華師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)全冊(cè)教案（2021年春修訂）

華師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

全冊(cè)教案設(shè)計(jì)

2021-1-24

第16章分式

16.1分式及其基本性質(zhì)

1.分式

請(qǐng)教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.了解分式的概念，明確分式和整式的區(qū)別

2.使學(xué)生能夠求出分式有意義的條件

【過程與方法】

讓學(xué)生經(jīng)歷用字母表示實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的過程，體會(huì)分式是表示現(xiàn)實(shí)世

界中的一類量的數(shù)學(xué)模型

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、類比的思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主探索，合作交流

【教學(xué)重點(diǎn)】

理解分式有意義的條件，分式的值為零的條件

【教學(xué)難點(diǎn)】

能熟練地求出分式有意義的條件，分式的值為零的條件

德教與15睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

下列有理式中哪些是整式？

a,-3x2y3,5x-1,x2+xy+y2,一-一,—,

m-ny

amc

9a-l于％

【教學(xué)說明】因?yàn)榉质礁拍畹膶W(xué)習(xí)是學(xué)生通過觀察，比較分式與整式的區(qū)別

從而獲得分式的概念，所以必須熟練掌握整式的概念.

二、思考探究，獲取新知

探究：分式的概念

做一做

（1）面積為2平方米的長方形一邊長3米，則它的另一邊長為一米；

（2）面積為S平方米的長方形一邊長a米，則它的另一邊長為一米，

（3）一箱蘋果售價(jià)p元，總重m千克，箱重n千克，則每千克蘋果的售價(jià)

是___元；

問題：觀察你所列的3個(gè)式子，它們有什么共同點(diǎn)？你能歸納嗎？

【歸納結(jié)論】形如A/B（A、B是整式，且B中含有字母，BWO）的式子，叫做

分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.整式和分式統(tǒng)稱有理式，即有

整式

有理式

分式.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過觀察、歸納、總結(jié)出整式與分式的異同，從而得出

分式的概念.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.見教材P2例：1、P3例2.

2.下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（l）g,（2）2a+6,（3）-汜,（4）；0+/

2a4-X2

解：（2）、（4）是整式，（1）、（3）是分式.

3.x取什么值時(shí)，下列分式無意義？

解：（1）因?yàn)楫?dāng)分母的值為零時(shí)，分式?jīng)]有意義.

由2x?3=0,得x=3/2

所以當(dāng)x=3/2時(shí)，分式無意義.

（2）因?yàn)楫?dāng)分母的值為零時(shí)，分式?jīng)]有意義.

由5x+10=0,得x=-2

所以當(dāng)x=-2時(shí)，分式無意義.

4.若分式三有意義，貝Jx的取值范圍是（）

x-3

A.xw3B.xw-3

C.x>3D.x>-3

2

解：當(dāng)分母X-3X0,即XH3時(shí)，分式三有意義.故選A

x-3

5.若分式目二1的值為零，則x的值為

X+]

分析：分式的值為。的條件是：（1）分子=0;（2）分母工0.兩個(gè)條件需同時(shí)

具備，缺一不可.據(jù)此可以解答本題

解：――-=0,則|x|-l=0,即x=±l,且X+1H0,即XA-1.故x=l.故若分式

X+1

唱的值為零’則X的值為L

【教學(xué)說明】讓學(xué)生體會(huì)分式的意義，理解如果a的取值使得分母的值為零,

則分式?jīng)]有意義，反之有意義.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

這節(jié)課你有哪些收獲？

L學(xué)習(xí)了分式的概念，理解了整式與分式的異同.

2.知道當(dāng)分式的分母不等于零時(shí)分式才有意義.

3.在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，可把它與所學(xué)的舊知識(shí)比較，通過觀察、類比、歸納它

們異同的方法來學(xué)習(xí)新知識(shí).

4.若使分式的值為零，需滿足兩個(gè)條件：①分子等于零；②分母不等于零

季課后作觀

1.布置作業(yè):教材“習(xí)題16.1〃中第1、2、3題.

2.完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí).

受教與反思

在學(xué)習(xí)分式的概念時(shí)，借助整式的概念，用類比的思想進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生掌握

的較好，能夠緊抓概念，很容易的區(qū)分整式與分式.而在分式的值等于0的教學(xué)

中，一部分學(xué)生都只考慮分式的分子等于0,而沒有考慮分式的分母.因此，在后

面的教學(xué)中對(duì)這方面的教學(xué)有待加強(qiáng).

2.分式的基本性質(zhì)

“旗教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

使學(xué)生理解并掌握分式的基本性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行分式約分、通分

【過程與方法】

通過對(duì)分式的基本性質(zhì)的歸納，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、推理的能力

【情感態(tài)度】

讓學(xué)生在討論活動(dòng)中通過相互間的合作與交流，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生合作交流的

能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握分式的基本性質(zhì)

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用分式的基本性質(zhì)來化簡分式

徐教與亙睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

1.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是什么？

2最=:的依據(jù)是什么？

3上與七相等嗎？

35

【教學(xué)說明】通過分?jǐn)?shù)的約分、通分，復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，通過類比來學(xué)

習(xí)分式的基本性質(zhì).

