福建省寧德市蕉城區(qū)蕉城中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁(yè)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級(jí)10月素養(yǎng)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（答卷時(shí)間：120分鐘，滿(mǎn)分：150分）一．選擇題：（本題有10小題，每小題4分，共40分）1.關(guān)于的一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是（）A.1 B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般式．根據(jù)一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且），在一般形式中叫一次項(xiàng)的系數(shù)是b，可直接得到答案．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)是．故選：B．2.隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣兩次，兩次都是正面朝上的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了概率的求法．列舉出所有情況，看正面都朝上的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．【詳解】解：根據(jù)題意，畫(huà)出樹(shù)狀圖，如下：共4種情況，正面都朝上的情況數(shù)有1種，所以?xún)纱味际钦娉系母怕适牵蔬xC．3.下列形狀分別為兩個(gè)正方形、矩形、正三角形、圓的邊框，其中不一定是相似圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．【詳解】解：A、兩個(gè)正方形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；B、兩個(gè)長(zhǎng)方形形狀不同，不是相似圖形，符合題意；C、兩個(gè)等邊三角形形狀相同，相似圖形，不符合題意；D、兩圓形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵．4.如圖，要使平行四邊形成為矩形，需要添加條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的判定方法進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A．∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形菱形，故A不符合題意；B．由可以判定平行四邊形為矩形，故B符合題意；C．由可以判定平行四邊形為菱形，故C不符合題意；D．由可以判定平行四邊形為菱形，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的判定方法．5.根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：11.11.21.3﹣2﹣0.590.842.29由此可判斷方程必有一個(gè)根滿(mǎn)足（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用表中數(shù)據(jù)得到時(shí)，，時(shí)，，則可以判斷方程時(shí)，有一個(gè)解滿(mǎn)足．【詳解】解：由表格中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴方程必有一個(gè)根滿(mǎn)足．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的綜合應(yīng)用，熟悉二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，則轉(zhuǎn)盤(pán)停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針同時(shí)落在紅色區(qū)域的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求出轉(zhuǎn)盤(pán)的指針落在紅色區(qū)域的概率，二者之積即轉(zhuǎn)盤(pán)的指針同時(shí)落在紅色區(qū)域的概率．【詳解】∵轉(zhuǎn)盤(pán)的指針落在紅色區(qū)域的概率分別為和，∴轉(zhuǎn)盤(pán)的指針同時(shí)落在紅色區(qū)域的概率為：=，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查兩步完成的事件的概率，兩步完成的事件的概率=第一步事件的概率與第二步事件的概率的積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.7.如圖，，若，，，則的長(zhǎng)度是（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，解得，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)性質(zhì)，正確列出式子．8.如圖，菱形的對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度是（）A.4cm B.3cm C.2.5cm D.2cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及勾股定理可得，再利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：四邊形是菱形，且，，，，，在中，，，又點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理及直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．9.已知關(guān)于x的一元二次方程2x2?(m＋n)x＋mn＝0，其中m，n在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，則這個(gè)方程的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D.無(wú)法確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上表示的點(diǎn)的值和根的判別式Δ=(m+n)2-8mn，判定根的情況有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根.【詳解】由數(shù)軸看出m>0,n<0,∵2是關(guān)于x的一元二次方程，∴Δ=(m+n)2-8mn，∵m>0,n<0,∴-8mn>0∴Δ=(m+n)2-8mn>0，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.10.如圖是物體在焦距為（即）的凸透鏡下成倒立放大實(shí)像的光路示意圖．從點(diǎn)發(fā)出的平行于的光束折射后經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，而經(jīng)過(guò)光心點(diǎn)的光束不改變方向，最后點(diǎn)發(fā)出的光匯聚于點(diǎn)，點(diǎn)發(fā)出的光匯聚于點(diǎn)，從而得到最清晰的實(shí)像．若物距，則像距為（）cm．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，，易推出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及得，設(shè)，則，列出關(guān)于的分式方程，解方程即可．【詳解】解：由題意得：，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)為原分式方程的解，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，分式方程，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．二．填空題：（本題有6小題，每題4分，共24分）11.已知，則__________．【答案】【解析】【分析】將變形為，代入條件即可求值．【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)式子的特征適當(dāng)?shù)淖冃危俨捎谜w代入是解題的關(guān)鍵．