2024年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考點《壓軸題》含答案解析

高中PAGE1高中專題02高一上期末真題精選（壓軸66題7個考點專練）【題型1】集合及其運算中的新定義題（1類考點）【題型2】一元二次不等式中的恒成立與能成立問題（2類考點）【題型3】二次函數(shù)的最值問題（2類考點）【題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式（3類考點）【題型5】雙變量問題（含指數(shù)，對數(shù)，三角函數(shù)）（2類考點）【題型6】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（2類考點）【題型7】三角函數(shù)（4類考點）01集合及其運算中的新定義題（1類考點）考點01集合及其運算中的新定義題1．（2023上·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）若集合A同時具有以下三個性質(zhì)：（1），；（2）若，則；（3）若且，則．則稱A為“好集”．已知命題：①集合是好集；②對任意一個“好集”A，若，則．以下判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題2．（2023上·遼寧本溪·高一校考期末）設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合且.如果，，那么=（

）A． B．C． D．3．（2021·浙江·高一期末）設(shè)為不超過的最大整數(shù)，記函數(shù)，，的值域為，集合是集合的非空子集，對于任意元素，如果，且，那么是集合的一個“孤立元素”，若集合的所有子集中，只有一個“孤立元素”的集合恰好有6個，則正整數(shù)的可能值為（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2021上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）對于集合A，B，我們把集合且叫做集合A與B的差集，記作.若，，則為（）A． B． C． D．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中P，M為實數(shù)集的兩個非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個判斷：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確判斷有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個02一元二次不等式中的恒成立與能成立問題（2類考點）考點01一元二次不等式中的恒成立問題1．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知對一切，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）“”是“對任意，恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023上·江西新余·高一統(tǒng)考期末）已知，且，滿足，若對于任意的，均有成立，則實數(shù)t的最大值是（

）．A． B． C． D．4．（2023上·浙江金華·高一浙江省東陽市外國語學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，當(dāng)時，恒成立，則的最大值為.5．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)證明是增函數(shù)；(2)若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.考點02一元二次不等式中的能成立問題1．（2022上·北京朝陽·高三對外經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）?？计谀┤裘}“，使”是真命題，則實數(shù)的取值范圍為．2．（2019上·陜西商洛·高二?？计谀┤絷P(guān)于的不等式的區(qū)間內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍為．3．（2020上·山東威?！じ咭唤y(tǒng)考期末）若，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為.4．（2022上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為或，若不等式的解集；(2)若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.5．（2022下·河北衡水·高二河北武強中學(xué)統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求實數(shù)m的取值范圍．03二次函數(shù)的最值問題（2類考點）考點01動軸定范圍1．（2022上·新疆哈密·高一?？计谀┖瘮?shù).(1)若，求的值域；(2)最小值為，若，求及此時的最大值.2．（2023上·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值：(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為，求.考點02定軸動范圍1．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)滿足，，若不等式有唯一實數(shù)解．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最小值為．（i）求；04根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式（3類考點）考點01根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（小題）1．（2023上·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，都有恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．2．（2023下·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎x在上的函數(shù)在單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．3．（2023下·北京東城·高二北京二中?？计谀┮阎瘮?shù)，，若對任意，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023下·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為．5．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若，且，則實數(shù)的取值范圍是．考點02根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（大題，含指數(shù)，對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，三角函數(shù)）1．（2023上·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校校考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.2．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義法加以證明(2)求不等式的解集3．（2023下·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）是定義在的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若在定義域是增函數(shù)，解關(guān)于x的不等式.4．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中?？计谀┮阎嵌x在R上的奇函數(shù)，且.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.5．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性（無需證明），并解不等式．考點03根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（抽象函數(shù)）1．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，滿足，時，對任意正實數(shù)x，y，都有．(1)求的值；(2)證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；(3)求不等式的解集．2．（2022上·江蘇南京·高一校考期末）若增函數(shù)對任意，，都有，且，恒成立．(1)求，，；(2)求方程的解集；(3)求不等式的解集.3．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)對任意的x，，都有，且當(dāng)時．(1)求的值，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；(3)解不等式．4．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，并且滿足，.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.05雙變量問題（含指數(shù)，對數(shù)，三角函數(shù)）（2類考點）考點01雙變量函數(shù)值相等問題1．（2023上·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2022上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；(2)對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．3．（2022上·河南商丘·高一商丘市第一高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)，．(1)求函數(shù)的值域；(2)設(shè)函數(shù)，若對，，，求正實數(shù)a的取值范圍．考點02雙變量函數(shù)值不等問題1．（2022上·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足.(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)令，若對，，都有成立，求實數(shù)k的取值范圍．2．（2023下·江蘇徐州·高二校考期末）已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.(1)求a?b的值；(2)若方程在上有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍；(3)令，若對都有，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)若，函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求的取值范圍；(2)若a＞1，且對任意，都有，使得成立，求a的取值范圍．