電磁場與電磁波第六章

第六章平面電磁波的反射與折射

電磁波在傳播過程中遇到兩種不同介質交界面時，在交界面上，將有一部分電磁波被反射回來，形成反射波；另一部分折入第二種介質中繼續(xù)傳播，形成折射波。在介質1和介質2中，入射波、反射波和折射波分別滿足麥克斯韋方程組，在交界面兩側，場量則滿足邊界條件。電磁場的邊界條件是討論電磁波在界面上反射、折射規(guī)律的出發(fā)點。電磁場的邊界條件為6.1電磁波的反射、折射規(guī)律時諧情形下，上式中各場量采用復數(shù)形式，并且，關于D

和

B

法向分量的邊界條件可以由

E

和

H

的切向分量邊界條件以及界面處的電流連續(xù)性方程導出。所以，在分析時諧場時，只考慮

E

和

H的切向分量邊界條件即可。設介質

1和介質

2的交界面為無窮大平面，界面法向沿

z方向，平面電磁波以入射角

I

由介質

1射向介質

2，如圖所示。

入射波、反射波、折射波的波矢量分別為（6-1-1）其中（6-1-2）介質

1中的總電場是入射波與反射波的疊加，即

E1=EI+ER；介質

2中的僅為折射波，E2=ET

。下面，根據(jù)電磁場的邊界條件，由入射波的kI和EI0、HI0來確定反射波和折射波的

kR、kT

以及

ER0、HR0、ET0、HT0。入射波、反射波、折射波的電場矢量分別為由交界面

z=0處兩側的切向分量連續(xù)的邊界條件和式(6-1-2)，可得

上標

t表示切向分量。上式對交界面上的任意

x、y都成立，故要求三個指數(shù)因子在交界面上相等，即可見，邊界條件要求所有波矢量的切向分量都連續(xù)。這一結果稱為相位匹配條件。（6-1-4）6.1.1

反射、折射定律

(6-1-3)首先來確定反射波和折射波的波矢量方向。若取入射波的波矢量位于xz

平面內(nèi)，即令kIy=0，由式(6-1-4)第二式，可得

可見，反射線、折射線與入射線在同一平面內(nèi)。

將上式代入式(6-1-4)第一式，可得

由圖6-1-1可知，上兩式就是我們熟知的反射定律和折射定律表達式。

(6-1-6)(6-1-5)6.1.2反射系數(shù)、折射系數(shù)電磁波是橫波，電場矢量一定在垂直于波矢的平面內(nèi)。如果電場矢量與入射面垂直，就稱為垂直極化波；若電場矢量與入射面平行，則稱為平行極化波。任意極化的入射波可以分解為垂直極化和平行極化兩個分量。只要了解了垂直極化波和平行極化波的反射、折射行為，任意極化的入射波的反射、折射行為即可得以確定。

設界面為

z=0平面，入射面為

y=0平面。對于垂直極化波，其電場僅有

y分量；而平行極化波，其磁場僅有

y分量。在介質

1和介質

2中，入射波、反射波和折射波分別滿足麥克斯韋方程組。由式(5-2-20)和(5-2-21)，可以寫出

垂直極化波完全由式(6-1-7)確定，而平行極化波則由式(6-1-8)確定。這兩組方程之間沒有耦合，因此，垂直極化波不會引起電場平行分量；平行極化波也不會產(chǎn)生電場的垂直分量。故在垂直(平行)極化波入射情形下，反射波和折射波也為垂直(平行)極化波。另外，方程組(6-1-7)和(6-1-8)相互對偶通過對偶變換

E

H，H-E，

，就可由一組方程得到另一組方程。(6-1-7)(6-1-8)垂直極化波入射情形下，入射波、反射波和折射波的電場矢量都垂直于入射面，它們磁場矢量則在入射面內(nèi)，如圖所示。1．垂直極化波的反射與折射

為方便起見，令

I=

R=

1，

T=

2。設入射波的電場矢量表示為

（6-1-9）

則（6-1-10）

反射波、折射波的電場量分別為相應的磁場矢量分別為

在交界面

z=0處，E

的切向分量連續(xù)。由上述入射波、反射波、折射波的電場矢量表達式，并利用相位匹配條件式(6-1-4)

，有（6-1-11）

（6-1-12）

（6-1-13）

（6-1-14）

（6-1-15）

聯(lián)立式(6-1-15)、(6-1-16)，可得反射系數(shù)

