24.1.2垂直于弦的直徑 教學(xué)設(shè)計

24.1.2垂直于弦的直徑教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)目標1.進一步認識圓，了解圓是軸對稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論.3.靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.重點：理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論.難點：靈活運用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.二、教學(xué)過程探究剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？可以發(fā)現(xiàn)，圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸結(jié)論證明：要證明圓是軸對稱圖形，只需證明圓上任意一點關(guān)于直徑所在的直線(對稱軸)的對稱點也在圓上.證明：如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點C，D以外的任意一點.過點A作AA′⊥CD，交⊙O于點A′，垂足為M，連接OA，OA′.

在△OAA′中，

∵OA=OA′

∴△OAA′是等腰三角形

又AA′⊥CD

∴AM=MA′

即CD是AA′的垂直平分線

這就是說，對于圓上任意一點A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對稱點A′，因此⊙O關(guān)于直線CD對稱.即

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸.從前面的證明我們知道,如果⊙O的直徑CD⊥AB，垂足為M，那么點A與B對稱點.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?線段:AE=BE這樣，我們就得到垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.幾何語言：∵CD是⊙O的直徑，AB為弦，CD⊥AB，垂足為E.∴AE=BE，.垂徑定理的幾個基本圖形：定理辨析：想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？（1）是（2）不是，因為沒有垂直（3）是（4）不是，因為CD沒有過圓心定理推論如果把垂徑定理中“垂直于弦的直徑平分弦”的題設(shè)與結(jié)論交換一下，所得命題是否成立？所得命題：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦.已知：AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AM=BM.求證（1）CD⊥AB（2）證明:（1）連接AO,BO,則AO=BO又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS）∴∠AEO=∠BEO=90°∴CD⊥AB（2）由垂徑定理可得垂徑定理推論：

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.幾何語言：∵CD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦(不是直徑)，且AE=BE

∴CD⊥AB，思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.例2趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)？解：如圖，用表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與相交于點C，連接OA.根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點，C是的中點，CD就是拱高.

由題設(shè)可知，AB=37m，CD=7.23m

所以，AD=AB=×37=18.5(m)，OD=OC-CD=R-7.23

在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2

即R2=18.52+(R-7.23)2

解得R≈27.3(m)

因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m練習(xí)1.如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm.求⊙O的半徑.解：過點O作OE⊥AB，垂足為E，連接OA.

∴AE=BE=AB=×8=4(cm)

在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE2+OE2=AO2即42+32=AO2解得AO=5cm因此，⊙O的半徑為5cm.三、課堂小結(jié)在利用垂徑定理解題時，通常需要作___弦心距___，構(gòu)造___直角三角形_______，把__垂徑__定理和_勾股___定理結(jié)合起來，容易得到圓的半徑r，弦心距d，和弦長a之間的關(guān)系式.四、作業(yè)布置見精準作業(yè)設(shè)計五、板書設(shè)計垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.幾何語言：∵CD是⊙O的直徑，AB為弦，CD⊥AB，垂足為E