不定積分定義

章積分及其應(yīng)用§4.1不定積分概念與性質(zhì)【學(xué)習(xí)本節(jié)要達(dá)到的目標(biāo)】1、理解不定積分和原函數(shù)的概念2、理解不定積分與微分的關(guān)系2、掌握不定積分的性質(zhì)本章主要內(nèi)容一元函數(shù)的不定積分和定積分的概念與性質(zhì)、積分法、無窮區(qū)間的廣義積分和定積分的應(yīng)用。2021/6/271

要解決這些實(shí)際問題，自然會(huì)想到微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，這就是產(chǎn)生積分運(yùn)算的原因。

提出這樣的逆問題，是因?yàn)樗嬖谟谠S多實(shí)際的問題中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲線上每一點(diǎn)處的切線斜率（或斜率所滿足的某一規(guī)律），求曲線方程等等。

回顧:微分學(xué)的基本問題是“已知一個(gè)函數(shù),

如何求它的導(dǎo)數(shù).”

那么,如果已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要求原來的函數(shù),這類問題,是微分法的逆問題.這就產(chǎn)生了積分學(xué).2021/6/272

為了更好地理解積分運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)（微分）運(yùn)算的逆運(yùn)算，我們?cè)诮榻B積分運(yùn)算時(shí)，把乘方運(yùn)算（開方）和它作比較：我們熟悉乘方運(yùn)算：也熟悉導(dǎo)數(shù)運(yùn)算：于是提出新問題：同樣提出問題：這不是乘方運(yùn)算，而是它的逆運(yùn)算—開方運(yùn)算。這不是求導(dǎo)運(yùn)算，而是它的逆運(yùn)算—積分運(yùn)算。一般來說，在下式里同樣，在下式里2021/6/273

通過上面的比較，對(duì)積分運(yùn)算與原函數(shù)有了初步認(rèn)識(shí)，以下先給出原函數(shù)與不定積分的有關(guān)的定義。一、原函數(shù)與不定積分2021/6/274這樣就給我們提出了問題：原函數(shù)存在的條件？原函數(shù)有多少個(gè)？這些原函數(shù)之間有何關(guān)系？如何求出這些原函數(shù)？例如而在上是的原函數(shù)也是它的原函數(shù)即加任意常數(shù)都是的原函數(shù).2021/6/275(1)如果f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，那么原函數(shù)不是唯一的,且有無窮多個(gè)

若函數(shù)?(x)在區(qū)間I上連續(xù),則?(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)一定存在.2021/6/276(2)若函數(shù)f(x)

在區(qū)間I上存在原函數(shù)，則其任意兩個(gè)原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)項(xiàng).2021/6/2772021/6/2782021/6/279解2021/6/2710微分運(yùn)算與積分運(yùn)算互為逆運(yùn)算.

不定積分與微分的關(guān)系先積后微形式不變先微后積差一常數(shù)2021/6/2711解2021/6/2712解2021/6/2713

函數(shù)f(x)的原函數(shù)圖形稱為f(x)的積分曲線,不定積分表示的不是一個(gè)原函數(shù),而是無窮多個(gè)(全部)原函數(shù),通常說成一族函數(shù),反映在幾何上則是一族曲線,這族曲線稱為f(x)的積分曲線族.

在相同的橫坐標(biāo)處,所有積分曲線的斜率均為k,因此,在每一條積分曲線上,以x為橫坐標(biāo)的點(diǎn)處的切線彼此平行（如圖）.f(x)為積分曲線在(x,f(x))處的切線斜率.不定積分的幾何意義2021/6/2714

練習(xí)設(shè)曲線通過點(diǎn)(2,3),且其上任一點(diǎn)的切線斜率等于這點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求此曲線方程.解設(shè)所求的曲線方程為,依題意可知因此所求曲線的方程為2021/6/2715

二、基本積分公式2021/6/27162021/6/27172021/6/2718解練習(xí)：2021/6/2719

三、不定積分的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)2

被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面.性質(zhì)1可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，即性質(zhì)1

函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和，即注意：不定積分沒有積和商的運(yùn)算法則。2021/6/2720證只要證明上式右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)即可.由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則以及不定積分與微分的關(guān)系，有這說明是函數(shù)的不定積分，所以欲證的等式成立.性質(zhì)1

函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于不定積分的代數(shù)和，即2021/6/2721例11

求解

注

逐項(xiàng)積分后，每個(gè)積分結(jié)果中均含有一個(gè)任意常數(shù)．由于任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此只要寫出一個(gè)任意常數(shù)即可2021/6/27222021/6/2723解例13求2021/6/27242021/6/27252021/6/2726練習(xí)：練習(xí)：2021/6/2727小結(jié)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式用直接積分法求不定積分要注意對(duì)被積函數(shù)變形直接積分法:用基本積分公式及積分性質(zhì)求積分的方法直接積分