2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：向量法求空間角（（解析版））

專題41向量法求空間角（新高考專用）

目錄

【知識(shí)梳理】................................................................2

【真題自測(cè)】................................................................3

【考點(diǎn)突破】...............................................................11

【考點(diǎn)1】異面直線所成的角..................................................11

【考點(diǎn)2）直線與平面所成的角................................................19

【考點(diǎn)3］平面與平面的夾角..................................................30

【分層檢測(cè)】...............................................................42

【基礎(chǔ)篇】.................................................................42

【能力篇】.................................................................57

【培優(yōu)篇】.................................................................63

考試要求：

1.掌握空間向量的應(yīng)用.

2.會(huì)用空間向量求空間角和距離.

知識(shí)梳理

1.兩條異面直線所成的角

設(shè)異面直線/1,/2所成的角為仇其方向向量分別為"，P,

...|u-v|Izrol

則ncos6=|cos〈〃，?！凳瑋而尸面面

2.直線和平面所成的角

直線AB與平面a相交于3,設(shè)直線A3與平面a所成的角為仇直線A3的方向向量為〃，平

面a的法向量為〃，則sin6=|cos〈〃，n)尸|遍卜黑.

3.平面與平面的夾角

⑴兩平面的夾角：平面a與平面僅相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90。

的二面角稱為平面a與平面少的夾角.

(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面a,4的法向量分別是"2,平面a與平面”的夾角為仇則

ni-ii2[nrnl

COS6=|COS〈〃7,"2〉I一2

\ni\\n2\

4.點(diǎn)尸到直線/的距離

設(shè)A>=a,u是直線I的單位方向向量,則向量輪在直線I上的投影向量恁=3〃)〃.在RtAAPQ

中，由勾股定理，得PO=V|#|2—I通2.

5.點(diǎn)尸到平面a的距離

若平面a的法向量為n,平面a內(nèi)一點(diǎn)為A,則平面a外一點(diǎn)P到平面a的距離d=力?白=

如圖所不.

6.線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.

|常用結(jié)論

2

1.線面角。的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量〃所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sin

O=|cos〈a,n)I，不要誤記為cos6=|cos〈a,n)|.

TT

2.二面角的范圍是[0,7i],兩個(gè)平面夾角的范圍是0,2.

-真題自測(cè)

一、解答題

L(2024?全國(guó)?高考真題)如圖，在以A,B,C,D,E,尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABC。與四邊形所

AD=4,AB=BC=EF=2,ED=M,FB=26M為AD的中點(diǎn).

⑴證明：氏0//平面0)￡；

⑵求二面角/-E的正弦值.

2.(2023?全國(guó)?高考真題)如圖，在正四棱柱AB。-A耳CQ中，AB=2,"=4.點(diǎn)人也?。分別在

棱AAi,BB{,CC\,DD］上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

(2)點(diǎn)P在棱8月上，當(dāng)二面角尸-旬4-2為150。時(shí)，求82P.

3.（2023?全國(guó)?高考真題）如圖，三棱錐A-3CD中，DA=DB=DC,BDLCD,ZADB=ZADC=60,

E為8C的中點(diǎn).

3

AF

(1)證明：BC±DA；

⑵點(diǎn)尸滿足斯=D4，求二面角。-AB-/的正弦值.

4.(2022?全國(guó)?高考真題)如圖，尸。是三棱錐P-ABC的高，PA=PB,ABJ.AC,E是PB的中點(diǎn).

(2)^ZABO=ZCBO=30°,尸0=3,PA=5,求二面角C-的正弦值.

5.(2022?全國(guó)?高考真題)如圖，四面體ABCD中，AD_LCD,AD=CD,ZADB=/BDC,E為AC的中點(diǎn).

⑴證明：平面5ED_L平面AC￡＞；

(2)設(shè)A3=3。=2,/ACB=60°,點(diǎn)尸在8。上，當(dāng)_AFC的面積最小時(shí)，求CP與平面A5D所成的角的正弦

值.

參考答案：

L(1)證明見(jiàn)詳解；

(2)逑

13

【分析】(1)結(jié)合已知易證四邊形3coM為平行四邊形，可證物"/CD,進(jìn)而得證；

(2)作交AD于。，連接OF,易證OB,OD,O/三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即

可求解.

