概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)二

第一章隨機(jī)事件及其概率事件的關(guān)系與運(yùn)算必然事件：O一隨機(jī)試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的集合。不可能事件：。一般事件A：OuAuO若A、B為兩事件若AuB，則其蘊(yùn)含：“A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生”。若AB=ACB=。，這表示A發(fā)生時(shí)，B必不發(fā)生，反之亦然。若A-B=A，則AB=6；若AB=A,則AuB；若AUB=A,則BuA。若A］，A2，…A”為n個(gè)事件,由它們的運(yùn)算可產(chǎn)生諸多新事件,如cja,ua，UA,=na,等等。i=1 i=1 i=1 i=1例1事件3A發(fā)生等于“A,A,…A至少有i個(gè)發(fā)生”。i 12ni=i2．常用概率公式(1)。<P(A)<1,P(O)=1,P(O)=0若AuB，則P(A)<P(B)P(AuB)=P(A)+P(B)—P(AB)；當(dāng)AB=O,則P(AuB)=P(A)+P(B)P(A)=1-P(A)P(A-B)=P(A)-P(AB)(6)若(6)若A1，A2,…A兩兩互不相容，則P(3a)i=Ep(A)ii=1 i=1⑺若A1，A2,…A相互獨(dú)立，則

例2設(shè)P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(AB)=0.1則P(AuB)=1—P(AuB)=1—P(A)—P(B)+P(AB)=0.53．古典概型古典概型：當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為有限個(gè)且諸結(jié)果等可能發(fā)生時(shí)，任一事件A的概率為例3從五個(gè)球(其中兩個(gè)白球、三個(gè)紅球)中任取兩球，設(shè)A：取到兩個(gè)白球；B：一白一紅球，求P(A),P(B)(1)無(wú)放回抽樣：(2)有放回抽樣：每次有放回的取一球，連取兩次2［注］:若設(shè)X為兩次有放回取球中取到白球數(shù)，則X?B(2,5)，從而22P(A)=P(X=2)=C2(-)1(1--)2-125 54．條件概率P(AB)(1)若P(B)>0，則P(AB)= ，其中a為任一事件。P(B)(2)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (其中P(AB)>0)例4箱中有兩白球、三紅球，A表第i次取到白球，則iTOC\o"1-5"\h\z21 1P(“刖兩次取到白球”)=P(AA)=P(A)P(AA)=D=:12 1 211 54 10?，丁、?一~「一23 3P(“第一次取到白球，第二次取到紅球")=P(AA2)=P(A)P(A2A)=---=—12 1 21 5410(3)全概率公式：設(shè)B,B，…B是一完備事件組(或Q的一個(gè)劃分)，即：BB=。,1 2n iji中j,i,j=1,2,…,〃(即諸B互不相容)且?B=。，則對(duì)任一事件A有P(A)=￡p(A\B)P(B)i i iii=1 i=1(4)Bayes公式P(BK|A)P(B(4)Bayes公式P(BK|A) K !_K—Zp(B)P(A|B)i ii=1例5某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100個(gè)為一批，在進(jìn)行抽樣檢查時(shí)，只從每批中抽取10個(gè)來(lái)檢查，如果發(fā)現(xiàn)其中有次品，則認(rèn)為這批產(chǎn)品是不合格的，設(shè)每批產(chǎn)品中的次品最多不超過(guò)4個(gè)，并且恰有i(i=1,2,3,4)個(gè)次品的概率如下(1)求各批產(chǎn)品通過(guò)的概率；(2)求通過(guò)檢查的各批產(chǎn)品中恰有i個(gè)次品的概率。(i=1,2,3,4)解：(1)設(shè)事件B是恰有i個(gè)次品的一批產(chǎn)品(i=1,2,3,4)，則由題設(shè)i設(shè)事件A是這批產(chǎn)品通過(guò)檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品，則我們有P(AB0)=1由全概率公式，即得P(A)=XP(Bi)P(A|Bi)*0.8142i=0(2)由Bayes公式，所求概率分別為5．