空間向量基本定理　課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

1.2空間向量基本定理共線向量定理:共面向量定理:復(fù)習(xí)引入平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示xyo復(fù)習(xí)引入

下面我們先從空間中三個(gè)不共面的向量兩兩垂直這一特殊情況開始討論。情境導(dǎo)學(xué)

情境導(dǎo)學(xué)

學(xué)習(xí)新知PO圖1.2-1Q

問題探究

類似平面向量基本定理，我們有空間向量基本定理.都叫做基向量注:

如果三個(gè)向量不共面,那么對空間任一向量,存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使（1）空間任意三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底.基底選定后,空間的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表達(dá)式也有可能不同.特別提示：對于基底{

},除了應(yīng)知道不共面，還應(yīng)明確：（3）由于可視為與任意一個(gè)非零向量共線,與任意兩個(gè)非零向量共面,所以三個(gè)向量不共面,就隱含著它們都不是.（2）一個(gè)基底是指一個(gè)向量組,一個(gè)基向量是指基底中的某一個(gè)向量,二者是相關(guān)連的不同概念.學(xué)習(xí)新知

(4)若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,且存在實(shí)數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.(

)√

做一做×

√

√

2.設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有(

)A.1個(gè) B.2個(gè)

C.3個(gè) D.4個(gè)C

做一做做一做空間向量的正交分解xyz學(xué)習(xí)新知

QPO典型講評例1如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且用向量表示.例2如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=4,AA1=5,∠DAB=60°,∠BAA1=60°,∠DAA1=60°,M,N分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),求證MN⊥AC1.典型講評典型講評例3如圖,正方體ABCD-A'B'C'D'的棱長為1,E,F,G分別為C'D',A'D',D'D的中點(diǎn).(1)求證：EF//AC;(2)求CE與AG所成角的余弦值.所以EF//AC.1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,可以作為空間向量的一組基底的是(

)C

解析:只有選項(xiàng)C中的三個(gè)向量是不共面的,可以作為一個(gè)基底.A

達(dá)標(biāo)練習(xí)3.下列說法正確的是(

)A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B.空間的基底有且僅有一個(gè)C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對應(yīng)相等C

解析:A項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底;B項(xiàng),空間基底有無數(shù)個(gè);D項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ?所以D錯(cuò).故選C.達(dá)標(biāo)練習(xí)4.已知空間四邊形求證：。證明：∵達(dá)標(biāo)練習(xí)達(dá)標(biāo)練習(xí)6、已知向量{a,b,c}是空間的一個(gè)基底．求證:向量a+b,a-b,c能構(gòu)成空間的一個(gè)基底.達(dá)標(biāo)練習(xí)應(yīng)用空間向量基本定理可以證明空間的線線垂直、線線平行,可求兩條異面直線所成的角等.第一根據(jù)幾何體的特點(diǎn),選擇一個(gè)基底,把題目中涉及的兩條直線所在的向量用基向量表示.(1)若證明線線垂直,只需證明兩向量數(shù)量積為0;(2)若證明線線平行,只需證明兩向量共線;(3)若要求異面直線所成的角,則轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角(或其補(bǔ)角).課堂小結(jié)5.若{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,試判斷{a+b,b+c,c+a}能否作為空間的一個(gè)基底.解:假設(shè)a+b,b+c,c+a共面,則存在實(shí)數(shù)λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c.∵{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,∴a,b,c不共面.即不存在實(shí)數(shù)λ,