《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)

《等差數(shù)列》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容分析

本章是在學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)、基本初等函數(shù)、三角函數(shù)之后，又來研究學(xué)習(xí)的一類特殊的函數(shù)—數(shù)列，因此，可類比函數(shù)的研究方法來學(xué)習(xí)數(shù)列的有關(guān)知識.

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用.數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分,而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法—通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上,對數(shù)列的知識進(jìn)一步深入和拓廣.同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類比”的思想方法。課標(biāo)要求：(1)理解等差數(shù)列的概念,掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；(3)能在具體的問題情境中,識別數(shù)列的等差關(guān)系,會(huì)用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題。學(xué)情分析1、學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)知識,能以函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識等差數(shù)列,但要以函數(shù)觀點(diǎn)解題還有些困難。2、經(jīng)過前面的學(xué)習(xí),大部分學(xué)生有了一定的知識經(jīng)驗(yàn),具備了一定的抽象思維能力和演繹推理能力,但還有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣不濃,還需從生活實(shí)例出發(fā),注意引導(dǎo)、啟發(fā)以符合學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn),促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。設(shè)計(jì)思想1、教法本節(jié)課主要采用自主探究式教學(xué)方法．充分利用現(xiàn)實(shí)情景，盡可能地增加教學(xué)過程的趣味性、實(shí)踐性．在教師的啟發(fā)指導(dǎo)下，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)參與，讓學(xué)生自己去分析、探索，在探索過程中研究和領(lǐng)悟得出的結(jié)論，從而達(dá)到使學(xué)生既獲得知識又發(fā)展智能的目的。2、學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題概括出數(shù)組特征并抽象出等差數(shù)列的概念,推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。在引導(dǎo)分析時(shí),留出一定的時(shí)間讓學(xué)生去聯(lián)想、探索,鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑,把思路方法和要解決的問題弄清。教學(xué)目標(biāo)1、知識目標(biāo)：理解等差數(shù)列定義，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納能力，在學(xué)習(xí)過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、歸納思想和化歸思想并加深認(rèn)識；通過概念的引入與通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用公式解決實(shí)際問題的能力。3、情感目標(biāo):通過對等差數(shù)列的研究,使學(xué)生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內(nèi)在聯(lián)系,滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點(diǎn),加強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)重點(diǎn)等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)“等差”的理解及通項(xiàng)公式的含義,理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。教學(xué)過程一.等差數(shù)列的概念教學(xué)（一）創(chuàng)設(shè)問題情境在現(xiàn)實(shí)生活中,我們會(huì)遇到下面的特殊數(shù)列。我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù),從0開始,每隔5數(shù)一次,可以得到數(shù)列:0,5,

,

,

,

,…；2000年悉尼奧運(yùn)會(huì)，女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目.該項(xiàng)目共設(shè)置了7個(gè)級別,其中較輕的4個(gè)級別體重組成數(shù)列(單位:kg):48，53，58，63；水庫的管理員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個(gè)水庫的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進(jìn)行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數(shù)列（單位：m）:18，15.5，13，10．5，8，5．5；時(shí)間年初本金（元）年末本利和（元）第1年1000010072第2年1000010144第3年1000010216第4年1000010288第5年1000010360我國現(xiàn)行儲(chǔ)蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計(jì)算下一期的利息.按照單利計(jì)算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率存期）例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末本利和分別是：各年末本利和（單位：元）

10072，10144，10216，10288，10360從上面幾個(gè)例中，我們得到四個(gè)數(shù)列：(1)0

5

10

15

20……;

