24.1 圓的有關(guān)性質(zhì)2（練習題+答案解析）

24.124.1圓的有關(guān)性質(zhì)（2）?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓一、選擇題（共8小題）1．（2024?溧陽市模擬）如圖，為的直徑，為上的一動點（不與、重合），于，的平分線交于，則當在上運動時，點的位置A．隨點的運動而變化 B．不變 C．在使的劣弧上 D．無法確定2．（2024春?新城區(qū)校級月考）如圖，內(nèi)接于，點是弧的中點，是的直徑．，，則的長為A．5 B． C． D．3．（2024?龍崗區(qū)校級開學）下列說法正確的是A．對角線垂直的四邊形是菱形 B．相等的圓心角所對的弧相等 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形4．（2024?甘谷縣三模）如圖，是的直徑，四邊形內(nèi)接于，若，則的周長為A． B． C． D．5．（2024?碑林區(qū)校級模擬）如圖，、是的弦，且，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．6．（2024?西安二模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，連接，若，則的度數(shù)為A． B． C． D．7．（2023秋?新吳區(qū)期末）如圖，是內(nèi)接四邊形的一個外角，若，那么的度數(shù)為A． B． C． D．8．（2024?彌勒市二模）如圖，，，三點在上，，則為A． B． C． D．二、填空題（共8小題）9．（2024?湖南模擬）如圖，是的直徑，點，分別是弦，弧的中點，，，則的長是．10．（2023秋?秦淮區(qū)期末）如圖，點，在上，為的中點，直徑交于點，，，則的長為．11．（2023秋?濱海新區(qū)期中）是的直徑，點在上，點，是的三等分點，，的度數(shù)是．12．（2023?盱眙縣模擬）如圖，是的直徑，，則．13．（2024?涼州區(qū)校級一模）如圖，在中，直徑，弦相交于點．連接．且，若，則的度數(shù)為．14．（2024?大豐區(qū)模擬）如圖，點，，，在上，，則．15．（2024?岳陽縣一模）如圖，在中，，，點在上，連接，，則的度數(shù)是．16．（2024?同心縣模擬）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，則．三、解答題（共8小題）17．（2023秋?南岳區(qū)校級期末）已知，如圖，．求證：．18．（2024?武漢模擬）如圖，為的直徑，是的弦，，于點，交于點，連接交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．19．（2024?新城區(qū)模擬）如圖，在中，，是的直徑，與邊交于點，為的中點，連接，與交于點．（1）求證：．（2）當為的中點時，求證：．20．（2024?利辛縣開學）如圖，已知為的直徑，弦，，交于．求證：．21．（2024?青陽縣三模）如圖，是的直徑，為上一點，為上一點，且，延長交于，連．（1）求證：；（2）若，，求的長．22．（2024?海門區(qū)校級開學）如圖，已知內(nèi)接，為直徑，于點，連接．求證：．23．（2024?安徽二模）如圖，為的直徑，為的一條弦，的平分線交于點，，的延長線交于點．（1）若，求的度數(shù)．（2）求證：．24．（2024?蓮湖區(qū)模擬）如圖，點，，，均在上，且．與相交于點，，．（1）求的度數(shù)；（2）若，，求的長．

一、選擇題（共8小題）1．【分析】因為是的平分線，所以，所以，則，所以弧等于弧，所以．從而可得出答案．【解答】解：連接，是的平分線，，又，，，，又，，，．點是線段垂直平分線和圓的交點，當在上運動時，點不動．故選：．2．【答案】【分析】連接，先求得，進而得到，再利用直角三角形的性質(zhì)求得，又由點是弧的中點得，進而利用勾股定理即可得解．【解答】解：如圖，連接，是的直徑，，，，，，點是弧的中點，，，即，解得，故選：．3．【答案】【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定方法及圓周角和對應的弧的關(guān)系，分別分析得出答案．【解答】解：對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，故不符合題意；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故不符合題意；對角線相等的四邊形不一定是矩形，故不符合題意；對角線垂直且相等的平行四邊形是正方形，故不符合題意．故選：．4．【答案】【分析】如圖，連接、．根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系證得是等邊三角形，則的半徑長為；然后由圓的周長公式進行計算．【解答】解：如圖，連接、．是的直徑，四邊形內(nèi)接于，，，．又，是等邊三角形，，的周長．故選：．5．【答案】【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，連接，，，，，，，，故選：．