新教材高考數(shù)學(xué)全程一輪總復(fù)習(xí)新教材新高考權(quán)威解讀評(píng)析

新教材新高考權(quán)威解讀評(píng)析近三年新高考數(shù)學(xué)落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，體現(xiàn)高考改革的要求．試卷突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，強(qiáng)化基礎(chǔ)考查，突出關(guān)鍵能力，加強(qiáng)教考銜接，助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效．一、設(shè)置現(xiàn)實(shí)情境發(fā)揮育人作用近三年的新高考數(shù)學(xué)試卷堅(jiān)持思想性與科學(xué)性統(tǒng)一，從中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、科技發(fā)展與進(jìn)步等方面設(shè)置了真實(shí)情景．一是體現(xiàn)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化情景，旨在讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)學(xué)研究成果，進(jìn)一步樹立民族自尊心和自豪感．如2020年新高考Ⅰ卷第4題，以日晷為背景，讓學(xué)生直觀感受我國古代科學(xué)家探究問題和解決問題的過程．典例1[2020·新高考Ⅰ卷，4]日晷是中國古代用來測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面．在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為()A．20°B．40°C．50°D．90°二是以科技發(fā)展與進(jìn)步中取得的重要成就為背景，旨在激發(fā)青年學(xué)生樹立為國家服務(wù)、奉獻(xiàn)科技事業(yè)的信念．如2021年新高考Ⅱ卷第4題，以北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)為情景，考查學(xué)生觀察問題、分析問題和解決問題的能力．典例2[2021·新高考Ⅱ卷，4]北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km(軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離)．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為α，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為S＝2πr2(1－cosα)(單位：km2)，則S占地球表面積的百分比約為()A．26%B．34%C．42%D．50%三是以我國的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、生產(chǎn)生活實(shí)際為情景素材設(shè)置試題．如2022新高考Ⅰ卷第4題，以我國的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景，考查學(xué)生的空間想象、運(yùn)算求解能力，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)主義建設(shè)的成果，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感．典例3[2022·新高考Ⅰ卷，4]南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫．已知該水庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為(7≈2.65)()A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3二、加強(qiáng)教考銜接發(fā)揮引導(dǎo)作用高考數(shù)學(xué)命題貫徹高考內(nèi)容改革的要求，依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)命題，進(jìn)一步增強(qiáng)考試與教學(xué)的銜接．試卷的考查比例、要求層次與課程標(biāo)準(zhǔn)保持一致，注重考查內(nèi)容的全面性，同時(shí)突出主干、重點(diǎn)內(nèi)容的考查，引導(dǎo)教學(xué)以標(biāo)施教、施教以標(biāo)．近三年的試題強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)科基本概念、基本原理的考查，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生形成學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)；注重本原性方法，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法的深入理解和綜合運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu).2022年新高考Ⅰ卷第16題體現(xiàn)了特殊與一般的思想，2022年新高考Ⅱ卷第19題對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的思想進(jìn)行了深入的考查．?dāng)?shù)學(xué)試題力圖引導(dǎo)中學(xué)遵循教學(xué)規(guī)律、提高課堂教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)作業(yè)題、練習(xí)題減量提質(zhì)．典例4[2022·新高考Ⅰ卷，16]已知橢圓C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)典例5[2022·新高考Ⅱ卷，19]在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；(2)估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率．(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)．同時(shí)，加強(qiáng)主干考查．如2022新高考Ⅰ卷第12題，要求學(xué)生在抽象函數(shù)的背景下，理解函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、導(dǎo)數(shù)等概念以及它們之間的聯(lián)系，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)都有較高的要求．此外，近三年的新高考試卷還創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)．題型設(shè)計(jì)上有多選題、開放題、結(jié)構(gòu)不良問題，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問題和解決問題；引導(dǎo)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神．如2022新高考Ⅰ卷14題，2020新高考Ⅰ卷17題，2022新高考Ⅱ卷21題．典例6[2022·新高考Ⅰ卷，14]寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________．典例7[2020·新高考Ⅰ卷，17]在①ac＝3，②csinA＝3，③c＝3b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求c的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且sinA＝3sinB，C＝π6注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．