4．（2023上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且滿足________．從①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；②函數(shù)的最大值為2；③函數(shù)的圖象經(jīng)過點．這三個條件中任選一個補充到上面的橫線上，并解答下面的問題：(1)求實數(shù)a的值并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍．06指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（2類考點）考點01指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的零點問題1．（2023下·河南開封·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023下·山東威海·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)且．(1)試討論的值域；(2)若關(guān)于的方程有唯一解，求的取值范圍．4．（2023下·安徽亳州·高一渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，R．(1)若為偶函數(shù)，求a的值；(2)令．若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．考點02指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的恒成立問題1．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)證明在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)函數(shù)，求使函數(shù)有唯一零點的實數(shù)a的值；(3)若對，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.2．（2023上·浙江·高一期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且有且僅有兩個零點．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)設(shè)，若對任意和，都有成立，求實數(shù)t的取值范圍．3．（2023上·云南·高一云南師大附中?？计谀┰O(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時，證明：方程在上有唯一實根；(2)是否存在實數(shù)a，滿足：對于任意，都有？若存在，求出所有滿足條件的a；若不存在，請說明理由．考點03指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的能成立問題1．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考）已知函數(shù)（且）.(1)求函數(shù)的奇偶性；(2)若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.2．（2023上·廣東廣州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值1．函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若存在使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；3．（2022上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，.(1)①作出函數(shù)在上的圖象；②若方程恰有6個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，若，，使得成立，求實數(shù)的最小值.考點04指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的新定義問題1．（2023下·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，求a的取值范圍．(2)設(shè)函數(shù)的最大值、最小值分別為M，m，記．設(shè)，函數(shù)，當(dāng)，時，恒成立，求的取值范圍．2．（2023上·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有，且，則稱為倒函數(shù)．請根據(jù)上述定義回答下列問題：(1)已知，，判斷和是不是倒函數(shù)；（不需要說明理由）(2)若是上的倒函數(shù)，當(dāng)時，，方程是否有正整數(shù)解？并說明理由；(3)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是增函數(shù)．設(shè)，若，求解不等式．07三角函數(shù)（4類考點）考點01三角函數(shù)中的零點問題1．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校校考期末）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求的值域；(2)若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，求正實數(shù)的取值范圍.2．（2023下·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值，并求出此時對應(yīng)的的值；(3)若在區(qū)間上有兩個零點，直接寫出的取值范圍．3．（2023下·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，求m的取值范圍．4．（2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點，求m的取值范圍．5．（2021上·天津靜海·高一靜海一中?？计谀┮阎瘮?shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)變)，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域.（4）對于第（3）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，，試確定的值，并求的值.考點02三角函數(shù)中的恒成立問題1．（2023下·江西撫州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖象上每個點先向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象在區(qū)間（且）上至少含有個零點，在所有滿足條件的區(qū)間上，求的最小值.2．（2023下·四川成都·高一樹德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若對于恒成立，求實數(shù)m的范圍.3．（2023上·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)且為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)的值，并且根據(jù)定義研究函數(shù)的單調(diào)性：(2)不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．考點03三角函數(shù)中的存在性問題1．（2021上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．請在下面的三個條件中任選兩個解答問題．①函數(shù)的圖象過點；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是函數(shù)的零點，求的值組成的集合；（3）當(dāng)時，是否存在滿不等式？若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由.2．（2021上·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù).（1）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否同時存在實數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在上恰有個零點?若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由.3．（2020上·安徽淮南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù),的最小正周期為.(1)求的單調(diào)增區(qū)間;(2)方程在上有且只有一個解,求實數(shù)的取值范圍;(3)是否存在實數(shù)滿足對任意,都存在,使得成立.若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.考點04三角函數(shù)中的新定義問題1．（2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末）對于定義在上的函數(shù)和正實數(shù)若對任意，有，則為階梯函數(shù)．(1)分別判斷下列函數(shù)是否為階梯函數(shù)（直接寫出結(jié)論）：①；②．(2)若為階梯函數(shù)，求的所有可能取值；(3)已知為階梯函數(shù)，滿足：在上單調(diào)遞減，且對任意，有．若函數(shù)有無窮多個零點，記其中正的零點從小到大依次為直接給出一個符合題意的a的值，并證明：存在，使得在上有4046個零點，且．2．（2023下·上海寶山·高一統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)中，雙曲函數(shù)是與三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù)，其中雙曲正弦函數(shù)：，雙曲余弦函數(shù)：.（e是自然對數(shù)的底數(shù)，）.(1)計算的值；(2)類比兩角和的余弦公式，寫出兩角和的雙曲余弦公式：______，并加以證明；(3)若對任意，關(guān)于的方程有解，求實數(shù)的取值范圍.3．（2023下·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，若存在實數(shù)m、k（），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對．(1)若，求函數(shù)的“平衡”數(shù)對；(2)若m＝1，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；(3)若、，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對，求的取值范圍．4．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)和的定義域分別為和，若對，都存在個不同的實數(shù)，使（其中，），則稱為的“重覆蓋函數(shù)”．(1)試判斷是否為的“4重覆蓋函數(shù)”？并說明理由；(2)已知函數(shù)為的“2重覆蓋函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.