4

【詳解】（1）因?yàn)?C〃AD,EF=2,AD=4,M為A￡）的中點(diǎn)，所以BC//MD,BC=MD,

四邊形為平行四邊形，所以BM//CD,又因?yàn)檑科矫鍯DE,

CDu平面CDE,所以8M〃平面CDE；

（2）如圖所示，作8。，仞交4。于。，連接0/，

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以CD=2,

結(jié)合（1）3coM為平行四邊形，可得RW=CD=2,又AM=2,

所以一ABM為等邊三角形，。為A"中點(diǎn)，所以0B=g,

又因?yàn)樗倪呅蜛DEF為等腰梯形，”為AD中點(diǎn)，所以EF=MD,EF〃MD,

四邊形￡KWD為平行四邊形，F(xiàn)M=ED=AF,

所以ZXAFM為等腰三角形，ASA/與△AEM底邊上中點(diǎn)。重合，OF1AM,OF=->JAF2AO2=3-

因?yàn)镺笈+Or=B尸，所以O(shè)3_LOP,所以03,020廠互相垂直，

以08方向?yàn)閤軸，OD方向?yàn)閂軸，OF方向?yàn)閦軸，建立。-孫z空間直角坐標(biāo)系,

*0,0,3）,5（A/3,0,0）,M（0,1,0）,E（0,2,3）,BM=（->/3,1,0）,BF=（-73,0,3）,

BE=卜也,2,3）,設(shè)平面BR0的法向量為記=Oi，yi，Zi）,

平面EM?的法向量為元=02，先*2），

則，即?八，令玉=石，得M=3，Z=1,即記=（百,3,1）,

m-BF=0〔一據(jù)%+3zi=0

n?BM=0—V3X+必=0r-

則，即-用9+2-0'”=6得%=3,z「l

〃-BE=0

/i-\m-n1111

即”=（后3,-1bc°sm,"=麗=屈?而二衛(wèi)'則sin〃〃=若AR,

故二面角b—氏0-￡的正弦值為生8.

13

(2)1

5

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；

(2)設(shè)P(0,2")(0WX<4),利用向量法求二面角，建立方程求出4即可得解.

【詳解】(1)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，C2C&CG所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則C(0,0,0),C2(0,0,3),蛆(0,2,2),D2(2,0,2),4(2,2,1),

...32G=(°，—2,1),44=(0,-2,l),

又與G，42不在同一條直線上，

,52c2〃4。2.

(2)設(shè)尸(0,2,4)(044),

則4c2=(-2,—2,2),尸G=(0,-2,3-2),D2C2=(-2,0,1)，

設(shè)平面尸4G的法向量〃=(兀y,2),

n,A2c2=-2x-2y+2z=0

?

、(n-PC2=-2j+(3-2)z=0

令z=2,得y=3-4%=幾-1,

YI—(A-1,3—A,2),

設(shè)平面4c2。2的法向量根=(a,b,c),

m-AC=-2a-2b+2c=Q

則?，

m?D2c2=-2a+c=0

令a=l,得b=1,c=2,

6

=2),

n-m6=|cosl50°|=^-,

cos(n,m

“加76^4+("1)2+(3—4)2

化簡(jiǎn)可得，22-42+3=O,

解得a=1或X=3,

尸(0,2,1)或P(0,2,3),

:.B2P=1.

3.⑴證明見(jiàn)解析;

喈.

【分析】(1)根據(jù)題意易證3C_L平面ADE,從而證得3C_LZM；

(2)由題可證平面BCD,所以以點(diǎn)E為原點(diǎn)，即,即,胡所在直線分別為x，XZ軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，再求出平面ABRA5尸的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【詳解】(])連接AE,Z)E,因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，DB=DC,所以①，

因?yàn)镈A=DB=DC,ZADB=ZADC=60,所以ACD與△ABD均為等邊三角形，

:.AC=AB,從而AE_LBC②，由①②，AEDE=E,AE,DEu平面ADE,

所以，3C_L平面ADE,而ADu平面ADE,所以3C_LD4.

(2)不妨設(shè)ZM=D3=OC=2,BDLCD,BC=2,42,DE=AE=s/2.