事件的獨(dú)立性(1)定義：A、B相互獨(dú)立等價(jià)于P(AB)=P(A)?P(B)⑵若A,A，…,A相互獨(dú)立，則有P(AA…A)=P(A)P(A)-P(A)1 2 n 12n 1 2 n(3)有放回抽樣中的諸事件是相互獨(dú)立的。例6袋中有3白球，2個(gè)紅球，今有放回的抽取3次，求先后抽到(白、紅、白)的概率323 27解：設(shè)A表第i次抽到的白球，則所求為P(AA2A)=P(A)P(A2)P(A)=-?-?-=—123 1 2 3 555125(4)在n重貝努利(Bernoulli)試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為。，即P(A)=p(0<p<1)，則事件A發(fā)生K次的概率為P(k)=ckpkQ—p)n-k,k=0,1,2，…,nnn例7一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立射擊4次，每次射擊的命中率為，求：(1)恰好命中兩次的概率；(2)至少命中一次的概率。解：由于每次射擊相互獨(dú)立，故本題可視為n=4的貝努利試驗(yàn)，其中p=0.8(1)設(shè)A：“4次射擊恰命中兩次”，則P(A)=P(2)=C2(0.8)2(0.2)2=0.153624 4(2)設(shè)B:“4次射擊中至少命中一次”，A0表“4次皆未命中”，則第二章隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量例1設(shè) ，則。=1-0.5—0.2=0.32．常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量0—1分布：設(shè)X?B(1,p)，則應(yīng)用背景：一次抽樣中，某事件A發(fā)生的次數(shù)X?B(1,p)，其中p=P(A)=P(X=1)=EX例2設(shè)某射手的命中率為p,X為其一次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則X?B(1,p)(2)二項(xiàng)分布：設(shè)X?B(n,p)，則P(X=k)=Ckpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…，〃n應(yīng)用背景：n次獨(dú)立重復(fù)抽樣中某事件A發(fā)生的次數(shù)X?B(n,p)，其中p=P(A)為事件A在一次抽樣中發(fā)生的概率。例3某射手的命中率為，X為其5次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)，則X取的可能值為0,1，…,5,P(X=k)=Ck0.8k0.25-k,即x?B(5,0.8)2記住：若X?B(n,p),則EX=np,DX=np(1-p)(3)泊松(Poisson)分布入k若P(X=k)=—e-入,k=0,1,2，…則稱X服從參數(shù)九的泊松分布，且EX=九=DX，記X?k!B(九),九〉0應(yīng)用背景：偶然性事件發(fā)生的次數(shù)X一般服從某個(gè)參數(shù)的泊松分布，如某地的降雨的次數(shù)，車禍發(fā)生的次數(shù)等等。入k另外，當(dāng)Y?B(n,p)，且n很大，P很小時(shí)，令九=np,則P(Y=k)氏 e-九k!例4一個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的次品率,任取1000件,計(jì)算解：設(shè)X表任取的1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X?B(100,0.005)，由于n很大，P很小，令則(1)P(X>2)=1-P(X>2)=1-P(X=0)-P(X=1)工1-5051—e-5——e-50!1!=1-e-5-5e-5=1-6e-5P(X<5卜2,-5k=03.隨機(jī)變量的分布函數(shù)：X的分布函數(shù)為F(X)=P(X<x),—s<x<+sF(x)的性質(zhì)：①0<F(x)<1②若x<x，則F(x)-F(x)>012 2 1③F(-8)=0,F(+8)=1④P(X<b)=F(b),P(a<X<b)=F(b)-f(a),P(X>b)=1-F(b)

