盛驟-浙江大學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版-課后習(xí)題答案 (一)

盛驟一浙江大學(xué)-概率論與數(shù)理

統(tǒng)計(jì)第四版一課后習(xí)題答案

完全版

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟（浙江大學(xué)）

浙大第四版（高等教育出版社）

第一章概率論的基本概念

1.M寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

（1）記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充

以百分制記分）（M1）

J01AAnxlQOI，"表小班人數(shù)

[n"rT-n~J

（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品

的總件數(shù)。（M2）

5卻0,11,12,.....,n,......}

（4）對某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上

“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個次品

就停止檢查，或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的

結(jié)果。

查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連黜

現(xiàn)兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。

（L]⑶）

SgOO,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,

1011,1101,1110,1111,}

2」二]設(shè)4B,。為三事件，用4B,。的運(yùn)

2

算關(guān)系表示下列事件。

(1)/發(fā)生，8與C不發(fā)生。

表示為：Aee或力―或/—(8U0

(2)A,8都發(fā)生，而。不發(fā)生。

表示為：AR.或?；駻B-C

MDC7

(3)4B,「中至少有一個發(fā)生表示為：

A+B+C

(4)4B,0都發(fā)生，表示為：ABC

(5)4B,「都不發(fā)生，表示為：公吟或S-

(6)4B,。中不多于一個發(fā)生，即4B,。中

至少有兩個同時不發(fā)生

相當(dāng)于岫阮A(yù)C中至少有一個發(fā)生。故表示為：

KbtTVT；MXZ"

AB+BC+AC

(7)4B,。中不多于二個發(fā)生。

相當(dāng)于：氏土.中至少有一個發(fā)生。故表示為：

K+B+U或限

(8)4B,U中至少有二個發(fā)生。

一相當(dāng)于：AB,BC,中至少有一個發(fā)生。故表

示為：AB+BC+AC

64三］設(shè)48是兩事件且。(/)=062(6=0.7.問

⑴在什么條件下戶(力6取到最大值，最大值是多少？

(2)在什么條件下戶(/向取到最小值，最小值是多少？

解：由"(/)二0.6,戶(8)=07即知(否

則二。依互斥事件加法定理，R/U為=。(2)+戶

(5)=0.6+0.7=13>1與戶(/U8)W1矛盾).

從而由加法定理得

3

戶(/約二戶(2)+P(8)—P(/uB)(*)

(1)從知，當(dāng)AB^A,即/ng

時取到最大值，最大值為

氏/即午1)=06,

(2)從(*)式知，當(dāng)/U8=S時，//場取最小值，

最小值為

氏/均=0.6+07—1=0.3-

7［四］設(shè)/,B,「是三事件，且

，p(AQ_i.米&，O,c壬少句一

翠愛里㈱夏AB)心)=。丁

解：戶(4B,。至少有一個發(fā)生)二戶(/+8+0=只/)+

F\B)+RO-RAB)-F\BQ—F\AQ+RABQ=

2_10=5

"-"+8＞］在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個由二個不相

同的字母新組成的單詞，若從26個英語字母中任取兩

個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？

記/表”能排成上述單詞”

V從26個任選兩個來排列，排法有常種。每種

排法等可能。左

字典中的二個不同字母組成的單詞：55個

???P⑷?！?/p>

130

9.在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四

個數(shù)全不相同的概率。(設(shè)后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都

是等可能性地取自0,1,2……9)

4

記力表”后四個數(shù)全不同”

V后四個數(shù)的排法有18種，每種排法等可能。

后四個數(shù)全不同的排法有A4

10

??A4

P(A)=-=0.504

10.［六］在房間里有10人。分別佩代著從1號到

10號的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號碼。

(1)求最小的號碼為5的概率。

記“三人紀(jì)念章的最小號碼為5”為事件/

?IU十I工心O八八俎：心吊點(diǎn)"閂10'J'T，H可

種選法等可能。⑴

又事件/相當(dāng)于：有一人號碼為5,其余2人號碼

人J□□心Tf俎口口'JTT姒/閂lx,|5^|

口

***p(A)」喧)_1

(2)求最大的號碼為5的概率。

記“三人中最大的號碼為5”為事件B,同上10人

十'I工心>八,心/石/閂JOIJ'T，±±傳TT匹/女中f日匕，人聿，|十

B相當(dāng)于：有一人號璃為5,其余2人號碼小于5,選

,五華1X產(chǎn)。甲

口

11.［4s］某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10

5

桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨

人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶

墨漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概

率是多少？

記所求事件為A.