二、思考探究，獲取新知

探究1：分式的基本性質(zhì)

你認(rèn)為分式與:相等嗎？尤與巴呢？

6a2mnm

【教學(xué)說明】通過對(duì)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的理解，可類比得出分式的基本性質(zhì)，

但學(xué)生只想到分式的分子分母同時(shí)乘以或除以一個(gè)數(shù)，不容易想到整式，另外這

個(gè)整式不能為零，老師要引導(dǎo)學(xué)生想到這一點(diǎn).

【歸納結(jié)論】分式的分子和分母都同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整

式，分式的值不變.

探究2：約分化簡下列分式:

⑴警⑵鼻

【教學(xué)說明】有的學(xué)生在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)往往分式的分子與分母沒有

同時(shí)乘以或除以同一個(gè)公因式.有些學(xué)生不能正確找到分子、分母的公因式，導(dǎo)

致約分的錯(cuò)誤和不徹底.所以教師應(yīng)適當(dāng)引導(dǎo).

【歸納結(jié)論】把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的

約分，分子和分母已沒有公因式，這樣的分式稱為最簡分式.

探究3：通分把下列各小題中的兩個(gè)分式化成同分母的兩個(gè)分式.

（1）———

a2b9ab29

⑵于

x-yx+xy

【歸納結(jié)論】分式的通分，即要求把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來分式

相等的同分母分式.通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的公分母，通常取各分母所有因

式的最高次察的積作為公分母（即最簡公分母）.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.填空

jxyWaxy

解：6a2a-2

2.分式:①—，②手《，③④」中，最簡分式有（B）

a--b￡12（a-Z?）x-2

A.l個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.若把分式券中的x和y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（C）

2xy

A.擴(kuò)大3倍B.不變

C.縮小3倍D.縮小6倍

4.約分：(1)當(dāng)(2)結(jié)(3)土耳(4)空衛(wèi)

6abe2mn~16xyzy-x

解：(1)—(2)—(3)(4)-2(x-y)2

2bcn4

5.不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“，號(hào).

-66-x-Im-3x

一5Q‘3y?'6n'4?y

分析：每個(gè)分式的分子、分母和分式本身都有自己的符號(hào)，其中兩個(gè)符號(hào)同

時(shí)改變，分式的值不變.

6b6bxxImIm3x3x

解:=—,----=------,--=,——

-5a----5a3y----3y-----6n-----6n---4y--4y

6.通分:

12

⑴仁和一^

2ab35a2b2c

⑵，-和3

2xy3x2

⑶備和一

Sbe2

(4)」-和」-

y-\j+1

5ac

解：(1)10a263c

24b

5a2b2c10a263c

3c12c3

(J)~-o_~，

2ab~Sab~c"

_a__a?b

86c2-Sab2c2

(4)-J-=----21±1----

'S-l(y-l)(y+ir

1二)T

y+1-(7-1)()+1)

【教學(xué)說明】在教學(xué)中讓學(xué)生將約分的步驟分為這樣幾步，首先將找出分子

和分母公因式并提取，再將分式的分子和分母同時(shí)除以公因式.最后看看結(jié)果是

否為最簡分式或整式.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

這節(jié)課你有哪些收獲？

受訓(xùn)后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材"習(xí)題16.1〃中第4、5題.

2.完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí).

承教與反思

學(xué)生對(duì)分式的基本性質(zhì)，能說能背.從表面上來看，掌握的比較好.但從練習(xí)

中可以發(fā)現(xiàn)很多問題.如：不會(huì)找分式的分子、分母的公因式；分子、分母不同

時(shí)乘或除；約分不徹底等?所以在這些方面要多練習(xí).

16.2分式的運(yùn)算

1.分式的乘除

格教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.理解分式的乘除運(yùn)算法則，會(huì)進(jìn)行簡單的分式的乘除法運(yùn)算

2.掌握分式乘方的有關(guān)運(yùn)算

【過程與方法】

經(jīng)歷探索分式的乘除法法則的過程，并結(jié)合具體情境說明其合理性

【情感態(tài)度】

通過師生討論、交流，培養(yǎng)學(xué)生合作探究的意識(shí)和能力

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握分式的乘除法法則

【教學(xué)難點(diǎn)】

熟練地運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算，提高運(yùn)算能力

徐教學(xué)15睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

計(jì)算，并說出分?jǐn)?shù)的乘除法的法則：

424

X281

7-5-9-

【教學(xué)說明】復(fù)習(xí)小學(xué)學(xué)過的分?jǐn)?shù)的乘除法運(yùn)算，為學(xué)習(xí)分式乘除法的法則

做準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

探究1：分式的乘除法法則

242x452V2

353x5797x9

2.4252x55.259

3.5-34-3x4，yl'9-72

5x9

772

bd

猜一猜：-x—?----二—

ac,，a?c

你能總結(jié)分式乘除法的法則嗎？與同伴交流.

【歸納結(jié)論】分式的乘除法的法則：

兩個(gè)分式相乘，把分子相奏的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母;

如果得到的不是最簡分式，應(yīng)通過約分進(jìn)行化簡.

兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.

【教學(xué)說明】讓學(xué)生觀察運(yùn)算，通過小組討論交流，并與分?jǐn)?shù)的乘除法的法

則類比，讓學(xué)生自己總結(jié)出分式的乘除法的法則.

