2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：簡單的三角恒等變換（原卷版）

專題23簡單的三角恒等變換（新高考專用）

目錄

【真題自測】................................................................2

【考點(diǎn)突破】................................................................3

【考點(diǎn)1】三角函數(shù)式的化簡..................................................3

【考點(diǎn)2】三角函數(shù)求值問題..................................................4

【考點(diǎn)3】三角恒等變換的應(yīng)用................................................5

【分層檢測】................................................................6

【基礎(chǔ)篇】..................................................................6

【能力篇】..................................................................7

【培優(yōu)篇】..................................................................8

庠真題自測

一、單選題

已矢口sin(a-')=g,cosasin/?=g,

1.（2023?全國?高考真題）貝Ucos(2。+20=().

7117

A.-B.-C.——D.——

9999

（2023?全國?高考真題）過點(diǎn)（0廠2）與圓^+>2-以-1=0相切的兩條直線的夾角為a,貝|sina=（

A/15「屈D.逅

A.1B.

444

若則

3.（2021?全國?高考真題）ta“=-2,汕±型也=()

sin0+cos0

6226

A.—B.——C.-D.-

5555

二、解答題

口>0,|夕|<、)

4.（2023?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)/(%)=sincoxcoscp+coscoxsin(p\

⑴若/（0）=-停，求。的值.

（2）已知Ax）在區(qū)間-會會上單調(diào)遞增，=再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇

一個作為已知，使函數(shù)/（%）存在，求公夕的值.

條件①：U起;

條件②：/卜三]=-1

7TTT

條件③：/（X）在區(qū)間上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

5.(2021?浙江?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=sin尤+cosx(xeR).

2

（1）求函數(shù)y=/尤+]的最小正周期;

71

（2）求函數(shù)>在0,5上的最大值.

考點(diǎn)突破

【考點(diǎn)1】三角函數(shù)式的化簡

一、單選題

1.（2024?河北承德?二模）函數(shù)/（x）=G；sin（2尤-]J+cos（2尤-371的圖象的對稱軸方程為（）

6

2

7TklL7Tiku,

A.%=—I----，左eZB.x=—I----，左￡Z

3222

571kli1r7Kfat,

C.x----1----wZD.x-----b——,keZ

122122

2.（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）函數(shù)〃尤）=cosox（xeR）在［0,兀］內(nèi)恰有兩個對稱中心，J“無）|=1,將函數(shù)

的圖象向右平移三個單位得到函數(shù)g（x）的圖象.若〃a）+g（c）=g,則cos（4a+升（）

716919

---u.---

…2525"2525

二、多選題

3.（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）下列函數(shù)中，最小值為1的是（）

A./（x）=sin4x+cos2xB.

sin2x+1cos2x+2

7

C.f（x）=2sinx+2cosx+sinxcosx+—D.f(x)=|sin%|+1cosx|

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=sin］

A.的值域為卜叵應(yīng)］B.小-總為奇函數(shù)

C./卜-1）在［。身上單調(diào)遞減D./（x）在島上有2個零點(diǎn)

三、填空題

5.（2024?上海嘉定?二模）已知/（%）=——+，則函數(shù)y=的最小值為_____

sinxco%\.乙）

6.（2024,全國?模擬預(yù)測）在AABC中，角A,B,C的對邊分別是。，b,c,a2+b2=2024c2,則

2tanAtan8

tanC（tanA+tanB）,

反思提升：

1.三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：

一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.

2.三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補(bǔ)等），尋找式子

和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn).

【考點(diǎn)2】三角函數(shù)求值問題

一、單選題

1.（2023?重慶?模擬預(yù)測）式子2sinl8（3cos:-sm9一1）化簡的結(jié)果為（）

cos6°+v3sin6°

A.1B.1C.2sin90D.2

2.（2024.四川眉山.三模）已知+=則sina=（）

3

八12+5gD12-5A/3r12A/3+5n12^-5

A.---------------D.-----------C.---------------u.-----------------

26262626

二、多選題

3.（23-24高三上?安徽合肥?階段練習(xí)）下列代數(shù)式的值為;的是（）

4

tan15°

A.cos2750-sin2750

1+tan215°

C.cos360cos72°D.2cos20°cos40°cos80°

4.（2021?江蘇南通?一模）下列命題中是真命題的有（）

A.存在a,,使tan（a-77）=tana-tan/7

B.在中，若sin2A=sin23,則AABC是等腰三角形

C.在AABC中，"/>夕"是"sinA>sinB”的充要條件

D.在AABC中，若cosA=jsinB=2則cosC的值為fl或fl

1356565

三、填空題

5.（2023?福建三明三模）在平面直角坐標(biāo)系中，0（0,0）、A（sina,coso）、B^cos^a+^,sin^?+-^^,當(dāng)

兀

ZAOB=（2時.寫出。的一個值為.

6.（21-22高一下?上海浦東新?階段練習(xí)）己知sin[?-cz）=-g,sin[?+分）=，且aee力’

求a-尸的值為—.

反思提升：

1.給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角

的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.

2.給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角

與特殊南之間總有一定的關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊痢并且

消除特殊角三角函數(shù)而得解.

3.給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.遵照以下原則：（1）

已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是（0,野，

選正、余弦皆可；（2）若角的范圍是（0,7i）,選余弦較好；若角的范圍為（一方?，選正弦較好.