例5設(shè)X例5設(shè)X的分布函數(shù)F(x)=0,其中X>0，則a=b=解：由F(+s)=1知a=1(因?yàn)镕(+s)=lim(a+be-入x)=a)x—+^由F(_g)=0，及題設(shè)x<0時(shí)F(x)=0，故limF(x)=(a+be-嬴)=(1+b)=0x—0+、 11-e—x,x>0即a=1,b綜上有F(x)=[即a=1,b0,設(shè)X的分布函數(shù)F設(shè)X的分布函數(shù)F(x)=〈1,P(X<2),P(0<X<3),P(2<X<2.5)解：P(X<2)=F(2)=ln2.連續(xù)型隨機(jī)變量若P(Xg解：P(X<2)=F(2)=ln2.連續(xù)型隨機(jī)變量若P(Xg(a,b))=Jbf(x)dx，其中a<b任意，a則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量。此時(shí)F(x)=fxf(u)du；f(x)=F'(x)-8其中If(x)>0f(x)為X的概率密度，滿足| (注意與分布律的性質(zhì):[J+8f(x)dx=1-8P>0*P=1相對(duì)照)KK設(shè)X的概率密度為于(x)=x|<1《[0,|x|>1，則c=解：由卜f(x)dx=1知Jzdx=2c=1,-8 -1.常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布：設(shè)X?U(a,b)，則f(x)1 ,a<x<bb-a0,其他0,x<ax-a

b-a1,EX=竽"X=史薩，則a=例8 設(shè)X?U(-a,a)，且P(X>1)=，則a=解：易知。>1且J"g,即—dx=—解得。=31 3 12a3. 、 仇e-嬴，x>0 [1—e-^x.%>0(2)指數(shù)分布研入)設(shè)X?成入)，則| F(x)=I[0, x<0 10, x<0EX=-,DX=—XQ應(yīng)用背景：描述電子元件，某類動(dòng)物的壽命，或服務(wù)時(shí)間等。例9設(shè)x為某類電子元件的壽命，求這類元件已經(jīng)使用t時(shí)，仍能正常工作的概率(設(shè)x?￡(九))解：由題意所求為P(X>。=J笆M-嬴dx=e-浦(3)正態(tài)分布N(n,O2),設(shè)X?N(n,O2),則1/(%)= e-(x”/2b2,-oo<%<+ooV2KCJF(x)=卜f(u)du,EX-日,DX=02—co1特別，當(dāng)x*?N(0,l)時(shí)，稱X*服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其密度函數(shù)記為(p(x)=-^er2/2分布，2兀函數(shù)記為①(％)=L^(u)du=co常用公式：①若X*?N(0,l),則①(―x)=l—①(x),(p(-^)=cp(x)尸(X*〉1.96)=0.975,尸(X*>z/)=a*

Q②若X?N(N,O2),則 <b)=0(—^)-0(—^)a o6.簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函婁的概率分布例io設(shè) ,求y=x2的概率分布。解：由題設(shè)，X的可能值為-1,0,1,故X2的可能值為0,1而尸廠。)=尸(X2=0)=P(X"V故例11設(shè)x?n(o,i),求y=X2的分布密度函數(shù)解：先求y的分布函數(shù)：q(y)=。，當(dāng)yv。；當(dāng)y>。時(shí)再求y的分布密度函數(shù)ii=0 i=0I0，丁&0故fY(yT」e-y/2,y>0

一加y第三章多維隨機(jī)變量及其概率分布.二維隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)=P(X<x,Y<y)X的分布函數(shù)F(x)=limF(x,y)=F(x,+s)yf8Y的分布函數(shù)F(y)=limF(x,y)=F(+8,y)2xf8.離散型(X,Y)的分布律Pj?P=P(X=x,Y=y)>0 IP>0TOC\o"1-5"\h\zijth i i IvKiXEp=i (與\Lp=i比較)ij IKij ^K例1設(shè)(X,Y)的分布律為求⑴a=?P(X=0)P(Y<2)P(X<1,Y<2)P(X=Y)解：(1)由ZZP=1知ij

ijZZP=(P+P+P+P+P+P)=0.1+0.1+0.3+0.25+a+0.25=1TOC\o"1-5"\h\zij01 02 03 11 12 13i=0j=1解得a=0⑵P(X=0)=ZP=P+P+P=0.1+0.1+0.3=0.5