專題02高一上期末真題精選（壓軸66題7個考點專練）【題型1】集合及其運算中的新定義題（1類考點）【題型2】一元二次不等式中的恒成立與能成立問題（2類考點）【題型3】二次函數(shù)的最值問題（2類考點）【題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式（3類考點）【題型5】雙變量問題（含指數(shù)，對數(shù)，三角函數(shù)）（2類考點）【題型6】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（2類考點）【題型7】三角函數(shù)（4類考點）01集合及其運算中的新定義題（1類考點）考點01集合及其運算中的新定義題1．（2023上·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）若集合A同時具有以下三個性質(zhì)：（1），；（2）若，則；（3）若且，則．則稱A為“好集”．已知命題：①集合是好集；②對任意一個“好集”A，若，則．以下判斷正確的是（

）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】D【詳解】對于①，因為，而，所以集合不是好集，故①錯誤；對于②，因為集合為“好集”，所以，所以，故②正確，所以①為假命題，②為真命題.故選：D.2．（2023上·遼寧本溪·高一?？计谀┰O(shè)P和Q是兩個集合，定義集合且.如果，，那么=（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題，，則.，則.則由題中所給定義有：.故選：A3．（2021·浙江·高一期末）設(shè)為不超過的最大整數(shù)，記函數(shù)，，的值域為，集合是集合的非空子集，對于任意元素，如果，且，那么是集合的一個“孤立元素”，若集合的所有子集中，只有一個“孤立元素”的集合恰好有6個，則正整數(shù)的可能值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】當(dāng)時，，，由為不超過的最大整數(shù)，得函數(shù)的值域，又集合是集合的非空子集，集合的所有子集中，滿足只有一個“孤立元素”的集合，則，；不滿足題意，故選項A不正確；當(dāng)時，，，由為不超過的最大整數(shù)，得函數(shù)的值域，又集合是集合的非空子集，集合的所有子集中，滿足只有一個“孤立元素”的集合，則，，；不滿足題意，故選項B不正確；當(dāng)時，，，由為不超過的最大整數(shù)，得函數(shù)的值域，又集合是集合的非空子集，集合的所有子集中，滿足只有一個“孤立元素”的集合，則，，，，，，滿足題意，故選項C正確；當(dāng)時，，，由為不超過的最大整數(shù)，得函數(shù)的值域，又集合是集合的非空子集，集合的所有子集中，滿足只有一個“孤立元素”的集合，則，，，，，，，，，，，，，共個滿足條件的集合，不滿足題意，故選項D不正確；故選：C.4．（2021上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期末）對于集合A，B，我們把集合且叫做集合A與B的差集，記作.若，，則為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，∴．故選：B．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，其中P，M為實數(shù)集的兩個非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個判斷：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確判斷有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】對①：取，，滿足，但，，，故①錯誤；對②：若，由函數(shù)定義可得，所以，故②正確；對③：取，，滿足，但，，，故③錯誤；對④：假設(shè)，且，則存在，則所以所以，且，若，則，所以，所以，矛盾，假設(shè)不成立；若，則，矛盾，假設(shè)不成立；所以若，則，故④正確.故選：B.02一元二次不等式中的恒成立與能成立問題（2類考點）考點01一元二次不等式中的恒成立問題1．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知對一切，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】∵，，則，∴，又∵，且，可得，令，則原題意等價于對一切，恒成立，∵的開口向下，對稱軸，則當(dāng)時，取到最大值，故實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：對，恒成立，等價于；對，恒成立，等價于.2．（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）“”是“對任意，恒成立”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】由，即，所以，由，恒成立，即在上恒成立，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，因為真包含于，所以“”是“對任意，恒成立”的充分不必要條件.故選：A3．（2023上·江西新余·高一統(tǒng)考期末）已知，且，滿足，若對于任意的，均有成立，則實數(shù)t的最大值是（

）．A． B． C． D．【答案】A【詳解】已知，，且，滿足，則，即，所以又，則，則有，即，所以若對于任意的，均有成立，即，對于任意的恒成立，當(dāng)時，，當(dāng)時等號成立，即得，所以實數(shù)t的最大值是.故選：A.4．（2023上·浙江金華·高一浙江省東陽市外國語學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，當(dāng)時，恒成立，則的最大值為.【答案】2【詳解】函數(shù)，對恒成立，令，則或，故，得，當(dāng)時，滿足，則的最大值為2.故答案為：26．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)證明是增函數(shù)；(2)若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：，且，，因為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，故，即.因此，是增函數(shù).（2）由不等式得，整理得，令，即，即，因為，所以，，所以要使原不等式恒成立，則有，即，，故的取值范圍是考點02一元二次不等式中的能成立問題1．（2022上·北京朝陽·高三對外經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué)附屬中學(xué)（北京市第九十四中學(xué)）?？计谀┤裘}“，使”是真命題，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】由題意可知，①若，即或，當(dāng)時，不等式為，顯然不成立；當(dāng)時，不等式為，顯然，使成立，即符合題意；②若，即，此時不等式對應(yīng)的一元二次函數(shù)開口向下，滿足條件；③若，即或，此時不等式對應(yīng)的一元二次函數(shù)開口向上，若要滿足題意，則需方程由兩個不相等的實數(shù)根，即，解得，即滿足條件時；綜合①②③可得，實數(shù)的取值范圍為故答案為：2．（2019上·陜西商洛·高二?？计谀┤絷P(guān)于的不等式的區(qū)間內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】不等式在區(qū)間內(nèi)有解等價于，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以的值域為，所以，故答案為：.3．（2020上·山東威海·高一統(tǒng)考期末）若，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】令，由可得，則問題等價于存在，，分離參數(shù)可得若滿足題意，則只需，令，令，則，容易知，則只需，整理得，解得.故答案為：.4．（2022上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為或，若不等式的解集；(2)若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）不等式，即，由于，所以，其解集為或，所以，且，解得，所以不等式即，即，解得，所以不等式的解集為.