廣東揭陽市惠來縣第一中學2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析

廣東揭陽市惠來縣第一中學2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．2．若的展開式中二項式系數(shù)和為256，則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為（）A．85 B．84 C．57 D．563．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．5．已知某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（）A．3 B． C． D．6．數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結(jié)論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④7．設(shè)曲線在點處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．48．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．89．已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，直線與拋物線交于，兩點，若，則為()A． B．40 C．16 D．10．我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15(單位：升)，則輸入的k的值為（）?A．45 B．60 C．75 D．10011．函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．12．已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過作雙曲線的一條漸近線的垂線，分別交兩條漸近線于點、，過點作軸的垂線，垂足恰為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．六位同學坐在一排，現(xiàn)讓六位同學重新坐，恰有兩位同學坐自己原來的位置，則不同的坐法有________種（用數(shù)字回答）.14．已知，滿足約束條件則的最大值為__________.15．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，如圖是過且垂直于長軸的弦，則的內(nèi)切圓方程是________.16．邊長為2的菱形中,與交于點O,E是線段的中點,的延長線與相交于點F,若,則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解廣大學生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位學生家長僅有一次參加機會，現(xiàn)對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統(tǒng)計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布，其中近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.（1）請利用正態(tài)分布的知識求；（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學生家長制定如下獎勵方案：①得分不低于的可以獲贈2次隨機話費，得分低于的可以獲贈1次隨機話費：②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為：獲贈的隨機話費（單位：元）概率市食品安全檢測部門預(yù)計參加此次活動的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費？附：①；②若；則，，.18．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值；（2）記關(guān)于的方程的兩根分別為，求證：.19．（12分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，解關(guān)于的不等式；（2）若對任意，都存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：，恒成立.22．（10分）某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計，可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓的半徑為，設(shè)，圓錐的側(cè)面積為.（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時腰的長度.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當直線經(jīng)過點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

先求，再確定展開式中的有理項，最后求系數(shù)之和.【詳解】解：的展開式中二項式系數(shù)和為256故，要求展開式中的有理項，則則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為：故選：A【點睛】考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定，基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合即可求得的范圍；對于當時，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應(yīng)用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中檔題.4、D【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】由三視圖知：幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，如圖：

直三棱柱的體積為，消去的三棱錐的體積為，

∴幾何體的體積，故選B.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)是解答此類問題的關(guān)鍵；幾何體是直三棱柱消去一個三棱錐，結(jié)合直觀圖分別求出直三棱柱的體積和消去的三棱錐的體積，相減可得幾何體的體積.6、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；當變?yōu)闀r，不變，所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設(shè)任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.7、D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【詳解】因為，且在點處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題8、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．9、D【解析】

如圖所示，過分別作于，于，利用和，聯(lián)立方程組計算得到答案.【詳解】如圖所示：過分別作于，于.，則，根據(jù)得到：，即，根據(jù)得到：，即，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了拋物線中弦長問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.10、B【解析】

根據(jù)程序框圖中程序的功能，可以列方程計算．【詳解】由題意，．故選：B.【點睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵．11、A【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，，該函數(shù)為偶函數(shù)，排除B、D選項；當時，，排除C選項.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象，一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點以及函數(shù)值符號，結(jié)合排除法得出結(jié)果，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.12、B【解析】

設(shè)點位于第二象限，可求得點的坐標，再由直線與直線垂直，轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之積為可得出的值，進而可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)點位于第二象限，由于軸，則點的橫坐標為，縱坐標為，即點，由題意可知，直線與直線垂直，，，因此，雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的計算，解答的關(guān)鍵就是得出、、的等量關(guān)系，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、135【解析】

根據(jù)題意先確定2個人位置不變，共有種選擇，再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個人位置不變，共有種選擇.再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，共有種選擇，故不同的坐法有.故答案為：.【點睛】本題考查了分步乘法原理，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.14、1【解析】

先畫出約束條件的可行域，根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點，代入目標函數(shù)的解析式，易可得到目標函數(shù)的最大值．【詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當平行直線過點時，取得最大值為：.故答案為：1．【點睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.15、【解析】

利用公式計算出，其中為的周長，為內(nèi)切圓半徑，再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標.【詳解】由已知，，，，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，則，故有，解得，由，或（舍），所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為：.【點睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題，涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識，考查學生的運算能力，是一道中檔題.16、【解析】

取基向量，，然后根據(jù)三點共線以及向量加減法運算法則將，表示為基向量后再相乘可得．【詳解】如圖：設(shè)，又，且存在實數(shù)使得，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）估計此次活動可能贈送出100000元話費【解析】

（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.（2）設(shè)某家長參加活動可獲贈話費為元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動可能贈送出的話費數(shù)額.【詳解】（1）根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得又，，所以；（2）根據(jù)題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值有10，20，30，40元，且每位家長獲得贈送1次、2次話費的概率都為，得10元的情況為低于平均值，概率，得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費；得分不低于平均值，2次均獲贈10元話費，概率，得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈10元話費，另一次獲贈20元話費，其概率為，得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機會均獲20元話費，概率為.所以變量的分布列為：某家長獲贈話費的期望為.所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.【點睛】本題考查正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望，注意與正態(tài)分布有關(guān)的計算要利用該分布的密度函數(shù)圖象的對稱性來進行，本題屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)討論，得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，進而求出極值；（2）是方程的兩根，代入方程，化簡換元，構(gòu)造新函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性求最值可解.【詳解】（1）依題意，；若，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)既無極大值，也無極小值；若，則，令，解得，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；若，則，令，解得，故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，此時函數(shù)有極大值，無極小值；（2）依題意，，則，，故，；要證：，即證，即證：，即證，設(shè)，只需證：，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，故，即，故.【點睛】本題考查函數(shù)極值及利用導(dǎo)數(shù)證明二元不等式.證明二元不等式常用方法是轉(zhuǎn)化為證明一元不等式，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本方法：(1)若與的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明；(2)若與的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或最值，證明.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將目標式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡求得結(jié)果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結(jié)合即可求得周長.【詳解】（1）由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴，所以或.當，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長為.【點睛】本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應(yīng)用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值號，然后解不等式即可.（2）因為對任意，都存在，使得不等式成立，等價于，根據(jù)絕對值不等式易求，根據(jù)二次函數(shù)易求，然后解不等式即可.【詳解】解