第2章電磁學(xué)基本理論

一、場量的定義和計算(一)電場(二)電位(三)磁場

(四)矢量磁位二、麥克斯韋方程組的建立(一)安培環(huán)路定律(二)法拉第電磁感應(yīng)定律(三)電場的高斯定律(四)磁場的高斯定律(五)電流連續(xù)性方程第2章電磁學(xué)基本理論三、麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式兩個靜止點電荷之間的相互作用力的大小和它們的電量的乘積成正比，與它們之間的距離的平方成反比。作用力的方向在兩點電荷的連線上，且“同性相斥，異性相吸”。一、庫侖定律實驗§2.1電場的基本物理量

——電場強度

——電位：單位矢量，由施力電荷指向受力電荷：真空介電常數(shù)。：源點位置矢量：場點位置矢量適用范圍：點電荷

R>10-14m庫侖力的疊加原理：二、電場強度1、電場帶電體間的相互作用通過什么實現(xiàn)呢？實驗證明：電力作用是通過中介物質(zhì)—電場來傳遞的歷史上的兩種觀點：超距作用——無須物質(zhì)傳遞，作用速度無窮大，瞬間即達近距作用——必須由物質(zhì)傳遞，以有限速度傳遞電荷

電場

電荷

電場的外在表現(xiàn)：

☆帶電體在電場中受到力的作用☆帶電體在電場中移動時，電場力做功☆處于電場中的導(dǎo)體——產(chǎn)生靜電感應(yīng)介質(zhì)——將被極化存在于電荷周圍，能對其他電荷產(chǎn)生作用力的特殊的物質(zhì)稱為電場。電荷是產(chǎn)生電場的源。2、電場強度

定義：單位正電荷在電場中某點受到的作用力稱為該點的電場強度單位(SI):牛/庫(N/C)

伏/米(V/m)場源場點討論：由是否能說，與成正比，與成反比？

電場強度的計算：(1)點電荷的電場強度：：源點指向場點例1：在直角坐標系中，設(shè)一點電荷q位于點，計算空間點的電場強度。解：點的位置矢量為：點的位置矢量為：由點電荷電場強度的計算公式其中：(2)

點電荷系的電場強度：是所有點電荷在該場中產(chǎn)生的電場強度的矢量和。(3)連續(xù)帶電體的電場強度：a.線電荷分布：電荷沿某一曲線連續(xù)分布

線電荷密度：

單位長度上的電荷量。上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場強度為：該線電荷在空間產(chǎn)生的電場強度：b.面電荷分布：電荷沿空間曲面連續(xù)分布

面電荷密度：單位面積上的電荷量。

上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場強度為：該面電荷在空間產(chǎn)生的電場強度：c.體電荷分布:電荷在某空間體積內(nèi)連續(xù)分布體電荷密度：單位體積內(nèi)的電荷量。上所帶的電荷量：產(chǎn)生的電場強度為：該體電荷在空間產(chǎn)生的電場強度:例2：長度為L的均勻帶電直導(dǎo)線位于x軸，線電荷密度為，求距離直線段中點為z處的電場強度。L解：選取直角坐標系源點：場點：討論：解：根據(jù)題意，選取圓柱坐標系源點：例3：一個均勻帶電的環(huán)形薄圓盤，內(nèi)徑為a，外徑為b，面電荷密度為，求z軸上任一點的電場強度。場點：a=0，實心圓盤a=0，b→∞，無限大平面a=0，z<<bz>>b，(a=0)無限大均勻帶電平面產(chǎn)生的電場是均勻的,與距離無關(guān)，方向為該平面的法線方向。帶電體能否看成無限大或點電荷，不在于其本身絕對尺寸的大小，而在于其到場點距離的相對大小。討論：三、電位

移動電荷作功：電荷在靜電場中沿任意路徑以不變速率由P點移動到A點，外力（克服電場力）所做的功為電位差：單位正電荷由P點移動到A點，外力（克服電場力）所做的功稱為A點和P點之間的電位差