探究2：分式的乘方

怎樣進(jìn)行分式的乘方呢？試計(jì)算：

(1)(-)3(2)(-)4(k是正整數(shù))

mm

解：(1)(K)3=ZLK上=二；

mmmm

/o\/nxAnnn

(z)(—)二—?—?????—二

mmmm

(〃?〃......刀)

(m?m.........TH)

仔細(xì)觀察所得的結(jié)果，試總結(jié)出分式乘方的法則.

【教學(xué)說明】通過類比分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算方法，總結(jié)出分式的乘方運(yùn)算法則.

【歸納結(jié)論】把分式的分子、分母分別乘方，所得的幕作結(jié)果的分子、分母.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.見教材P7例1、例2.

2.計(jì)算：

⑴(上尸；

-2,x

⑵(/A

C~

解：(1)原式二三

4廣

(2)原式二

3.計(jì)算：-——也+（a—b）2

ab

解：原式二

ab（a-b）

4.計(jì)算：（目產(chǎn)（型）3.（!）

3y4x4

解：原一式二二3

4x

5.先化簡,再求值：品*淇中廣&吟.

解：當(dāng)a=-8,b="!-時(shí)，原式=―--=------——-=—

2

3"b3x（_8）_l49

6.上海到北京的航線全程s千米，飛行時(shí)間需a小時(shí)；鐵路全長為航線長

的m倍，乘車時(shí)間需b小時(shí).飛機(jī)的速度是火車速度的多少倍？（用含a、b、s、

m的分式表示）

皿smssbb

JOT：一+—=-x—=——

abamsam

7.甲隊(duì)在n天內(nèi)挖水渠a米，乙隊(duì)在m天內(nèi)挖水渠b米，如果兩隊(duì)同時(shí)挖

水渠，要挖x米，需要多少天才能完成？（用代數(shù)式表示）

解：甲、乙兩隊(duì)每天分別挖色米，2米，若兩隊(duì)合挖，每天挖（）米，所

nm

以要挖x米，需要一廠=一^上-天才能完成.

-a-1,--bam-^-bn

nm

【教學(xué)說明】通過例題講解，使學(xué)生會(huì)根據(jù)法則，理解每一步的算理，從而

進(jìn)行簡單的分式的乘除法運(yùn)算，并能解決一些與分式有關(guān)的簡單的實(shí)際問題，增

強(qiáng)學(xué)生代數(shù)推理的能力與應(yīng)用意識(shí).需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)的是分式運(yùn)算的結(jié)果通常要

化成最簡分式或整式，對(duì)于這一點(diǎn)，很多學(xué)生在開始學(xué)習(xí)分式計(jì)算時(shí)往往沒有注

意到結(jié)果要化簡.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

分式乘除法的運(yùn)算步驟：

當(dāng)分式的分子與分母都是單項(xiàng)式時(shí):

(1)乘法運(yùn)算步驟是：①用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母；②

把分式積中的分子與分母分別寫成分子與分母的分因式與另一個(gè)因式的乘積形

式，如果分子(或分母)的符號(hào)是負(fù)號(hào)，應(yīng)把負(fù)號(hào)提到分式的前面；③約分

(2)除法的運(yùn)算步驟是：把除式中的分子與分母顛倒位置后，與被除式相乘，

其它與乘法運(yùn)算步驟相同.當(dāng)分式的分子、分母中有多項(xiàng)式，①先分解因式；②

如果分子與分母有公因式，先約分再計(jì)算；③如果分式的分子(或分母)的符號(hào)是

負(fù)號(hào)時(shí)，應(yīng)把負(fù)號(hào)提到分式的前面.最后的計(jì)算結(jié)果必須是最簡分式.

,〉課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材P8的"練習(xí)〃.

2.完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí).

受教與反思

在練習(xí)中暴露出一些問題，例如在傳授過程中急于求成，法則的引入沒有給

學(xué)生過多的時(shí)間，如果時(shí)間足夠，學(xué)生自己得出法則并不是一件難事.在解決習(xí)

題時(shí)，對(duì)學(xué)生容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤沒有重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).所以學(xué)生在后面的練習(xí)中仍然出現(xiàn)

這樣那樣的錯(cuò)誤.學(xué)生答題的規(guī)范性還差了些，在黑板上的板書不到位，在以后

的教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生的答題規(guī)范性練習(xí).

2.分式的加減

第1課時(shí)分式的加減法

電教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.理解同分母的分式加減法的運(yùn)算法則，能進(jìn)行同分母的分式加減法運(yùn)算

2.理解并掌握異分母分式加減法的法則

【過程與方法】

類比同分?jǐn)?shù)加減法的法則歸納出同分母分式的加減法法則

【情感態(tài)度】

通過學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)到數(shù)與式的聯(lián)系，理解事物拓延的內(nèi)在本質(zhì)，豐富數(shù)學(xué)情感與

思想

【教學(xué)重點(diǎn)】

熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算

【教學(xué)難點(diǎn)】

熟練地進(jìn)行異分母的分式加減法的運(yùn)算

敦與亙程

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

做一做：

-1+2--1-2~

3377

-1-+3二--7-—5二

881212

猜一猜

J-+2-

aaxx

3574

2b2b~3y3y"

【教學(xué)說明】通過做一做的幾道同分母分?jǐn)?shù)加減的題，引導(dǎo)學(xué)生用類比的思

想猜一猜同分母分式的加減運(yùn)算，并試圖讓學(xué)生認(rèn)識(shí)其合理性.從而拋出同分母

分式加減法的運(yùn)算法則，點(diǎn)明本節(jié)課的主要內(nèi)容.

