《等差數(shù)列》教學設計

《等差數(shù)列》教學設計一、教學目標：

教學目標：

知識與技能目標:

（1）知識目標：

理解并掌握等差數(shù)列的定義，能用定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列；

了解等差數(shù)列的通項公式的推導過程及思想，并能用通項公式解決一些簡單的實際問題．

（2）過程與方法目標:

會判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列，會用等差數(shù)列通項公式，由an，a1，n，d的三個量求另外一個量．

經歷等差數(shù)列的探究過程，發(fā)展學生觀察分析、歸納總結能力，及知識、方法的遷移能力．

（2）情感與態(tài)度目標：

通過對等差數(shù)列定義的研究，養(yǎng)成學生細心觀察、認真分析、善于總結的良好思維習慣；

通過對等差數(shù)列通項公式的研究，培養(yǎng)學生主動探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神．

二、教學的重點、難點

重點：1.等差數(shù)列的概念的理解與掌握.

2.等差數(shù)列的通項公式的推導及應用.

難點：1.理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義；

2.從方程的觀點看通項公式并解決一些簡單的實際問題．

三、課型:新授課

四、教具學具準備:多媒體、課件.

五、教學方法:啟發(fā)發(fā)現(xiàn)法、誘導思維法、類比分析法、分組討論法、講練結合法．

六、教學過程：

（一）創(chuàng)設情境引入課題(約2分鐘)

通過上節(jié)課學習內容，引入本節(jié)課.前面我們共同學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列的兩種方法—通項公式和遞推公式.這兩個公式從不同的角度反映了數(shù)列的特點，本節(jié)課我們來研究一

個特殊的數(shù)列．

幻燈片展示兩則小故事，引導閱讀兩則小故事，激發(fā)學生學習的興趣,引入新課．

1．小芳覺得自己英語成績很棒，她目前的單詞量多達3000她打算從今天起不再背單詞了，結果不知不覺地每天忘掉5個單詞，那么從今天開始，她的單詞量逐日遞減，依次為：3000，2995，2990，2985，…

（問：多少天后她那3000個單詞全部忘光？）

2．小明覺得自己英語成績很差，目前他的單詞量只yes,no,you,me,he5個單詞，他決定從今天起每天背記10個單詞，那么從今天開始，他的單詞量逐日增加，依次為：5，15，25，35，…

（問：多少天后他的單詞量達到3000？）

學生仔細觀察，認真思考．

（板書課題）

（教學設想：創(chuàng)設問題情境，引起學生學習興趣，激發(fā)他們的求知欲，培養(yǎng)學生由特殊到

一般的認知能力．使學生認識到生活離不開數(shù)學，同樣數(shù)學也是離不開生活的．學會在生活中挖掘數(shù)學問題，解決數(shù)學問題，使數(shù)學生活化，生活數(shù)學化．）

（二）、新課探究，推導公式

1.等差數(shù)列的概念．(約10分鐘)

引導學生觀察下面幾組列數(shù)，并分析它們的共同特點，歸納出等差數(shù)列的定義．

觀察下面幾組列數(shù)，并分析它們的共同特點：

38,40,42,44,46,48,50,52,54,56.

10500,10000,9500,9000,8500,8000,7500.

2，2，2，2，2，2，2，2……

學生積極思考，找出上述數(shù)列的共同特點．師生共同歸納出等差數(shù)列的定義．

定義：一般地,如果一個數(shù)列從第２項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.

數(shù)學語言：an－an－1=d

（d是常數(shù)，n≥2，n∈N*）

師生共同分析等差數(shù)列的定義，對等差數(shù)列進一步的理解，培養(yǎng)學生的觀察歸納能力．

強調定義的理解：

第二項起；

每一項與它的前一項的差,不能顛倒；

“同一個常數(shù)”，可以是整數(shù)，也可以是0和負數(shù)；

求公差d時，可以用d=an–an－1，也可以用d=an+1–an；

d=an–an－1或d=an+1–an是證明或判斷等差數(shù)列的依據；

公差d∈R，當d=0時，數(shù)列為常數(shù)列，d>0時,數(shù)列為遞增數(shù)列，d<0時,數(shù)列為遞減數(shù)列．

練習：判斷下列各組數(shù)列中哪些是等差數(shù)列，哪些不是？如果是，寫出首項a1和公差d.

(1)3，0，-3，-6，-9；

(2)

(3)lg1，lg2，lg4，lg8，lg16；

(4)

(5)

(6)–1，1，-1，1，–1，1．

（教學設想：通過練習，加深對概念的理解）

2．等差數(shù)列的通項公式：(約8分鐘)

方法一：不完全歸納法

如果等差數(shù)列｛an｝首項是a1，公差是d，那么根據等差數(shù)列的定義可得：

即：

即：

即：

……

［提出問題］：如果等差數(shù)列｛an｝首項是a1，公差是d，那么這個等差數(shù)列的通項公式如何表示？

由此可得：

驗證：當n=1時,上式兩邊均等于a1，即等式也成立這表明當n∈N*時上式都成立，因而它就

是等差數(shù)列{an}的通項公式.

