專題38 直線的方程-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破(原卷)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2專題38直線的方程8題型分類1．直線的方向向量設(shè)A，B為直線上的兩點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))就是這條直線的方向向量．2．直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.3．直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).4．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不含直線x＝x0斜截式y(tǒng)＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)(x1≠x2，y1≠y2)不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用常用結(jié)論1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意．3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個(gè)方向向量a＝(－B，A)．（一）1.正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式，根據(jù)該公式求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線斜率，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，傾斜角為，求斜率可用，其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互關(guān)聯(lián)，不可分割．牢記“斜率變化分兩段，是其分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．這可通過畫正切函數(shù)在上的圖像來認(rèn)識(shí)．2.直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．3.一般地，若已知，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，過點(diǎn)的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時(shí)，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時(shí)，在與的兩邊．題型1：求直線的傾斜角1-1．（2024高二上·江蘇無錫·期末）直線（a為常實(shí)數(shù)）的傾斜角的大小是．1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若直線的傾斜角滿足，則的取值范圍是1-3．（2024·安徽合肥·三模）已知直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．1-4．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知是直線的傾斜角，則的值為（

）A． B． C． D．1-5．（2024高二下·上海黃浦·期中）過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，那么.1-6．（陜西省渭南市白水縣2023~2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）若直線與直線的交點(diǎn)位于第一象限，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型2：求直線的斜率2-1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直2-2．（2024高二上·廣東潮州·期末）已知斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．02-3．（2024高二上·廣東）如圖，若直線的斜率分別為，則（

）

A． B．C． D．2-4．（2024高二下·廣東廣州·期末）在等差數(shù)列中，，直線過點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2-5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，則（

）A． B． C． D．2-6．（2024·廣東江門·一模）如圖，的頂點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A． B． C． D．題型3：三點(diǎn)共線問題3-1．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）已知三點(diǎn)在同一條直線上，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．123-2．（2024高二上·黑龍江·期末）若三點(diǎn)，，共線，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．6 B． C． D．23-3．（2024高一上·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）若三點(diǎn)（2，2），（，0），（0，），（）共線，則的值為A．1 B． C． D．題型4：過定點(diǎn)的直線與線段相交問題4-1．（2024高一下·浙江寧波·期中）已知點(diǎn).若直線與線段相交,則的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．4-2．（2024高一下·廣東惠州·期末）已知，，若直線與線段有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4-3．（2024高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或或（二）求直線方程的兩種方法(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式．(2)待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)．題型5：求直線的方程5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)且方向向量為的直線的方程為（

）A． B．C． D．5-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

）A． B．C．或 D．或5-3．（2024高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，，則線段AB的垂直平分線方程為（

）A． B． C． D．5-4．（2024高二上·福建漳州·期中）在中，若，，，則的角平分線所在直線的方程是（

）A． B．C． D．5-5．（2024高二·全國·課后作業(yè)）若直線l的方程中，，，則此直線必不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限（三）1.（1）由于已知直線的傾斜角（與斜率有關(guān)）及直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積（與截距有關(guān)），因而可選擇斜截式直線方程，也可選用截距式直線方程，故有“題目決定解法”之說.（2）在求直線方程時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式，每種形式都具有特定的結(jié)論，所以根據(jù)已知條件恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的類型往往有助于問題的解決.例如：已知一點(diǎn)的坐標(biāo)，求過這點(diǎn)的直線方程，通常選用點(diǎn)斜式，再由其他條件確定該直線在y軸上的截距；已知截距或兩點(diǎn)，選擇截距式或兩點(diǎn)式.在求直線方程的過程中，確定的類型后，一般采用待定系數(shù)法求解，但要注意對特殊情況的討論，以免遺漏.2.直線方程綜合問題的兩大類型及解法(1)與函數(shù)相結(jié)合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決．(2)與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)來解決．題型6：直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形問題6-1．（2024高三·河北衡水·周測）若一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為．6-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，直線l的方程為.6-3．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期中）直線l過點(diǎn)，且分別與軸正半軸交于、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn).(1)當(dāng)面積最小時(shí)，求直線l的方程；(2)求的最小值及此時(shí)直線l的方程.6-4．（2024高三上·江蘇無錫·開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線過定點(diǎn)，且與軸的正半軸交于點(diǎn)，與軸的正半軸交于點(diǎn).（1）當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程；（2）求面積的最小值.（四）若直線與直線的夾角為，則.題型7：兩直線的夾角問題7-1．（2024高三上·上海浦東新·期末）直線與直線所成夾角的余弦值等于7-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）直線與直線相交，則這兩條直線的夾角大小為.7-3．（2024高三·上海·專題練習(xí)）兩條直線，的夾角平分線所在直線的方程是．（五）解含有參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)問題的方法方法一：任給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解．方法二：含有一個(gè)參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn)，其定點(diǎn)可由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(diǎn)(x0，y0)．題型8：直線過定點(diǎn)問題8-1．（2024高二上·上海徐匯·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則直線過定點(diǎn).8-2．（2024高三上·福建南平·階段練習(xí)）直的方程為，則該直線過定點(diǎn)．8-3．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知直線過定點(diǎn)A，直線過定點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則．

一、單選題1．（2024高二上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·山東淄博·期中）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．（2024高二·全國·課堂例題）過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是135°，則y等于（

）A．1 B．5 C． D．4．（2024高二上·吉林白城·期中）直線l經(jīng)過，兩點(diǎn)，那么直線l的斜率的取值范圍為（

）．A． B． C． D．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的圖像上有一動(dòng)點(diǎn)，則在此動(dòng)點(diǎn)處切線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝（