在17桶中任取9桶的取法有C9種，且每種取法等可

臺匕

目匕。17

取得4白3黑2紅的取法有uc*

C4xC3xC2

1043

故P巾*1箭

17

12QJ在15卬個產(chǎn)品中有400個次品，1100個

正品，任意取200個。

(1)求恰有90個次品的概率。

記“恰有90個次品”為事件/

1工IDUUI)口口十‘|工耿乙ULT|，耿〈在,閂［500甲'7，

1200；

每種取法等可能。

乙UUT廠門口T己日詠T伙口口，WW立e400邛11叫4甲

〔90人110)

???(WW)

P(A)=1_工___L

(翔

(2)至少有2個次品的概率。

記：A表“至少有2個次品”

為表“不含有次品”，用表“只含有一個次品”，同

-L，乙UV'|〃口口，|、匕以口口,秋〈衣/閂個歐甲、〒,乙UU'IJ口口匕

(2啊

6

'I久口口，耿(玄，閂400呼1100、|TT

I1A199；

???"B+B且8。,用互不相容。

01

*e?64OOY11OO)[,°麴)+卜III八--)

R(A)=1-R(A)=1-[P(BJ)+P(B)]=1-|if1500]n500)?

|I2006onn?

13.[/U從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中

至少有2月配成一雙的概率是多少？

記A表“4只全中至少有兩支配成一對”

則表'“4只次不甄對"'%，RU五/閂10\"，傳"％M有

等可能：

十口量4牖犍對加耨聶申性取4雙，再在4雙

―------⑷

C0248

,P(A)=「21—-

10

P(A)=1-P(A)=1-=

15J+-J將三個球隨機(jī)上的隊(duì)4個杯子中去，問

杯子中珠的最大個數(shù)分別是1,,,的概率各為多少？

記外表“杯中球的最大個數(shù)為/'個”閆,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可

能

對4：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法

4X3X2辯。

(選排列：好比3個球在4個位置做排列)

7

4x3x26

P（A）=MT：而、、、

對4：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩

球。放法有儂4;押球中磔/個壞，因六伺c，

科將此網(wǎng)

個球放入一個杯中，選法有4理,最后將剩

余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。

P（A）二中小范

K'J/i3：必匆二壞白取八一竹中。刀乂吊玄丹4俾。（K

需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，

選法有4種）

P（A）=4二十

3中16

16.［十二］50個鉀釘隨機(jī)地取來用在10個部件，

其中有三個鉀釘強(qiáng)度太弱，每個部件用3只鉀釘，若將

三只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個部件上，則這個部件強(qiáng)

