=(%—=0,

解得》=今不符合題意.

當(dāng)y=-3%+a過(0,3)時，a=3.

結(jié)合圖象可知a的取值范圍是(一冬,3).

故選：A.

【變式6-3](22-23高一上?江蘇宿遷?期末)若命題“VxoC(O,+8),使得密+ax()+a+320”為假命題,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—8,—2),(6,+8)B.(—oo,—2)

C.[-2,6]D.[2—77,2+77]

【解題思路】根據(jù)題意可知“三配e(0,+oo),使得超+ax0+a+3<0”為真命題，然后參變分離，將問題轉(zhuǎn)

化為最值問題，利用基本不等式可解.

【解答過程】因?yàn)椤癡xo6(0,+oo),使得就+ax0+a+3>0”為假命題，

所以叼Xoe(0,+00),使得郎+ax0+a+3<0”為真命題,

即。<一鬻在(°，+8)內(nèi)有解，即?！?一鬻)■

因?yàn)橐魂?_=_(+1_2+工)W—2,

X

%o+lo+J-Vux0+l/

當(dāng)且僅當(dāng)Xo=1時等號成立，

所以(一宅)=—2,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(一8,—2).

、xo+1'max

故選：B.

【題型7一元二次不等式恒成立、有解問題綜合】

【例7】(23-24高一上?山東濰坊?階段練習(xí))已知關(guān)于％的不等式2x—1>爪(久2—1).

(1)是否存在實(shí)數(shù)小，使不等式對任意XCR恒成立，并說明理由；

(2)若不等式對于me[—2,2]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(3)若不等式對xG[2,+8)有解，求ni的取值范圍.

【解題思路】

將2%—1>m(x2—1)轉(zhuǎn)化為Hi/—2%+(1—m)<0,

(1)討論爪=0和m豐0時的情況；

(2)/(m)=(x2-l)m-(2x-l),顯然該函數(shù)單調(diào)，所以只需｛/當(dāng)；魯°即可.

(3)討論當(dāng)7n=0時，當(dāng)mVO時，當(dāng)zn>0時，如何對工￡[2,+8)有解，其中血<0,m>0,均為一元

二次不等式，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象求解即可.

【解答過程】(1)

原不等式等價于mN—2x+(1—m)<0,

當(dāng)m=0時，―2久+1<0,即x>：,不恒成立；

當(dāng)m*0時，若不等式對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，

則m<0且△=4—4m(l—m)<0,無解；

綜上，不存在實(shí)數(shù)小，使不等式恒成立.

(2)

設(shè)/'(m)=(%2—l)m—(2%—1),

當(dāng)me[一2,2]時，f(rri)<0恒成立，

當(dāng)日僅當(dāng)(/(2)<0即12%2—2x—1<0

當(dāng)且僅芻(——2)<0'即I—2/-2x+3<0'

1~V31W3

解得；<-1-^7->-1+V7即呼<“<等，

所以工的取值范圍是(二用，喑.

(3)

若不等式對久€[2,+8)有解，

等價于％E[2,+8)時，mx2—2x+(1—m)<0有解.

令g(%)=mx2—2x+(1—m),

當(dāng)m=0時，―2%+lVO即%>：,此時顯然在％E[2,+8)有解；

當(dāng)m<0時，％E[2,+8)時，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，—2汽+(1—血)<0顯然有解；

當(dāng)m>0時，y=g(%)對稱軸為％=、，△=4—4m(l—m)=4m2—4m+4=(2m—l)2+3>0,

%G[2,+8)時，mx2—2x+(1—m)<0有解，

結(jié)合一元二次函數(shù)圖象，易得：9(2)<0或『12募。，

fm>1

解得m<l或^^<工(無解)，

又,:m>0,

/.0<m<1;

綜上所述，ni的取值范圍為(一8,1).

【變式7-1](23-24高一上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)y=a/—(2a+3)x+6,a€R.