【考點(diǎn)3】三角恒等變換的應(yīng)用

一、單選題

1.（2024?河北?模擬預(yù)測）函數(shù)/（x）=cos3元-4sin2尤在區(qū)間[-2024兀,2024句內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（）

A.0B.-202471C.1012KD.-101271

4

二、多選題

2.（21-22高一下?福建廈門?期中）已知對任意角尸均有公式sin2a+sin2力=2sin（a+0cos（a-⑶.設(shè)

EIABC的內(nèi)角A,B,C滿足sin2A+sin(A—B+C)=sin(C—A—8)+].面積S滿足14S42.記a,b,c分別

為A,B,C所對的邊，則下列式子一定成立的是()

A.sinAsinBsinC=—B.2<---<2-J1

4sinA

C.8W%W16aD.bc(b+c)>8

3.（20-21高三上?福建莆田,期中）對于三角形ABC,有如下判斷，其中正確的判斷是（）

A.若si/A+siMBVsiMC,則三角形ABC是鈍角三角形

B.若4>8,貝!JsinA>sinB

C.若。=8,c=10,8=60°,則符合條件的三角形ABC有兩個

D.若三角形ABC為斜三角形，則tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

三、填空題

4.（2022?浙江?模擬預(yù)測）在中，/ACB=90。，點(diǎn)E分別在線段SCAB上，AC=BC=3BD=3,

/EDC=60。。,則DE=,ABCE的面積等于.

5.（2022?浙江嘉興?模擬預(yù)測）在AABC中，已知C4=1,C3=夜,A-8=孚，貝ijtan3=____,AB=_______

4

6.（2022?浙江?模擬預(yù)測）如圖，在44BC中，sinZBAC=^^,AD1AC,AD=2,NABC=三，貝lj

34

sinNBAD=,BD=.

反思提升：

三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為

汽x）=Asin（0x+0）+5的形式再研究其性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意

利用整體思想解決相關(guān)問題.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

1.（2024?江西南昌?二模）已知2cos-cos3x=-)

4

177

A.B.——C.D.

~22I8

5

ein9/y

2.(2024?河南三門峽?模擬預(yù)測)若tana=2,則:°的值為()

cos2cr-sma

4244

A.—B.C.-D.

7397

sin6*_則/l+2sin2^+3cos2_(

3.（2023?全國?模擬預(yù)測）o)

1-cos^V1-2sin2^+3cos23

4

A.5B.C.2D.4

3

4.（2023?陜西?一模）在AABC中，如果85（25+。）+85。<0,那么4M。的形狀為（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不能確定

二、多選題

5.（2024?浙江?二模）關(guān)于函數(shù)/（%）=2sin%.cos%+2若cosz%,下列說法正確的是（）

A.最小正周期為2兀B.關(guān)于點(diǎn)（吟可中心對稱

57r7T

C.最大值為百+2D.在區(qū)間-區(qū),日上單調(diào)遞減

6.（23-24高三下?廣西?開學(xué)考試）關(guān)于函數(shù)〃x）=6sin2x-2cos2x+l有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論正確的是

（）

A.〃x）的最小正周期為2兀

B.的圖象關(guān)于直線x=?對稱

6

c.“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)［卷兀,0）對稱

D.“X）在0,-上單調(diào)遞增

7.（2023?河南?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)/'（x）=2A/^sinfyxcos（yx+2cos20x+〃z3>O）,且相鄰兩條對稱軸之間的距

離為VxeR,/（x）>2,則（）

A.a）=l,m=3

■rr-rr

B.〃x）在區(qū)間上單調(diào)遞增

c.將f（x）的圖象向左平移9個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱

O

D.當(dāng)了=%萬+￡（%€2）時，函數(shù)/'（%）取得最大值

三、填空題

8.（2024,山西晉城?二模）已知tane=2tan分，sin（tz+>?）=-,貝!|sin（￡-a）=.

6

9.（2023?山西朔州?模擬預(yù)測）已知a為銳角，且sina+sin[a+|^+sin[a+/]=正，貝l]tantz=.

10.（20-21高三上?天津濱海新?階段練習(xí)）在AABC中，角A、B、C的對邊分別為?、b、c,若

OCOSB+ZJCOSA=csinA,則AABC的形狀為.

四、解答題

11.（23-24高二上?福建福州?期末）己知函數(shù)/（x）=^sin（7r-x）+sin]'+xj-l.

⑴求函數(shù)/（元）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若/（A）=l,a=7,c=8,求AABC的面積.

12.（2021?遼寧朝陽?二模）在①優(yōu)+"c）（b-a+c）=ac；②cos（A+8）=sin（4-B）；③tan-；人=sinC這三

個條件中任選兩個，補(bǔ)充在下面問題中.

問題：是否存在“IBC,它的內(nèi)角A,民c的對邊分別為a,b,c,且0=2點(diǎn)，，?若三角形存

在，求匕的值；若不存在，說明理由.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2sinxcosx-a（sin2x-cos2x）,

則直線24尤-9?-8萬=0與的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

二、多選題

2.（2020高三下,山東?學(xué)業(yè)考試）下列結(jié)論正確的是（）

3

A.若tana=2,貝Ucos2a=g

B.若sina+cos￡=l,則sira+cos?分之!

/Z

C.3X0GZ,sin/EZ〃的否定是〃VXEZ,sinxeZ”

D-將函數(shù)”出2川的圖象向左平吟個單位長度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

三、填空題

l+2cos<z=2cos/3

3.（2021?北京海淀?模擬預(yù)測）若實數(shù)Tc,尸滿足方程組,則夕的一個值是