統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第二節(jié)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第2課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值學(xué)生用書

第2課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值提升關(guān)鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值問題[綜合性]角度1依據(jù)函數(shù)圖象推斷極值[例1]設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)g(x)＝xf′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中肯定成立的是()A．f(x)有兩個極值點B．f(－2)為函數(shù)的極大值C．f(x)有兩個微小值D．f(－1)為f(x)的微小值聽課筆記：反思感悟由圖象推斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點．角度2求已知函數(shù)的極值[例2]已知函數(shù)f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函數(shù)f(x)的極值．聽課筆記：反思感悟求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)的符號，詳細如下表：xx<x0x0x>x0f′(x)f′(x)>0f′(x)＝0f′(x)<0f(x)增極大值f(x0)減xx<x0x0x>x0f′(x)f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)>0f(x)減微小值f(x0)增[提示]對于求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)的極值問題，一般要對方程f′(x)＝0的根的狀況進行探討．分兩個層次探討：第一層，探討方程在定義域內(nèi)是否有根；其次層，在有根的條件下，再探討根的大?。嵌?已知極值(點)求參數(shù)[例3](1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，則a＋b＝________．(2)已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是________．聽課筆記：反思感悟已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的2個要領(lǐng)(1)列式：依據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：因為導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必需驗證該點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號.【對點訓(xùn)練】1．[2024·洛陽模擬]若x＝1是函數(shù)f(x)＝ax＋lnx的極值點，則()A.f(x)有極大值－1B．f(x)有微小值－1C.f(x)有極大值0D．f(x)有微小值02．[2024·桂林聯(lián)考]若函數(shù)f(x)＝12e2x－mex－m2x2有兩個極值點，則實數(shù)A.12C.e2，+∞考點二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值[綜合性、應(yīng)用性][例4]已知函數(shù)g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在區(qū)間[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值h(a)．聽課筆記：反思感悟求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值．(2)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上有極值，則要先求出函數(shù)在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點，則這個極值點就是最大(或最小)值點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中常常用到．【對點訓(xùn)練】[2024·四川省江油中學(xué)高三測試]已知函數(shù)f(x)＝13x3＋ax2＋bx(a，b∈R)在x(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4，4]上的最大值與最小值．考點三生活中的優(yōu)化問題[應(yīng)用性][例5][2024·山東煙臺調(diào)研]中國高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來巨大便利，極大促進了區(qū)域經(jīng)濟社會發(fā)展．已知某條高鐵線路通車后，發(fā)車時間間隔t(單位：分鐘)滿意5≤t≤25，t∈N*，經(jīng)測算，高鐵的載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)：當20≤t≤25時，高鐵為滿載狀態(tài)，載客量為1000人；當5≤t<20時，載客量會在滿載基礎(chǔ)上削減，削減的人數(shù)與(20－t)2成正比，且發(fā)車時間間隔為5分鐘時的載客量為100人．記發(fā)車間隔為t分鐘時，高鐵載客量為P(t)．(1)求P(t)的解析式；(2)若該線路發(fā)車時間間隔為t分鐘時的凈收益Q(t)＝t4P(t)－40t2＋650t－2000(元)，當發(fā)車時間間隔為多少時，單位時間的凈收益Q聽課筆記：反思感悟利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的實際應(yīng)用問題的一般步驟[留意]在利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題時，若在定義域內(nèi)只有一個極值，則這個值即為最優(yōu)解.【對點訓(xùn)練】如圖，將一張16cm×10cm的長方形紙片剪下四個全等的小正方形，使得剩余部分經(jīng)過折疊能糊成一個無蓋的長方體紙盒，則這個紙盒的最大容積是________cm3.