(1)若y+2>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

(2)當(dāng)a=1時，Vt>-2,關(guān)于久的不等式y(tǒng)W-3x+3+m在[-2用有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【解題思路】(1)利用一元二次不等式恒成立的條件即可求解；

(2)根據(jù)已知條件及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答過程】(l)y+2>0恒成立，即。*2一(261+3戶+8〉0恒成立，

O

當(dāng)a=0時，-3x+8>0,解得x<]舍去；

<a<

當(dāng)a豐0時,{4a2_20a+9<0,解得2l

(2)當(dāng)a=l時，Vt>—2,關(guān)于%的不等式y(tǒng)4-3%+3+??1在[-2月有解，

則一2是久2—2x+3—m<0的解，

因?yàn)閽佄锞€y=%2-2汽+3開口向上，對稱軸％=1,

所以11—mW0,解得mN11,

所以血的取值范圍為[11,+oo).

Q-1

【變式7-2](23-24高一上?浙江臺州?期中)已知函數(shù)/'(x)=2/一4%+a2—4,g(x)-x2—x+a2—

(aER)

(1)當(dāng)a=1時,解不等式/'(x)>g(x)；

(2)若任意久〉0,都有/(x)>gQ)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若\/田€[0,1],3x2€[0,1],使得不等式f(xi)>9(冷)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【解題思路】(1)作差后解一元二次不等式即可.

(2)解法一：構(gòu)造函數(shù)，分類討論求解二次函數(shù)最小值，然后列不等式求解即可；

解法二：分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)k=x+^,利用基本不等式求解最值即可求解；

(3)把問題轉(zhuǎn)化為/(X)min>g(%)min，利用動軸定區(qū)間分類討論即可求解.

27

【解答過程】(1)當(dāng)a=l時，/(%)=2x2—%—3,gQx)=x2—x——

所以f(x)—9(%)=久2+?>0,所以f(x)>g(x),所以f(x)>g(x)的解集為R.

(2)若對任意x>0,都有/⑺〉g(x)成立，即%2+(1一口"+號>0在％>0恒成立，

解法一：設(shè)h(x)=%2+(1—a)久+學(xué)，%>0,對稱軸％=一，由題意，只須h(x)min>0，

①當(dāng)?shù)萕0,即a01時，依)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g)>h(0)=5符合題意，所以awl；

②當(dāng)?>0,即a>l時，h(x)在(0,與%)上單調(diào)遞城，在(手，+8)單調(diào)遞增，

所以僅%)>%(三)=一色券+?>。，解得1—危<a<1+VI困a>1,

所以1<a<1+V15.

綜上，a<1+V15.

解法二：不等式可化為(a-1)%</+泉即a-l<%+*設(shè)憶=%+^|,x>0,

由題意，只須a—1Vk(X)min，k=x+2lx-=V15,

74x

當(dāng)且僅當(dāng)萬=葛即3苧時等號成立，則kmin=VI^,

所以a—1<V15,即。<1+V15.

(3)若對任意的6[0,1],存在X2C[0,l]，使得不等式f(Xi)>g(X2)成立，

即只需滿足fCOmin>g(x)min，XE[0,1],

g(x)=x2-x+a2-y,對稱軸x=g,。(久)在[of遞減，在g,l]遞增，

g(x)min=g(9=a?—8,/(x)=2x2—ax+a2—4,xG[0,1],對稱軸x=*

就WO即aWO時，f(x)在[0,1]遞增，/COmin=f(0)=口2—4>g(x)min=a2-8恒成立；

②0<(<l即0<a<4時，/(X)在[o,3遞減，在G，l]遞增，

f(%)min==/2-4,g(x)min=—8,所以92一4>。2-8,故0<a<4;

22

就21即a24時，f(x)在[0,1]遞減，/(x)min=y(l)=a-a-2,g(x)min=a-8,

所以a?—a—2>a?—8,解得4Wa<6,綜上：aC(—8,6).