典例8[2022·新高考Ⅱ卷，21]已知雙曲線C：x2a2(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Px1，y1，Qx2，y2在C上，且x1>x2①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．三、加強(qiáng)素養(yǎng)考查發(fā)揮選拔功能近三年試卷深入考查關(guān)鍵能力，優(yōu)化試題設(shè)計(jì)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科高考的選拔功能，助力提升學(xué)生綜合素質(zhì)．首先是加強(qiáng)思維品質(zhì)考查，增強(qiáng)思維的靈活性．試卷通過突出思維品質(zhì)考查，強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí)．如2022年新高考Ⅱ卷第8題，對(duì)思維的靈活性有較高要求，在抽象的情景中發(fā)現(xiàn)函數(shù)周期性是問題的關(guān)鍵．典例9[2022·新高考Ⅱ卷，8]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，則()A．－3B．－2C．0D．1其次是加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查，增強(qiáng)試題的選拔性．試卷設(shè)置了綜合性的問題和較為復(fù)雜的情景，加強(qiáng)關(guān)鍵能力的考查．如2022新高考Ⅰ卷第22題重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力考查，在數(shù)學(xué)知識(shí)層面、數(shù)學(xué)能力層面和創(chuàng)新思維層面都有所體現(xiàn)，具有較好的選拔功能.2022年新高考Ⅱ卷第22題將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與不等式等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)雜問題的能力，對(duì)直觀想象能力和邏輯推理能力也有較高要求．典例10[2022·新高考Ⅰ卷，22]已知函數(shù)f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線y＝b，其與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．典例11[2022·新高考Ⅱ卷，22]已知函數(shù)f(x)＝xeax－ex.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<－1，求a的取值范圍；(3)設(shè)n∈N*，證明：112+1+1開篇典例1解析：過球心O、點(diǎn)A以及晷針的軸截面如圖所示，其中CD為晷面，GF為晷針?biāo)谥本€，EF為點(diǎn)A處的水平面，GF⊥CD，CD∥OB，∠AOB＝40°，∠OAE＝∠OAF＝90°，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故選B.答案：B典例2解析：由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：2πr21-cosα答案：C典例3解析：由棱臺(tái)的體積公式，得增加的水量約為13×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋140×106×180×106)＝3答案：C典例4解析：由題意知e＝ca＝12，所以a＝2c，b＝3c，所以△AF1F2是等邊三角形，所以DE垂直平分AF2，所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，所以△ADE的周長為|DE|＋|AD|＋|AE|＝|DE|＋|DF2|＋|EF2|.由橢圓的定義，可知|DE|＋|DF2|＋|EF2|＝4a＝8c.因?yàn)橹本€DE的斜率k＝tan30°＝33，所以直線DE的方程為y＝33(x＋c)，即x＝3y－c.由橢圓方程x24c2+y23c2＝1，得3x2＋4y2＝12c2.將x＝3y－c代入并整理，得13y2－63cy－9c2＝0.設(shè)D(x1，y1)，E(x2，y2)，則y1＋y2＝63c13，y1y2＝－9c213，所以|DE答案：13典例5解析：(1)平均年齡x＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(歲)．(2)設(shè)A＝{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20，70)}，所以P(A)＝1－P(A)＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.(3)設(shè)B＝{任選一人年齡位于區(qū)間[40，50)}，C＝{任選一人患這種疾病}，則由條件概率公式可得P(C|B)＝PBCPB＝0.1%典例6解析：由題意知兩圓的圓心和半徑分別為O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因?yàn)閨O1O2|＝r1＋r2，所以兩圓外切．由兩圓外切，畫出示意圖，如圖．設(shè)切點(diǎn)為A(x，y)．由O1A＝15O1O2，得A(35，45)．因?yàn)閗O1O2＝43，所以切線l1的斜率k1＝－34，所以l1：y－45＝－34(x－35)，即3x＋4y－5＝0.由圖象易得兩圓均與直線l2：x＝－1相切，過兩圓圓心的直線方程為l：y＝43x.聯(lián)立y=43x，x=-1，解得x=-1，y=-43.故直線l與l2的交點(diǎn)為P(－1，－43答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答對(duì)其中之一即可)典例7解析：方案一：選條件①.由C＝π6和余弦定理得a2+由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c由①ac＝3，解得a＝3，b＝c＝1.因此，選條件①時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c＝1.方案二：選條件②.由C＝π6和余弦定理得a2+由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c223b2＝32，由此可得b由②csinA＝3，所以c＝b＝23，a＝6.因此，選條件②時(shí)問題中的三角形存在，此時(shí)c＝23.方案三：選條件③.由C＝π6和余弦定理得a2+由sinA＝3sinB及正弦定理得a＝3b.于是3b2+b2-c由③c＝3b，與b＝c矛盾．因此，選條件③時(shí)問題中的三角形不存在．典例8解析：(1)由題意可得ba=所以C的方程為x2－y2(2)當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，x1＝x2，但x1>x2>0，所以直線PQ斜率存在，所以設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b(k≠0)．聯(lián)立得方程組y消去y并整理，得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0.則x1＋x2＝2kb3-k2，x1x2＝b2+3k2-3因?yàn)閤1>x2>0，所以x1x2＝b2+3k所以x1－x2＝23設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM，yM)，則yM－y2＝3(xM－x2)，yM－y1＝－3(xM－x1)，兩式相減，得y1－y2＝23xM－3(x1＋x2)．因?yàn)閥1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，所以23xM＝k(x1－x2)＋3(x1＋x2)，解得xM＝kb兩式相加，得2yM－(y1＋y2)＝3(x1－x2)．因?yàn)閥1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，所以2yM＝k(x1＋x2)＋3(x1－x2)＋2b，解得yM＝3b2+3-所以點(diǎn)M的軌跡為直線y＝3kx，其中k為直線PQ選擇①②.因?yàn)镻Q∥AB，所以kAB＝k.