1.電位差電位差：電場力將單位正電荷由A點移動到P

點所做的功電場力做功可以與重力做功類比電場力做正功，電位減小電場力做負功，電位增大結(jié)論：空間兩點的電位差只與兩點的位置有關(guān)，而與積分路徑無關(guān)例4：求原點處一點電荷q的電場中AP兩點之間的電位差。解：選取球坐標系，任取一條由P到A的積分路徑。2.靜電場的保守性點電荷q產(chǎn)生的電場：PAcd靜電場力沿任一閉合回路移動電荷所作的功為零在靜電場中，電場強度的環(huán)量恒為零靜電場處處無旋——靜電場的環(huán)路定理——靜電場是保守場（1）電位定義：外力將單位正電荷是由無窮遠處移到A點，則A點和無窮遠處的電位差稱為A點的電位。3.電位該結(jié)果表示以無窮遠處為零電位參考點。因此A點的電位實際上是A點和零電位參考點之間的電位差。電位是相對量,依賴于電位零點的選擇兩點間的電位差是絕對量,與電勢零點選擇無關(guān)電位零點的選擇是任意的未選擇電位零點時的電位：電位零點的選擇原則：使場中各點有確定電位值使電位表達式盡量簡單一個系統(tǒng)只能取一個電位零點通常取為大地或無窮遠處,但當無窮遠處有源時，應(yīng)選取其它位置b.連續(xù)分布電荷源的電位線電荷分布：面電荷分布：體電荷分布：（2）電位計算：a.點電荷的電位：點電荷系的電位：4.電位與電場的關(guān)系

？任意結(jié)論：已知電位求電場空間一點上的電場強度矢量必與過該點的等位面垂直電場強度矢量指向電位的最快下降方向例5:

有一對等量異號相距很近的電荷構(gòu)成電偶極子,l<<R,求

P點的電位和電場強度。解：取球坐標系，P點的電位因為電偶極矩：解：例6:

兩無限長平行帶電細線距離為2C，線上電荷均勻分布，線電荷密度分別為和，如圖，求空間電位分布。等位面方程：傳導(dǎo)電流：自由電荷在導(dǎo)體中定向運動時形成的電流運流電流：由帶電物體作機械運動時形成的電流位移電流：由電場的變化所形成的電流§2.2磁場的基本物理量

——磁感應(yīng)強度

——矢量磁位補充：電流的相關(guān)概念恒定電流：電流是在電場的作用下電荷的定向運動，不隨時間變化的電荷流動所形成的電流稱為恒定電流，此時對應(yīng)的電場稱為恒定電場。電流的分類：電流強度：單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體某橫截面的電量，即II體電流密度(矢量)：大?。旱扔谕ㄟ^與該點場強方向垂直的單位橫截面積上的電流。方向：與該點場強的方向相同單位：A/m2穿過任意曲面的電流：電流密度的變化面電流密度(矢量)：大?。旱扔谕ㄟ^與該點場強方向垂直的單位橫截線上的電流方向：與該點場強的方向相同單位：A/m電流元(矢量)：線電流元：面電流元：體電流元：單位：A?m一、磁感應(yīng)強度產(chǎn)生磁場的源：電流，即運動的電荷永久磁鐵變化的電場1.磁場：存在于載流回路或永久磁鐵周圍空間，能對運動電荷施力的特殊物質(zhì)稱為磁場。洛侖茲力：可見：運動速度、磁感應(yīng)強度和最大磁場力三者相互垂直，且滿足右手螺旋法則。2.磁感應(yīng)強度的定義電流元在空間所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為：畢奧—薩伐爾定律安培力實驗定律：