二、思考探究，獲取新知

探究：分式的加減法

計(jì)算：

(1)-+-；(2)4---

aaa~ab

小b2b+2

解.aaa

?e232b3a2b-3a

⑵/一瓦商

【教學(xué)說明】類比時(shí)注意引導(dǎo)學(xué)生正確猜想，使法則的提出順理成章，也為

后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊.

【歸納結(jié)論】同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減.

三、運(yùn)用新知，深化理解

L見教材Pg例4

2.計(jì)算：

，八"1一1n-m

(1)——+----；

xx

解：原式二3

X

Ea22ab+b?

2---+-------;

a+ba+b

解：原式=a+b

⑶守乎；

2x-y2x-y

解:原式'

2x-y

3.計(jì)算:

解：原式二a-1

〃m-5n6nm

4.+-----

n-9m9m-n9m-n

解：原式

9tn-n

5.計(jì)算：

小122

(1)—：——+----

w*2*4—93—m

解：原式=，^+一_^

加2-9-(m-3)

______12_________2

(6+3)(陽一3)(/n-3)

______12________2(〃z+3)

(m+3)(/n-3)(m+3)(/w-3)

______12________2加+6

(w+3)(/n-3)(77?-3)(W+3)

12-2加一6

(w+3)(w—3)

_6-2tn

(w+3)(/n-3)

2(3-zn)

(jw+3)(m-3)

-2(〃z-3)

(/n+3)(/n-3)

__2

"2+3

4

(2)a+2---------

2-a

解:原式=2+a--^―

2-a

_(2+a)(2-a)4

2-a2-a

_4-a2_4

2-a2-a

4-a2-4

2-a

-a"

=2^a

CT

=r^2

【教學(xué)說明】讓學(xué)生體會(huì)法則的運(yùn)用要因題而變，而萬變不離其宗一一異分

母分式加減法法則.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

通過木節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？哪些疑惑？

徐源后作觀

1.布置作業(yè):教材P9“練習(xí)”.

2.完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí).

攀教與反思

在授課結(jié)束后發(fā)現(xiàn)學(xué)生充于同分母的分式的加減運(yùn)算掌握得比較好，但是對(duì)

于異分母的分式加減就掌握得不是很理想，很多學(xué)生對(duì)于分式的通分還很不熟練,

也有學(xué)生對(duì)于計(jì)算結(jié)果應(yīng)該為最簡分式理解不夠總是無法化到最簡的形式.所以

對(duì)異分母的加減法還要加強(qiáng)練習(xí).

第2課時(shí)分式的混合運(yùn)算

教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

知道分式的加、減、乘、除、乘方的法則是什么；會(huì)進(jìn)行分式的混合運(yùn)算

【過程與方法】

經(jīng)歷探索分式的混合運(yùn)算法則的過程,理解分式加減法運(yùn)算的原理

【情感態(tài)度】

培養(yǎng)大膽猜想、積極探究的學(xué)習(xí)態(tài)度，發(fā)展觀察、類比、交流的能力

【教學(xué)重點(diǎn)】

能夠進(jìn)行分式的混合運(yùn)算

【教學(xué)難點(diǎn)】

能夠進(jìn)行分式的混合運(yùn)算

守瓠與亙睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

我們?cè)谛W(xué)里學(xué)過四則混合運(yùn)算，它的運(yùn)算順序是什么？分式的混合運(yùn)算順

序又是什么樣的呢?

【教學(xué)說明】通過回顧小學(xué)里學(xué)過四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，從而引出分式

的混合順序.

二、思考探究，獲取新知

計(jì)算:1%+3—2x+1

x+\x2-\X2+4X+3

解：原式=-1-7---:——?

x+1（X+1）（X-1）

（1/

（x+3）（x+l）

1x-1

-7+T-（x+i）2

X+1_____X-1

=（x+l）2"（x+l）2

X+1-X+1

（A+1）2

2

=（x+n2

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的計(jì)算過程，并總結(jié)分式的混合運(yùn)算法則.

【歸納結(jié)論】分式的混合運(yùn)算需要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算

順序：先乘方，再乘除，然后加減，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意最后

的結(jié)果要是最簡分式或整式.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.計(jì)算（手|--24>—

x-2xx-4x+4x

解?原式=[>+2-----^—1—1二

野?原隊(duì)[心-2)(X-2)2J-x

(.r+2)(x-2)-x(x-l)^x-4

x(x-2)2

_『一4一『+x?

x(x-2)2x-4

久一4.41

~x(x-2)2T^4-(X-2)2

2.先化簡，再求值：尸（二+1）,其中x:收+1

x-2x+l\x2-l

解：原式工廠‘7。?J）

（X-1）-X（x+1）

x-1

當(dāng)冤=區(qū)+1時(shí)

原式二」一=與

J2+1-12

3.從三個(gè)代數(shù)式：①a2-2ab+b?,②3a-3b,③中任意選兩個(gè)代數(shù)式構(gòu)造

分式，然后進(jìn)行化簡，并求出當(dāng)a=6,b=3時(shí)該分式的值.

3a-3b

解：選②與③構(gòu)造出分式,

a2-b2

a+b

當(dāng)a=6,b=3時(shí)

原fS式T二--3--=一1

6+33

4.先化簡，再求值：（---）-1,其中x是不等式3X+7>I

xx-2x-4x+4

的負(fù)整數(shù)解.