（2）依題意，，使得成立，，使得成立，由于，所以，由于函數(shù)的開口向下，對稱軸為，所以，即的取值范圍是.5．（2022下·河北衡水·高二河北武強中學(xué)統(tǒng)考期末）若二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，滿足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)若存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)f(x)＝4x2－8x＋2(2)(－∞，－2)【詳解】（1）由f(0)＝2，得c＝2，所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，所以故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2．（2）因為存在x∈[1，2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，即存在x∈[1，2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1，2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，即m的取值范圍為(－∞，－2)．03二次函數(shù)的最值問題（2類考點）考點01動軸定范圍1．（2022上·新疆哈密·高一?？计谀┖瘮?shù).(1)若，求的值域；(2)最小值為，若，求及此時的最大值.【答案】(1)(2)，5【詳解】（1）若，則，即，因為，所以，則，所以的值域為.（2），因為，所以：若，即，，若，即，，若，即，由題若，則時，，無解；時，，無解；時，，即，解得或舍去；綜上：，此時，，所以的最大值為.2．（2023上·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值：(2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最小值為，求.【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，其對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，故函數(shù)在區(qū)間的最大值為，最小值為；（2）對稱軸為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上所述：.考點02定軸動范圍1．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)滿足，，若不等式有唯一實數(shù)解．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在上的最小值為．（i）求；【答案】(1)(2)（i）；【詳解】（1）由可知的對稱軸為，設(shè)二次函數(shù)，又，所以，所以，又有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，即有唯一實數(shù)解，所以方程的判別式，所以所以．（2）①的對稱軸為，（Ⅰ）當(dāng)時，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以；（Ⅱ）當(dāng)時，在上為單調(diào)減函數(shù)，所以；（Ⅲ）當(dāng)時，在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以；綜上：②由①知且關(guān)于對稱．04根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式（3類考點）考點01根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（小題）1．（2023上·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的，都有恒成立，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由于是定義在上的偶函數(shù)，故，則的圖象關(guān)于直線對稱；對任意的，都有恒成立，即對任意的，有，則，故在上單調(diào)遞減，根據(jù)對稱性可知在上單調(diào)遞增，故由得，即，解得，即不等式的解集為，故選：C2．（2023下·甘肅白銀·高二校考期末）已知定義在上的函數(shù)在單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵為偶函數(shù)，∴，即函數(shù)關(guān)于對稱，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，整理得，解得或，即不等式的解集為.故選：B.3．（2023下·北京東城·高二北京二中?？计谀┮阎瘮?shù)，，若對任意，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】的定義域為實數(shù)集，，所以是奇函數(shù)，，∴在R上單調(diào)遞增；由得，，則，即，當(dāng)時，，此時不等式等價為成立，當(dāng)，，所以，因為，，所以，則，則.故選：D.4．（2023下·河南焦作·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為．【答案】【詳解】因為函數(shù)的定義域為，是偶函數(shù)，則，即，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，則，即，即，即，解得或，因此，不等式的解集為.故答案為：.5．（2023·遼寧·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，若，且，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，設(shè)，而為奇函數(shù)，奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，設(shè)，則，因為，所以即為上的增函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，因為，所以1，解得，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：考點02根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（大題，含指數(shù)，對數(shù)型復(fù)合函數(shù)，三角函數(shù)）1．（2023上·吉林長春·高一長春市解放大路學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求的解析式；(2)求不等式的解集.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可得，因為當(dāng)時，，當(dāng)時，則，可得，所以函數(shù)的解析式為.（2）因為，當(dāng)時，，其開口向上，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，其開口向下，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增；又易知在上是連續(xù)的，所以在上單調(diào)遞增；又，，所以，即，所以，則，所以不等式的解集為.2．（2023上·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義法加以證明(2)求不等式的解集【答案】(1)減函數(shù);證明見解析；(2)【詳解】（1）為減函數(shù).證明如下:的定義域為，任取兩個實數(shù)，且，，，，，，，所以在上為單調(diào)減函數(shù).（2）對，，故函數(shù)為奇函數(shù)，由可得，由（1）知在上為單調(diào)減函數(shù)，，解可得，故不等式的解集為.3．（2023下·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）是定義在的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若在定義域是增函數(shù)，解關(guān)于x的不等式.