3.磁感應(yīng)強度的計算：畢奧—薩伐爾定律:真空磁導(dǎo)率根據(jù)洛侖茲力：閉合電流回路的磁感應(yīng)強度：畢奧—薩伐爾定律線電流的磁感應(yīng)強度：面電流的磁感應(yīng)強度：體電流的磁感應(yīng)強度：例5：求長為l，載有電流I的細直導(dǎo)線在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。解：選用圓柱坐標系源點：場點：討論：例6：求如圖所示的電流線I在O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。解：取圓柱坐標系將電流線分成三段分別求這三段電流在O點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度。（1）段在O點產(chǎn)生的（2）段在O點產(chǎn)生的（3）段在O點產(chǎn)生的O點的磁感應(yīng)強度:解：如圖，選用直角坐標系上流過的電流為例7：設(shè)一面電流密度為的無限大均勻?qū)Я髅妫螅壕嘣撈矫鎕高處的磁感應(yīng)強度？與對稱的取線元其中：該面電流在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度：無限大均勻?qū)Я髅鎯蓚?cè)的磁感應(yīng)強度：二、磁通連續(xù)原理1.磁通量

2.磁通連續(xù)性原理穿過空間任意閉合曲面的磁通量恒為零它說明磁感線是連續(xù)的閉合矢線不存在磁單極子磁場是無散場

？1.矢量磁位的引入三、矢量磁位矢量稱為矢量磁位單位:韋伯/米Wb/m

2.矢量磁位的計算a.線電流矢量磁位計算庫侖規(guī)范：例8：求電流為I,半徑為a

的小圓環(huán)在遠離圓環(huán)處的磁感應(yīng)強度。解：先求再求，選用球坐標系源點：場點：當時磁偶極矩：磁偶極子：當載流圓環(huán)很小，觀測點遠離圓環(huán)時，可將該載流圓環(huán)稱為磁偶極子。S§2.3安培環(huán)路定律——麥克斯韋第一方程一、安培環(huán)路定律引出：研究無限長載流直導(dǎo)線周圍磁感應(yīng)強度沿閉合回路的積分積分路徑為半徑為r的圓環(huán)：積分路徑為包圍電流I的任意閉合回路：積分路徑為不包圍電流I

的任意閉合回路：任意載流回路的磁場沿任意閉合回路的積分：積分回路中包含多個電流：說明：磁場的環(huán)量與積分回路所限定的曲面上穿過的總電流有關(guān)電流的正負取決于電流方向與積分路徑是否符合右手法則磁場的環(huán)量與電流在積分回路所限定的曲面上穿過的位置無關(guān)磁場的環(huán)量與積分回路所限定的曲面的形式無關(guān)磁場的環(huán)量與不穿過積分回路所限定的曲面的電流無關(guān)空間任一點的磁場與所有電流都有關(guān)，由全部電流共同決定——安培環(huán)路定律引入一個新矢量，令，矢量稱為磁場強度，單位為安培/米（A/m）則：

安培環(huán)路定律：（真空中）磁場強度沿任意回路的線積分，等于該回路所限定的曲面上穿過的總電流。磁場是有旋場，電流是其渦旋源。應(yīng)用安培環(huán)路定律求磁場問題：

在一些對稱情況下，例如當沿著某一路徑上磁場的大小均相等，且其方向與積分線元相同時，可以方便地利用該定律求解磁場。例9:

如圖所示，一無限長同軸電纜芯線通有均勻分布的電流I，外導(dǎo)體通有均勻等量反向電流，求各區(qū)域的磁感應(yīng)強度。解:

取圓柱坐標系。（1）區(qū)域內(nèi)導(dǎo)體的電流密度:取積分回路為半徑為r的圓環(huán)，

根據(jù)安培環(huán)路定律:

同理取半徑為r

的圓為積分回路，則有:（2）區(qū)域（3）區(qū)域外導(dǎo)體的電流密度為:同理取半徑為r的圓為積分回路，則有:（4）區(qū)域解：方法1：將面電流轉(zhuǎn)化為無限長線電流求解。方法2：應(yīng)用安培環(huán)路定律求解。選取矩形閉合回路，由安培環(huán)路定律：例7：設(shè)一面電流密度為的無限大均勻?qū)Я髅?，求：距該平面h高處的磁感應(yīng)強度？二、位移電流

傳導(dǎo)電流連續(xù)是安培環(huán)路定律成立的前提傳導(dǎo)電流不連續(xù)會怎樣？

位移電流的提出：在電容器兩極板間，由于電場隨時間的變化而存在位移電流位移電流的數(shù)值與傳導(dǎo)電流相等，方向與傳導(dǎo)電流相同位移電流具有磁效應(yīng)穿過的傳導(dǎo)電流為，則：