(4+2)(、-2)E-1)

解:原式=[

%(*-2)*：(%-2)

(x-2)2

x-4

x(%-2),v-4

3x+7>l

Vx是不等式3x+7>l的負(fù)整數(shù)解

??“=-1把*=-1代入土心中

x

得：原式==^=3

【教學(xué)說明】注意：1.分式通分時(shí)分母能分解應(yīng)先分解；2.確定最簡公分母;

3.分子、分母同乘以不等于零的整式.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

本節(jié)課你學(xué)到了什么？同桌兩人相互交流意見.

攀評(píng)后作觀

L布置作業(yè):教材"習(xí)題16.2〃中第3、4、5題.

2,完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí).

徐教學(xué)反思

教學(xué)時(shí)，要隨時(shí)注意學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，及時(shí)給予糾正.對(duì)計(jì)算錯(cuò)誤的原因,

要仔細(xì)分析.幫助學(xué)生從根本上弄清概念和法則，使學(xué)生明白所犯錯(cuò)誤的原因,

才能避免再犯同樣的錯(cuò)誤.

16.3可化為一元一次方程的分式方程

第1課時(shí)分式方程

通教與目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.理解分式方程的概念

2.會(huì)通過設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程

3.使學(xué)生理解增根的概念，了解增根產(chǎn)生的原因，知道解分式方程須驗(yàn)根并

掌握驗(yàn)根的方法

【過程與方法】

通過列出的方程歸納出它們的共同特點(diǎn)，得出分式方程的概念.了解分式的

概念，明確分式和整式的區(qū)別

【情感態(tài)度】

在建立分式方程的數(shù)學(xué)模型的過程中培養(yǎng)能力和克服困難的勇氣，并從中獲

得成就感，提高解決問題的能力

【教學(xué)重點(diǎn)】

使學(xué)生理解分式方程的意義，會(huì)按一般步驟解可化為一元一次方程的分式方

程

【教學(xué)難點(diǎn)】

使學(xué)生理解增根的概念，了解增根產(chǎn)生的原因，知道解分式方程須驗(yàn)根并掌

握驗(yàn)根的方法

?教學(xué)耳睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

1.什么是方程？

2.什么是一元一次方程？它的解怎樣檢驗(yàn)？

【教學(xué)說明】回顧方程的相關(guān)知識(shí)，為本節(jié)課的教學(xué)做準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

探究1：分式方程的概念

輪船在順?biāo)泻叫?0千米所需的時(shí)間和逆水航行60千米所需的時(shí)間相同.

已知水流的速度是3千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度.

分析：設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，得

8060’.、

------=-------（19

x+3x-3

觀察這個(gè)方程與我們學(xué)過的一元一次方程有什么不同？

【教學(xué)說明】通過讓學(xué)生通過觀察、歸納、總結(jié)出整式方程與分式方程的異

同，從而得出分式方程的概念

【歸納結(jié)論】方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方

程叫做分式方程.

思考：怎樣解分式方程呢？有沒有辦法可以去掉分式方程中的分母把它轉(zhuǎn)化

為整式方程呢？試動(dòng)手解一解方程（1）.

方程（1）可以解答如下：方程兩邊同乘以（x+3）僅-3）,約去分母，得80

（x-3）=60（x+3）.解這個(gè)整式方程,得x=21.

所以輪船在靜水中的速度為21千米/時(shí).

【歸納結(jié)論】上述解分式方程的過程，實(shí)質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個(gè)整

式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)

的各分式的最簡公分母.

探究2：分式方程的增根

解方程兩邊同乘以02-1），約去分母，得x+l=2.

解這個(gè)整式方程，得x=l.

思考：x=l是不是原分式方程的解（或根）呢？

當(dāng)x=l時(shí)，原分式方程左邊和右邊的分母（x-1）與（/—I）都是0,方程

中出現(xiàn)的兩個(gè)分式都沒有意義，因此，x=l不是原分式方程的解，應(yīng)當(dāng)舍去.所以

原分式方程無解.

【歸納結(jié)論】在解分式方程時(shí)，產(chǎn)生不適合原分式方程的解（或根），這種

根通常稱為增根.因此，在解分式方程時(shí)必須進(jìn)行檢驗(yàn).

如何判定一個(gè)值是否為這個(gè)分式方程的根呢？分式方程如何檢驗(yàn)?zāi)兀?/p>

【歸納結(jié)論】解分式方程進(jìn)行檢驗(yàn)的關(guān)鍵是看所求得的整式方程的根是否使

原分式方程中的分式的分母為零.有時(shí)為了簡便起見，也可將它代入所乘的整式

(即最簡公分母)，看它的值是否為零.如果為零，即為增根.

三，運(yùn)用新知，深化理解

1.見教材Pi5例2.

2.在方程一5=0,&=6,—3=0,---=1,—=2中分式方程有(B)

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

3.A、*+3=5；------3=0；C、2=21中，B是分式方程,A、C是整

22x+l乃

式方程.

4.解下列方程：

(1)J

yTy

解：方程兩邊都乘以y(y-1),得

2y2+y(y-1)=(y-1)(3y-l),

2y2+y2-y=3y2-4y+l,

3y=l,

解得yg

ii17

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，y(y-1)=-x(1-1)=--*0,

???y二:是原方程的解，

?,?原方程的解為y=".

x3

(2)---1=-————

x+1(x+l)(x-2)

解:兩邊同時(shí)乘以(x+1)(x-2),

得x(x-2)-(x+1)(x-2)=3.