度就太弱，問發(fā)生一個部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

記力表“W個部件中有一個部件強(qiáng)度太弱”。

法一：用古典概率作：

把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個釘一組，三個釘一組去

鉀完10個部件（在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但

10組釘鉀完10個部件要分先后次序）

對￡：鉀法有Jc一種，每種裝法等可能

xC3xC3AAxC3

SO474423

對4三個次釘必須釧在一個部件上。這種鉀法有

8

種

3AAe3)x10

QxC3xC3AAxC3]x101

P(A)==0.00051

C3xC3xAAxC3

504723

法二：用古典概率作

把試驗(yàn)E看作是在50個釘中任選30個釘排成一

列，順次釘下去，直到把部件鉀完。（鉀釘要計(jì)先后次

序）

對E鉀法有於種，每種鉀法等可能

對4三支次釘必須釧在“1,2,3”位置上或“4,

5,6”位置上，…或“28,29,30”位置上。這種鉀法

有227+…27+八八+八"7?種

347347347347

327

C,A\10xAxA1nnnnRi

P(A)=-----------------=_^.0.00051

Aso1960

50

17.[十三]已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|Au用。

解一：

注章

P(A)=1-494^=0.7,P(BJ=P(B)=0.6,A=AS=A(BuABuAB-T心、

(AB)(AB)=(|),暇自

"(/旬二夕(/)一夕(/J=0.7—0.5=02。

再由加法定理，

"(/UJ="(4)+"(J一P(/g)=0.7+。6—0.5=。8

T『(B|Au^=P[B(A?=p(AB)_Q2

—————cc—UN3

P(AuB)P(AuB)0.8

解二：P(AB}=P(A)P(E|A)由已知＞05=07?P(H|A)

P(B-|A)=2Z=1^P(B|A)=￡故P(AB)=P(A)P(B|A)=1

1

定義P(BAuB㈤P(BA)

P(B|Au⑦I_____=0.25

P(Au6p(A)+P(5)-P(AB90.7+0.6-0.5

9

18［十四］

P(A)q,P(B|A)=g,P(A|B)=&求P(AuB)

角軋由P(AJ⑷定義"AB)_P(內(nèi)P(BIA)4峋筆能有1_WP(B)=I

(?)TP(B)2P(B)6

由乘法公式，得P(AB)=P(A)P(B|內(nèi)=Q

出刀IH玄公工1守P(ADB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1+1-11

T*612=1

19.［十五］擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為

7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。

解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P（A|B）,

即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。

擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（％y）（%

片1,2,3,4,5,6）并且滿足％十六7,則樣本空間為

s=｛（“切（1,6）,（6,1）,（2,5）,（5,2）,（3,4）,（4,3）｝

每種結(jié)果（％p）等可能。

A=｛擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時，其中有一顆為1點(diǎn)。

故P（A）=2=1｝

~6T

方法一：（用公式p（A|B）=P（2

P（B）

S=｛U-123,456;片12345,6｝｝每種結(jié)果均

可能

A:“擲兩顆骰子，x,y中有一個為“1"點(diǎn)”，B二

“擲兩顆骰子，一+六7”。則叫一61「…，

（）一存=&P（AB）=至

2

故P(A|B)=

P(B)T=6=3

6

10

20J±TM據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某

種傳染扁的確率

炳5P

得病但父親耒

得扃的概率。

用牛：加小愕牛力/(&/Jq土思：出丁用7內(nèi)，慳

病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求P(JAB)

產(chǎn)(刀切二八/1尸八邙內(nèi)尸U.bx(J3=U.3,產(chǎn)Ab)二、一產(chǎn)

(CM向=1—0.4=06

從而"(/維)=P(AB)-HJ46=0.3X0.6=0.18.

21」十句已知10只晶體管中有2只次品，在其

￥辟商,坦得次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列

(1)二只都是正品(記為事件A)

法一：用組合做在10只中任取兩只來組合，每一

個組合看作一個基本結(jié)果，每種取法等可能。

C228

P(A)=^=—=0.62

法二：用排動做在10只中任取兩個來排列,每一

個排列看作一個基本結(jié)果，每個排列等可能。

10

法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。

記A，4分別表第一、二次取得正品。

P(A)=P(AA)=P(A)P(A|A)4X1=1

(2)二只都是次品(記為事件B)

法一：響告1

10

11

法二：

P⑻唱』

10

法三：______211

P(B)=P(Vp=P(A)P(A；|A)=記*=而

(3)一只是正品，一只是次品(記為事件?