R和折射系數(shù)

T：（6-1-16）

若不考慮理想導體的情況，則無論介質

1和

2為理想介質還是導電介質(有耗介質)，其交界面上都沒有面?zhèn)鲗щ娏?，因此交界面?/p>

H

的切向分量也連續(xù)，故有

（6-1-17）

（6-1-18）

且

R

，T

滿足關系：

（6-1-19）

2．平行極化波的反射與折射

平行極化波入射時，入射波、反射波和折射波的電場矢量在入射面內(nèi)，而磁場矢量垂直于入射面。設入射波的磁場矢量為

利用平行極化波與垂直極化波的對偶性，由后者的反射系數(shù)和折射系數(shù)公式可直接寫出前者的相應公式。對偶對式(6-1-17)和(6-1-18)作對偶替換

E

H、

(亦即

1/

)，可得(6-1-21)(6-1-22)再由平面電磁波的電場強度振幅與磁場強度振幅之間的關系E=

H，可得，平行極化波的反射系數(shù)和折射系數(shù)為

且(6-1-23)(6-1-24)(6-1-25)公式(6-1-17)、(6-1-18)、(6-1-23)和(6-1-24)統(tǒng)稱為菲涅爾公式，它們既適用于理想介質也適用于導電介質（有耗介質）。對于理想介質，式中的波阻抗為實數(shù)；對于導電介質，其等效介電常數(shù)

c=

-j

/

，因而波阻抗為復數(shù)。

若介質

2為理想導體，由于理想導體表面上存在面?zhèn)鲗щ娏鳎蚨鳫的切向分量不連續(xù)。故對于電磁波入射至理想導體表面的情形，上述推導過程不成立。但由于理想導體的電導率

∞，電磁波不能進入理想導體，理想導體內(nèi)的電磁場為零即

ET=0，HT=0。應用理想導體表面處電場切向分量連續(xù)的邊界條件，可求得理想導體表面反射系數(shù)和折射系數(shù)為

若將理想導體的波阻抗代入菲涅爾公式，也可以得到上述的反射系數(shù)和折射系數(shù)表達式。故可將理想導體表面的反射系數(shù)和折射系數(shù)表達式看作是菲涅爾公式在

0

時的特例。

【例6.1.1】

一垂直極化平面電磁波自空氣斜入射至理想介質(

r

=4,

r

=1

)表面(

z=0)，入射角。(1)寫出反射電磁波表達式；(2)求通過單位面積進入理想介質的平均功率；(3)若入射波電場為，則反射波和折射波表達式如何？解：空氣和理想介質的波阻抗分別為

則根據(jù)折射定律，有

(1)由菲涅爾公式可求得垂直極化波的反射系數(shù)和折射系數(shù)：

所以，反射波表達式為

(2)折射波

折射波平均坡印廷矢量為

所以，通過單位面積進入理想介質的平均功率為(3)由入射波的電場表達式可知，該入射波為平行極化波，其磁場表達式為

反射波、折射波分別為

平行極化波的反射系數(shù)和折射系數(shù)：

6.2

平面電磁波對平界面的垂直入射

當電磁波垂直入射至兩種介質交界面時，入射線與界面法線重合，故入射面不確定，應用垂直極化或平行極化的菲涅爾公式所得的結果都相同。若應用垂直極化的菲涅爾公式，將

1=

2=0代入式(6-1-17)、(6-1-18)，可得垂直入射時，反射系數(shù)和折射系數(shù)(6-2-1)6.2.1

向理想導體的垂直入射

設介質

1是理想介質，介質

2是理想導體，入射波的電磁場量為

(6-2-2)(6-2-3)將理想導體的波阻抗

0代入式(6-2-1)，可得反射系數(shù)和折射系數(shù)為于是，介質1中的合成電磁波為

即當電磁波自理想介質垂直射向理想導體時，在理想導體表面發(fā)生全反射。反射波為(6-2-4)(6-2-6)(6-2-5)(6-2-7)(6-2-8)相應的瞬時表達式為(6-2-9)(6-2-10)電場波節(jié)（磁場波腹）的位置為可見，介質

1中合成波的電場和磁場皆是駐波，它們隨時間作簡諧變化，而振幅則在空間中周期性分布。電場和磁場駐波在空間、時間上都有

/2

的相差，即電場的波腹(波節(jié))對應于磁場的波節(jié)(波腹)；當電場振幅達到最大(為零)時，磁場振幅為零(達到最大)。由式(6-2-9)和(6-2-10)，可得電場波腹(磁場波節(jié))的位置：