0j01 02 03j=1P(Y<2)=P(Y=1)+P(Y=2)=P+P=ZP+ZP=(0.1+0.25)+(0.1+0)=0.451 2 i1 i2

P(X<1,Y<2)=P(X=0,Y<2)=P(X=0,Y=1)+P(X=0,Y=2)=P+P=0.1+0.1=0.201 02(5)P(X=Y)=P=0.2511f(x,y)20卜卜f(x,y)20卜卜f(x,y)dxdy=1—8—8設(shè)d為平面上的區(qū)域，f(羽y)為(X,Y)的分布密度，則其滿足：<特別，F(xiàn)(x,y)=P(X<x,Y<y)=jx卜f(u")dudv若x,y相互獨(dú)立，則有F(x,y)=F(x)?F(y),f(x,y)=f(x)?f(y)，其中F(x),f(x)1 2 1 2 11分別為x的邊緣分布函數(shù)和分布密度，f(y),f(y)分別為y的邊緣分布函數(shù)和分布密度。22.常見(jiàn)二維連續(xù)型分布(1)平面區(qū)域D上的均勻分布：設(shè)d的面積為SD,(X,y)服從d的均勻分布，則(X,y)的分r1?,(x,y)￡D布密度為f(x,y)=iSD、0,其他例2設(shè)D=tx,y)：x2+y2<J,即D為xy平面上的單位園域，則SD=兀，設(shè)(X,Y)服從Dr1—,x2+y2<1上的均勻分布，則其f(x,y)=產(chǎn) *0,其他S解：設(shè)(X,Y)具有D上的均勻分布，A為平面上的某一區(qū)域，則P((X,Y)￡A)=—產(chǎn)，其中SDS表示A與D公共部分的面積。AcD例3(續(xù)例2)求P(X>0,Y>0)兀解：P(X>0,Y>0)=4-=1兀4(2)二維正態(tài)分布N(N,N,。2,o2,P)*，設(shè)(X,Y)具有該分布，則其概率密度為121 2此時(shí)x的邊緣密度于此時(shí)x的邊緣密度于1a)=1—e-a-四])2〃％2J2兀o1即X?N(N],o]2)故ex=日，DX=o211DY=o2DY=o22Y的邊緣密度f(wàn)(y)=.—— e-(y-%)2/2o22，即Y?N(N,o2)，故EY=M,2 %：2兀o 22 22p為x,y的相關(guān)系數(shù)，可知當(dāng)P=0時(shí)，f(x,y)=f(x)f(y)，即x,y相互獨(dú)立，這是一個(gè)重12要結(jié)論：在正態(tài)分布的場(chǎng)合：不相關(guān)等價(jià)于相互獨(dú)立。另外，可知Cov(X,Y)=pJDXJDY=poo*2例4設(shè)X?N(0,4),y?N(-1,1)，兩者相互獨(dú)立，求(X,Y)的分布密度f(wàn)(x,y)解：由X,Y相互獨(dú)立知(x,Y)?f(x,y)=fi(x)f2(y)第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征單個(gè)隨機(jī)變量的期望例1設(shè),則EX=-1X—+0x—+3x—例1設(shè)TOC\o"1-5"\h\z，則 2 4 4 412x,0<x<1例2設(shè)X的分布密度為f(x)=j0其他，則EX=卜xf(x)dx=f1x.(2x)dx=J12x2dx=2.—-8 0 0 32.單個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的期望設(shè)X為隨機(jī)變量，y=g(x)是普通函數(shù)，則Y=g(X)是隨機(jī)變量，且[￡g(x)p(X=x),當(dāng)X為離散型I i iEg(X)fi *[J+8g(x)f(x)dx, 當(dāng)X為連續(xù)型，且X具有密度f(wàn)(x)-8例3設(shè)X的分布如例1,例3設(shè)X的分布如例1,求g(X)=X3的期望解：EX3=(-1)3/+03/+33X1=444例4設(shè)X的分布密度f(wàn)(x)如例2,X5/2解：E(yX)二卜v:xf(x)dX=J1'x-2XdX=2f1x312dx=2X5/2一g=DX，即為x的方差當(dāng)g(X)=(X-從)2(其中EX=日)時(shí)，Eg(X)=E(X=DX，即為x的方差EX=(-1)x1+1x1=0,EY=-10x1+10x1=02 2 2 2DY=(-10)2x1+(10)2x1=100(方差大者，取值分散)［注］：DX=EX2-(EX)2是重要常用公式例［注］：DX=EX2-(EX)2是重要常用公式例5設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)(X)=<1+X,-1<X<01-X,0<X<1，求DX0,其他解：因f(X)是分段函數(shù)，故求EX,EX2時(shí)也要隨之分段積分于是DX=E(X2)-(EX)2=163.(XI)函數(shù)的期望設(shè)Z=g(x,y)是普通函數(shù)，則Z=g(X,Y)是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望EZ等于則E(XY)=(0x0)P+(0x1)P+(1x0)P+(1x1)P=(1x1)P=1x1=1、 00 01 10 11 11 6612,例7 設(shè)(X,Y)的分布密度f(wàn)(羽y)=j。