AE2+DE2=4=AD2,：.AE±DE,又:AE±BC,DEBC=E,DE,BCu平面BCDAEJ_平面BCD.

以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ERE民創(chuàng)所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)￡>(72,0,0),4(0,0,偽,5(0,也0),E(0,0,0),

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為%=(占,Z]),%=優(yōu)，%，Z2)，

7

二面角O-A3—尸平面角為氏而A8=(o,0,-⑹,

因?yàn)轷?D4=卜形,0,及)，所以尸卜頂,0,0),即有卜0,0,0卜

,取力=1,所以a=(0,1,1),

所以，|cos(9|=，從而sin0=

所以二面角AB-尸的正弦值為且.

3

4.⑴證明見(jiàn)解析

【分析】(1)連接30并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)D,連接CM、PD,根據(jù)三角形全等得到OA=03,再根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)得到49=DO,即可得到。為3。的中點(diǎn)從而得到OE〃尸D,即可得證；

(2)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系計(jì)算可得.

【詳解】(1)證明：連接30并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接Q4、PD,

因?yàn)槭?。是三棱錐P—ABC的高，所以尸O_L平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以APOA三APOB,即。4=03,所以=

又AB/AC,即/54C=90°,所以/。45+/。4。=90°,ZOBA+ZODA=90°,

所以/OZM=NQ4D

所以AO=OO,即AO=DO=OB,所以。為8。的中點(diǎn)，又E為PB的中點(diǎn)，所以O(shè)E//PD,

又OE<Z平面PAC,9<=平面尸4?,

所以0E//平面PAC

8

p

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作上〃OP,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镻O=3,AP=5,所以Q4=,Ap2_p02=4,

XZOBA=ZOBC=30°,所以BD=2OA=8,貝?。〢￡>=4,AB=443,

所以AC=12,所以。（2百,2,0）,B（4A0,0）,P（2瓜2,3）,C（0,12,0）,

所以

貝I]AE=（3G,1,￡|,AB=（4若,0,0）,AC=（0,12,0）,

一o

/、n-AE=3y/3x+y+—z=0

設(shè)平面AES的法向量為〃=（%,y,z）,貝“2,令z=2,貝曲二一3,兄=0,所以

n?AB=4G尤=0

n=（0,-3,2）；

.,/、HI,A.E=3y/3（i+Z?H—c=0

設(shè)平面AEC的法向量為加=（〃也c）,貝叫2,

m-AC=12b=0

令〃=6，則c=—6,b=0,所以用=（有,0,-6）；

/-\n-m-124A/3

所以8蟲⑺=標(biāo)/IT一寸

9

⑵b與平面由所成的角的正弦值為哈

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明△■噂△CBD,得到AB=CB,結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系,

結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以ACLDE；

在△ABD和MBD中，因?yàn)锳D=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以所以A5=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以ACL3E；

又因?yàn)镺E,BEu平面BE。，DEcBE=E,所以AC_L平面BED,

因?yàn)锳Cu平面AC￡>,所以平面BED_L平面ACD

（2）連接E7L由（1）知，ACmBED,因?yàn)镋Fu平面BED,

所以AC，￡F,所以Z,c=；ACEP,

當(dāng)時(shí)，最小，即—AFC的面積最小.

因?yàn)樗訡B=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以VA3C是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=6,

因?yàn)锳DLCZ）,所以。E=：AC=1,

在,DEB中，DE2+BE2=BD2,所以

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系石-孫z,

則4（1,0,0）,網(wǎng)0,百,0）,。（0,0,1）,所以4￡>=（-1,0,1）,鈿=卜1,石,0）,

設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n=（x,y,z）,

n-AD=-x+z=Q

則取y=6，則〃=卜，后3）,

nAB=-x+y/3y=0

又因?yàn)镃GI,。,。）],#,],所以CF=jl,亭,:

幾.CF

所以儂〃,庭=麗

設(shè)CF與平面所成的角為

10

所以sin0=|cosn,Cp|=，

所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為生叵.

