22.3 實際問題與二次函數(shù)（練習(xí)題+答案解析）

22.322.3實際問題與二次函數(shù)?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓一、選擇題（共8小題）1．（2024?鄧州市二模）如圖1是蓮花山景區(qū)一座拋物線形拱橋，按圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，得到拋物線解析式為，正常水位時水面寬為，當(dāng)水位上升時水面寬為A． B． C． D．2．（2024?山西模擬）如圖，剪紙藝術(shù)是中國民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美，如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，若以這個蝴蝶圖案的對稱軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，圖中點，關(guān)于軸對稱，其中點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，若點到軸的距離小于它到軸的距離，則二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是A． B． C． D．或3．（2024?吉安一模）如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2米，水面下降2.5米時，水面的寬度為米．A．3 B．6 C．8 D．94．（2024?從江縣校級二模）如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜園，設(shè)邊長為米，的長米，菜園的面積為（單位：平方米）．當(dāng)在一定范圍內(nèi)變化時，和都隨的變化而變化，則與，與滿足的函數(shù)關(guān)系分別是A．一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 B．反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系 C．一次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系 D．反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系5．（2024?山陽縣三模）足球運動員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度（單位：與足球被踢出后經(jīng)過的時間（單位：之間的關(guān)系如表：0123456708141820201814下列結(jié)論正確的是A．足球被踢出時落地 B．足球飛行路線的對稱軸是直線 C．足球距離地面的最大高度為 D．足球被踢出時，距離地面的高度是6．（2024?保德縣三模）“科教興國，強國有我”．某中學(xué)在科技實驗活動中，設(shè)計制作了“水火箭”升空實驗，已知“水火箭”的升空高度與飛行時間滿足函數(shù)表達(dá)式．已知“水火箭”飛行和飛行時的升空高度相同，飛行時的升空高度為，則“水火箭”升空的最大高度為A． B． C． D．7．（2023秋?建昌縣期末）如圖，以的速度將小球沿與地面成角的方向擊出時，小球的飛行路線將是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：與飛行時間（單位：之間具有函數(shù)關(guān)系，下列對方程的兩根與的解釋正確的是A．小球的飛行高度為時，小球飛行的時間是 B．小球飛行時飛行高度為，并將繼續(xù)上升 C．小球從飛出到落地要用 D．小球的飛行高度可以達(dá)到8．（2024?孝義市模擬）生物學(xué)研究表明、在一定的溫度范圍內(nèi)，酶的活性會隨溫度的升高逐漸增強，在最適宜溫度時，酶的活性最強，超過一定溫度范圍時，酶的活性又隨溫度的升高逐漸減弱，甚至?xí)セ钚裕F(xiàn)已知某種酶的活性值（單位：與溫度（單位：的關(guān)系可以近似用二次函數(shù)來表示．則當(dāng)溫度為最適宜時，該種酶的活性值為A．14 B． C．240 D．44二、填空題（共8小題）9．（2024?香坊區(qū)校級開學(xué)）如圖，某涵洞的截面是拋物線形狀，拋物線在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，對應(yīng)的函數(shù)解析式為，當(dāng)涵洞水面寬為時，涵洞頂點至水面的距離為．10．（2024?二道區(qū)校級開學(xué)）如圖，橫截面為拋物線的山洞，山洞底部寬為8米，最高處高米，現(xiàn)要水半放置橫截面為正方形的箱子，其中兩個頂點在拋物線上的最大箱子，在大箱子的兩側(cè)各放置一個橫截面為正方形的小箱子，則小箱子正方形的最大邊長為米．11．（2024?城中區(qū)校級一模）某段公路上汽車緊急剎車后前行的距離（單位：關(guān)于行駛時間（單位：的函數(shù)解析式是，遇到剎車時，汽車從剎車后到停下來前進(jìn)了．12．（2024?長春一模）為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓(xùn)練，在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處距離地面的高度是1.68米，當(dāng)鉛球運行的水平距離為2米時，達(dá)到最大高度2米的處，則小丁此次投擲的成績是米．13．（2023秋?高邑縣期末）一座拋物線型拱橋如圖所示，橋下水面寬度是時，拱頂距離水面是．