法一:16

P(C)=-45

法二:(UxCi)xA216

P(C)=822——------=——

A245

10

法三:

P(C)=P(AA-A與2A互斥

=P(A?眸|A尸啊P(AE=-母禧/

(4)第二次取出的是次品(記為事件。)

法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組

合作，

法二:…、AxA1

P(D)=—------=—

A25

10

法二:

P(D)=P(A1A'2+含冬洱AA與"AA互斥

=P(A)P(8|A/+P(QP(，E=34+尋4$

忘

最

數(shù)

巳

某人

電

話號

的

后

字

記

了

碼

一

，

過

撥

他

的

接

的

不

三

電

通

塔而^^

22需

隨

節(jié)

節(jié)

旅

噂

，

一

已

是

么

是

果

那

個

最

奇

的

？{

知

少

子

此

，

多

少

概

是

？

記〃表撥號不超過三次而能接通。

4表第/.次撥號能接通。

「注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號

碼。

0H=A+AA+AAA三種情況互斥

...P（H）=P（AJ+3P^P（AIA）+P（GP（餌|GP（A|/nr）

11,911V39813

一而+歷冶+歷冶==而

如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)（記為事件8）問題

變?yōu)樵?已發(fā)生的條件下，求“再發(fā)生的概率。

P(H|B)=PAJB+/TAJB4-^0,JB)

=P(A|B)+P巴|B)P(AJB.+P(/T|B)P(勺BA^P(ApA7q

_1414313

=5+TX4+TX4X3=T

24」十九］設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有"只白球

777只紅球，Z袋中裝有/V只白球股只紅球，今從甲袋

中任取一球放入乙袋中，再從乙袋蟲二》小if到

（即從乙袋中取到）口球也概率是米鰥少？謙疆整

19題⑴）

心A）,827r加衣ZA十位十耿付口壞，江鄧TJX八

乙袋”

再記8表“再從乙袋中取得白球”。

?/8=48+48且2,4互斥

??.p（一二p（國做出+P（4）戶（司4）

=nN+1mN

X

n+mN+M+1n-mN+M+1

［十九］（2）第一只盒子裝有5只.：，4」只...；..弟

二只盒子裹有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任

取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只

球，求取到白球的概率。

記G為“從第一盒子中取得2只名力求”。

C2為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只邙求"

。為“從第二盒子中取得白球”，顯然G，G，G

兩兩互斥，由全概率公式，有

13

p(O”(G)p(明)+P(QP(%+戶(0戶(。

C25C27C1.C1653

=_S--|-4—T-54?一_

C211C211C21199

999

26」二十二I已知男人中有5%是色盲患者，女人

中有0."%是包有患者。僉從男女人數(shù)相等的人群中隨

機(jī)地挑選一人，格好是色首患者，問此人是男性的概率

是多少？

解：/廣｛男人｝,4二｛女人｝，B=｛色盲｝,顯然/

4二s,Ay4二4

由已知條件知PS_1I、c

P(A12尸P(A)1°P(B|A)占025%

由貝葉斯公式，

P(AIB)--P(A)P(B|A)_土病,20

、?)-P(BrP(A)P(B|Ai)+P(A)P(B|A)丁F2r

1-------------------------------

1122^+?

2100210000

［二十二］一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。

第一次及格的概率為2若第一次及格則第二次及格的

概率也為只若第一次不及格則第二次及格的概率為作

(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他放

得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及格，求他

第一次及格的概率。

解：外二｛他第i次及格｝,i=1,2

己知"(j片P(4I4)=P，P(AIA)-I/

(1)8=｛室少有工淡及格產(chǎn)”)-4

7所/1以匕人-B=｛兩次均不及格｝=A一A

??P(B)=1-P(B4=1-P(4A.)1=-P(AJP(A,|AJ

12121

=1-[1-P(A)][1-P(A|A)]

1p21

=1-(1-P)(1--34.

)=P-P2

2；22

14

⑵"A）定義P（A供）（*）

12

P（A2）

由乘法公式，有戶（44）二2（4）"4）二P2

由全概率公式,有p（A）=P（A）P（A|A）+P（AjP（AIAj

2121121

P

=p,p+（1_p）.-L

P2p

將以上兩個結(jié)果代入（*）得ps1A）P22P

1/A|MJ—廠____=

12T2~P-P+1

~+T

28.［二十五］某人下午5:00下班，他所積累的資料

表明：

到家5:35-5:40-5:45-5:50-遲于

時間5:395:445:495:545:54

乘地

鐵到

0.100250.450.150.05

家的

概率

乘汽

車到

0.300350200.100.05

家的

概率

某日他危一枚輸幣決定土地鐵k是乘人車，結(jié)果他

是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。

15

解：設(shè)/=“碰鐵”，8二“弱詐"，C="5:45-5:49

到家"由題意/8=6/U8=S

已知：戶（2）=052（。4）=0.45,P（C/B）=Q2IP

⑶二。5

由貝葉斯公式有

P(C|A)P(A)

P(A|C)0.5x0.45_0.45_9一。?))?