7

【考點(diǎn)1］異面直線所成的角

一、單選題

1.（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）在平行六面體中，已知48=42=4^=1,

ZA.AB=ZA.AD=ZBAD=60°,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）

A.直線A。與8。所成的角為90。

B.線段AC的長(zhǎng)度為四

C.直線AC與B耳所成的角為90。

D.直線與平面ABC。所成角的正弦值為亞

3

2.（2023?云南保山?二模）已知正方體ABC。-A與G2,Q為上底面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線

與DA,的所成角為45。時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為（）

A.圓B,直線C,拋物線D.橢圓

二、多選題

3.（2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體A3CD-A與G2中，點(diǎn)P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn),

則（）

11

A.不存在點(diǎn)尸，使得APLCR

B.RP-AP的最小值為-g

C.當(dāng)AP=gAC時(shí)，DtPl.AP

TT

D.若平面A8CD上的動(dòng)點(diǎn)〃滿足/加2c=7,則點(diǎn)Af的軌跡是直線的一部分

6

4.（2025?甘肅張掖?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四面體S-ABC的各棱長(zhǎng)均為4,E,尸分別為棱AB,BC的中點(diǎn)，M

為棱SC上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的為（）

A.EFLSB

B.直線SE與BC所成角的余弦值為由

6

C.四面體S-ABC的外接球體積為8扃

D.平面截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小值為8

三、填空題

5.（2024?遼寧撫順?三模）在直三棱柱ABC-ABC中，AB1AC,AB=AC^4^=6,E為CQ的中點(diǎn),

點(diǎn)F滿足AF=2FAi,則異面直線EF,BQ所成角的余弦值為.

6.（2023?河南開(kāi)封?二模）己知矩形ABC。，CD=4AO=4石，過(guò)CD作平面a,使得平面ABCD_La,點(diǎn)

TT

P在a內(nèi)，且AP與CD所成的角為則點(diǎn)尸的軌跡為,3尸長(zhǎng)度的最小值為.

參考答案：

1.D

【分析】在平行六面體ABCL）-A瓦G2中，取至=4,">=6/14,=c,利用空間向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積

12

運(yùn)算，逐一分析選項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】在平行六面體A3CD—A瓦GQ中，令=AD=b9AAi=c,

由"=4。=朋=1,ZA.AB=ZA.AD=ZBAD=60°,

得|〃|=|Z?|=|c|=l,a-b=b-c=a-c=^,

對(duì)于A,顯然4。=。+6一。，BD=-a+b，

貝!J4。?BD=(a+/?—c)?(-a+〃)=-a2+b?+a.C-b，C=b,即AC_LBD,

因此直線AC與80所成的角為90。，A正確；

對(duì)于B,|AC『=（a+匕一右）2=。2+^+，一》?。=2,即從4=夜，B正確;

對(duì)于C,B耳=（a+b—c—ci-c-\-h-c一c2=0?即ACJ_BB、,

因此直線AC與24所成的角為90。，C正確；

對(duì)于D,在平行六面體ABC。-A耳G2中，四邊形"CD是菱形，即AC/BD,

又AC_L8。，ACnAC=C,ACACu平面4c4,于是平面48,

又BDu平面ABCD,則平面\CA±平面ABCD,

連接AC交3。于點(diǎn)0,在平面AG4內(nèi)過(guò)點(diǎn)A1作AELAC于點(diǎn)石，如圖，

由平面ACA平面ABCD=AC,因此平面ABC。，即直線A。與平面ABCD所成角為N41cA,

AC=a+b-貝1&0|2=卜+6『=力+62+242=3,即|AC|=G,

1_73

由4V/8用及選項(xiàng)C知，ZAA,C=90°則sin/AC4=D錯(cuò)誤.

出一3

故選：D

2.C

【分析】建系，利用空間向量結(jié)合線線夾角分析運(yùn)算.

【詳解】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，DA，DC，DR為x,y,z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則。（0,0,0）/（1，。，1），設(shè)Q（%y,i）,

13

可得￡>Q=(x,y,l),ZM,=(1,0,1),

因?yàn)橹本€DQ與DA1的所成角為45。,

DQDA=￥，化簡(jiǎn)可得丁=2尤,

則cos45°=

所以點(diǎn)。的軌跡為拋物線.