當(dāng)水面下降后，水面寬度是．（結(jié)果保留根號）14．（2023秋?冠縣期末）如圖，有一矩形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻（墻足夠長），另三邊用16米的長籬笆圍成，則矩形面積的最大值是．15．（2024?武漢開學(xué)）飛機(jī)著陸后滑行的距離（單位：關(guān)于滑行的時間（單位：的函數(shù)解析式是，飛機(jī)著陸后滑行停下來，滑行的時間是．16．（2023秋?商河縣期末）如圖所示，要建一個長方形的養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，如果用長的籬笆圍成中間有一道籬笆的養(yǎng)雞場，設(shè)養(yǎng)雞場的長為，當(dāng)時，養(yǎng)雞場的面積最大．三、解答題（共8小題）17．（2024?陳倉區(qū)一模）擲實心球是寶雞市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項目．如圖1是一名男生投實心球，實心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時起點處高度為，當(dāng)水平距離為時，實心球行進(jìn)至最高點處．（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)寶雞市高中階段學(xué)校招生體育考試男生評分標(biāo)準(zhǔn)，投擲過程中，實心球從起點到落地點的水平距離大于等于時，得分為滿分10分．請計算說明該男生在此項考試中是否得滿分．18．（2023秋?定西期末）為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長的空地上修建一個矩形綠化帶，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為的柵欄圍?。ㄈ鐖D）．若設(shè)綠化帶的邊長為，綠化帶的面積為．（1）求與之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？最大為多少？19．（2024?涼州區(qū)三模）2023年杭州亞運會吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某旅游商場以每件50元的價格購進(jìn)某款亞運會吉祥物，以每件80元的價格出售，每日可售出200件．從7月份起，商場決定采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價1元，日銷售量就會增加20件．設(shè)售價為元，日銷售量為件．（1）直接寫出日銷售量為（件與每件售價（元之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了讓顧客得到更大的實惠，當(dāng)該吉祥物售價定為多少元時，日銷售利潤達(dá)7500元？（3）該商場如何定價，才能使日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？20．（2024?任丘市校級一模）如圖，一個圓形水池的中央安裝了一個柱形噴水裝置，處的噴頭向外噴水，噴出的水流沿形狀相同的曲線向各個方向落下，水流的路線是拋物線的一部分，落點距離噴水柱底端處3.5米．（1）寫出水流到達(dá)的最大高度，并求的值；（2）在保證水流形狀不變的前提下，調(diào)整噴水柱的高度，使水流落在寬為米，內(nèi)側(cè)（點距點為4米的環(huán)形區(qū)域內(nèi)（含，，直接說出噴水柱的高度是變大還是變小，并求它變化的高度（米的取值范圍．21．（2024?陳倉區(qū)一模）某特產(chǎn)專賣店銷售一種核桃，其進(jìn)價為每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低1元，平均每天的銷售量可增加10千克．（1）若該特產(chǎn)專賣店希望這批核桃每天獲利2240元，則銷售單價應(yīng)定為多少元？（2）當(dāng)定價多少元時，銷售單價為多少元時該店銷售核桃每天獲得利潤最大，最大利潤是多少？22．（2023秋?惠山區(qū)期末）為貫徹實施勞動課程，某校計劃建造一個矩形種植場地．為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形種植場地一面靠墻（墻的長度為，另外三面用棚欄圍成．已知柵欄的總長度為，設(shè)矩形場地中垂直于墻的一邊長為（如圖）．（1）若矩形種植場地的總面積為，求此時的值；（2）當(dāng)為多少時，矩形種植場地的面積最大？最大面積為多少？23．（2024?興隆臺區(qū)校級開學(xué)）經(jīng)營某種品牌的玩具，購進(jìn)時的單價是30元，根據(jù)市場調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價是40元時，銷售量是600件，而銷售單價每漲1元，就會少售出10件玩具，設(shè)該種品牌玩具的銷售單價為元，銷售量為（件，銷售該品牌玩具獲得利潤為元．（1）銷售量為與關(guān)系式為；（2）若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價不低于44元，且商場要完成不少于540件的銷售任務(wù)，求該商場銷售該品牌玩具獲得的最大利潤是多少？24．（2024?長沙開學(xué)）某服裝店以每件40元的價格購進(jìn)一批襯衫，在試銷過程中發(fā)現(xiàn)：每月銷售量（件與銷售單價為正整數(shù)）（元之間符合一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)銷售單價為55元時，月銷售量為140件；當(dāng)銷售單價為70元時，月銷售量為80件．（1）求與的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)服裝店每月銷售該種襯衫獲利為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出銷售單價定為多少元時，商場獲利最大，最大利潤是多少元？