【變式7-3](23-24高一上?山東威海?期中)已知函數(shù)〃X)=x2—(a+3)*+6(aeR)

(1)解關(guān)于x的不等式/(久)<6-3a；

(2)若對任意的xe[1,4],f(x)+a+520恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

(3)已知g(x)=mx+7—3m,當(dāng)a=l時，若對任意的久ie[1,4],總存在亞e[1,4],使/(久力=。(冷)成立,

求實(shí)數(shù)心的取值范圍.

【解題思路】(1)由不等式/(%)W6—3a轉(zhuǎn)化為(x—3)(x—a)W0,分a<3,a=3,a>3討論求解；

(2)將對任意的久e[1,4],f(%)+a+520恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意的xe[1,4],a(x—1)W/-3尤+日恒

成立，當(dāng)x=l,恒成立，當(dāng)xe(1,4]時，aW(x—1)+言一1恒成立，利用基本不等式求解；

(3)分析可知函數(shù)/(尤)在區(qū)間[1,4]上的值域是函數(shù)9(?在區(qū)間[1,4]上的值域的子集，分m=0、m<0.

m>0三種情況討論，求出兩個函數(shù)的值域，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)小的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)小的取值范

圍.

【解答過程】(1)因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=%2-(a+3)%+6(aER),

所以/(汽)<6—3a,即為％2—(a+3)x+3a<0,所以(％—3)(%—a)<0,

當(dāng)a<3時，解得a<久<3,當(dāng)a=3時，解得久=3,當(dāng)a>3時，解得34黑工a,

綜上，當(dāng)aV3時，不等式的解集為第〈3},當(dāng)Q23時，不等式的解集為{%|3工XW嗎

(2)因?yàn)閷θ我獾墓ぁ闧1,4]/(%)+。+520恒成立，所以對任意的工€[1,4],a(%—1)4/-3%+11恒成

立，

當(dāng)％=1時，049恒成立，

所以對任意的Xe(l,4]時，aw(x—1)+腺一1恒成立，

令Q—1)+9一122](%一1).高一1=5,當(dāng)且僅當(dāng)％—1=言，即x=4時取等號，

所以aW5,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(一8,5]

(3)當(dāng)a=l時，/(x)=X2-4x4-6,因?yàn)樗院瘮?shù)/'(%)的值域是[2,6],

因?yàn)閷θ我獾?6[1,4],總存在“26[1,4]>使/(均)=9(冷)成立，

所以TO)的值域是g(x)的值域的子集，

(m>0

當(dāng)?n>0時，g(x)6[7—2m,m+7],貝必7—26<2,解得m>-

lm+7>62

(m<0

當(dāng)mV0時，g(x^)6[m+7,7—2m],則[7—2mN6,解得mW—5,

Im+7<2

當(dāng)m=0時，g(x)e{7},不成立；

綜上，實(shí)數(shù)"?的取值范圍(一8,—5]U[|,+8).

?過關(guān)測試

一、單選題

1.(2023?河南?模擬預(yù)測)已知命題F&e[-1,1],一盤+3乂0+a>0”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(-8,-2)B.(—8,4)C.(-2,+8)D.(4,+oo)

【解題思路】由題知1,1]時，a>（%2-3x0）min）再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可得答案.

【解答過程】解：因?yàn)槊}“三久0e[-1,1卜一/+3沏+a>0”為真命題，

所以，命題叼尤0e[-1,1],a>W-3尤0”為真命題，

所以，xoea>（就一3出）min，

因?yàn)?，y=/_3%=（%一|）-p

所以，當(dāng)工€[—1,1]時，ymin=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取得等號.

所以，沏€[—1,1]時，a>（就一3x°）min=—2,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（一2,+8）

故選：C.

2.（2024?浙江?模擬預(yù)測）若不等式k/+（k—6戶+2>0的解為全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A.2</c<18B.-18<fc<-2

C.2<fc<18D.0<k<2

【解題思路】分類討論k=0與k彳0兩種情況，結(jié)合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.