解這個(gè)方程，得x=-l.(7分)

檢驗(yàn)：x=-l時(shí)(x+1)(x-2)=0,x=-l不是原分式方程的解,

???原分式方程無解.

3x+3

(3)=0.

x-\x2-l

解：方程的兩邊同乘(x-l)(X+1),得

3x+3-x-3=0,解得x=0.

檢驗(yàn)：把x=0代入(x?l)(x+1)=-1*0.

???原方程的解為：x=0

2

(4)=0.

廠-4元+2

解:方程的兩邊同乘(x+2)(x-2),得2-(x-2)=0,解得x=4.

檢驗(yàn)：把x=4代入(x+2)(x-2)=12*0.

???原方程的解為：x=4

4

(5)3---

3x-l6x-2

解：方程兩邊同乘以2(3x-l),

得3(6x-2)-2=4

18x62=4,

18x=12,

2

x=-.

3

2

檢驗(yàn)：把x=￡代入2(3x-l)中，

3

2(3x-l)#0,

2

???x:：是原方程的根.

3

2

?,?原方程的解為x=；.

“、113

(6)--------1—=----------.

\-3x26x-2

解：方程兩邊同乘以2(3x-l),

得：-2+3x-l=3,

解得：x=2,

檢驗(yàn)：x=2時(shí)，2(3x-l)工0.

所以x=2是原方程的解.

【教學(xué)說明】通過學(xué)生的反饋練習(xí)，考察學(xué)生對(duì)分式方程的概念、增根的理

解；通過學(xué)生的反饋練習(xí)，使教師能全面了解學(xué)生對(duì)解分式方程是否清楚，以便

教師能及時(shí)地進(jìn)行查漏補(bǔ)缺.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

(1)什么是分式方程？舉例說明；

(2)解分式方程的一般步躲：在方程的兩邊都乘以最簡公分母，約去分母，

化為整式方程.解這個(gè)整式方程；驗(yàn)根，即把整式方程的根代入最簡公分母，看

結(jié)果是不是零，若結(jié)果不是0,說明此根是原方程的根；若結(jié)果是0,說明此根

是原方程的增根，必須舍去.

(3)解分式方程為什么要進(jìn)行驗(yàn)根？怎樣進(jìn)行驗(yàn)根？

,〉課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材〃習(xí)題16.3〃中第1題.

2.完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí).

受教與反思

本節(jié)課的關(guān)鍵是如何過渡，究竟是給學(xué)生一個(gè)完全自由的空間還是讓學(xué)生在

老師的引導(dǎo)下去完成，〃完全開放〃符合設(shè)計(jì)思路，符合課改要求，但是經(jīng)過教學(xué)

發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)難以完成教學(xué)任務(wù)，因此，先講解，做示范，再練習(xí)

更好些.

第2課時(shí)分式方程的應(yīng)用

“旗教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

1.經(jīng)歷將實(shí)際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示的過程；

2.掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟；

3?會(huì)列分式方程解決簡單的應(yīng)用題，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力和

應(yīng)用意識(shí).

【過程與方法】

經(jīng)歷〃實(shí)際問題情境一一建立分式方程模型一一求解一一解釋解的合理性〃的

過程，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的

意識(shí).

【情感態(tài)度】

通過創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生生活實(shí)際的現(xiàn)實(shí)情境，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)月意識(shí)，加深學(xué)生對(duì)

生活的熱愛.

【教學(xué)重點(diǎn)】

列分式方程解應(yīng)用題

【教學(xué)難點(diǎn)】

對(duì)所求出的分式方程的根進(jìn)行檢驗(yàn)的思想的重視

教學(xué)耳睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

1.解分式方程的一般步驟；

2.解方程四-3=1;

x-lx-1

3.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟分哪幾步？

【教學(xué)說明】回顧上節(jié)課知識(shí)，檢查學(xué)生掌握情況，復(fù)習(xí)列一元一次方程解

應(yīng)用題的一般步驟，引出新問題.

二、思考探究，獲取新知

某校招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，2640名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由

兩位程序操作員各向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.

已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完.問這兩個(gè)操作員每

分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績？

解：設(shè)乙每分鐘能輸入x名學(xué)生的成績，則甲每分能輸入2x名學(xué)生的成績,

根據(jù)題意得

解得：x=ll.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=ll是原方程的解.

并且x=ll,2x=2xll=22,符合題意.

答：甲每分鐘能輸入22名學(xué)生的成績，乙每分鐘能輸入11名學(xué)生的成績.

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生通過獨(dú)立思考和小組討論的形式，用所學(xué)過的列方程

解應(yīng)用題的一般方法去解決問題，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，形成解決問題的一些基本

策略，體驗(yàn)解決問題策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力與創(chuàng)新精神.

【歸納結(jié)論】列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：審一設(shè)一列一解一驗(yàn)一答.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.王軍同學(xué)準(zhǔn)備在課外活動(dòng)時(shí)間組織部分同學(xué)參加電腦網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，按原定的

人數(shù)估計(jì)共需費(fèi)用300元,后因人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍，費(fèi)用享受了優(yōu)惠，

一共只需要480元，參加活動(dòng)的每個(gè)同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用比原計(jì)劃少4元，原定

的人數(shù)是多少？

解：設(shè)原定是x人，由題意可知：

300/480

-------4=-----

x2x

解得:x=15

經(jīng)檢驗(yàn)：x=15是原分式方程的根.