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意可知，即，解得，所以函數(shù)的解析式為，；（2）不等式可化為，因為是定義在的奇函數(shù)，所以，又因為在定義域是增函數(shù)，等價于，解之得，故不等式的解集為.4．（2023下·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意,解得，則，經(jīng)檢驗：，故，.（2）設(shè)R上任意實數(shù)，且，則，所以在R上是增函數(shù),則，故.解得.5．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，．(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷在上的單調(diào)性（無需證明），并解不等式．【答案】(1)(2)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，解集為.【詳解】（1）設(shè)，則，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以；（2）由（1）知，時，.因為與在上都是增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，

由，解得，所以該不等式的解集為.考點03根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性解不等式（抽象函數(shù)）1．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，滿足，時，對任意正實數(shù)x，y，都有．(1)求的值；(2)證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；(3)求不等式的解集．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【詳解】（1）因為對任意正實數(shù)x，y，都有，所以，即，因為，所以.（2）由得，任取，且，則，，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；（3）由（1）知，，因為，所以，即，由（2）知，函數(shù)在上是增函數(shù)；所以，解得，故不等式的解集為.2．（2022上·江蘇南京·高一?？计谀┤粼龊瘮?shù)對任意，，都有，且，恒成立．(1)求，，；(2)求方程的解集；(3)求不等式的解集.【答案】(1)，，，(2)(3)【詳解】（1）令，則，得，令，則，所以，因為，所以，令，則，所以，得，（2）由題意可知，得，因為，所以，所以，所以，因為為上的增函數(shù)，所以，所以，，所以或，所以或，所以方程的解集為（3）因為，所以，所以，所以由，得，因為為上的增函數(shù)，所以，所以，，解得，所以不等式的解集為.3．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)對任意的x，，都有，且當(dāng)時．(1)求的值，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；(3)解不等式．【答案】(1)，是奇函數(shù)，證明見解析(2)在上單調(diào)遞減，證明見解析(3)【詳解】（1）依題意，函數(shù)對任意的x，，都有，令，得，是奇函數(shù)，證明如下：用代替，得，則，所以是奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞減，證明如下：任取，，由于，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減.（3），，由于在上單調(diào)遞減，所以，所以不等式的解集是.4．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)是定義在R上的減函數(shù)，并且滿足，.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）是定義在上的減函數(shù)，并且滿足，令，得，.（2）由（1）知，令，得，，為上的奇函數(shù)，又，令，，，，解得，的取值范圍為.05雙變量問題（含指數(shù)，對數(shù)，三角函數(shù)）（2類考點）考點01雙變量函數(shù)值相等問題1．（2023上·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，，因為的圖象開口向上，對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減因為函數(shù)在區(qū)間上存在零點，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）記函數(shù)，的值域為集合，，的值域為集合，則對任意的，總存在，使得成立，因為的圖象開口向上，對稱軸為，所以當(dāng)，，，得，當(dāng)時，的值域為，顯然不滿足題意；當(dāng)時，的值域為，因為，所以，解得；當(dāng)時，的值域為，因為，所以，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.2．（2022上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)有如下性質(zhì)：若常數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(1)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的值域；(2)對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），記函數(shù)，由題可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，，所以，所以，.故函數(shù)的值域為.（2）由（1）得，則，設(shè)在上的值域為，則.函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，，解得；當(dāng)時，，不成立，舍去；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，，解得.綜上：a的取值范圍為.3．（2022上·河南商丘·高一商丘市第一高級中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)，．(1)求函數(shù)的值域；(2)設(shè)函數(shù)，若對，，，求正實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）∵，又，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，即函數(shù)的值域為．（2）∵，設(shè)，因為，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即，設(shè)時，函數(shù)的值域為A．由題意知，∵函數(shù)，函數(shù)圖象的對稱軸為，當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞增，則，即，∴，當(dāng)時，即時，函數(shù)在上的最大值為，中的較大者，而且，不合題意，當(dāng)，即時，函數(shù)在上遞減，則，即，滿足條件的a不存在，綜上，．考點02雙變量函數(shù)值不等問題1．（2022上·廣東汕尾·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足.(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；(2)令，若對，，都有成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：設(shè)，，且，則，當(dāng)時，∴，，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，∴，，∴，∴，即，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由題意知，令，，由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵函數(shù)的對稱軸方程為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，取得最大值，，當(dāng)時，取得最小值，，∴，，又∵對,，都有恒成立，∴，即，解得，又∵，∴k的取值范圍是．