【解答過程】當(dāng)k=0時，不等式依2+（k—6）x+2>0可化為—6x+2>0,顯然不合題意；

當(dāng)k牛。時，因?yàn)閗/+（fc—6）%+2>0的解為全體實(shí)數(shù)，

所以｛△=（k—#~04kx2<0,解得2<卜<18；

綜上：2<k<18.

故選：C.

3.（2023?遼寧鞍山?二模）若對任意的xe（0,+8）,%2—爪％+1>°恒成立，貝的取值范圍是（）

A.（—2,2）B.（2,+8）C.（—8,2）D.（—8,2]

【解題思路】變形給定不等式，分離參數(shù)，利用均值不等式求出最小值作答.

【解答過程】（0,+8）,%2—血％+1>0=772<%+工，而當(dāng)%>0時，X+->2lx--=2,當(dāng)且僅當(dāng)

xxy]x

%=2即x=l時取等號，

則mV2,所以加的取值范圍是（一8,2）.

故選：C.

4.（2023?寧夏中衛(wèi)?二模）已知點(diǎn)4（1,4）在直線=l（a>0,b>0）上，若關(guān)于t的不等式a+b>t2+5t+3

恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()

A.[—6,1]B.[—1,6]

C.(—8,—1]U[6,+oo)D.(—8,—6]U[1,+oo)

【解題思路】將點(diǎn)代入直線方程，再利用基本不等式求得a+b的最小值，從而將問題轉(zhuǎn)化92t2+5t+3,

解之即可.

【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)力(L4)在直線?+r=l(a>0,b>0)上，

所以/=L

故a+Z)=(a+b)@+3=《+竽+5之2^^+5=9,

當(dāng)且僅當(dāng)?=7且!+?=1,即a=3/=6時等號成立，

因?yàn)殛P(guān)于t的不等式a+b>t2+5t+3恒成立，

所以92t2+5t+3,解得一6W1W1,

所以te[-6,1].

故選：A.

5.(23-24高二上?山東濰坊?階段練習(xí))若兩個正實(shí)數(shù)x,y滿足工+?=2,且不等式x+(<爪2一血有解,

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A.(—1,2)B.(—8,—2)U(1,+8)

C.(一2,1)D.(—8,—l)U(2,+8)

【解題思路】利用均值不等式求出最小值，根據(jù)題意列不等式求解即可.

【解答過程】％+衿蛆+以“》=41+1+左+同

>1(1+1+2)=2,要使得不等式久+3V血2一7n有解，只需加2一7n>2有解即可，

解得m>2或者zn<—1,

故選：D.

6.(23-24高一上?全國?單元測試)不等式2必—+y2之o,對于任意1<I<2及14y43恒成立，則

實(shí)數(shù)Q的取值范圍是()

A.{a|a<2V2}B.{a\a>2V2}

x

【解題思路】由于在不等式2久2-axy+y2>0中出現(xiàn)兩個變量，對其進(jìn)行變形令t=亍則轉(zhuǎn)化為含參數(shù)t的不

等式2t2—磯+120,在te上恒成立的問題，然后進(jìn)行分離參數(shù)求最值即可.

【解答過程】由ye[1,3],則不等式2%2—a孫+y220兩邊同時乘以能不等式可化為：2停丫—哨+1*

令t=：,則不等式轉(zhuǎn)化為：2t2-at+l>0,在上恒成立，由2t2-at+120可得aW安1即aW

忸+1.，

CJ

Lmin

又2t+：22J2txl=2也當(dāng)且僅當(dāng)1=日時取等號，所以當(dāng)"爭寸，2t+：取得最小值2也

故可得a<2V2.

故選：A.

7.（2023?江西九江?二模）已知命題p：3x6/?,x2+2x+2-a<0,若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為（）

A.（1,+co）B.[1,+co）C.（—8,1）D.（—C