12.某種油菜籽在相同條件下發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如下表：每批粒數(shù)501003004006001000發(fā)芽的頻數(shù)4596283380571948這種油菜籽發(fā)芽的概率約是_____________．（結(jié)果精確到0.01）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意及頻率估計(jì)概率可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由表格得：當(dāng)每批粒數(shù)為50時(shí)，則種子發(fā)芽的頻率為；當(dāng)每批粒數(shù)為100時(shí)，則種子發(fā)芽的頻率為；當(dāng)每批粒數(shù)為300時(shí)，則種子發(fā)芽的頻率為；當(dāng)每批粒數(shù)為400時(shí)，則種子發(fā)芽的頻率為；當(dāng)每批粒數(shù)為500時(shí)，則種子發(fā)芽的頻率為；當(dāng)每批粒數(shù)為1000時(shí)，則種子發(fā)芽的頻率為；∴該植物種子發(fā)芽的概率的估計(jì)值是；故答案為∶【點(diǎn)睛】本題主要考查利用頻率估計(jì)概率，熟練掌握利用頻率估計(jì)概率是解題的關(guān)鍵．13.兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線(xiàn)之比是，其中較大的三角形一邊上的高是10厘米，那么另一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為_(kāi)________厘米．【答案】6【解析】【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出相似比，得到對(duì)應(yīng)邊上的高之比，從而求得另一邊的比即可．【詳解】解：兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線(xiàn)之比為，兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)高之比為，較大三角形一邊上的高為10厘米，較小三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高為（厘米），故答案為：6．14.新春佳節(jié)，某班數(shù)學(xué)興趣小組的x名同學(xué)互發(fā)短信祝賀（每名同學(xué)給其余同學(xué)每人只發(fā)一條短信），一共有90條短信發(fā)出，則可列方程為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】設(shè)數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)為x人，則每人需發(fā)送（x-1）條短信，由全組共互發(fā)了90次短信，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】設(shè)數(shù)學(xué)興趣小組人數(shù)為x人，則每人需發(fā)送（x-1）條短信，

依題意，得：．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15.已知點(diǎn)為線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，且，則_________．【答案】3－3【解析】【分析】根據(jù)黃金分割的定義，知AC為較長(zhǎng)線(xiàn)段，則AC＝AB，然后把AB＝6代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵C是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，AC為較長(zhǎng)線(xiàn)段，∴AC＝AB，∵AB＝6，∴AC＝×6＝3－3．故答案為：3－3．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，掌握黃金分割的相關(guān)概念及牢記黃金比是解題的關(guān)鍵．16.如圖，已知、分別為正方形的邊，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論有_________．【答案】①③④⑤【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得，然后求出，從而求出，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得，從而判斷①正確；根據(jù)中線(xiàn)的定義判斷出，然后求出，判斷出②錯(cuò)誤；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷出三個(gè)三角形相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得，然后求出，判斷出④正確，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，利用勾股定理列式求出，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出，然后求出，消掉a即可得到，判斷出⑤正確；過(guò)點(diǎn)M作于N，求出，然后利用勾股定理列式求出，過(guò)點(diǎn)M作，過(guò)點(diǎn)O作于K，然后求出，再利用勾股定理列式求出，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，然后利用勾股定理逆定理判斷出，從而判斷出③正確．【詳解】解：在正方形中，，∵E、F分別為邊的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，，∴，，故①正確；∵是的中線(xiàn)，∴，，故②錯(cuò)誤；∵，，∴，∴，，故④正確；設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，在中，，，，∴，即，解得：，∴，故⑤正確；如圖，過(guò)點(diǎn)M作于N，則，即，解得，∴，根據(jù)勾股定理，得：過(guò)點(diǎn)M作，過(guò)點(diǎn)O作于K，則，在中，，根據(jù)正方形的性質(zhì)得：，∵，∴，∴是直角三角形，，故③正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤．故答案為：①③④⑤【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，勾股定理逆定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，仔細(xì)分析圖形并作出輔助線(xiàn)構(gòu)造出直角三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題：（本題共9小題，共86分）17.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用直接開(kāi)平方法，即可解方程；（2）利用因式分解法，即可解方程．【小問(wèn)1詳解】解：，移項(xiàng)得，系數(shù)化為1得解得，；【小問(wèn)2詳解】解：，因式分解得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練挑選正確地方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．18.如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形的邊上，且．求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】證即可．【詳解】證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)．熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.如圖，66網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC是格點(diǎn)三角形，請(qǐng)按下列要求畫(huà)圖．（注：標(biāo)明所作三角形的頂點(diǎn)字母）（1）如圖1，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△CDE，以點(diǎn)C為公共頂點(diǎn)且與△ABC相似，△CDE與△ABC的周長(zhǎng)之比為2∶1．（2）如圖2，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫(huà)出格點(diǎn)△ABP，以AB為公共邊且與△ABC相似，面積之比為5∶1．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）由勾股定理求出,延長(zhǎng)CA到D使CD=2CA，延長(zhǎng)CB到E使CE=2CB，連接DE，則DE=，即為所求作；（2）如圖，作BD=，AD=5，可得，故可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖所示，即為所求作；