3.BC

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明當(dāng)尸為AC的中點(diǎn)時(shí)APLCR；B選項(xiàng)，設(shè)A戶=4AC，然后利

用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律得到DEAP=N（3N-2）,最后求最小值即可；C選項(xiàng)，利用空間向量

再證明即可；D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)=m列方程得到點(diǎn)M的軌跡方程，即可得到

點(diǎn)〃的軌跡.

A選項(xiàng)：當(dāng)p為A。的中點(diǎn)時(shí)AP_LC￡\,理由如下：

由圖可知，當(dāng)尸為AC的中點(diǎn)時(shí)APu平面AAG。，

因?yàn)锳BCD-ABCiR為正方體，所以45，平面CDRG，DC,±CZ）,,

因?yàn)镃D|U平面CD2G，所以?。綺L。，

因?yàn)锳DDQ=D,AZZOGu平面ABC。，所以C2_L平面,

14

因?yàn)锳Pu平面AgCQ,所以4尸，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：設(shè)4尸=彳4。，2e[o,l],

貝|J2尸=RA+A尸=一+彳（一胡+AB+AD）=（%-1）A。-2AAi+%A3,

AP=A\+\P=A\+A,{-AAX+AB+AD^=（1-/）AAl+A,AB+AAD,

11

所以。P-AP=〃3X-2）,當(dāng)X=§時(shí)DPA尸取得最小值，最小值為一屋故B正確；

2uur1uLim21012uunuuniumr7uun2uuin10ruun224

C選項(xiàng)：當(dāng)AP=]AC時(shí)，DlP=--AD--AAi+-AB,AP=-AAi+-AB+-AD,DtP-AP=----+-=0,

所以RPLAP,故C正確；

D選項(xiàng)：如圖，以D為原點(diǎn)、,分別以D4，DC,￡?2為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

2（0,0,1）,C（0,l,0）,設(shè)“（蒼y,o）,xe[0,l],好[0,1]則。陽(yáng)=（蒼"-1）,D1C=（O,l,-l）,

兀

D,|01+y+l|173

當(dāng)平面ABC。上的動(dòng)點(diǎn)M滿足/MRC=B時(shí)，cosDXM,DXC=-T-=,/—==,

整理得\+（＞一2）2=1，所以點(diǎn)"的軌跡為橢圓的一部分，故D錯(cuò).

3

故選：BC.

4.ABD

【分析】用向量的數(shù)量積可判斷A,用向量的夾角余弦公式可判斷B,把正四面體放入正方體中，求外接球

體積，可判斷C,把四面體S-ABC側(cè)面展開(kāi)，即可求得平面跳河截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小值，

進(jìn)而判斷D.

JT

【詳解】由題意坂=3E=2,SB=4,ZSBA=ZSBC=-,

所以斯?SBMCB尸-8￡）?52=2尸-52-2石-52=2義4乂（：0$二一2*4'8$工=0,

''33

所以EFLS3,故A正確；

因?yàn)椤?48為等邊三角形，E為棱的中點(diǎn)，所以SEL",

SE=Q4-方=25同理M'BC,SF=2y/3,BC=二4,

因?yàn)榉謩e為棱AB,BC的中點(diǎn)，所以匹=；AC=2,

EF//AC,

TT27r

又VA5C為等邊三角形，所以ZACB="ZEFC=-I>

SE-BC=(^SF+FE^-BC=SF-BC+FE-BC=0+2x4x^-

15

SF-RCI-4I

設(shè)直線SE與BC所成角為e,貝"ose=」_卜一，故B正確;

S￡BC|2V3X4|6

把四面體S-ABC放入正方體中,

則正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)度等于四面體S-ABC的棱長(zhǎng)4,

所以正方體的棱長(zhǎng)為2行，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2"，

正方體的外接球半徑為布，正方體的外接球體積為:兀=8府,

即四面體S-ABC的外接球體積為8面兀，故C錯(cuò)誤；

將四面體S-ABC的側(cè)面展開(kāi)如圖所示，連接E尸，交&4、SC于N、M,

當(dāng)班〃4?時(shí)，平面￡7力1截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小，

此時(shí)M"分別為SC的中點(diǎn)，

EN==2,MN=；AC=2,MF=/賽=2,

所以平面EFN截四面體所得的截面圖形的周長(zhǎng)最小值為硒+上亞+板+2=8.

故D正確.

故選：ABD.