穿過的傳導(dǎo)電流為，則：

為什么相同的線積分結(jié)果不同？怎么辦？平板電容器極板上的電荷：位移電流的計算傳導(dǎo)電流：位移電流：位移電流密度：穿過某曲面的位移電流：電位移矢量三、全電流定律

引入位移電流之后，穿過曲面S的總電流為：總電流密度為：穿過某曲面上的全電流為：——全電流定律（麥克斯韋第一方程）物理意義：磁場不僅由傳導(dǎo)電流產(chǎn)生，也能由隨時間變化的電場，即位移電流產(chǎn)生。安培環(huán)路定律：進一步深入：提出位移電流的背景及意義電磁感應(yīng)定律：電場高斯定律：磁場高斯定律：電荷守恒定律：全電流定律：變化的磁場產(chǎn)生電場，變化的電場產(chǎn)生磁場變化的電磁場相互激發(fā)和轉(zhuǎn)化，形成向空間傳播的電磁波科學(xué)的創(chuàng)造性在于發(fā)現(xiàn)矛盾和解決矛盾！矛盾！§2.4

法拉第電磁感應(yīng)定律——麥克斯韋第二方程一、法拉第電磁感應(yīng)定律當穿過導(dǎo)體回路的磁通發(fā)生變化時，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流，感應(yīng)電動勢的大小正比于磁通對時間的變化率，方向由楞次定律確定：感應(yīng)電動勢的方向總是企圖阻止回路中磁通的變化。數(shù)學(xué)表達式為：電磁感應(yīng)實驗Collaton靜電場與時變電場的區(qū)別？引起磁通變化的原因：

(2)動生電動勢：閉合回路與恒定磁場之間存在相對運動(3)既存在時變磁場又存在回路的相對運動時，感應(yīng)電動勢為：(1)感生電動勢：閉合回路靜止，與之交鏈的磁場隨時間變化變壓器感應(yīng)方程例10:

如圖所示，一個矩形金屬框的寬度d是常數(shù)，其滑動的一邊以勻速v向右移動，求：下列情況下線框里的感應(yīng)電動勢。

解：（1）（2）（1）（2）

二、法拉第電磁感應(yīng)定律的推廣

——麥克斯韋第二方程變化的磁場產(chǎn)生電場，電荷是電場的源，變化的磁場也是電場的源；感應(yīng)電場的環(huán)量不為零，感應(yīng)電場是非保守場，即有旋場，變化的磁場是其渦旋源。產(chǎn)生感應(yīng)電流的本質(zhì)是什么？法拉第：當穿過導(dǎo)體回路的磁通發(fā)生變化時，回路中就產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流麥克斯韋：當穿過任意閉合曲線所限定曲面的磁通發(fā)生變化時，沿著該曲線就產(chǎn)生感應(yīng)電場和感應(yīng)電動勢?！?.5

電流連續(xù)性方程——麥克斯韋補充方程從閉合曲面流出的電流，必然等于閉合曲面內(nèi)正電荷的減少率；電荷密度變化的點即為電流密度的源點。電荷守恒定律：在孤立系統(tǒng)內(nèi)，電荷既不能產(chǎn)生，也不能消滅，只能發(fā)生轉(zhuǎn)移；任意時刻，系統(tǒng)內(nèi)正負電荷的代數(shù)和保持不變?！娏鬟B續(xù)性方程（麥克斯韋第五方程）一、電場的高斯定律——麥克斯韋第三方程§2.6

高斯定律點電荷在球形高斯面的圓心處：++S'點電荷在任意形狀的高斯面內(nèi)：通過球面S的電場線也必通過任意曲面S'，即它們的電通量相等+S+點電荷在閉合曲面以外：穿進曲面的電場線條數(shù)等于穿出曲面的電場線條數(shù)+閉合曲面內(nèi)包含點電荷系：閉合曲面內(nèi)包含連續(xù)分布電荷：