介質1中的合成電場和磁場駐波合成駐波的坡印廷矢量為

其時間平均值為

(6-2-11)(6-2-12)式(6-2-11)~(6-2-14)表明，合成電磁駐波的能量密度以及功率流密度都隨空間位置和時間周期變化，且平均功率流密度為零。亦即，電磁能量時而集中于電場波節(jié)，時而集中于磁場波節(jié)，并不發(fā)生電磁場能量的單向傳輸。

合成駐波的能量密度為(6-2-13)(6-2-14)合成駐波的電場、磁場能量密度分布

設介質

1和

2都是理想非磁性介質，入射波的電磁場量仍如式(6-2-2)所示。對于非磁性介質有

1

2

0，由式(6-2-1)可得，當電磁波垂直地由介質

1射向介質

2時，反射系數(shù)和折射系數(shù)分別為

6.2.2

向理想非磁性介質的垂直入射

(6-2-16)(6-2-17)所以，反射波為

(6-2-18)介質1中的總電磁場：

(6-2-19)(6-2-20)式(6-2-19)、(6-2-20)表明，合成波既有行波成份又有駐波成分，稱為行駐波。合成行駐波電磁場振幅的幅值為

(6-2-21)(6-2-22)可見，合成電場、磁場的振幅空間周期分布，在某些固定位置，振幅始終最大，而另一些固定位置，振幅始終最小。振幅最大處稱為行駐波的波腹，振幅最小處稱為行駐波的波節(jié)。電場的波腹對應于磁場的波節(jié)；而電場的波節(jié)則對應于磁場的波腹。當

2>

1(

1>

2)時，由式(6-2-21)、(6-2-22)可得，電場的波腹（磁場的波節(jié)）位置為

且電場的波節(jié)(磁場的波腹)位置為且當

2<

1(

1<

2)時，電場、磁場的波腹、波節(jié)的位置與上述情況相反。為反映行駐波狀態(tài)的駐波成分大小，定義電場(磁場)振幅最大值與最小值之比為駐波比，用

表示：

-1

R

1，所以1

<∞。當

R

=0時，

=1，為行波狀態(tài)；當

R

=1時，

∞，為駐波狀態(tài)。（6-2-23）介質

2中的電磁波僅有折射波，其電磁場量分別為為沿

z方向傳播的行波。（6-2-24）反射波的平均坡印廷矢量為

再來討論電磁能量關系。入射波的平均坡印廷矢量為

折射波的平均坡印廷矢量為

（6-2-27）（6-2-26）（6-2-25）顯然有

（6-2-28）【例6.2.1】

頻率為

f=300MHz的線極化平面電磁波，其電場強度振幅值為

2V/m，從空氣垂直入射到

r=4、

r=1的理想介質平面上。求(1)

反射系數(shù)、折射系數(shù)、駐波比；(2)

反射波和折射波；(3)入射功率、反射功率和折射功率。

解：設入射波為

由題意，介質的波阻抗為

波數(shù)為

(1)反射系數(shù)、折射系數(shù)和駐波比分別為

(2)反射波和折射波分別為

(3)入射功率、反射功率和折射功率【例6.2.2】

一均勻平面電磁波自空氣垂直入射到無限大的理想介質平面上。已知在空氣中，合成波的駐波比為

3，介質中傳輸波的波長是空氣中波長的

1/6，且分界面為駐波電場的波節(jié)。求介質的相對磁導率

r和相對介電常數(shù)

r。

解：由式(6-2-23)可得

由反射系數(shù)表達式

，以及因為界面上是電場的波節(jié)點，即在界面處反射波與入射波反相，所以聯(lián)立上兩式，解得可得介質中的波長

6.3平面電磁波對平界面的斜入射

6.3.1向理想導體的斜入射

以垂直極化波入射為例，討論介質1中合成波的特性。設介質

1是理想介質，介質

2是理想導體，平面電磁波從自介質

1斜射向理想導體表面。將理想導體的波阻抗

代入菲涅爾公式，可得，無論入射角取值如何，都有

(1)

合成波沿

x方向傳播，E1垂直于傳播方向，但

H1有

x分量，不再與傳播方向垂直，這種波型稱為

TE波，其相速為

大于介質1中均勻平面波的相速，故稱為快波。

(2)