設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，并設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA，yA)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(xB，yB)，則yA=kxA-2，yA=同理可得xB＝2kk+3，yB此時(shí)xA＋xB＝4k2k2-3，yA因?yàn)辄c(diǎn)M在AB上，且其軌跡為直線y＝3kx所以y解得xM＝2k2k2-3＝xA+所以點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，即|MA|＝|MB|.選擇①③.當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn)F(2，0)，此時(shí)點(diǎn)M不在直線y＝3kx上，與題設(shè)矛盾，故直線AB當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝m(x－2)(m≠0)，并設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA，yA)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(xB，yB)，則y解得xA＝2mm-3，yA同理可得xB＝2mm+3，yB此時(shí)xM＝xA+xB2＝2m2m2-3，yM＝y(tǒng)A+yB2＝6mm2-3.由于點(diǎn)M同時(shí)在直線y選擇②③.因?yàn)镻Q∥AB，所以kAB＝k.設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－2)，并設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA，yA)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(xB，yB)，則yA=kxA-2，yA=同理可得xB＝2kk+3，yB設(shè)AB的中點(diǎn)為C(xC，yC)，則xC＝xA+xB2＝2k2k因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以點(diǎn)M在AB的垂直平分線上，即點(diǎn)M在直線y－yC＝－1k(x－xC將該直線方程與y＝3kx聯(lián)立，解得xM＝2k2k2-3＝xC，yM＝6kk2-3＝典例9解析：令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)①，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)②.①＋②，得f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x)的周期為6.令x＝1，y＝0，得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，所以f(0)＝2，所以f(2)＝f(1)－f(0)＝1－2＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－1＝－2，f(4)＝f(3)－f(2)＝－2－(－1)＝－1，f(5)＝f(4)－f(3)＝－1－(－2)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝1－(－1)＝2.所以k=122fk＝3[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＋f(19)＋f(20)＋f(21)＋f(22)＝3×0＋f(1)＋f答案：A典例10解析：(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a.由于f(x)存在最小值，則方程f′(x)＝0有解，故a>0，解得x＝lna.所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(lna)＝a－alna.同理，得g(x)min＝g(1a)＝1＋lna因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)的最小值相等，所以a－alna＝1＋lna，即(a＋1)lna＋1－a＝0.令h(x)＝(x＋1)lnx＋1－x，x>0，則h′(x)＝lnx＋1x令m(x)＝lnx＋1x，x>0，則m′(x)＝1x-令x-1x2>0，則x>1；令所以m(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，即h′(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h'xmin所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又h(1)＝0，所以1是h(x)唯一零點(diǎn)，所以a＝1.(2)證明：由(1)知f(x)＝ex－x，g(x)＝x－lnx，且f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)min＝gx①當(dāng)b<1時(shí)，f(x)min＝g(x)min＝1>b，顯然直線y＝b與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)無交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)b＝1時(shí)，f(x)min＝g(x)min＝1＝b，則直線y＝b與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(x)共有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．③當(dāng)b>1時(shí)，首先證明直線y＝b與曲線y＝f(x)有2個(gè)交點(diǎn)，即證F(x)＝f(x)－b有2個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)镕′(x)＝f′(x)＝ex－1，所以F(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．F(－b)＝e－b>0，F(xiàn)(0)＝1－b<0，F(xiàn)(b)＝eb－2b.令t(b)＝eb－2b，b>1，則t′(b)＝eb－2>0，所以t(b)>t(1)＝e－2>0，所以F(b)>0.所以由零點(diǎn)存在定理，知F(x)＝f(x)－b在(－∞，0)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x1，在(0，＋∞)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x2.其次證明直線y＝b與曲線g(x)有2個(gè)交點(diǎn)，即證G(x)＝g(x)－b有2個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)镚′(x)＝g′(x)＝1－1x，所以G(xG(e－b)＝e－b>0，G(1)＝1－b<0，G(2b)＝b－ln2b.令μ(x)＝x2－lnx，x>2，則μ′(x)＝1所以μ(x)>μ(2)＝1－ln2>0，即G(2b)>0.所以由零點(diǎn)存在定理，得G(x)＝g(x)－b在(0，1)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x3，在(1，＋∞)上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x4.再次證明存在b使得x2＝x3.因?yàn)镕(x2)＝G(x3)＝0，所以b＝ex2－x2＝x3－lnx若x2＝x3，則ex2－x2＝x2－lnx2，即ex2－2x2＋lnx2＝0，所以只需證明方程ex－2即證明φ(x)＝ex－2x＋lnx在(0，1)上有零點(diǎn)．因?yàn)棣?1e3)＝e1所以φ(x)＝ex－2x＋lnx在(0，1)上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為x0，令x2＝x3＝x0即可，此時(shí)b＝ex0－x0，則此時(shí)存在直線y＝b與兩條曲線y＝f(x)和y＝g(最后證明x1＋x4＝2x0，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．因