第2課時導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值提升關(guān)鍵實力考點一例1解析：由題圖知，當x∈(－∞，－2)時，g(x)>0，∴f′(x)<0，當x∈(－2，0)時，g(x)<0，∴f′(x)>0，當x∈(0，1)時，g(x)<0，∴f′(x)<0，當x∈(1，＋∞)時，g(x)>0，∴f′(x)>0.∴f(x)在(－∞，－2)，(0，1)上單調(diào)遞減，在(－2，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增．故ABD錯誤，C正確．答案：C例2解析：因為f(x)＝x2－1－2alnx(x>0)，所以f′(x)＝2x－2ax＝2①當a<0時，因為x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)無極值．②當a>0時，令f′(x)＝0，解得x1＝a，x2＝－a(舍去)．所以當x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x(0，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘微小值↗所以當x＝a時，f(x)取得微小值，且f(a)＝(a)2－1－2alna＝a－1－alna．無極大值．綜上，當a<0時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上無極值．當a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得微小值a－1－alna，無極大值．例3解析：(1)f′(x)＝3x2＋6ax＋b，由題意得f解得a=1，b=3，或當a＝1，b＝3時，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，即f(x)無極值，∴a＝1，b＝3不符合題意，當a＝2，b＝9時，經(jīng)檢驗滿意題意．∴a＋b＝11.解析：(2)f(x)＝x(lnx－ax)，定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx－2ax.由題意知，當x>0時，1＋lnx－2ax＝0有兩個不相等的實數(shù)根，即2a＝1+ln令φ(x)＝1+lnxx(x>0)，∴φ′(x當0<x<1時，φ′(x)>0；當x>1時，φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，且φ(1)＝1，當x→0時，φ(x)→－∞，當x→＋∞時，φ(x)→0，則0<2a<1，即0<a<12答案：(1)11(2)0，對點訓(xùn)練1．解析：∵f(x)＝ax＋lnx，x>0，∴f′(x)＝a＋1x由f′(1)＝0得a＝－1，∴f′(x)＝－1＋1x＝1-x由f′(x)>0得0<x<1，由f′(x)<0得x>1，∴f′(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)極大值＝f(1)＝－1，無微小值．答案：A2．解析：依題意，f′(x)＝e2x－mex－mx有兩個變號零點，令f′(x)＝0，即e2x－mex－mx＝0，則e2x＝m(ex＋x)，明顯m≠0，則1m＝e設(shè)g(x)＝ex+xe2x，則g′(x)＝設(shè)h(x)＝1－ex－2x，則h′(x)＝－ex－2<0，∴h(x)在R上單調(diào)遞減，又h(0)＝0，∴當x∈(－∞，0)時，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當x∈(0，＋∞)時，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，∴g(x)max＝g(0)＝1，且x→－∞時，g(x)→－∞，x→＋∞時，g(x)→0，∴0<1m<1，解得m答案：B考點二例4解析：(1)∵a＝1，∴g(x)＝lnx＋x2－3x，∴g′(x)＝1x＋2x－3＝2x-1∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，∴g(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，∴g(x)max＝g(e)＝e2－3e＋1.(2)g(x)的定義域為(0，＋∞)，g′(x)＝ax＋2x－(a＋2)＝2x2①當a2≤1，即a≤2時，g(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，h(a)＝g(1)＝－a②當1<a2<e，即2<a<2e時，g(x)在1，a2上單調(diào)遞減，在a2，e上單調(diào)遞增，h(a)＝ga2＝aln③當a2≥e，即a≥2e時，g(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2綜上，h(a)＝-a-1，a≤2，對點訓(xùn)練解析：(1)由題意得：f′(x)＝x2＋2ax＋b，∴f'-3=9-6a+b=0當a=1b=-3時，f(x)＝13x3＋x2－3x，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x＋3)(∴當x∈(－∞，－3)和(1，＋∞)時，f′(x)>0；當x∈(－3，1)時，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－3)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－3，1)上單調(diào)遞減，∴f(x)的極大值為f(－3)＝9，滿意題意．(2)由(1)得：f(x)的極大值為f(－3)＝9，微小值為f(1)＝13＋1－3＝－5又f(－4)＝203，f(4)＝76∴f(x)在區(qū)間[－4，4]上的最大值為763，最小值為－5考點三例5解析：(1)當5≤t<20時，不妨設(shè)P(t)＝1000－k(20－t)2，因為P(5)＝100，所以解得k＝4.因此P(t)＝1000-4(2)①當5≤t<20時，Q(t)＝t4P(t)－40t2＋650t－2000＝－t3＋500t因此F(t)＝Qtt＝－t2－2000t因為F′(t)＝－2t＋2000t2＝-2tF′(t)>0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增；當10<t<20時，F(xiàn)′(t)<0，F(xiàn)(t)單調(diào)遞減．所以F(t)max＝F(10)＝200.②當20≤t≤25時，Q(t)＝－40t2＋900t－2000.因此F(t)＝Qtt＝900－40t+50因為F′(t)＝-40t2-50t2<0，此時F(t)單調(diào)遞減，所以F(t綜上，發(fā)車時間間隔為10分鐘時，單位時間的凈收益Qt對點訓(xùn)練解析：設(shè)剪下的四個小正方形的邊長為xcm，則經(jīng)過折疊以后，糊成的長方體紙盒是一個底面是長為(16－2x)cm，寬為(10－2x