0<X<1,0<y<X其他當(dāng)g(x,y)=(x-N1)(y-N2)時(shí)，其中N1E(g(X，Y))=EkX-NJY-N之4是X,Y的協(xié)方差，即=E(XY)—EX?EY(重點(diǎn)), 、(, 、(x—n)(y—N)當(dāng)g(x,y)= 1 /時(shí)，其中EX=N,EY=N,DXaa 1 212=o2,DY=a21 2(X—n(X—n)(y—旦) 1 (oo12e(x—n)(y—n) 1 2—oo12Cov(X,y) =poo12*為X,Y的相關(guān)系數(shù)期望E(?)的重要性質(zhì)(1)EC=c(常數(shù))E(CX)=CEXE(X+Y)=E(X)+E(Y)推廣：E(aX+bY+c)=aEX+bEY+c(4)若X,Y相互獨(dú)立，則E(XY)=EX?EY方差D(?)的重要性質(zhì)(1)D(c)=0D(X土c)=DX，其中c為常數(shù)(2)D(cX)=c2DX特別D(X)=D(—X)(3)若X，Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=DX+DY(4)D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)例8設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且DX=3,DY=4，則協(xié)方差Cov(一)的運(yùn)算性質(zhì)：(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中a,b為常數(shù)Cov(X+X,Y)=Cov(X,Y)+Cov(X,Y)12 1 2若X,Y相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0，從而P=0,即x與y不相關(guān)［注］：一般地，若X,Y獨(dú)立，則X,Y必不相關(guān)(即Cov(X,Y)=0)；反之不真，即X,Y不相關(guān)推不出X,Y獨(dú)立。重要特例是：若（XI）為正態(tài)分布，則x,Y獨(dú)立等價(jià)于X,Y不相關(guān)（即0=0）設(shè)（X,y設(shè)（X,y）的分布律為,求TOC\o"1-5"\h\zEX,EY,DX,DY,Cov(X,Y),4 1/2 1/4解：易知EX2=1xEX2=1x1=1,故EX=(—1)x—+1x—=—,EY=(—1)x—+1x—=——4 4 2 4 4 2EY2=1x1=1“ 1 3DY=1—(—-)2=_2 4- 「一、 ““ 1 3DY=1—(—-)2=_2 4DX=EX2—(EX)2=1—(2)2=_,Cov(X,Y) 0.25 1P=_ _ =_ _ =_*XYDXXDDY<0,75<0.753例10設(shè)(X,Y)?N(1,1,4,9,1)，則Cov(X,Y)=poo=1x2x3=3*\o"CurrentDocument"2 122例11設(shè)（X,Y）為連續(xù)型，則X與Y不相關(guān)的充分必要條件是（選擇題）(A)X,Y獨(dú)立 (B)E(X+Y)=EX+EY (c)E(XY)=EX?EY（D）（X,Y）?N（口,從,c2,o2,0）1 2 1 2解法1（排除法）：排除（A）,因X,Y獨(dú)立nX,Y不相關(guān)（故非充要條件）；排除（B）,這一等式成立不需任何條件；排除（D）,由（X,Y）服從正態(tài)分布及P=0知X,Y獨(dú)立，從而不相關(guān)，但并非正態(tài)場(chǎng)合才有這一結(jié)論n故選（C）解法2（直接證明）：當(dāng)E（XY）=EXEY時(shí)，Cov（X,Y）=E（XY）-EXEY=0，故x,Y不相關(guān)；反之亦然。第五章大數(shù)定律與中心極限定理.貝努利大數(shù)定律/，、n貝努利大數(shù)定律：設(shè)P（A）=P,1為A在n次觀測(cè)中發(fā)生的頻率，則對(duì)任給的正數(shù)￡有nlimPlimP(n-8—P<￡)=1.中心極限定理設(shè)XJX2,…相互獨(dú)立,同分布,從而它們有相同的期望N和相同的方差02ii=1limPn-8Ex-nNi4=1_- Jno、Vx=0(x)，其中①limPn-8Ex-nNi4=1_- Jno、Vx=0(x)，其中①(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)［注］:中心極限定理的含義是：大量隨機(jī)變量的和近似正態(tài)分布，即當(dāng)n很大時(shí)Zx近似某正ii=1態(tài)分布N(N,02)，為了便于查表近似計(jì)算，將EX標(biāo)準(zhǔn)化(從而標(biāo)準(zhǔn)化后其近似分布N(0,1))