P(C)P(C|A)FP(C-|B)「加F

29.［二十四］有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5

只，其小10只一等品；第二箱30只，其中18只一等

品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，

每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到

的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等

品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設(shè)鳥表示“第i次取到一等品"i=1,2

.表示“第j箱產(chǎn)品"j=1,2，顯然jU/VS

二小

iioj182（即也由全概率

（1）p（B）===04AyB8

12502305.

公式解）。

110911817

(2)

P(BJB^=斷肛=250491230^.0,4857

（先用條件概率定義，再求夕（與約）時，由全

概率公式解）

32.1二十

六(2力如

圖1,2,3,

16

4,5表小繼

電器接點(diǎn)，

點(diǎn)閉合由

概率為p，

且設(shè)容維

電器的合

與聲相聲:

獨(dú)立，求L

和R是通

路的概率。

記4表第/.個接點(diǎn)接通t

記/表從/到/?是構(gòu)成通路前。5

丁A/3/5+/4/5+/4/3/2四種情況不互

斥

???"（/）="（/02）+戶（444）+戶（/4力5）+戶

（/血力廠口外刨國

+戶（/出//5）+244/3&月W3

《兒汽）"（4A44）+

+P（AAA2P

（4444A）+"（力出A3AA）

（+（/出月兒汽）+"（/小月兒圖一，

又由于4，4，力3，力4，4互相獨(dú)立。

故"（/）二必+必+/+必一［0+0+0+0+Q+必］

+［#+/+q+閔_/=27+3p

5/x+20一

［二十六（1）］設(shè)有4個獨(dú)立工作的元件1,2,3,

4o它們的可靠性分別為鳥，3，P才4,將它們按圖

（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可集性。

記4表示第，個

17

元件正常工作，/=1,

2,3,4,

力表示系統(tǒng)正常。

/如24+

質(zhì)4兩種情況不過

/."（/）二戶（/024）+戶（44）—"（耳兒月國（加法公

式）

二戶（外）戶（4）戶（/J+戶（4）戶（國一戶（從）P

⑷久國戶（4）

二獨(dú)

PAP2P^pyp-pyp2p^Av4a4

34.已H1袋中裝有。只正品硬幣，〃只次品硬

幣，（次總硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，

將它投擲，次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正

品的概率為多少？

解：設(shè)“出現(xiàn)，次國徽面”二夕“任取一只是正

品”二/

由全概率公式，有

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=+——x1,

rrrm+n2m+n

m.1.

P(A)P(B/A)m2'm

P(A|Br)=

P(B)-rri~~Tn-m+n-2r

r

minv27min

（條件概率定義與乘法公式）

35.甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊

中的概率分別為0.4,0.5,0.7o飛機(jī)被一人擊中而被擊

落的概率為02被兩人擊中而被擊落的概率為06,若

18

三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：高父表示飛機(jī)被/.人擊中，2,3o

與，層分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)

，三種情況互斥。

H=BBB+BBB+BBB

1123123123三種情況互斥

H=BB8+BfB+5BB

2123123123

H=BBB

乂力［,22久,%理乂。

P(H1)=P(B，P(B")P(B1+P(B￥(B)P(BT3

+P(彳)P(町P(BJ=0.4x0.5x03+0.6

x0.5x0.3+0.6x0.5x0.7=0.36

P(H2)=P(B)P(B]P(BC+P(B)P(B1P(B)3

+P(B~)P(B)P(B)=0.4x0.5x03

+.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

"(4)=P(8I)P(82)P(83)=0.4X0.5X0.7=0.14

又因：A=HIA+H2A+H3A三種情況互斥

故由全概率公式，有

-(/)=RHQP(AHJ+P(H》P(AH》+P(HJP

(AHJ

=036x02+0.41x0.6+0.14x1=0.458

364十三］設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸

某種物品損壞2%（這一事件記為/1）,10%（事件

90%（事件&的概率分別為P（A）=0.8,P（4）=0.企,

24）=005,就從中隨機(jī)地獨(dú)立施政三件，發(fā)現(xiàn)這三件

都是女的（這一事件記為8）,試分別求戶⑷同戶（圖切，

p（4|B）（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出嗡二件以后不必響

取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)