6．【答案】【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理得到，，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余計算即可．【解答】解：如圖，連接，四邊形內(nèi)接于，，，，由圓周角定理得：，為的直徑，，，故選：．7．【答案】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得，在根據(jù)圓周角定理求出即可．【解答】解：，，，，，．故選：．8．【答案】【分析】由得的度數(shù)，再由圓周角定理即可求得結(jié)果．【解答】解：，，；故選：．二、填空題（共8小題）9．【分析】根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形中位線定理求出，進而求出．【解答】解：是的直徑，，，，在中，，，則，點是的中點，點是的中點，是的中位線，，，故答案為：2．10．【答案】．【分析】連接，根據(jù)圓心角、弦、弧的關(guān)系推出，根據(jù)垂徑定理求出，再根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：如圖，連接，為的中點，直徑交于點，，，，，在中，，，或（舍去），，故答案為：．11．【答案】．【分析】先根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，然后利用平角的定義計算的度數(shù)．【解答】解：點、是的三等分點，即，，．故答案為：．12．【分析】根據(jù)圓周角定理即可推出，通過計算即可推出結(jié)果．【解答】解：，，是的直徑，．故答案為：．13．【答案】．【分析】根據(jù)，利用圓周角與圓心角關(guān)系可求出，再由三角形外角定理即可求得．【解答】解：，，，，，．故答案為：．14．【答案】115．【分析】先作出弧所對的圓周角，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求的度數(shù)．【解答】解：為弧所對的圓周角，，，．故答案為：115．15．【分析】根據(jù)等弧所對的圓周角相等，求出即可解決問題．【解答】解：連接．，，，故答案為16．【分析】先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：，．四邊形是圓內(nèi)接四邊形，．故答案為：130．三、解答題（共8小題）17．【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，則，所以．【解答】證明：，，，即，．18．【答案】（1）答案見解答過程；（2）．【分析】（1）由垂徑定理得，，，根據(jù)得，則，進而得，再根據(jù)弧弧可得，則，由此可得出結(jié)論；（2）連接交于，連接，設的半徑為，先求出，，則，證明和全等得，，則，再根據(jù)，及（1）的結(jié)論得，則，證明得，由此可得的長．【解答】（1）證明：為的直徑，且于點，，，，，，，，，，，，；（2）連接交于，連接，設的半徑為，如圖所示：，，，，，在中，由勾股定理得：，，在中，，，，由勾股定理得：，即，解得：，，在和中，，，，，，為的直徑，，即，又，，由（1）的結(jié)論得：，，即，，，，即，，，．19．【答案】（1）（2）證明見解答過程．【分析】（1）連接，，根據(jù)圓周角定理得到，，證明，得到；（2）作，垂足為，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到，進而證明結(jié)論．【解答】證明：（1）如圖1，連接，，為的中點，，，，是的直徑，，，，，，；（2）如圖2，作，垂足為，連接，為的中點，，在和中，，，，由（1）可知，且，，，．20．【答案】見解析．【分析】連接，根據(jù)垂徑定理得，再根據(jù)，得，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【解答】證明：如圖，連接，為的直徑，弦，，，弧弧，，．21．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，則，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到，從而得到結(jié)論；（2）連接、，如圖，利用（1）的結(jié)論和圓周角定理得到，則，所以，然后利用勾股定理計算的長．【解答】（1）證明：是的直徑，，，，，，，；（2）解：連接、，如圖，由（1）得，，，，，，而，．22．【答案】見解析．【分析】由圓周角定理，推出，，由垂直的定義得到，由三角形內(nèi)角和定理推出．【解答】證明：是圓的直徑，，，，，，．23．【答案】（1）；（2）見解析．【分析】（1）如圖，連接，證明，可得，結(jié)合圓周角定理可得，從而可得答案；（2）如圖，連接．證明，，可得，，從而可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖，連接．，平分，．為的直徑，，，