ii=1故上述隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)氏①(x)，n在應(yīng)用中心極限定理，大多用上式的形式Ex-nNi-4=1_= 弋no更進(jìn)一步的特別場(chǎng)合為：若X1，X2,…相互獨(dú)立同B(1，p)分布時(shí)，上式化為這一式子在應(yīng)用也較為常用例1計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，設(shè)所取整誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1，X2,…,且都服從u(-0.5,0.5)，求300個(gè)數(shù)相加的誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率。解：易知第i個(gè)加數(shù)的誤差X滿足：X?u(-0.5,0.5),EX=0,DX=-1,故i i i i12[EX]

liJ=EDXii=11 _=300x=2512故所p[Exili=1)<10J=P氏20(2)-1=0.9544第六章統(tǒng)計(jì)量及其抽樣分布.設(shè)總體X?F(x),f(x)則其樣本1x之，…,匕相互獨(dú)立,同分布F(x),n為樣本容量從而(x/x2,…,肉)Hf(x)=從而(x/x2,…,肉)i1n/（V〉…，%/=口/（叩73）…八。）i=l1例1設(shè)總體X?N（|1,O2）,則/（x）=^^e_Qf）2/202從而其樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

J271O仆,…尸…2

202 /仆,…/=1.常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量:設(shè)總體為常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量:設(shè)總體為X, 為其樣本，ex=^dx=^2TOC\o"1-5"\h\z不含任何未知參數(shù)的樣本（X，…,X）的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量1 n— 1、、 — —O2（1）樣本均值x二一乙x,Ex-,DX— ,這結(jié)論對(duì)任何總體都成立。n1 ni=l— O2 x—LX進(jìn)一步的，若總體X?N（n,O2）,則X?N（n,一），從而。=——三?N（o,l）n g7n(2)樣本方差§2_ —X)2,S2=—Z(jv—x)n—1i 九n?i=l z=lF?—1ES2=02,ES2=02?n(3)若總體X?N(N，O2),則有X與S2相互獨(dú)立，且(H—1)52 1W—2X2= =———(X-X)?％2(〃_1)TOC\o"1-5"\h\z02 02i=l=”1)*s/Jn（4）若總體x與總體丫相互獨(dú)立，工,…,1與丫，…,y分別為其樣本，x?n（s）,丫?1 n1 m 1 1叫汗）-x)2,52 -J),其中x= ,y=—^y,n—1 1 2m—1 ' n1mz\o"CurrentDocument"z=l i=lS21G2F=-i 1 F(n-1,m-1)S2V2\o"CurrentDocument"2 2進(jìn)一步的，若"二笠，則有t(m+〃t(m+〃-2) 1 -2—cnrSii—+—w\nmm「 (n-l)52+(m-l)52其中「一一2 、3.