立地）

19

?/8表取得三件好物品。

B=AyB+A2B+A3B三種情況互斥

由全概率公式，有

，P(8)=巴AJPP(A)P(B/A/P(A)P

(W

=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624

P(AB)P(A)P(B|A；0.8x(0.98)3

P(AJB)==0.8731

P(B)P(B)0.8624

P(A9BIP(A,)P(B|A)0.15x(0.9)3

P(A|B)==0.1268

2P(B)P(B)0.8624

P(A*)P(AJP(B|A)0.05x(0.1)3

P(A|B)==0.0001

3P(B)P(B)0.8624

37.|＞十四1將4B,。三個字母之一輸入信道，

輸出為廨字母的佛率為a,而輸出為其它一字母的概率

都是0—a)/2。4悔字母串A4A4,BBBB,CCCCN

或及言臉曾玲徵肥鋸能給跖網(wǎng)

是4444的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個字母的工作

是相互獨(dú)立的c)

解：設(shè)。表示輸出信號為/8C4,員、星、鳥分別

表示輸入信號為AAAA,BBBB,CCCG則用、約、

4為一完備事件組,且P(B)=P,閆,2,3o

再設(shè)/發(fā)、/收分別表示發(fā)出、接收字母4其余

類推，依題意有

P[A\A)=P(B\B)=P(CIC)=a,

收發(fā)收發(fā)收發(fā)

P(AIB)=P{AIC)=P(B\A)=P[B\C)=P

收'發(fā)收?發(fā)收‘發(fā)收?發(fā)

(CM)=P(C\B上百

收?發(fā)收?發(fā)

又P(ABCA/AAAA)^P(。/用)二"(Z收14發(fā))戶(8收|/

)P(CM)0(/M)

發(fā)收?發(fā)收?發(fā)

同樣可

于是由全概率公式，得

POX^PI邛PI^Z+PJ4一

二pa2(1-“)2)3

r!22

由Bayes公式，得

)P(D|B

P(AAAA/ABCAj^P(BJD)二叫p

P(D)

-2aP

2aP+(1-?j(P2+P)

［二十九］設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，

2只白球；扇二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白

球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。(1)求至少有

一只藍(lán)球的概率，(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率，

(3)已知室少有一只藍(lán)球，乘有一只磕球一只白壬求的

概率。

解：記3、42、4分別表示是從第一只盒子中取到

一只藍(lán)球、家球、白鈍，B］、%、2分別表示是從第二

只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。

(1)記G｛至少有一只藍(lán)球｝

C=4嗎+—4—+—，5種情況互斥

由概率有限可加性，得

^==P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)+P(AB)

洞1右行1112132131

磐了P(_AJP(BP[AJP(B)+P{A}P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

——111—2132131

333422225

7,9+79+79+7-9+7'9=9

(2)記Og有一只藍(lán)球，一只白球},而且知D=

21

兩種情況互斥

P(D)=P(AB3+P(AB=P(Ai)P(B?+P(Ay(B)］

3432216

=79+7-9=63

l山P(D?—PW)」(D)—16

(?一訴廠?！?注意到CD=D)

［三十］4B,「三人在同一辦公室工作，房間有

三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給4B,0的電話的概率分

別為221O他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬觯?B,。三人外

由刑微室零力II力111,以二人啊仃9J怕2i強(qiáng)"，小

9

(1)無人圾希南概率；(2)被呼叫人在辦公室

的概率；若某一時間斷打進(jìn)了3個電話，求(3)這3

個電話打給同一人的概率；(4)這3個電話打給不同人

的解；(5)這3個電話都打給8,而夕卻都不在的概

率。

解：記G、G、G分別表示打給力，B,。的電話

。1、D,2分別表示AB,「外出

注意到G、G、G獨(dú)立，且PQ=P(C)=P(C)=1

12535

i\)J弋冕人瞿電鐺折三/以上尸產(chǎn)/

(勾

-Lxlxl=±

ILU='歲GC.

