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文檔簡介
2025屆遼寧省大連大世界高中高考仿真卷數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)命題:,,則為A., B.,C., D.,2.使得的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A. B. C. D.3.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則a的值為()A. B.3 C.1 D.4.過圓外一點引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點的直線方程是().A. B. C. D.5.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.26.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫()A. B. C. D.7.執(zhí)行下面的程序框圖,如果輸入,,則計算機輸出的數(shù)是()A. B. C. D.8.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q9.我國南北朝時的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問各得金幾何?”則在該問題中,等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金()A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤10.已知等差數(shù)列的公差不為零,且,,構(gòu)成新的等差數(shù)列,為的前項和,若存在使得,則()A.10 B.11 C.12 D.1311.在中,角所對的邊分別為,已知,.當變化時,若存在最大值,則正數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.12.函數(shù)與在上最多有n個交點,交點分別為(,……,n),則()A.7 B.8 C.9 D.10二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.“”是“”的__________條件.(填寫“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)14.曲線在處的切線的斜率為________.15.已知雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩漸近線對稱點重合,則雙曲線的離心率為_____16.已知一組數(shù)據(jù),1,0,,的方差為10,則________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點;(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點,求證:;(3)若,且不等式對一切正實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.18.(12分)已知六面體如圖所示,平面,,,,,,是棱上的點,且滿足.(1)求證:直線平面;(2)求二面角的正弦值.19.(12分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點,且,的平分線交于點,求線段的長.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)在處的切線方程;(2)若函數(shù)沒有零點,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)在平面直角坐標系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中,直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程;(2)過點且與直線平行的直線交于,兩點,求點到,的距離之積.22.(10分)在直角坐標系中,是過定點且傾斜角為的直線;在極坐標系(以坐標原點為極點,以軸非負半軸為極軸,取相同單位長度)中,曲線的極坐標方程為.(1)寫出直線的參數(shù)方程,并將曲線的方程化為直角坐標方程;(2)若曲線與直線相交于不同的兩點,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題,所以,命題:,,則為:,.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定,特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系,是基礎(chǔ)題.2、B【解析】二項式展開式的通項公式為,若展開式中有常數(shù)項,則,解得,當r取2時,n的最小值為5,故選B【考點定位】本題考查二項式定理的應(yīng)用.3、D【解析】
整理復(fù)數(shù)為的形式,由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數(shù),所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)范圍,考查復(fù)數(shù)的除法運算.4、A【解析】過圓外一點,引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點的直線方程為,故選.5、D【解析】
設(shè),,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設(shè),,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題和易錯題.6、B【解析】
模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫“”故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、B【解析】
先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù),再利用輾轉(zhuǎn)相除法計算即可.【詳解】本程序框圖的功能是計算,中的最大公約數(shù),所以,,,故當輸入,,則計算機輸出的數(shù)是57.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖的功能,做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么,本題是一道基礎(chǔ)題.8、B【解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M點睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運用、幾何概型的特征與計算公式的運用等知識與方法的綜合運用,以及分析問題解決問題的能力。9、C【解析】設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列則由等差數(shù)列的性質(zhì)得,故選C10、D【解析】
利用等差數(shù)列的通項公式可得,再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由,,構(gòu)成等差數(shù)列可得即又解得:又所以時,.故選:D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前項和公式,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
因為,,所以根據(jù)正弦定理可得,所以,,所以,其中,,因為存在最大值,所以由,可得,所以,所以,解得,所以正數(shù)的取值范圍為,故選C.12、C【解析】
根據(jù)直線過定點,采用數(shù)形結(jié)合,可得最多交點個數(shù),然后利用對稱性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:直線過定點且在是關(guān)于對稱如圖通過圖像可知:直線與最多有9個交點同時點左、右邊各四個交點關(guān)于對稱所以故選:C【點睛】本題考查函數(shù)對稱性的應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合,難點在于正確畫出圖像,同時掌握基礎(chǔ)函數(shù)的性質(zhì),屬難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、充分不必要【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判斷命題的關(guān)系.【詳解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要條件.故答案為:充分不必要【點睛】本題考查命題的充分條件與必要條件的判斷,考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用.14、【解析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令,即可求出切線斜率.【詳解】,,,即曲線在處的切線的斜率.故答案為:【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合,可得一條漸近線的斜率為1,即,即可求出雙曲線的離心率.【詳解】解:雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合,一條漸近線的斜率為1,即,,,故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的離心率,考查學(xué)生的計算能力,確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16、7或【解析】
依據(jù)方差公式列出方程,解出即可.【詳解】,1,0,,的平均數(shù)為,所以解得或.【點睛】本題主要考查方差公式的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】
(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構(gòu)造函數(shù)進而求證;(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設(shè),分類討論進而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當時,,在上單調(diào)遞增;當時,,在單調(diào)遞減;所以,所以的零點為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當且僅當時等號成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設(shè),,記,△,①當△時,即時,恒成立,故單調(diào)遞增.于是當時,,又,故,當時,,又,故,又當時,,因此,當時,,②當△,即時,設(shè)的兩個不等實根分別為,,又,于是,故當時,,從而在單調(diào)遞減;當時,,此時,于是,即舍去,綜上,的取值范圍是.【點睛】(1)考查函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,零點;(2)考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求極值;(3)考查分類討論思想,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的求導(dǎo);屬于難題.18、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)連接,設(shè),連接.通過證明,證得直線平面.(2)建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的正弦值.【詳解】(1)連接,設(shè),連接,因為,所以,所以,在中,因為,所以,且平面,故平面.(2)因為,,,,,所以,因為,平面,所以平面,所以,,取所在直線為軸,取所在直線為軸,取所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,由已知可得,,,,所以,因為,所以,所以點的坐標為,所以,,設(shè)為平面的法向量,則,令,解得,,所以,即為平面的一個法向量.,同理可求得平面的一個法向量為所以所以二面角的正弦值為【點睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.19、(1),;(2).【解析】
(1)根據(jù)面積公式和數(shù)量積性質(zhì)求角及最大邊;(2)根據(jù)的長度求出,再根據(jù)面積比值求,從而求出.【詳解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因為在中,,所以,因為(當且僅當時取等),所以長的最小值為;(2)在三角形中,因為為中線,所以,,所以,因為,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因為為角平分線,,,或2,所以,或,所以.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算,余弦定理解三角形及三角形面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1).(2)【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性以及極值,從而得出的圖象,將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,由圖,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當時,,∴切線斜率,又切點∴切線方程為,即.(2),記,令得;∴的情況如下表:2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當時,取極大值又時,;時,若沒有零點,即的圖像與直線無公共點,由圖像知的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,屬于中檔題.21、(1)曲線:,直線的直角坐標方程;(2)1.【解析】試題分析:(1)先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線化為普通方程,再根據(jù)將直線的極坐標方程化為直角坐標方程;(2)根據(jù)題意設(shè)直線參數(shù)方程,代入C方程,利用參數(shù)幾何意義以及韋達定理得點到,的距離之積試題解析:(1)曲線化為普通方程為:,由,得,所以直線的直角坐標方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入化簡得:,設(shè)兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為,則,.22、(1)(為參數(shù)),;(2)【解析】分析:(1)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中表示之間的距離,而極坐標方程可化為,從而的直角方程為.(2)設(shè),則,利用在圓上得到滿足的方程,最后利用韋達定理就可求出兩
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