2．（2023下·江蘇徐州·高二?？计谀┮阎瘮?shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.(1)求a?b的值；(2)若方程在上有兩個不同的根，求實數(shù)的取值范圍；(3)令，若對都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）∵，又是奇函數(shù)，∴，，∴解得，∴.經(jīng)驗證，函數(shù)定義域為，成立，滿足要求，所以.（2）由（1）知，.方程在上有兩個不同的根，即在上有兩個不相等的實數(shù)根，需滿足，解得.（3）由題意知，令,因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴,∵函數(shù)的對稱軸為，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，；當(dāng)時，；即，又∵對都有恒成立，∴，即，解得，又∵，∴的取值范圍是.3．（2023下·河南焦作·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)若，函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求的取值范圍；(2)若a＞1，且對任意，都有，使得成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則由零點存在定理可得，即解得，所以的取值范圍是．（2）若對任意，都有，使得成立，則當(dāng)時，．因為a＞1，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，，所以．當(dāng)1＜a＜2時，，，不符合條件，當(dāng)時，，，符合條件，所以a的取值范圍是．4．（2023上·安徽安慶·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且滿足________．從①函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；②函數(shù)的最大值為2；③函數(shù)的圖象經(jīng)過點．這三個條件中任選一個補充到上面的橫線上，并解答下面的問題：(1)求實數(shù)a的值并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，；(2)．【詳解】（1）由條件知若選①，則，解得，，由，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．若選②，則函數(shù)的最大值為，解得，，由，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．若選③，則，所以，，由，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由題意可知只需即可．當(dāng)時，，所以，因此函數(shù)的最大值為1．令，則，則當(dāng)即時，函數(shù)的最大值為，于是，整理得，解得，均滿足，所以；當(dāng)即時，函數(shù)的最大值為，于是，無實解；綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為．06指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（2類考點）考點01指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的零點問題1．（2023下·河南開封·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恰有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)【詳解】（1）令，，則，當(dāng)時單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，是單調(diào)遞增函數(shù)，，，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）令，，若恰有兩個不同的零點，即在上恰有兩個不同的零點，令所以，解得或，即實數(shù)的取值范圍是.2．（2023下·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)若關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意知，，可得，即，解得，所以不等式的解集為.（2），可得，即有兩個不相等的實數(shù)根，令，則有兩個不相等的正實數(shù)根，所以，可得，解得.3．（2023下·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)且．(1)試討論的值域；(2)若關(guān)于的方程有唯一解，求的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）解：．因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，．故當(dāng)時，的值域為；當(dāng)時，的值域為．（2）因為關(guān)于的方程只有一個解，所以有唯一解．令，所以有唯一解．關(guān)于的方程有唯一解，設(shè)．當(dāng)時，，解得，不符合題意．當(dāng)時，，所以一定有一個解，符合題意．當(dāng)時，，解得．當(dāng)時，符合題意，當(dāng)時，不符合題意．綜上，的取值范圍為．4．（2023下·安徽亳州·高一渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，R．(1)若為偶函數(shù)，求a的值；(2)令．若函數(shù)在上有兩個不同的零點，求a的取值范圍．【答案】(1)1(2)【詳解】（1）由已知得函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，化簡整理得，即恒成立，故．（2）由得，即，，所以的兩個零點為，，因為，，且，所以，且，解得，且．故a的取值范圍是．考點02指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的恒成立問題1．（2023上·廣東深圳·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)證明在上單調(diào)遞增；(2)設(shè)函數(shù)，求使函數(shù)有唯一零點的實數(shù)a的值；(3)若對，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）由題意可知的定義域為，，則，，所以，所以為偶函數(shù)；任取，則，因為，當(dāng)時，，，，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增；（2）函數(shù)的零點就是方程的解，因為有唯一零點，所以方程有唯一的解，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以方程變形為，因為函數(shù)在上的單調(diào)遞增，所以，平方得，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗方程有唯一解，當(dāng)時，，解得，綜上可知，的值為.（3）設(shè)，則，所以原命題等價于時，不等式恒成立，令，即，所以即.2．（2023上·浙江·高一期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，且有且僅有兩個零點．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)設(shè)，若對任意和，都有成立，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題意：，即有：，兩邊平方得：，所以實數(shù)a的值為0，故.