5

5.—

17

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則B（4,0,0）,q（0,4,6）,E（0,4,3）,F（0,0,4）,

所以3G=（T，4,6）,￡F=（0,-4,1）,

16

\EF-BC]

設(shè)異面直線所成的角為6,則cose=^__=-5.

回n唱17

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)，結(jié)合已知條件求出尸點(diǎn)軌跡方程進(jìn)行求解即可.

yjk

如圖，以。為原點(diǎn)，0c所在直線為x軸，平面a內(nèi)過(guò)。且與CD垂直的直線為V軸，D4所在直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

則由已知，0(0,0,0),A(0,0；V3),C(4A/3,0,0),B(4>/3,0,A/3),

回點(diǎn)尸在平面a內(nèi)，團(tuán)設(shè)P(x,y,0),則42=1,%-豆)，0c=(4出,0,0卜

團(tuán)直線AP與直線CO所成的角為三，

APDC卜呵國(guó)」

回DC

AP\\DC\7X*2+/+3X4A/3'*+^+32'

2

兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)得尸點(diǎn)軌跡方程為/-匕=1,

3

團(tuán)點(diǎn)。的軌跡為雙曲線.

\BP\=^(%-4V3)2+(y-0)2+(0-73)2=々-8瓜+51+/，

2

團(tuán)P點(diǎn)軌跡方程為冗2一q=1,回丁=3%2_3,且X￡(Y0,—1]D[1,_HD0),

^\\BP\="爐_8氐+51+3f_3=4x2一8瓜+48=小卜—國(guó)+36，

團(tuán)當(dāng)％=6時(shí)，忸耳的最小值為忸尸1=736=6.

17

故答案為：雙曲線，6

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題第二個(gè)空容易誤認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)P在線段C。上時(shí)，長(zhǎng)度最小，使用空間向量運(yùn)算,

可以有效避免這種直覺(jué)上的錯(cuò)誤.

反思提升：

用向量法求異面直線所成角的一般步驟:

(1)建立空間直角坐標(biāo)系；

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,I,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余

弦值的絕對(duì)值.

【考點(diǎn)2】直線與平面所成的角

一、解答題

1.(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè))如圖，四棱錐P-ABCD中，以，底面ABCD,AD//BC,

AB=A￡）=AC=3,*8c=4,",N分另IJ為線段上一點(diǎn)，AM=2MD.

⑴若"為2(7的中點(diǎn)，證明：〃平面

(2)求直線?V與平面CMN所成角的正弦值的最大值.

2.（2024?山東淄博?二模）已知直角梯形ABC。，ZADC=9Q°,AB//CD,AB=2CD=?AD=6M為

對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn).現(xiàn)以AC為折痕把ADC折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置，點(diǎn)。為PB的中點(diǎn)，如圖

所示:

(1)證明：AC_L平面PBM；

⑵求三棱錐尸-ACQ體積的最大值；

⑶當(dāng)三棱錐P-ACQ的體積最大時(shí)，求直線4B與平面PBC所成角的正弦值.

3.(2024?新疆烏魯木齊?三模)由平行六面體ABCD-A片GR截去三棱錐耳-ABC后得到如圖所示的幾何

18

體，其體積為5,底面A2CD為菱形，AC與8。交于點(diǎn)。，A5=-

⑴證明。?！ㄆ矫鍭B。；

(2)證明平面平面ABG；

⑶若AB=2,DAB=60°,AA與底面ABC。所成角為60。，求他與平面4臺(tái)。所成角的余弦值.

4.(2024?貴州貴陽(yáng)?二模)由正棱錐截得的棱臺(tái)稱為正棱臺(tái).如圖，正四棱臺(tái)A8C。-中，瓦廠分別

為ARAB的中點(diǎn)，AB=2A瓦=4,側(cè)面38((與底面ABCD所成角為45。.

⑴求證：2?！ㄆ矫?￡廠；

(2)線段上是否存在點(diǎn)M,使得直線AM與平面吊￡尸所成的角的正弦值為遺，若存在，求出線段A0

10

的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2024,河南駐馬店?二模)在如圖①所示的平面圖形中，四邊形ACDE為菱形，現(xiàn)沿AC進(jìn)行翻折，使得

ABJL平面ACDE,過(guò)點(diǎn)E作砂//AB,且所=連接FD,FB,BD,所得圖形如圖②所示，其中G為

線段8。的中點(diǎn)，連接FG.