種情況互斥，由有限可加性與乘法公式一一+C2V+Q%

P(5=P(1q)2衰(QLF)+H(LLU[由于某人外出與]

=P(C)P(lTlC)+P(C)P(D-[C)+P(C)P(DTC)I否和來電話無關(guān)I

1112223331111

=|X^+2X3+|X3=B"卬3=[我I

(3)H為“這3個電話打給同一個人”

22

22222211117

P(H)=-xJXJ+-jxjxj=—

（4）R為“這3個電話打給不同的人”

R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A,B,C

的三個電話，每種情況的概率為

2214

TXTX5=125

」yp（R）=6x424

125=125

（5）由于是知道每次打電話都給8,其概率是1,

所以每一次打給8電話而8不在的概率為1,且各次情

況相互獨(dú)立彳

于是P（3個電話都打給B,B都不在的概率）

P3G

第二章隨機(jī)變量及其分布

1.M一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、

5,在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最

大號碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律

解：X可以取值3,4,5,分布律為

P（X=3）=P（一球?yàn)?號,兩球?yàn)?,2=

號）=C310

P（x=4）=P（一球?yàn)?號，再在123中任取兩球）=1X*==

C310

5

P（X=5）=P（一球?yàn)?號，再在123,4中任取兩生

球）=C310

也可列為下表

23

X3,4,5

戶：136

而‘而'’而

3」三］設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在

其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示

取出次品的只數(shù)，(1)求X白粉布律(2)畫出分布律

的圖形。

解：任取三只，其中新含次品個數(shù)X可能為0,1,

2個。

P(x=o)=fl=||

15

P八

八C1xC212

P(x=1)=_^—=-

15

?

P(X=2)=零工1J~~k4->x

再列為卞表

%：0,1,2

P：22121

，t"I

353535

4［四］進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為

",失敗的概率為‘二1一砥<.<1)

(1)將實(shí)驗(yàn)迸行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示

所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。(此時稱X服從以p

為參數(shù)的幾何分布。)

(2)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)，次成功為止，以Y表示

所需的試驗(yàn)次數(shù)，求p的分布律。at匕時稱p服從以

為參數(shù)的巴斯卡分布。)

(3)一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為45%,以X表

示他首次投中時累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，

并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。

解：⑴P(X=^qk-w匕\乙……

(2)七"/7g最啟一次實(shí)齡刖r+n\次有/?次

失敗，且最后一次成功｝

24

其中q=\-p,

段田注句然笈的表如小p).

131/(八二內(nèi)二；IU4>J,k袒

尸6叼丙級尸Z*2k)二(055)23x

31

6」六］一大樓裝有5人同類型的供水設(shè)備，調(diào)查

表明在任一時刻r每個設(shè)備使用的概率為Q1,問在同一

時刻

(1)恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？

(2)P弁喟PS4談圖展使用福概率是多少?

(3)里金脊百呼設(shè)雷梭便用的概率是多多呼

P(X<3)=0(09)5+CixO.1x(0.9)4+C2x(0.1)2X(0.9)3

(4)至少,有一不設(shè)密祓贊詞懵概率是多少？

P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.59049=0.40951

［五］一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一

扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只

能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛

出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)

的。

(1)以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X

的分布律。

(2)戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它

飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以匕表示這只聰明的

鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試

求勺分布律。

(3)求試飛次數(shù)x小于y的概率；求試飛次數(shù)Y

小于*的概率。

解：(1)X的可能取值為1,2,3,…，77,…

_"｛七弁="｛前71次飛向了另2扇窗子，第

"次飛了出去｝

25

一(2)1，/7=1，2,...

丁’？

(2)%的可能取值為1,2,3

P{P=