一、選擇題（共8小題）1．【答案】【分析】根據(jù)正常水位時水面寬，求出當(dāng)時，再根據(jù)水位上升5米時，代入解析式求出即可．【解答】解：米，當(dāng)時，，當(dāng)水位上升5米時，，把代入拋物線表達(dá)式得：，解得，此時水面寬，故選：．2．【答案】【分析】根據(jù)點，關(guān)于軸對稱，可得兩點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，列出方程得到和的值，進(jìn)而根據(jù)點到軸的距離小于它到軸的距離可得的具體值，代入二次函數(shù)，整理成頂點式可得二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)．【解答】解：點，關(guān)于軸對稱，其中點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，，．解得：或；．當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，．點到軸的距離小于它到軸的距離，，．二次函數(shù)解析式為：．二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)是．故選：．3．【答案】【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再通過把代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸通過，縱軸軸通過中點且通過點，則通過畫圖可得為原點，拋物線以軸為對稱軸，且經(jīng)過、兩點，和可求出為的一半為2米，拋物線的頂點坐標(biāo)為，，設(shè)頂點式為，代入點的坐標(biāo)，得出，解得：，拋物線的解析式為：，當(dāng)水面下降2.5米時，即當(dāng)時，，解得：，水面的寬度為（米，故選：．4．【答案】【分析】先根據(jù)得出；再根據(jù)矩形的面積公式列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，從而得出結(jié)論．【解答】解：，，，，即，與滿足的函數(shù)關(guān)系是一次函數(shù)；，與滿足的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)．故選：．5．【答案】【分析】由題意，拋物線經(jīng)過，，所以可以假設(shè)拋物線的解析式為，把代入可得，可得，由此即可一一判斷．【解答】解：由題意，拋物線的解析式為，把代入可得，，足球距離地面的最大高度為，拋物線的對稱軸，故正確，錯誤；時，，點在該拋物線上，故正確；當(dāng)時，，故錯誤．故選：．6．【答案】【分析】根據(jù)題意求出，的值，再用函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．【解答】解：“水火箭”飛行和飛行時的升空高度相同，，，把，代入得，，解得，，解得，，，，當(dāng)時，有最大值，最大值37，水火箭”升空的最大高度為37米，故選：．7．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，可以求出的兩根，兩根之差即為小球的飛行到落地的時間，求出函數(shù)的最大值，即為小球飛行的最大高度；然后根據(jù)方程的意義為時所用的時間，據(jù)此解答．【解答】解：的兩根與，即時所用的時間，小球的飛行高度是時，小球的飛行時間是或，故錯誤；，對稱軸直線為：，最大值為20，故錯誤；時，，此時小球繼續(xù)下降，故錯誤；當(dāng)時，，，，小球從飛出到落地要用，故正確．故選：．8．【答案】【分析】把整理成頂點式，可得的最大值，即為該種酶的溫度為最適宜時的活性值．【解答】解：．當(dāng)溫度為時，最適宜，該種酶的活性值最大，為240．故選：．二、填空題（共8小題）9．【答案】16．【分析】根據(jù)拋物線的對稱性及解析式求解．【解答】解：依題意，設(shè)點坐標(biāo)為，代入拋物線方程得：，即水面到橋拱頂點的距離為16米．故答案為：16．10．【答案】．【分析】用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，將點B、C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解．【解答】解：建立如下的坐標(biāo)系，則點A（4，0），設(shè)大小正方形的邊長分別為2m，n，則點B、C的坐標(biāo)分別為：（m，2m）、（m+n，n），設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝ax2+，將點A的坐標(biāo)代入上式得：0＝16a+，則a＝﹣，則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x+，將點B、C的坐標(biāo)代入上式得：，解得：（不合題意的值已舍去），故答案為：．11．【答案】45．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式找出其頂點式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值即可得出結(jié)論．