⑴求證：PG_L平面A3。;

19

(2)若AC=AD=2,直線尸G與平面BCD所成角的正弦值為立，求A3的值.

7

6.(2024?新疆?三模)已知底面ABCD是平行四邊形，叢，平面ABC。，PA//DQ,PA=3DQ=3,

AD=2AB=2,且NABC=60°.

(1)求證：平面PAC_L平面CDQ；

(2)線段PC上是否存在點(diǎn)使得直線AM與平面PCQ所成角的正弦值是巫.若存在，求出名的值；若

5

不存在，說(shuō)明理由.

參考答案：

1.(1)證明見(jiàn)解析

(2)在

3

【分析】(])取的的中點(diǎn)T,連接AT,TN,先證四邊形為平行四邊形，有再由線面平

行的判定定理，得證；

(2)取3c的中點(diǎn)E,連接AE,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】(1)證明：由已知AM=2A?得40=2,取族的中點(diǎn)T,連接AT,4V,

由N為尸C的中點(diǎn)知力V〃BC,

TN=-BC=2.又AD/IBC,故工N〃AM,且=

2

回四邊形AWT為平行四邊形，^\MN//AT,

ElATu平面RIB,AW平面RW,

〃平面PAB.

(2)取8c的中點(diǎn)E,連接AE,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

20

A(0,0,0),M(0,2,0),C(75,2,0),P(0,0,4),

不妨設(shè)CN=2CP,/le[0,l],

則AN=AC+ACP=(君,2,0)+2(-75,-2,4)=(A/5-0,2-22,42),

CN=,-2X,4X),CM=(-75,0,0)

設(shè)平面OWN的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

n-CM=0卜=0

n-CN=0[-V5x-2y+4z=0'

取y=2,貝心=(0,2,1).

設(shè)直線AN與平面OWN所成角為

\AN-n\_________4________4

sin6=

\AN\\n\75X79(1-2)2+16A2A/5XV2522-182+9

____________4_____________好

3

^xJ25xgJ-18x1+9

故直線AN與平面CMN所成角的正弦值的最大值為更.

3

2.(1)證明見(jiàn)解析

(2)正

4

⑶叵

13

DCDMCM1

【分析】⑴相似可得‘分=礪=而=5'結(jié)合勾股定理逆定理得到ACS”以及折疊后A"加,

AC1PM,即可證明；(2)證明點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)尸到的距離，運(yùn)用等體積法即可求解;

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC法向量，再用向量夾角余弦值公式求解即可.

【詳解】(1)直角梯形ABCD中,

DCDMCM

由相似可得,商

MB~AM2

21

因?yàn)锳2=2CD=指，AD=6,可得AC=^,BD=3,

2

故可得AM=2MC=VLBM=2DM=2,

AM2+BM2=AB2，則由勾股定理逆定理得，AMYBM,即AC人3D,

AC±DM,

翻折后可得，ACLBM,ACLPM,

又因?yàn)樵?cBM=M,PM,3M在平面PBM內(nèi)，

故AC_L平面PBAf

（2）因?yàn)辄c(diǎn)。為邊PB的中點(diǎn)，

所以《一加一PAC'又%-PAC=^P-ACQ^B-PAC~^P-ABC'

所以/YCQ=：K-ABC'

因?yàn)锳Cu平面ABC,所以平面ABC_L平面尸的欣，

所以點(diǎn)P到平面ABC的距離，即為點(diǎn)P到的距離，設(shè)為h,

因?yàn)镾ABC=」AaACsinNCAB=L"?迪?逅=還為定值，

的22232

當(dāng)/z最大時(shí)，三棱錐P-AC。的體積最大，

PApr

而PAf=—：—=1,貝IJ/z4PM=l,

AC

當(dāng)〃=1時(shí)，（LACO）=-（^ABC）=-X-X^Xl=—.

（3）由（2）得，當(dāng)三棱錐P-AC。的體積最大時(shí)，

點(diǎn)尸到平面ABC的距離為9=1,即RW_L平面ABC.