）A．1±或0 B．或0C． D．或07．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)和，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C． D．8．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，若直線與線段沒有交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．9．（2024高二上·江西贛州·階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)?，若直線l過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．10．（2024高二·全國·課后作業(yè)）對方程表示的圖形，下列敘述中正確的是（

）A．斜率為2的一條直線B．斜率為的一條直線C．斜率為2的一條直線，且除去點(diǎn)（,6）D．斜率為的一條直線，且除去點(diǎn)（,6）11．（2024高二上·北京海淀·期末）經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線的方程是（

）A． B．C． D．12．（2024高二上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）方程表示的直線可能是（

）A． B．C． D．13．（2024高一下·四川德陽·階段練習(xí)）已知過定點(diǎn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．14．（2024高二上·安徽安慶·階段練習(xí)）已知直線的傾斜角為，且在軸上的截距為，則直線的方程為（）A． B．C． D．15．（2024高二下·福建廈門·階段練習(xí)）直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．120° D．150°16．（2024高三·全國·課后作業(yè)）若過點(diǎn)P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－2,1) B．(－1,2)C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)17．（2024高三·全國·課后作業(yè)）直線經(jīng)過第一、二、四象限，則a、b、c應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．18．（2024高二上·湖北荊門·階段練習(xí)）已知直線方程為，則該直線的傾斜角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°19．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知A（2，3），B（﹣1，2），若點(diǎn)P（x，y）在線段AB上，則的最大值為（）A．1 B． C． D．﹣320．（2024高一下·湖南長沙·期末）直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．21．（2024高一下·四川達(dá)州·期末）已知，，過點(diǎn)且斜率為的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列說法是錯(cuò)誤的為（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率就越大B．直線的斜率為tanα，則其傾斜角為αC．斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等D．經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示．23．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．k1＜k3＜k2 B．k3＜k2＜k1 C．α1＜α3＜α2 D．α3＜α2＜α124．（2024高二上·山東青島·期中）若直線過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線方程可能為（

）A． B．C． D．三、填空題25．（2024高三上·上海寶山·階段練習(xí)）已知直線，則與的夾角大小是.26．（2004·重慶）曲線與在交點(diǎn)處切線的夾角是．（用弧度數(shù)作答）27．（2024高二·全國·課后作業(yè)）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為．28．（2024·陜西咸陽·二模）直線恒過定點(diǎn)A，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為．29．（2024高二下·上海浦東新·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù)、、成等差數(shù)列，則直線必經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)坐標(biāo)為.30．（2008·江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，點(diǎn)在線段OA上（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，一同學(xué)已正確算出的方程：，請你求OF的方程：．31．（2024高二上·四川成都·期中）已知直線過點(diǎn)，且分別與軸的正半軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，則面積最小值為．32．（2024高二·江蘇·專題練習(xí)）已知點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，，直線l：與線段PQ的延長線相交，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.33．（2024高二上·黑龍江伊春·階段練習(xí)）已知,，點(diǎn)是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是.34．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）P(x，y)在線段上運(yùn)動(dòng)，已知，則的取值范圍是.35．（2024高二上·山西晉城·期中）若某直線經(jīng)過A（，），B（1，）兩點(diǎn)，則此直線的傾斜角為.36．（2024高二上·山東日照·階段練習(xí)）過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是．37．（2024高二·全國·課后作業(yè)）設(shè)直線l過點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為條．38．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在的直線方程為.39．（2024高一下·湖南長沙·階段練習(xí)）若點(diǎn)三點(diǎn)共線，則的值為．40．（2024·全國·模擬預(yù)測）若正方形一邊對角線所在直線的斜率為，則兩條鄰邊所在直線斜率分別為，.41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（2,－），且它的傾斜角等于直線x－y＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為；42．（2024高三·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則這條直線的方程為；43．（2024高三·全國·專題練習(xí)）經(jīng)過兩條直線，的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量的直線方程為．44．（2024高三·上海·專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，、邊中線方程分別為、，則直線的方程為．45．（2024高二·全國·課后作業(yè)）已知直線l與直線的斜率相等，直線l與x軸的交點(diǎn)為，且a比直線l在y軸上的截距大1，則直線l的斜截式方程為．46．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知直線在x軸上的截距的取值范圍是，則其斜率的取值范圍是．四、解答題47．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．48．（2024高二上·北京懷柔·期中）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若直線過點(diǎn)，求直線的方程，并求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；(2)如果直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，求直線的方程．49．（2024高二上·湖南·階段練習(xí)）已知直線l過點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A?與y軸正半軸交于點(diǎn)B.（1）求面積最小時(shí)直線l的方程（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（2）求的最小值及取得最小值時(shí)l的直線方程.50．（2024高二上·江西吉安·階段練習(xí)）過點(diǎn)的動(dòng)直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn).（Ⅰ）求(為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積最小值，并求取得最小值時(shí)直線的方程.（Ⅱ）設(shè)是的面積取得最小值時(shí)的內(nèi)切圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.51．（2024高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知直線：．（1）求經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)．①的面積為，求的最小值和此時(shí)直線的方程；②當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程．52．（2024高二上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過定點(diǎn)P．(1)證明：無論k取何值，直線l始終過第二象限；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線l的方程．53．（2024高二上·上海楊浦·期中）已知直線l過定點(diǎn)，且交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A、交y軸正半軸于點(diǎn)B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)若的面積為4，求直線l的方程；(2)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程；(3)求的最小值，并求此時(shí)直線l的方程．54．（2024高三·全國·對口高考）在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為、、，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