由偶函數(shù)及二次函數(shù)性質(zhì)易得：在和上遞增；在和上遞減．因為,所以則函數(shù)有且僅有兩個零點等價于，即，解得．（2）由（1）知：函數(shù)的最大值為0，則問題等價于對任意，都有成立，即對任意恒成立，當(dāng)時，，而在時取到最小值2，所以，又當(dāng)時，故實數(shù)a的取值范圍為．3．（2023上·云南·高一云南師大附中校考期末）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時，證明：方程在上有唯一實根；(2)是否存在實數(shù)a，滿足：對于任意，都有？若存在，求出所有滿足條件的a；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）當(dāng)時，，方程在上有唯一實根等價于函數(shù)在上有唯一零點．令，，因為，，所以在存在零點．又在上單調(diào)遞增，所以在上有唯一零點，故方程在上有唯一實根．（2）對于任意，，都有的充要條件是，令，則原函數(shù)可化為，，記，，則開口向上，對稱軸為，①當(dāng)時，在上是增函數(shù)，所以，，故，解得，這種情況無解；②當(dāng)時，在上是減函數(shù)，所以，，故，解得，這種情況也無解；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，故且，解得且，故；綜上，存在實數(shù)，滿足：對于任意，都有．考點03指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的能成立問題1．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考）已知函數(shù)（且）.(1)求函數(shù)的奇偶性；(2)若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)(2)【詳解】（1）解：對于函數(shù)，有，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù).（2）解：由可得，則，令，其中，因為函數(shù)、在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，因此，實數(shù)的取值范圍是.2．（2023上·廣東廣州·高一?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間上有最大值4，最小值1．函數(shù)．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若存在使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；【答案】(1)(2)【詳解】（1）二次函數(shù)對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得．所以．（2）所以存在使不等式成立，且，轉(zhuǎn)化為存在使不等式成立，令，所以不等式化為，即，因為，因為，所以，所以實數(shù)的取值范圍．3．（2022上·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，.(1)①作出函數(shù)在上的圖象；②若方程恰有6個不相等的實根，求實數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)，若，，使得成立，求實數(shù)的最小值.【答案】(1)①圖象見解析；②；(2).【詳解】（1）①當(dāng)時，.列表：01234567891012432101234描點連線，圖象如圖，因為為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，所以在上的圖象如圖所示；②恰有6個不相等的實根，等價于與有6個交點，由圖象可知當(dāng)時，有6個交點，所以實數(shù)的取值范圍為；（2）因為在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，因為在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，由（1）可知在上的最小值為0，因為，，使得成立，所以，所以，解得，所以實數(shù)的最小值為.考點04指數(shù)（對數(shù)）型復(fù)合函數(shù)中的新定義問題1．（2023下·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在內(nèi)有唯一零點，求a的取值范圍．(2)設(shè)函數(shù)的最大值、最小值分別為M，m，記．設(shè)，函數(shù)，當(dāng)，時，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意可得方程在內(nèi)只有一個實數(shù)解，即在內(nèi)只有一個實數(shù)解，所以，所以a的取值范圍為．（2）因為，所以當(dāng)時，，則．因為，所以在上為減函數(shù)，所以在上的最大值為，最小值為，所以當(dāng)時，，由，得，即，解得，故的取值范圍為．2．（2023上·遼寧鞍山·高一統(tǒng)考期末）一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為D，如果對D內(nèi)的任意一個x，都有，且，則稱為倒函數(shù)．請根據(jù)上述定義回答下列問題：(1)已知，，判斷和是不是倒函數(shù)；（不需要說明理由）(2)若是上的倒函數(shù)，當(dāng)時，，方程是否有正整數(shù)解？并說明理由；(3)若是上的倒函數(shù)，其函數(shù)值恒大于0，且在上是增函數(shù)．設(shè)，若，求解不等式．【答案】(1)是，不是(2)沒有，理由見解析(3)【詳解】（1）對于，定義域為，顯然定義域D中任意實數(shù)x有成立，又，是倒函數(shù)，對于，定義域為，故當(dāng)時，不符合倒函數(shù)的定義，不是倒函數(shù)．（2）令，則，根據(jù)倒函數(shù)的定義，可得，即，，當(dāng)時，，方程無解；當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故沒有正整數(shù)解．（3），又是上的倒函數(shù)，，又在上是增函數(shù)，當(dāng)時，，又有，成立，，在上是增函數(shù)，又，，有，不等式，即，又在上是增函數(shù)，有，解得07三角函數(shù)（4類考點）考點01三角函數(shù)中的零點問題1．（2023上·吉林長春·高一長春外國語學(xué)校?？计谀┰O(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求的值域；(2)若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，因為，所以，故，，即的值域為.（2）令，可得，解得，.因為在區(qū)間上沒有零點，所以，解得，因為，所以又由，得，所以或當(dāng)時，；當(dāng)時，綜上所述，正實數(shù)的取值范圍是.2．（2023下·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最值，并求出此時對應(yīng)的的值；(3)若在區(qū)間上有兩個零點，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為；(2)時最小值為；時最大值為1；(3).【詳解】（1）因為，所以最小正周期為，又增區(qū)間為，令得：，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）因為，所以．當(dāng)，即時，取最小值；當(dāng)，即時，取最大值1．（3）由題意，與在區(qū)間上有兩個交點，而在上圖象如下：