(2)48

53

58

63；(3)18

15.5

13

10.5

8

5.5;；

(4)10072

10144

10216

10288

10360問題1：觀察這幾個(gè)數(shù)列,能不能和研究實(shí)數(shù)一樣,研究它們項(xiàng)與項(xiàng)之間和關(guān)系、運(yùn)算和性質(zhì)?問題2：你發(fā)現(xiàn)了這四個(gè)數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間存在的共同特征了嗎?能否用語言來描述它?問題3：能否用數(shù)學(xué)符號一刻畫這一特征?師生互動(dòng)：教師出示引例，學(xué)生發(fā)表各自的意見,并提出問題．（2）學(xué)生觀察、回答．教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)（即等差）．我們給具有這種特征的數(shù)列一個(gè)名字——等差數(shù)列。設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)例引入,實(shí)質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實(shí)背景,目的是讓學(xué)生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)學(xué)模型.通過分析,由特殊到一般，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究知識的自主性，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力。（二）等差數(shù)列的定義1．等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。以上四組等差數(shù)列的公差依次是：5,5,-2.5,72.等差數(shù)列的例子，在生活中有很多，誰能再舉幾個(gè)？2．等差中項(xiàng)提問:若在a與b之間插入一個(gè)數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A應(yīng)滿足什么每件?由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可能看成最簡單的等差數(shù)列.這時(shí),A叫做a與b的等差中項(xiàng)。師生互動(dòng):教師板書定義．學(xué)生認(rèn)真閱讀課本相關(guān)概念,找出關(guān)鍵字,解讀定義.

由學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行回答。設(shè)計(jì)意圖:通過閱讀和找關(guān)鍵字解讀定義,提高學(xué)生的閱讀水平和概括能力,學(xué)會(huì)抓重點(diǎn).讓學(xué)生參與到知識的形成過程中,體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感。(三)嘗試應(yīng)用你能判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列嗎？(1)1，2，4，6，8，10，12，…；

(2)0，1，2，3，4，5，6，…；(3)3，3，3，3，3，3，3，…；

(4)a,a,a,a,a,a,…；(5)－8，－6，－4，0，2，4，…；(6)3，0，－3，－6，－9，…．你能說出上述等差數(shù)列中的公差嗎？師生互動(dòng)：教師出示題目,學(xué)生思考回答．教師訂正并強(qiáng)調(diào)求公差應(yīng)注意的問題．注意：求公差d一定要用后項(xiàng)減前項(xiàng)，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)．特別地，數(shù)列3，3，3，3，3，3，3，…及a,a,a,a,a,…也是等差數(shù)列，它們的公差為0．公差為0的數(shù)列叫做常數(shù)列.設(shè)計(jì)意圖:強(qiáng)化學(xué)生對等差數(shù)列“等差”特征的理解，把握和應(yīng)用.二．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的教學(xué)（一）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對于以上的等差數(shù)列，我們能否用通項(xiàng)公式將它們表示出來？(1)通過研究數(shù)列{}的第n項(xiàng)與序號n之間的關(guān)系去寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.問題:能否寫出上面幾個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式?(2)如果已知一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差d,它的通項(xiàng)公式是什么?師生互動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義進(jìn)行歸納:

即：;即：;即：;……

至此，讓學(xué)生自己猜想通項(xiàng)公式是什么，使學(xué)生體會(huì)歸納、猜想在得出新結(jié)論中的作用.首項(xiàng)是，公差是d的等差數(shù)列{}的通項(xiàng)公式可以表示為.方法主要有：歸納法，累加法,此外還有迭代法等.此處由歸納得出的公式只是一個(gè)猜想，嚴(yán)格的證明需要用數(shù)學(xué)歸納法的知識，在這里，我們暫且先承認(rèn)它，我們能否再探索一下其他的推導(dǎo)方法？（然后學(xué)生在教師的引導(dǎo)下一起探索另外的推導(dǎo)方法）.設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學(xué)生合理的推理能力．學(xué)生在分組合作探究過程中，可能會(huì)找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點(diǎn)評，并及時(shí)肯定、贊揚(yáng)學(xué)生善于動(dòng)腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識．鼓勵(lì)學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力．（二）通項(xiàng)公式的應(yīng)用根據(jù)這個(gè)通項(xiàng)公式，只要已知首項(xiàng)a1和公差d，便可求得等差數(shù)列的任意項(xiàng)．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中共有幾個(gè)變量？師生互動(dòng):留給學(xué)生自主思考的時(shí)間，并鼓勵(lì)其發(fā)表各自的意見.事實(shí)上，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中共有四個(gè)變量，知道其中三個(gè)，便可求出第四個(gè)．（三）應(yīng)用鞏固例1(1)求等差數(shù)列8，5，2，…的通項(xiàng)公式和第20項(xiàng);(2)-401是不是等差數(shù)列-5,-9,-13,…的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?師生互動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生分析本題，已知什么?求什么?怎么求?學(xué)生思考、說出已知、所求，代入通項(xiàng)公式.強(qiáng)調(diào):通項(xiàng)公式是用含有n的式子表示.學(xué)生嘗試解答后,師生共同板書解題過程．設(shè)計(jì)意圖:通過例題,強(qiáng)化學(xué)生對等差數(shù)列通項(xiàng)公式的理解,強(qiáng)化學(xué)生學(xué)以致用的意識.并讓學(xué)生充分的參與課堂.例2:某市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價(jià)為10元，即最初的4km（不含4km）計(jì)費(fèi)為10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0，需要支付多少車費(fèi)？師生互動(dòng):教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥,幫助學(xué)生建立等差數(shù)列模型,學(xué)生解答．多媒體出示解題過程．學(xué)生核對、訂正．教師強(qiáng)調(diào)解題過程要規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)．設(shè)計(jì)意圖:學(xué)以致用,將所學(xué)知識應(yīng)用到具體生活中去,加深概念的理解.反饋練習(xí)1：1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，…的第4，7，10項(xiàng)．（2）求等差數(shù)列10，8，6，…的第20項(xiàng)．2.在等差數(shù)列{an}中：（1）d=－1，

=8，求；（2）

=12，=27，求d．師生互動(dòng):學(xué)生練習(xí),并請一學(xué)生在黑板上板演，教師巡視指導(dǎo)，師生共同訂正．設(shè)計(jì)意圖:由特殊到一般，發(fā)揮學(xué)生的自主性，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力．例3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其中p,q是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，其首項(xiàng)與公差是什么？師生互動(dòng):教師出示例題,學(xué)生同桌之間合作探究,學(xué)生分析解題思路,分組討論,讓各組學(xué)生代表分別發(fā)表自己的見解.教師出示答案，訂正．設(shè)計(jì)意圖:培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力,在小組討論中提高學(xué)生的組織與歸納的能力,進(jìn)一步培養(yǎng)團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神.反饋練習(xí)2：1.已知等差數(shù)列{}中，

=6，

=16，求和公差d.2.已知等差數(shù)列{}中，

=20，=-1，求.師生互動(dòng):練習(xí)由學(xué)生獨(dú)立完成并回答各題結(jié)果，統(tǒng)一訂正答案．設(shè)計(jì)意圖:鼓勵(lì)學(xué)生自主解答，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力．課堂小結(jié)，提煉升華通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)、研討，大家來談一談自己體會(huì)最深刻的是什么？可以從以下幾個(gè)方面總結(jié)：1.知識技能方面；2.過程與方法方面；3.情感方面.設(shè)計(jì)意圖:由學(xué)生總結(jié),深化知識理解,完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),領(lǐng)悟思想方法,提高認(rèn)知能力,培養(yǎng)學(xué)生自主獲取知識的能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.作業(yè)設(shè)計(jì)1.教材P40，習(xí)題A第1(3)，2，4題,．2.變式：若數(shù)列{}是等差數(shù)列,若

（k為常數(shù)）,試證明：數(shù)列{}是等差數(shù)列.

設(shè)計(jì)意圖:鞏固拓展．變式題是對學(xué)生進(jìn)行數(shù)列問題提高訓(xùn)練，學(xué)習(xí)如何用定義證明數(shù)列問題同時(shí)強(qiáng)化了等差數(shù)列的概念。板書設(shè)計(jì):課題:2.2等差數(shù)列一.等