【解答】【點評】【解答】解：，汽車剎車后到停下來前進(jìn)了，故答案為：45．12．【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為，由待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，令，得關(guān)于的一元二次方程，求得方程的解并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可．【解答】解：建立坐標(biāo)系，如圖所示：由題意得：，，點為拋物線的頂點，設(shè)拋物線的解析式為，把代入得：，解得，，令，得，解得，（舍，小丁此次投擲的成績是7米．故答案為：7．13．【答案】．【分析】根據(jù)題意，建立合適的平面直角坐標(biāo)系，然后求出拋物線的解析式，再將代入函數(shù)解析式，求出的值，然后即可求得水面下降后，水面寬度．【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)該拋物線的解析式為，由題意可知：點在該函數(shù)圖象上，，解得，該拋物線的解析式為，當(dāng)時，，解得，，當(dāng)水面下降后，水面寬度是：，故答案為：．14．【答案】．【分析】設(shè)矩形的寬為，進(jìn)而確定矩形的另一條邊長，根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求出函數(shù)最值．【解答】解：設(shè)矩形的寬為，面積為，根據(jù)題意得：，時，菜園面積最大，最大面積是．故答案為：．15．【答案】32．【分析】將函數(shù)解析式配方成頂點式，即可求出答案．【解答】解：，當(dāng)時，取得最大值1280，即飛機(jī)著陸后滑行1280米才能停下來，滑行了，故答案為：32．16．【分析】由條件可用表示出雞場的寬，可用表示出雞場的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得答案．【解答】解：設(shè)養(yǎng)雞場的長為，則寬為，設(shè)養(yǎng)雞場的面積為，根據(jù)題意可得，，拋物線開口向下，當(dāng)時，有最大值，即當(dāng)時，養(yǎng)雞場的面積最大，故答案為：30．三、解答題（共8小題）17．【答案】（1）；（2）該男生在此項考試中得滿分，計算見解析．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）令，即，解得，比較即可得解．【解答】解：（1）拋物線頂點為，設(shè)函數(shù)表達(dá)式為，拋物線過點，，解得，關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）令，即，解得，（不合題意，舍去），，該男生在此項考試中得滿分．18．【分析】（1）依題意易求得與的函數(shù)關(guān)系式以及的取值范圍．（2）把（1）的函數(shù)關(guān)系式用配方法化簡求得的最大值即可．【解答】解：（1）由題意得：，自變量的取值范圍是；（2），，當(dāng)時，有最大值200平方米即當(dāng)時，滿足條件的綠化帶面積最大．19．【答案】（1）；（2）為了讓顧客得到更大實惠，該吉祥物售價為65元時，日銷售利潤達(dá)7500元；（3）每件售價為70元時，可使日銷售利潤最大，最大利潤為8000元．【分析】（1）銷售量降價前每日銷售量降價所增加的銷售量，據(jù)此即可求解；（2）每件所獲利潤日銷售量元，據(jù)此即可求解；（3）設(shè)日銷售利潤為元，日銷售利潤每件所獲利潤日銷售量，據(jù)此即可求解．【解答】解：（1），故答案為：；（2）由題意得：，整理得：，解得：，，為了讓顧客得到更大的實惠，舍去，，答：該吉祥物售價為65元時，日銷售利潤達(dá)7500元．（3）設(shè)日銷售利潤為元，由題意得：，，當(dāng)時，（元；答：每件售價為70元時，可使日銷售利潤最多．20．【答案】（1）水流到達(dá)的最大高度為4米；；（2）噴水柱的高度變大；．【分析】（1）依據(jù)題意，拋物線的頂點為，，從而可得水流到達(dá)的最大高度；又將代入，進(jìn)而計算可以得解；（2）依據(jù)題意，可以判斷噴水柱的高度變大；又由題意可設(shè)噴水柱高度調(diào)整后，水流經(jīng)過的拋物線解析式為，將代入，得，可得；又將代入，得，解得，進(jìn)而可以判斷得解．【解答】解：（1）由題意，拋物線的頂點為，，水流到達(dá)的最大高度為4米．將代入．．．（2）噴水柱的高度變大．由題意得，，．設(shè)噴水柱高度調(diào)整后，水流經(jīng)過的拋物線解析式為，將代入，得，解得；將代入，得，解得，的取值范圍是：．21．【答案】（1）銷售單價應(yīng)定為54或56時，該特產(chǎn)專賣店這批核桃每天獲利2240元；（2）當(dāng)定價55元時，該店銷售核桃獲得利潤最大，最大利潤是2250元．【分析】（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價元，根據(jù)每天獲利2240元列方程求解即可；（2）根據(jù)已知得出銷量乘以每千克利潤總利潤進(jìn)而得出函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求出即可．【解答】解：（1）設(shè)每千克核桃應(yīng)降價元，則平均每天的銷售利潤是千克，由題意可得，解得，，經(jīng)檢驗這兩個解都符合題意，此時銷售單價為元或元，所以銷售單價應(yīng)定為54元或56元時，該特產(chǎn)專賣店這批