麥克斯韋第三方程——閉合曲面外的電荷對電通量沒有貢獻高斯定律的證明：以點電荷確定常數(shù)C：全電流定律+

電流連續(xù)性方程關(guān)于高斯定律的說明：有源性：高斯定律是反映電場有源性的基本定律，電荷是電場的源；電通量與場強：高斯定律中的電通量僅由曲面內(nèi)的電荷確定。但曲面上任意點的電場強度或電位移矢量是曲面內(nèi)外的電荷共同產(chǎn)生的，并非只由曲面內(nèi)的電荷確定；電荷分布：通過閉合曲面的電通量與曲面內(nèi)電荷的空間分布無關(guān)。但閉合面上任意點的場強則受電荷分布的影響；若高斯面內(nèi)的凈電荷為零，則通過高斯面的電通量為零。但高斯面上各點的電場強度并不一定為零；高斯定理中所說的閉合曲面，通常稱為高斯面。電場高斯定律：穿過任一閉合曲面的電通量，等于該曲面所包圍的所有電荷的代數(shù)和，與閉合曲面外的電荷無關(guān)。步驟：1.進行對稱性分析，即由電荷分布的對稱性，分析場強分布的對稱性，判斷能否用高斯定理來求電場強度的分布2.根據(jù)場強分布的特點，作適當?shù)母咚姑?，要求：穿過該高斯面的電通量容易計算待求場強的場點應(yīng)在此高斯面上高斯面各點的法矢量應(yīng)與電場平行或垂直，平行時，場強的大小要求處處相等，使得E能提到積分號外面3.計算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場強。

高斯定律應(yīng)用舉例——計算帶電體的電場只有滿足某些對稱性的場分布，才能應(yīng)用高斯定律求解常見的具有對稱性分布的源電荷及相應(yīng)的高斯面：球?qū)ΨQ分布：包括均勻帶電的球面，球體和多層同心球殼等無限大平面電荷：包括無限大的均勻帶電平面，平板等軸對稱分布：包括無限長均勻帶電的直線，圓柱面，圓柱殼等如果場分布沒有對稱性，則由高斯定理求電場并不方便，但高斯定理依然成立。例11：一均勻帶電球殼，電荷密度為，球殼內(nèi)外半徑分別為a、b，求各區(qū)域中的電位移矢量。解：選球坐標系，由于球殼均勻帶電，所產(chǎn)生的電場具有中心對稱性。（1）區(qū)域取半徑為R

的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:（2）區(qū)域取半徑為R

的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:

（3）區(qū)域同理取半徑為R

的球面為高斯面，根據(jù)電高斯定律:a→0時的情況a→b時的情況

解:

：面對稱高斯面：柱面例12：求無限大均勻帶電平面的電場，已知電荷密度ρSlr解：場具有軸對稱高斯面：圓柱面例13：均勻帶電圓柱面半徑為R，面電荷密度為ρS，求各區(qū)域的電場。(1)r<R(2)r>RlrR例14：一無限長均勻帶電直導(dǎo)線，線電荷密度為，

求：該導(dǎo)線周圍的電場強度。解：該導(dǎo)線周圍的電場具有軸對稱性，選柱坐標系，高斯面選柱面?？傻茫弘妶鰪姸龋阂阎捍磐ㄟB續(xù)性原理：通過任意閉合曲面的磁通量恒為零。磁力線總是連續(xù)的，不存在磁單極子，磁場是無源場?！溈怂鬼f第四方程二、磁場的高斯定律——麥克斯韋第四方程證明：對恒定磁場：應(yīng)用電磁感應(yīng)定律§2.7麥克斯韋方程組1813：電高斯定律1820-1825：磁通連續(xù)性原理1825：安培環(huán)路定律1831：法拉第電磁感應(yīng)定律1861：位移電流1865：麥克斯韋方程組1887：赫茲實驗“在我求學(xué)的時代，最吸引人的題目就是麥克斯韋的理論”。……“狹義相對論起源于麥克斯韋電磁場方程”。1831-18