答：原定的人數(shù)是15人.

2.在達(dá)成鐵路復(fù)線工程中，某路段需要鋪軌.先由甲工程隊(duì)單獨(dú)做2天后,

再由乙工程隊(duì)單獨(dú)做3天剛好完成這項(xiàng)任務(wù).已知乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)比

甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)多用2天，求甲、乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)任務(wù)各需要

多少天？

解：設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)需(x+2)天,

依題意得上2+—3

xx+2

化為整式方程得x?-3x-4=0

解得x=-l或x=4.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4和x=-l時(shí)，x（x+2）#0,x=4和x=-l都是原分式方程的解.

但x=?l不符合實(shí)際意義，故x=?l舍去；

，乙單獨(dú)完成任務(wù)需要x+2=6（天）.

答：甲、乙工程隊(duì)單獨(dú)完成任務(wù)分別需要4天、6天.

3.去年5月12日，四川省汶川縣發(fā)生了里氏8.0級(jí)大地宸，蘭州某中學(xué)師生

自愿捐款，己知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人數(shù)比第

一天捐款人數(shù)多50人，且兩天人均捐款數(shù)相等，那么兩天共參加捐款的人數(shù)是

多少？人均捐款多少元？

解法1：設(shè)第一天捐款x人，則第二天捐款（x+50）人,

由題意列方程幽二跡.

xx+50

解得x=200.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=200時(shí),x(x+50)#0,

???x=200是原方程的解.

兩天捐款人數(shù)x+（x+50）=450,人均捐款幽=24（元）.

x

解法2：設(shè)人均捐款x元，

百日通力工口60004800

由題意列方程----------=50.

xx

答：兩天共參加捐款的有450人，人均捐款24元.

4.在我市某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo).經(jīng)測(cè)算：甲

隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天；若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙合做

24天可完成.

（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？

（2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款3.5萬元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬

元.若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙

隊(duì)單獨(dú)完成該工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？

解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成需x天

根據(jù)題意，得

11

—x20+(—4------)x24=1

601x60

解這個(gè)方程，得x=90

經(jīng)檢驗(yàn)，x=90是原方程的解.

，乙隊(duì)單獨(dú)完成需90天.

（2）設(shè)甲、乙合作完成需y天，則有

（—+—）y=l

'60907

解得y=36（天）

甲單獨(dú)完成需付工程款為60x3.5=210（萬元）.

乙單獨(dú)完成超過計(jì)劃天數(shù)不符題意（若不寫此行不扣分）.

甲、乙合作完成需付工程款為

36x(3.5+2)=198(萬元)

答：在不超過計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢.

5.一輛汽車開往距離出發(fā)地180千米的目的地，出發(fā)后第一小時(shí)內(nèi)按原計(jì)劃

的速度勻速行駛，一小時(shí)后以原來的1.5倍勻速行駛，并比原計(jì)劃提前40分鐘

到達(dá)目的地.求前一小時(shí)的行駛速度.

解：設(shè)前一小時(shí)的速度為xkm/小時(shí)，則一小時(shí)后的速度為1.5xkm/小時(shí)，由

題意得：

解這個(gè)方程為x=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是所列方程的根，

答：前一小時(shí)的速度為60km/小時(shí).

【教學(xué)說明】使學(xué)生體會(huì)豐富的實(shí)例，鞏固用分式方程解決實(shí)際問題的技巧.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：

（1）審清題意；

（2）設(shè)未知數(shù)（要有單位）；

（3）根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系列出式子，找出相等關(guān)系，列出方程；

（4）解方程，并驗(yàn)根，還要看方程的解是否符合題意；

（5）寫出答案（要有單位）.

學(xué)課后作業(yè)

1.布置作業(yè):教材〃習(xí)題16.3〃中第2、3題.

2.完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí).

攀教與反思

應(yīng)用題歷來是個(gè)“老大難”，學(xué)生痛苦，老師無奈，怎么辦？降低門檻，找準(zhǔn)

認(rèn)識(shí)的生長點(diǎn)是關(guān)鍵，引導(dǎo)學(xué)生喜歡應(yīng)用題是關(guān)鍵.

16.4零指數(shù)累與負(fù)整數(shù)指數(shù)累

“旗教學(xué)目標(biāo)

【知識(shí)與技能】

L使學(xué)生掌握不等于零的零次幕的意義.

2.使學(xué)生掌握了〃=》(a#0,n是正整數(shù))并會(huì)運(yùn)用它進(jìn)行計(jì)算.

3.會(huì)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù).

【過程與方法】

通過探索，讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般的方法是研究數(shù)學(xué)的一個(gè)重要方法

【情感態(tài)度】

簡潔的內(nèi)容，在形式上盡可能做到活潑，從而培養(yǎng)學(xué)生之間的感情，有利于

形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和思維方式.