（2如圖所示，即所求作．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．20.中國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)成就，《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》等是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．（1）小聰想從這4部數(shù)學(xué)名著中隨機(jī)選擇1部閱讀，則他選中《九章算術(shù)》的概率為；（2）某中學(xué)擬從這4部數(shù)學(xué)名著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，求恰好選中《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回實(shí)驗(yàn)還是不放回實(shí)驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．（1）根據(jù)小聰選擇的數(shù)學(xué)名著有四種可能，而他選中《九章算術(shù)》只有一種情況，再根據(jù)概率公式詳解即可；（2）此題需要兩步完成，所以可采用樹(shù)狀圖法或者采用列表法求解．【小問(wèn)1詳解】解：小聰想從這4部數(shù)學(xué)名著中隨機(jī)選擇1部閱讀，則他選中《九章算術(shù)》的概率為．【小問(wèn)2詳解】將四部名著《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》分別記為A，B，C，D，記恰好選中《九章算術(shù)》和《孫子算經(jīng)》為事件M．根據(jù)題意可以畫(huà)出如下的樹(shù)狀圖：由樹(shù)狀圖可以看出，所有可能的結(jié)果有12種，并且這12種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，所有可能的結(jié)果中，滿(mǎn)足事件M的結(jié)果有2種，即，，∴21.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0（1）求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的一個(gè)根是1，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求出以此兩根為邊長(zhǎng)的直角角形的周長(zhǎng)【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）方程的另一根為2，圍成直角三角形的周長(zhǎng)為3+．【解析】【分析】（1）由根的判別式△=（m-2）2≥0，可證出：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）將x=1代入原方程可求出m的值，利用兩根之積等于可求出方程的另一個(gè)根，再利用勾股定理及三角形的周長(zhǎng)公式即可求出圍成直角三角形的周長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：△＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×2m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．∵（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴不論m為何值，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：將x＝1代入原方程，得：1﹣（m+2）+2m＝0，∴m＝1，∴方程的另一根為＝2．∵＝，∴圍成直角三角形的周長(zhǎng)＝1+2+＝3+．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理以及三角形的周長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出方程的另一根．22.周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門(mén)前小河的寬．測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹(shù)，將其底部作為點(diǎn)，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)，使得與河岸垂直，并在點(diǎn)豎起標(biāo)桿，再在的延長(zhǎng)線(xiàn)上選擇點(diǎn)，豎起標(biāo)桿，使得點(diǎn)與點(diǎn)，共線(xiàn)．，，測(cè)得，，．測(cè)量示意圖如圖所示．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬．

【答案】18米【解析】【分析】由題意先證明，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵，，∴．∴，．∴．∴．∵，，，∴．解得．∴河寬為18米．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟記相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.某水果商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)一種高檔水果，原價(jià)每千克50元．（1）連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但商場(chǎng)規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過(guò)8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量將減少20千克，現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？【答案】（1）（2）5元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用：（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，列出方程求解即可；（2）設(shè)每千克漲價(jià)y元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)每次下降的百分率為x，根據(jù)題意，得：，解得（不合題意舍去）．答：每次下降．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)每千克漲價(jià)y元，根據(jù)題意，得：，解得：（不合題意舍去）．答：每千克應(yīng)漲價(jià)5元．24.如圖，在矩形中，是邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，若，求證：．（2）如圖2，若恰好是邊的中點(diǎn)，求證：．（3）在（2）的條件下，當(dāng)，時(shí)，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）先證明，，可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，則，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)即可得出結(jié)論；（3）如圖，連接，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可得，