關(guān)于X2J,b分布的密度曲線及分位數(shù)若12?12(〃)，則&2=〃，52=2〃，尸(X2>X2(〃))=a從而尸(X2<X2(〃))=1—aa而F分布的密度曲線與上圖相似。?分布若/?/(〃)，則以=。TOC\o"1-5"\h\zt分布的密度曲線/(%)關(guān)于y軸對(duì)稱，故有-%M=t(〃)a 1-a例2設(shè)總體x?U(—1,1),工是容量n的樣本均值，求成年,?？?221 1解：由總體X?,知EX=0,DX |1=0,c2=- _02 1/3 1故Ex=pi=0,DX= = =—n n 3n例3設(shè)總體X?N(n，O2),X,x,…,1為其樣本，則石乙(x—x)2=5—1)02\o"CurrentDocument"12 n i證明：*** (X—X)2?12(〃—1)(52i

i=l(x-x)]=⑺_1)02i(V _2)即EZ^(x-x)=(n-l)a2vi=l第七章參數(shù)估計(jì).矩法估計(jì)：矩估計(jì)的實(shí)質(zhì)是用樣本矩作為總體相應(yīng)矩的估計(jì)量TOC\o"1-5"\h\z設(shè)X為總體，EX=[1,OX=02,1/，…，4為其樣本1 2 n則日的矩估計(jì)0二工02的矩估計(jì)<72=52= -X）2nn?i=l例1設(shè)總體x~N（|1,O2）,其中m02皆未知，X,X,…,X為其樣本，求四,02的矩估計(jì)1 2 n解：因?yàn)槭疿=|Ll,故。=1DX=02,故百2=52

n例2設(shè)總體x?。（o,e）,°>。未知，求°的矩估計(jì)0 0 _ 八_解：因?yàn)镋X=5，故5=x（矩法方程），由此解得e=2%,即為e的矩估計(jì)例3設(shè)總體X?5（1,尸），其中。<P<1,未知，…,x為其樣本，求P的矩估計(jì)1 2 n解：由EX=P,故p的矩估計(jì)5=X.極大似然估計(jì)設(shè)總體x,具有概率密度函數(shù)/aS）,0eQ其中°為未知參數(shù)，其變化范圍為G,為其樣本，則似然函數(shù)為1 2 n若存在。使L（S）=max{￡（9）,6gQ},則稱S為。的極大似然估計(jì)一般求法：①由題設(shè)，求出入（e）=U/（x；。）的表達(dá)式ii=l②取對(duì)數(shù)：lnL（e）=Zln/（x；e）*ii=l③求導(dǎo)并令其等于。，建立似然方程白皿乙（9）=°*④解之即得0的極大似然估計(jì)幺1+1）X>1(0>1)例4設(shè)X,X,X是總體X的樣本，總體概率密度為了（蒼e）=〈 ' ，(0>1)12 10,其他求0的矩估計(jì)01和極大似然估計(jì)02解：(1解：(1)由EX=f+8x-0x-(0+1)dx=19-1-- XX=X解得0=一為0之矩估計(jì)1X-1(2)似然函數(shù)L(0)=FIf(x;0)=InI0x-(2)似然函數(shù)L(0)=FIf(x;0)=InI0x-(0+1)=0n|I1ii=1ii=1i=1—(0+DlnL(0)=nIn0