由圖知：，即.3．（2023下·北京懷柔·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求函數(shù)的值域；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），所以函數(shù)最小正周期.（2）當(dāng)時，，則，，，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.（3）∵，由得，若函數(shù)在上有且僅有兩個零點，則，則，解得.即.4．（2023下·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點，求m的取值范圍．【答案】(1)1(2)(3)【詳解】（1）.（2），由，，得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．（3）因為，所以．依題意，解得．所以m的取值范圍為．5．（2021上·天津靜?！じ咭混o海一中校考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）求的解析式.（2）求的最大值.（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的(縱坐標(biāo)變)，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域.（4）對于第（3）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，，試確定的值，并求的值.【答案】（1）（2）（3）（4）【詳解】（1）由題意，函數(shù)因為函數(shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得，又由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，所以，因為，所以，所以函數(shù).（2），令，則，所以，，因為對稱軸，所以當(dāng)時，，即的最大值為.（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，最小值為，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，最小值為，故函數(shù)的值域.（4）由方程，即，即，因為，可得，設(shè)，其中，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，如圖可得方程在區(qū)間有5個解，即，其中，即解得所以.考點02三角函數(shù)中的恒成立問題1．（2023下·江西撫州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是，若將的圖象上每個點先向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，所得函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)若對任意，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象在區(qū)間（且）上至少含有個零點，在所有滿足條件的區(qū)間上，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由，得，則則為偶函數(shù)，于是軸是其一條對稱軸，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，在對稱軸對應(yīng)的橫坐標(biāo)處一定取到最值，所以，又，所以，故.（2）因為，所以，故，，而恒成立，即，整理可得.令，，設(shè)，，設(shè)，且，則，由于，，則，所以，即區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，即實數(shù)m的取值范圍是.（3）由題意知，由得，故或，，解得或，，故的零點為或，，所以相鄰兩個零點之間的距離為或若最小，則和都是零點，此時在區(qū)間，，…，，分別恰有個零點，所以在區(qū)間上恰有個零點，從而在區(qū)間上至少有一個零點，所以，另一方面，在區(qū)間上恰有個零點，所以的最小值為.2．（2023下·四川成都·高一成都七中?？计谥校┮阎?，，其中，函數(shù)的最小正周期為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式在內(nèi)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，,則,，故，因為最小正周期為，所以，∴，故，由,解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，，整理得：，由于，，則，故，對恒成立，令，則，故，設(shè)，當(dāng)時函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故，故，即，所以m的取值范圍為．3．（2023下·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若對于恒成立，求實數(shù)m的范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）.因[，]，則，又分別在上單調(diào)遞增和遞減，則，即函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，所得解析式為，又將所得函數(shù)圖象向右平移個單位長度，解析式為，則.因，則.又在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，故.方法1：令，則等價于，.當(dāng)時，，則此時m可取任意值；當(dāng)時，，注意到函數(shù)均在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，，注意到函數(shù)均在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；綜上可得：.方法2：令，則等價于，.則.4．（2023上·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）定義在區(qū)間上的函數(shù)且為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)的值，并且根據(jù)定義研究函數(shù)的單調(diào)性：(2)不等式對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)1；答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）因為是奇函數(shù)，所以，解得，所以，檢驗：，滿足題意；任取，且，則，因為，，所以，，當(dāng)時，，所以即，此時在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以即，此時在上單調(diào)遞減；（2），由可得，因為，所以，所以，所以，所以，解得，當(dāng)時，由在上單調(diào)遞增可得恒成立，所以，解得；當(dāng)時，由在上單調(diào)遞減可得恒成立，所以，解得；當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是；當(dāng)時，實數(shù)的取值范圍是；考點03三角函數(shù)中的存在性問題1．（2021上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．請在下面的三個條件中任選兩個解答問題．①函數(shù)的圖象過點；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是函數(shù)的零點，求的值組成的集合；（3）當(dāng)時，是否存在滿不等式？若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由.【答案】（1）選擇①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范圍，利用見解析.【詳解】選擇①②：因為函數(shù)的圖象過點，所以，解得，因為，所以，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，可得，因為，所以，，所以，選擇①③：若函數(shù)的圖象過點，所以，解得，因為，所以，因為函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為，所以，所以，，解得：，所以，選擇②③：因為函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為，所以，所以，，解得：，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，可得，因為，所以，，所以（2）若是函數(shù)的零點，則，可得，所以或解得：或