合成波的振幅與有關，是非均勻平面波。電場的波節(jié)點為

這也是磁場分量的波節(jié)點、磁場分量的波腹點。

(3)

合成波的平均坡印廷矢量為

(4)

理想導體表面電流分布為

6.3.2向理想非磁性介質的斜入射若兩種介質均為理想非磁性介質，由菲涅爾公式并利用折射定律，反射系數(shù)和折射系數(shù)可寫為

(6-3-1)(6-3-2)(6-3-3)(6-3-4)根據(jù)折射定律，當電磁波由光疏介質入射至光密介質時，有

1>

2。由式(6-3-1)，此情形下，垂直極化反射系數(shù)為負值，反射波電場有半波損失。當入射角和介質特性滿足某種關系時，可以產(chǎn)生全折射以及全反射。1.全折射

若反射系數(shù)R=0，入射電磁波將全部折入介質2，即發(fā)生全折射。發(fā)生全折射時的入射角稱為布儒斯特角，用

B表示。1)平行極化波由式(6-3-3)，令R//=0，可得(6-3-5)因此，對于平行極化波，當入射角滿足式(6-3-5)時將發(fā)生全折射。

2）垂直極化波由式(6-3-1)可知，僅當

1=

2時才有

R

=0，這表明，垂直極化波入射到兩種不同的介質交界面上時不可能發(fā)生全折射。

所以，當任意極化形式的電磁波以布儒斯特角入射時，反射波為極化方向垂直于入射面的線極化波，且反射線與折射線相互垂直。

2.全反射當反射系數(shù)的模

R=1時，垂直于分界面的平均功率全部被反射回介質1，這種現(xiàn)象稱為全反射。(6-3-6)由式(6-3-3)還可得，發(fā)生全折射時，有tan(

B+

2)

，即折射角與入射角滿足若兩種理想介質的介電常數(shù)滿足

1>

2，由式(6-3-1)、(6-3-3)

可知，只要入射角滿足則無論是垂直極化波還是平行極化波，均有

R

=R//=1。當入射角繼續(xù)增大時，反射系數(shù)成為復數(shù)，但它的模保持為

1不變，這時仍將發(fā)生全反射。由上式確定的角度稱為臨界角，用

c表示，即

(6-3-7)因此，當電磁波從光密介質入射到光疏介質且入射角等于或大于臨界角時，將發(fā)生全反射。由式(6-3-1)~(6-3-4)可知，發(fā)生全反射時，

R

=R//=1

；但是，T

0，T//0，故介質2中仍有折射波。這不同于電磁波在理想導體表面的全發(fā)射。當入射角

1=

c時，由折射定律，有可知，折射角

2=/2。當入射角

1>

c

時，有

此情形下，不存在實數(shù)的解，而且有

(6-3-8)介質

2中的折射波

其中(6-3-9)

(1)發(fā)生全反射時,折射波是沿

x方向的行波，其振幅沿

z方向指數(shù)衰減。當

1=

c

時，

=0；當

1>

c時，

>0。入射角越大，折射波沿

z方向衰減越快。因此，這種波只能存在于分界面附近的薄層內(nèi)，稱為表面波。對于垂直極化波入射，表面波的電磁場分量

Ex=0，Hx

0，為

TE波；對于平行極化波入射，表面波的電磁場分量

Hx=0，Ex

0，為

TM波。

考慮到折射波振幅不可能隨著傳播而增大，故取cos

2

=-j

。

(2)表面波的相速

因為

sin

1<1，sin

2>1，所以

v1<vp<v2

，即該表面波沿方向的相速小于介質

2中均勻平面波的相速，故稱為慢波。

(3)表面波的坡印廷矢量

平均坡印廷矢量為(6-3-10)可見，在介質

2中，電磁波功率平行于表面沿

x方向即沿行波的傳播方向傳輸，沒有電磁波能量流入介質

2內(nèi)部。入射功率中垂直于界面的分量全部被反射回介質

1中。

【例6.3.2】

在滿足全反射條件下，介質棒可用來傳輸電磁能量。若波以任意角度入射到棒的一端面時，透入介質中的能量都能到達棒的另一端面，求介質棒介電常數(shù)的最小值。解：如圖所示，設電磁波在棒的端面處的入射角為0≤

I≤

/2

，介質棒的電磁參數(shù)為

r=1

和

r。當電磁波從端面進入棒中后，只要它射向棒側面的角度

>

c

，就能在介質棒中發(fā)生全發(fā)射而到達棒的另一端