［教師此時指出］：這種求通項公式的辦法叫不完全歸納法，這種導出公式的方法不夠嚴密，學習后續(xù)有關知識后我們可對這個公式進行嚴格的證明］．

在這里向大家介紹另外一種求數(shù)列通項公式的辦法-疊加法：

方法二：疊加法

將這（n－1）個等式左右兩邊分別相加，則可得：

an-a1=(n-1)d

an=a1+(n-1)d

驗證：當n=1時,上式兩邊均等于a1，即等式也成立這表明當n∈N*時上式都成立，因而

它就是等差數(shù)列{an}的通項公式.

由此得到等差數(shù)列的通項式

an=a1+(n-1)d

an第n項

a1首項

n項數(shù)

d公差

強調理解：

已知a1與d,可以求得數(shù)列中的任一項，也可以檢驗某數(shù)是否為該數(shù)列中的一項；

在an，a1，n，d這四個變量中，知道其中三個量就可以求余下的一個量，即知三求一.

（三）應用例解:(約15分鐘)

例1.(1)求等差數(shù)列8，5，2,……的第20項．

(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13……的項？如果是，是第幾項？

(1)分析：由給出的等差數(shù)列前三項，先找到首項a1,求出公差d,寫出通項公式，就可以求出第20項a20，強調當數(shù)列｛an｝的項數(shù)n已知時，下標應是確切的數(shù)字．

解：由題意得，a1=8,d=-3

∴a20=a1+19d=8+19×(-3)=-49

(2)分析：實際上是求一個方程的正整數(shù)解的問題．這類問題學生以前見得較少，可向學生著重點出本問題的實質：要判斷-401是不是數(shù)列的項，關鍵是求出數(shù)列的通項公式an，判斷是否存在正整數(shù)n，使得an=-401成立．

解：由題意得,a1=-5,d=-4,an=-401

an=a1+(n-1)d

-401=-5+(n-1)×(-4)

∴n=100

∴-401是這個數(shù)列的第100項．

例2.在等差數(shù)列｛an}中，已知a5=10,a12=31,求首項a1與公差d．

分析：等差數(shù)列通項公式中的a1、d、n、an這4個量之間的關系．當其中的部分量已知時，可根據該公式求出另一部分量．

解：由題意，

即

解之得a1=-2

d=3.

思考:已知數(shù)列中任意兩項，可求出首項和公差，主要是聯(lián)立二元一次方程組．現(xiàn)在能求出任一項嗎？比如能求出a25嗎？

解：由上面所解得：

若不求首項只求公差，能求出a25嗎？這種題型有簡便方法嗎？

通項公式的推廣公式：

思考：已知等差數(shù)列{an}中，am,d是常數(shù)，如何任一項an的值.試求an的值.

解：設等差數(shù)列{an}的首項是a1，依題意可得：

-得：an-am=a1+(n–1)d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d

∴an=am+(n-m)d

由此得到通項公式的推廣公式：an=am+(n-m)d

注意本公式當m≠n有一個變式：

強調理解：已知等差數(shù)列的任意兩項，可以確定數(shù)列的任意一項.

例3.已知等差數(shù)列{an}中，a3=9,a9=3,求a12和a3n.

分析：已知等差數(shù)列中的a3和a9，可以先利用公式求出公差d，再用公式求出a12和a3n.

解:由公式得：

(四)．練習反饋強化目標(約8分鐘)

P113練習第1題和第2題．

（要求學生在規(guī)定時間內做完上述題目，教師提問，教學設想：對學生進行基本技能訓練,培養(yǎng)學生的計算速度和計算能力.）

（五）歸納小結提煉精華(約2分鐘)

本節(jié)課我們主要學習了：

1.等差數(shù)列的概念及數(shù)學表達式：an-an-1=d(n≥2)，要會由定義判定一個數(shù)列是否等差數(shù)列.

2.等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n－1)d（n∈N*），能靈活應用通項公式（應用方程的思想，會知三求一）.

3.還要注意對一個重要的推廣公式an=am+(n-m)d的理解與應用．

（六）課后作業(yè)運用鞏固．

（1）課本P114習題3.2第1，2，3題．

（2）預習課本P112-113.

預習提綱：1.例三，例四，如何由等差數(shù)列的定義及通項公式解決實際問題；

2.什么是數(shù)列的等差中項，它有哪些性質？

3.