【教學(xué)重點(diǎn)】

不等于零的數(shù)的零次幕的意義以及理解和應(yīng)用負(fù)整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)

【教學(xué)難點(diǎn)】

不等于零的數(shù)的零次事的意義以及理解和應(yīng)用負(fù)整數(shù)指數(shù)事的性質(zhì)

差瓠與15睚

一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)

在前面，我們學(xué)習(xí)過同底數(shù)累的除法公式合01011二時(shí)，有一個(gè)附加條件:

m>n,即被除數(shù)的指數(shù)大于除數(shù)的指數(shù).當(dāng)被除數(shù)的指數(shù)不大于除數(shù)的指數(shù)，即

m=n或m<n時(shí)，情況怎樣呢？

【教學(xué)說明】回顧相關(guān)知識(shí)，為本節(jié)課的教學(xué)做準(zhǔn)備.

二、思考探究，獲取新知

探究1:零次基

計(jì)算：

5*24-52,1034*-103,a5-?a5(a#0)

仿照同底數(shù)累的除法公式來計(jì)算，得

52-52=52-2=5°,

1034-103=103-3=10°,

a5-i-a5=a55=a°(a^O).

另一方面，由于這幾個(gè)式子的被除式等于除式，由除法的意義可知，所得的

商都等于1.

【歸納結(jié)論】任何不等于零的數(shù)的零次幕都等于1.即：a°=l(a#0)

探究2：負(fù)整數(shù)指數(shù)尋

計(jì)算：52V55,103-?107,

一方面，如果仿照同底數(shù)幕的除法公式來計(jì)算，得

52V55=52'5=5'3,103V107=1037=104.

另一方面，我們可利用約分，直接算出這兩個(gè)式子的結(jié)果為

.Y52￡!

「5-尹一-齊

107IO3X104104

【歸納結(jié)論】5-3=/,10-4=/.一般地，我們規(guī)定：(a。。，n是正

整數(shù))

這就是說，任何不等于零的數(shù)的一n(n為正整數(shù))次暴，等于這個(gè)數(shù)的n

次幕的倒數(shù).

【教學(xué)說明】引導(dǎo)學(xué)生觀察、對(duì)比兩種計(jì)算方法，總結(jié)出相關(guān)結(jié)論.

探究3：科學(xué)記數(shù)法

我們?cè)每茖W(xué)記數(shù)法表示一些絕對(duì)值較大的數(shù)，即利用10的正整數(shù)次暴，

把一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)表示成axion的形式，其中n是正整數(shù)，l<|a|<10.

例如，864000可以寫成8.64x105.

類似地，我們可以利用10的負(fù)整數(shù)次累，用科學(xué)記數(shù)法表示一些絕對(duì)值較

小的數(shù)，即將它們表示成axlO”的形式，其中n是正整數(shù)，1引a|V10.

三、運(yùn)用新知，深化理解

1.若式子(2x-l)°有意義，求x的取值范圍.解：由2x—1工0,得XH；即，當(dāng)X。

；時(shí)，(2x-l)°有意義

2.計(jì)算：

(l)103X(TT-5)C-(-3)3X0.3-1

+1-121；

(2)(-a)4,(-a2)3-ra10(a#0).

323

?：(l)10+f^X(7T-5)°-(-3)

x0.3-1+I-121

=1000+302xl+27x舄)'+12

=1000+900+27Xy+12

=2002

(2)(-a)4-(-a2)3va10

=a4?(/-a6\)T.a10=-a-10-.a10=一i1

3.用科學(xué)記數(shù)法表不卜列各數(shù).

(1)30920000(2)0.00003092

(3)-309200(4)-0.000003092

解：(1)30920000=3.092xl07

(2)0.00003092=3.092xl0"5

(3)-309200=-3.092xl05

(4)-0.000003092=-3.092xl06.

4.用小數(shù)表示下列各數(shù).

(1)-6.23x105(2)(-2)3X10-8

解：(1)623x10-5=-0.0000623：

(2)(-2)3X108=-8X108=-0.00000008.

5.已知x+x^a,求x2+x2的值.

分析：本例考查的是負(fù)整數(shù)指數(shù)累及完全平方公式的靈活運(yùn)用，顯然，由

x+x"我們很難求出x,但可根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)幕的意義，把x+P及x2+x〃化為分?jǐn)?shù)

形式，觀察、比較兩式的特點(diǎn)，運(yùn)用完全平方公式即可求解.

解：JV+『二a,

1

x+——=a,

x

(x+—1V=a~2日E口px2+—1+r2=a~2

X

/.x2+占=a?-2即x2+x"2=a2-2

x"

【教學(xué)說明】鞏固提高通過觀察、靈活運(yùn)用.

四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)

.公式mnmn時(shí)，mn當(dāng)時(shí)，mn

1ava=a(a#Ozm>n)Sm=na4-a=m<na4-a=

2.任何數(shù)的零次事都等于1嗎？規(guī)定，"二》其中a、n有沒有限制？如何限

制？

側(cè)課后作觀

1布置作業(yè):教材"習(xí)題16.4〃中第1、2、3題.

2.完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí).

季敦與反思

教學(xué)中，復(fù)習(xí)嘉的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)后提出問題“事的這些運(yùn)算性質(zhì)中指數(shù)都要

求是正整數(shù)，如果是負(fù)數(shù)又表示什么意義呢？〃通過提問讓學(xué)生尋找規(guī)律，猜想出

零指數(shù)累和負(fù)整數(shù)累的意義，不但調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而且使其印象更深,

當(dāng)然也達(dá)到了課堂的預(yù)期效果.

章末復(fù)習(xí)

“旗教學(xué)