故PM_LAC,PMVMB,

又因?yàn)锳C_LaW,

故M4,MB,MP兩兩垂直.

故可以Af為原點(diǎn)，

直線MA,MB,MP分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

22

則AB=(-應(yīng),2,0),尸8=(0,2,-1),C8=(拳,2,0),

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

ri-PB=2y-z=0

則應(yīng)，令y=l，得n=(-2也,1,2),

n-CB=^-x+2y=0

設(shè)直線AB與平面PBC所成角為。，則sin0=|cos<AB,ri)|==6=爭(zhēng)，

\AB\\n\V6-V1313

所以直線A3與平面尸2C所成角的正弦值為叵.

13

3.(1)證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

⑶半

2

【分析】(I)補(bǔ)全平行六面體，連接24交AG于點(diǎn)a，連接。出，由平行四邊形證得2?！?。田，即可

得到線面平行；

(2)由底面4耳GA是菱形，得到耳2，由等腰三角形三線合一得到AG，。田，從而得到線面垂

直，進(jìn)而得到面面垂直；

(3)由幾何體的體積先求出幾何體的高九=6,建立空間直角坐標(biāo)系，由AA與底面ABC。所成角為60。，

求出441的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量求出用與平面42。所成角的余弦值.

【詳解】(1)如圖補(bǔ)全平行六面體，連接。旦交AG于點(diǎn)。一連接。出，

在平行六面體ABCD-A瓦G2，BBJ/DD],BBX=DDX,

所以四邊形BBQ。為平行四邊形，所以2。=a。,8。//gR,

又。為3D的中點(diǎn)，。I為用2的中點(diǎn)，所以DR=OB,

所以四邊形為平行四邊形，所以￡)0〃。出，

又所以平面ABC1，&Bu平面ABC]，所以R?！ㄆ矫鍭BC1.

(2)因?yàn)榈酌?4GA是菱形，所以AC42，

又因?yàn)锳B=BG，AQ|=CQ1，所以AG_LQ3,

又與Ru平面RDO,。乃U平面DQO,B"O,B=O,,

所以AG_L平面2〃。，又AQU平面48G，所以平面平面4臺(tái)弓.

23

(3)咚棱錐馬—ABG=§咚棱柱ABC—WMG=k4行六面體ABCD—ABIG。，，

因?yàn)榻睾蟮膸缀误w體積為5,所以平行六面體體積為6,

又因?yàn)锳B=2,ZDAB=60°,設(shè)平行六面體的高為〃，

所以gx2x2xsin60°x2x/?=6,所以〃=道，BD=2,AC=26,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，

過(guò)。與平面垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(若,0,0),8(0,1,0),C(-A/3,0,0),設(shè)相=(4也C),則c=G，

又因?yàn)?4=班+朋=(百+a,6—Lc)，BC；=BC+Cq=(-也+a,b-1?,

因?yàn)锳B=BG,所以J(V3+a)2+(^-l)2+c2=7(->/3+a)2+(^-l)2+c2，

所以。=0,因?yàn)锳4與底面48CD所成角為60。，

平面ABC。的一個(gè)法向量為根=(0,0,1),

所以IcosAA.,m\=,C=cos30°,

11yla2+b2+c2

又a=0,c=6,由圖可知6>0,所以人=1,所以=(0,l,G),

設(shè)平面ABC]的一個(gè)法向量為力=(x,y,z),

n-BA.=y/3x+A/3Z=0

則取一個(gè)法向量”=(0,1,0),

n-BC[=-Jr3x+,3rz=0

IM,?!i

設(shè)AA與平面A3G所成角為e,則sine=^~昌=展，

K|H2

所以AA與平面所成角的余弦值為且.

2

4.⑴證明見(jiàn)解析

(2)存在，且

24

【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)可得線線平行，即可得線面平行，利用面面平行的判定定理即可得面面平

行，再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；

（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量可用未知數(shù)表示出直線。/與平面4石尸所成的角的正弦

值，計(jì)算即可得解.

【詳解】（1）連接8￡）、BR,由E,b分別為AD,A3的中點(diǎn)，貝IJEF//3D,

又跖N平面BBQD,BDu平面BBRD,故EF〃平面

正四棱臺(tái)ABCD-AAG2中，A}B}IIAB且4片=JA8